华师一附中2024届高三《简单几何体.球的内切与外接》补充作业22 试卷带答案

1．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若=2，则=()2．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()3．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水面积为180.0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔V=hS+S'+)，其中S，S'分别为棱台的上下底的面积，h是棱台的高）4．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π,且3<l<3，则该正四棱锥体积的取值范围是()5．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，所有顶点在同一球面上，则该球的表面积为()6．如图，四边形ABCD为正方形，EDL平面ABCD,FB∥ED，AB=ED=2FB，记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V1,V2,V3，则()V7.下列命题正确的有（1）棱柱的侧面都是平行四边形；（2）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；（3）用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；（4）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.8.（1）一个棱柱至少有个面，面数最少的一个棱锥有个顶点，顶点最少的一个棱台有条侧棱.（2）一个正棱锥的侧棱长与底面边长相等，则该棱锥不可能是()A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥9.若一个平行六面体的各个侧面都是正方形，则这个平行六面体一定是()A.正方体B.直平行六面体C.长方体D.正四棱柱10.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长10，求圆锥的母线长11.圆锥轴截面顶角为1200，母线长为1，则求轴截面的面积为，过顶点的圆锥的截面中，最大截面的面积为12.一个轴截面是正三角形的圆锥内有一个轴截面是正方形的内接圆柱，则它们的高的比值为，母线长的比值为13．一个正方体内接于一个球（即正方体的8个顶点都在球面上过球心作一截面，则截面的图形可能是.14.将半径为l，圆心角为的扇形卷成一个圆锥的侧面，则过顶点的截面面积的最大值为15.在半径为3的球面上有A,B,C三点，ZABC=900,BA=BC，球心O到平面ABC的距离是，则B,C两点的球面距离是16.在三棱锥A-BCD中，ΔBCD是边长为2的等边三角形，ZABC=ZABD=，AB=3，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为.17.已知三棱锥D-ABC的所有顶点都在球O的表面上，ADL平面ABC，AC=,BC=1，cosZACB=sinZACB，AD=2，则球O的表面积为.18.已知三棱锥P-DEF的各顶点都在球面上，PDLED,EFL平面PDE，DE=4，EF=3，若该球的体积为π,则三棱锥P-DEF的表面积为.19.如果球、正方体与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的体积相等，设他们的表面积依次为S1,S2,S3，那么S1,S2,S3的大小关系为.20.已知直三棱柱ABC_A1B1C1,ABLBC,AB=3,BC=4,AA1=3，设该直三棱柱的外接球的表面积为S1，该直三棱柱内部最大的球的表面积为S2，则.21.正四棱台ABCD_A1B1C1D1的下底边长AB=6，它的内切球半径为3，则正四棱台22.边长为2的正四面体内有一个球，当球与正四面体的棱均相切时，球的体积为.23.如图所示，正方形ABCD的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则正四棱锥的侧面积取值范围为()侧面积取值范围为()24.已知四边形ABCD是等腰梯形，AB//DC,AB=3,CD=6,ZADC=60。，梯形ABCD的四个顶点均在半径为2的球面上，若S是该球面上任意一点，则四棱锥S_ABCD体积的最大值为.25.已知点M、N、P、Q在同一个球面上，MN=3,NP=4,MP=5，若四面体MNPQ的体积的最大值为10，则这个球的表面积是。26.（2023全国甲卷理科11题）在四棱锥P_ABCD中，底面ABCD为正方形，27.（2023全国甲卷理科15题）在正方体ABCD_A1B1C1D1中，E、F分别为CD、A1B1的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为。28.棱长为6的正方体内有一个棱长为x的正四面体，正四面体的中心(正四面体的中心就是该四面体外接球的球心)与正方体的中心重合，且该四面体可以在正方体内任意转动，则x的最大值为.且三棱锥A-BCD的体积为2，则线段CD长度的最大值为.30.四个半径为2的球刚好装进一个正四面体容器内，此时正四面体各面与球相切，则这个正四面体外接球的表面积为.31.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，则V1:V2=()32.如图所示五面体ABCDEF的形状就是《九章算术》中所述“羡除”其中AB//DC//EF，“羡除”形似“楔体”．“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a，b，c、“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离n．已知33.在如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，点A，BB1的中点M以及B1C1的中点N所确定的平面AMN把三棱柱切割成体积不相同的两部分，则小部分的体积和大都分的体积之比为.34.如图，圆台O1O2的轴截面为等腰梯形A1A2B2B1，A1A2//B1B2，A1A2=2B1B2，A1B1=2，圆台O1O2的侧面积为6π.