2023年高考数学强基计划疯狂特训 19(含解析)

【高考强基计划】2023年高考数学强基计划疯狂特训19

（满分100分，测试时间：60分钟）

一、选择题（每题10分）

1.设有复数0）1=+在i,CC>2=COsflT+isinflT,令3=3「32，则复数3+32+

12255xz

co3H---Fd。"_（）

A.coB.c.u）3D.to4

2.AABC为等边三角形，边长为3,P为平面外一点，P满足|PA|=3,|PB|=4,|PC|=5,

则Vp-ABC为（）

A.VnB.V10c.匹D.£

22

3.一个盒子里装有红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球至少有一个

.从中随机拿出4个玻璃球，这4个球都是红色的概率为Pi，恰好有3个红色和1个白色

的概率为P2,恰好有2个红色、1个白色和1个蓝色的概率为P3，四种颜色各1个的概

率为P4,若恰好有Pl=P2=P3=P4,则这个盒子里玻璃球的个数的最小值等于（）

17B.19C.21D.以上选项都不正确

4.已知多项式—2x3+（m+2）x2—（4m+2）x+4m+1>0恒成立，则m的取值范

围为（）

A.[0,+8）B.C.[1,1]D.质+8）

5.如图所示，已知正方体ABCD—AiBiCiD]的棱长为4,点H在棱AAi上，且|HA1|=1.

在侧面BCgBi内作边长为1的正方形EFGCrP是侧面BCCiBi内一动点，且点P到平面

CDDR1的距离等于线段PF的长.当点P运动时，|HP『的最小值是（）

A.21B.22C.23D.25

6.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P（2,0）的直线交抛物线于A,B两点，直线AF,

BF分别与抛物线交于点C,D,设直线AB,CD的斜率分别为%,k2,则詈等于（）

K2

-3B.-2C.1D.2

二、解答题(每小题20分)

7、已知a是给定一正实数，考虑满足下列条件的数列：x0=0,Xn=xn_x+a,或Xn=

-xn_1-a,n=1,2,•••,2008.试求表达式|xi+X2H-----卜Xzoogl的最小值一

8、称自然数m覆盖2987;如果数字2,9,8,7依次序2,9,8,7出现在m的十进制

表示数码中，用k(n)表示覆盖2987的由非零数码构成的n位数的个数.求k(n)除以8所

得的余数.

【高考强基计划】2023年高考数学强基计划疯狂特训19

答案

1.A【解析】根据题意有w=COS(|TI+|1T)+isin(|jr+|TT)=cos||n+isin^jn.

因此0?5=l,于是

3+0)2+…+W2on==3(1-31…】)=w

1-31-0)

2.A【解析】△PBC为直角三角形，外心为PC的中点，取PC的中点为M.由于|AB|=

|AC|=|AP|=3,因此A点在平面PBC的射影就是点M,则AM就是高手，所以体积为

V1T.

3.C【解析】不妨设红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球个数分别为由,n2,n3,明•由

题意可以得到C4nli=C^n2=Cnjn2n3=inn2n3n4,所以n1=2n4+1,n1=3n3+2,

rii=4n2+3,故%+ri?+叼+114=空詈*.注意到n「n2.n3,叫均为整数，所以

%的最小值为11,rij+n2+n3+n4=之。：｝,>21.

4.A【解析】配方得到得(x-I)24-m(x-2)2+(x-I)2>0.取x=1代入，得到m>0,

为必要条件;反之，若m20,则原式20.

5.B【解析】在BBi上取点K,使得=则HK_L面BCgBi，连接PK,则|HP|2=

|HK|2+|PK|2=16+|PK|2.

在平面BCJBi上，以eg所在直线为x轴，以GF所在直线为y轴,由题意可知，P点轨迹

为抛物线，其方程为x2=2y—l,K点坐标为(0,4).设P(x,y),则x?=2y-1(其中x€

[-3,1],ye[-|,|]).

故|PKy=x2+(y-4)2=2y—1+y2—8y+16=y2—6y+15.

当y=3e[-与自时，|PK|3n=6.故|HP|3n=16+6=22.本题考查正方体和抛物线

的综合应用.

6.B【解析】设直线AB的方程为丫=展位一2),联立匕2之，-2)'得k】y2-4y-

8ki=0.设A(x1,yi),B(X2，y2)，直线AC的方程为丫=含仪-1),联立

厂出…),得

、y2=4x,

_2^y2'=o

4(X1-1),，Xi-1'

则y1yc=-4,故yc=t,同理yD=1•故

yiya

k_yD-yc_4_4_2k

%-XD-xc_yD+yc-一2匕，

yiy2

可得自=2.本题考查直线与抛物线相交问题.

K2乙

7.【答案】设Xn=yn•a(n=1,2,…,2008),则y()=0,yn+i=yn+1或Yn-l(n=

0,1,…,2007),总有诵=+2yn-i+1,所以2yn-i=诵-yL-1.于是2仇+

丫23----卜72008)=Y2009~Yi~2008.

显见ynEZ,由卜20091=K2008+1|，箝=1，可知丫2009为奇数，且恒1+…+Y2008I=

1^009-20091.

因为最接近2009的奇数方数是452,所以|yi+...+y2oo8l2与452-2009|=8,故

xx

li++2oosl—8a.又当X]=x3=11,=X1963=a,x2=x4=•••=x1964=—2a,

X1965—a,x1966=2a,…，X2009=45a时，|x[+…+X2008I可取到8a,从而表达式

的最小值为8a.

8.【答案】设a1表示函数中2第一次出现的位数(从左至右数)，a2表示上面的2后面出

现的第一个9的位数，a3表示上面的9后面出现的第一个8的位数，表示上面的8后

面出现的第一个7的位数.则这样的一个覆盖数为(当n>4时)8a「i-8a2-ai-i.

8a3-a2-l,8a4-a3-l.gn-a’，于是所有的n位覆盖数(非零数码)为

ai1

Xl<a1<a2<a3<a4<n8--8a23-1•8a3f-l.8aC3-I.9n-a4

在上述求和符号中，仅当a1—l=0=a2—ax—l=a3—a2—l=a4—a3—1,即

ai-1a2-ai-1a3-a2-1a4-a3-1

a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5时,8-8-8