若点C，D分别为圆O1，O2上的动点且点C，D在平面A1A2B2B1的同侧.（2）若ZB1B2C=60O，则当三体CDA1A2B2B1的体积.35.半径为R的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r的最大值为36.已知正方体ABCD一A1B1C1D1D的棱长为2，其内有两个不同的小球，球O1与三棱锥ACB1D1的四个面都相切，球O2与三棱锥ACB1D1的三个面和球O1都相切，则球O1的体积等于，球O2的表面积等于若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是.38.如图，几何体Ω为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为P，圆柱的上、下底面的圆心分别为O1、O2，且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为O.(1)若圆柱的底面圆半径为，求几何体Ω的体积；(2)若PO1:O1O2=1:3，求几何体Ω的表面积.39.已知一圆锥底面圆的直径是3，圆锥的母线长为3，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体（每条棱长都为a的三棱锥并且正四面体可以在该圆柱内任意转动，则a的最大值为.40.在棱长为8的正方体空盒内，有四个半径为r的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为R的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径r的最大值为；大球半径R的最小值为.41.如图，在底面边长为2，高为3的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为.42.已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，‘ABC是边长为3的等边三角形，SA平面ABC，则SA=.12 V V 2342322423222x3xl6222θcosθ+1，故xe[1,)，y'<0，xe(,]，y'>0，2AA1OBAOCO43AO1BCB1C1MM1max22)2AA1OBAOCO43AO1BCB1C1MM1【解析】由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径是3，下底面所在R2R2−422CC22=21=．连结BD交ACV8.⑴一个棱柱至少有5个面，面数最少的一个棱锥有4个顶点，顶点最少的一个棱台有4条侧棱.40311.（12）于任何侧面也不过体对角线时得（1但无论如何都不能截出（4）.答案123）.32πr4πr22πr4πr2,∴过顶点且面积最大的截面就是圆锥的轴截,∴过顶点且面积最大的截面就是圆锥的轴截面，它的面积为S=l2sinC=l2sincos=l2..2229 2,因为AC=，BC=1，由余弦定理AB2=AC2+BC2−2AC.BCcosC 2AB=3+1−2x 2 sin120。 sin120。因为PD⊥ED，EF（DE=E，所以PD⊥平面DEF，所以PD⊥DF，4PD2+DE2PD2+DE2所以三棱锥P−DEF的表面积为SDEF+SPDE+SPDF+SPEF=2x3x4+2x3x4+2x3x5+2x3x5=27.故答案为27.19．设球的半径为R，正方体的棱长为a，等边圆柱的底面半径为r，且它们的体积都为V，S22222215220．易知Rt△ABC的外接圆直径为AC52,设外接球半径为R，则R2(5)2(3)22 21=34π,设Rt△ABC的内切圆半径为r 21=4π2=4π221.S表.3588 323．设四棱锥一个侧面为三角形APQ，经APQ=x， 则AH 则AH=xPQxtanx=2∴PQ=1tax，AH=1，∴S=4xxPQxAH=2xPQxAH=2x1taxx1=(1)2，xe,，8tanx88tanx 81tanxπ4,（当且仅当tanx=1，即xπ424．因为四边形ABCD是等腰梯形，AB//DC，AB=3，CD=6，经ADC=60。，:AD=3，取CD中点O，连接AO,BO，易知△AOD和BOC为等边三角形，:OA=OB=OC=OD=3，所以四边形ABCD的外接圆的半径为r=3，设球心为O,，四边形ABCD的外接圆的圆心为O，如图所示226OADECOA1FB1D1C1B25．由MN=3,NP=4,MP=5，可得MN2+NP2=MP2，所以经PNM=90。，则球心O在过PM中点OADECOA1FB1D1C1B质可得，当O'Q过球心时体积最大，因为四面体Q−MNP的最大1xSMNPxO'Q=1x1x3x4xO'Q=10，可得O'Q=5，在OO'P中，332x)2，2222222222PDADNMNBHCBH2.AC.PC2x4x32所以S△PBC= xBCxPH=2O与每条棱都有一个公共点，故填12.底面ABC的中心，连接PO，则PO⊥底面ABC，则可知CO=x，正四面体的 ()2()229．因为球的体积为20π,故球的半径R满足20π=4πR3，故R=，712，故1213设D到平面ABC的距离为h13面的截面圆上，设截面圆所在的平面为C，当C与平侧时，DC有最大值，设球心到平面ABC的距离为d，而△ACB外接圆面圆的半径=1，设D在平面ABC上的投影为E，则E的轨迹为3，故答案为：3.44222(4)2(4)2KH1+EH12所以OH1=4−r=，过点E作EP⊥BM于点P，则EP=2，则△BEP∽△OEH18 A1B1V1VA1B1V1=V,V1C\C\V2FEABFE32.如图1，将该几何体分成一个三棱柱PQE−BCF与一个四棱锥E−APQD,.,如图2，将三棱柱PQE−BCF进行割补，使得新三棱柱PQR−BCE是高为1的直所以SΔDNB=1SΔABC,SAAMB=3SAABB4AMB AA92r32r3341）设圆O1，圆O2的半径分别为r，2r，因为圆台的侧面积为6，1212AA2B2BC平AC. 6 6ADAD， 4343顶点的四面体棱长为2r，该四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，该正四面体的高为3,设正四面体的外接球半径为x，则有x2=(2r−x)2+(2r)2， r,所以,切,则设平面MNP//平面CB1D1,且球O1和球O2均与平面MNP相切于点E