新高考数学临考题号押第12题 立体几何 （解析）

新高考高中数学临考题号

押第12题立体几何

琴：命题探究«与

高考立体几何承载着考查空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力的考查，是高中数学的传统及核心

重点内容，也是高考命题创新的探索者.在每年的试题中，它在继承中求稳定，在创新中求发展.为了准确

地把握2021年高考立体几何小题命题思想与趋势，在最后的复习中做到有的放矢，提高复习效率，我们

现一起分析研究2020-2017这4年的考题，以便发现规律，把握住高考命题的脉搏.

解题秘籍

方法总结

1.找出需要我们做的事情，分析题干中的条件

2.找准基础概念

3.对于夹角问题可以用向量法解决。

4真题回顾

1.（2021•新高考全国卷I数学•高考真题）已知圆锥的底面半径为0,其侧面展开图为一个半圆，则该圆

锥的母线长为（）

A.2B.2&C.4D.4立

【答案】B

【详解】

设圆锥的母线长为/,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则》/=2万x右，解得/=2夜.

故选：B.

2.（2021•新高考全国卷H数学•高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫

星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫

星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O,半径，•为6400km的球，其上点A的纬度是指。4与

赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为a,记卫

星信号覆盖地球表面的表面积为S=2乃产（1-cosa）（单位：km?）,则S占地球表面积的百分比约为（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

【答案】C

【详解】

由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：

}6400

2"（1-cose）=1-cosa=-6400+36000-042=42%-

故选：C.

3.（2021・新高考全国卷II数学•高考真题）正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体

积为（）

A.20+12&B.28啦C.警D.竺亚

33

【答案】D

【详解】

作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，

因为该四棱台上下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,

所以该棱台的高〃=’2?-（2忘一④丫=丘,

下底面面积，=16,上底面面积52=4,

所以该棱台的体积丫=3"$+52+廊0=；*及x（16+4+病）=g夜.

故选：D.

4.（多选）（2021•新高考全国卷I数学•高考真题）在正三棱柱ABC-48c中，A8=M=1,点尸满足

BP=ABC+pBBt,其中几/ze[0,l],则（）

A.当;1=1时，△AB/的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥P-A8C的体积为定值

C.当a=；时，有且仅有一个点P,使得

D.当〃=g时，有且仅有一个点P,使得AB，平面A87

【答案】BD

【详解】

V

易知，点P在矩形BCG与内部（含边界）.

对于A,当；1=1时，BP=BC+〃BB\=BC+〃CC「即此时Pe线段CQ,△AB/周长不是定值，故A错误:

对于B,当〃=1时，BP=ABC+BB=BBi+AB^.故此时P点轨迹为线段,而8c〃BC,Bg〃平面

\BC,则有尸到平面ABC的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确.

对于C,当4=3时，BP=；BC+〃BB「取BC,中点分别为。，H,则BP=BQ+〃QH,所以尸点

轨迹为线段。“，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，A与,01，尸（o,o,〃），则

AP=-乎=APBP=〃（〃-1）=0,所以〃=0或〃=1.故H，。均满足，故

c错误；

对于D,当〃时，BP=ABC+；BB「取阳，CG中点为M,N.BP=BM+AMN，所以P点轨迹为

线段MN.设尸（0,%,£|,因为A0,0所以AP=-,\B=--^,^,-1,所以

3111

,

-+-y（）--=0=＞）0=--.此时2与可重合，故D正确.

故选：BD.

5.（多选）（2021•新高考全国卷H数学•高考真题）如图，在正方体中，。为底面的中心，尸为所在棱的中

点，M,N为正方体的顶点.则满足MNLOP的是（）

【答案】BC

【详解】

设正方体的棱长为2,

对于A,如图（1）所示，连接AC,则MV//AC,

故NPOC（或其补角）为异面直线所成的角,

1_V2

在直角三角形OPC,OC=6,CP=\,故tan/POC=

故MN_LOP不成立，故A错误.

对于B,如图（2）所示，取MT的中点为。，连接PQ,OQ,则OQ_LNT,PQA.MN,

由正方体SBCM-NADT可得SN_1_平面ANDT,而OQu平面ANDT,

故SN1OQ,而SNMN=N,故。Q，平面SNZM,

又MNu平面SNTM,OQ1MN,而O。PQ=Q,

所以MN_L平面。?。，而POu平面OPQ,故MNLOP,故B正确.

对于C,如图（3）,连接BD，则80〃肱V,由B的判断可得OPJ_3£）,

故0P1MN,故C正确.

对于D,如图（4）,取AO的中点Q,A8的中点K,连接AC,PQ,OQ,PK,OK,

则AC//MN,

因为DP=PC,故尸Q〃AC,微PQHMN,

所以NQPO或其补角为异面直线PO,MN所成的角，

图（4）

因为正方体的棱长为2,故PQ=gAC=0,OQ=ylAO2+AQ2=7172=^.

PO=\）PK2+OK2=V4+l=>/5>QO2<PQ2+OP2,故NQP0不是直角，

故尸O,MN不垂直，故D错误.

故选：BC.

W押题冲关q.

1.（2022•山东淄博•一模）若圆锥的母线长为2g,侧面展开图的面积为6万，则该圆锥的体积是（）

A.yfi/rB.3万C.3#>兀D.9万

【答案】B

【详解】

设圆锥的高为力，底面半径为小

则gx2;rrx26=6i,解得r=x/L

所以〃=Q（2布了=3.

则圆锥的体积V=gx3;rx3=3%.

故选：B

2.（2022•江苏南通•模拟预测）某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之

间的部分叫做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆（如图所示）若该同学所画的椭圆的

离心率为则“切面”所在平面与底面所成的角为（）

兀兀兀

A.B.C.D.

1267

【答案】B

【详解】

如图，“切面”所在平面与底面所成的角为NBAM,设圆的半径为r,

则AW=2r，AB=2a.CD=2b=2rf

・・£_!

・~a~29

・2=1

a2

,AM

•・万一E'

,人A/f_道

••cos/BAM——，

2

_71

：.NBAM=—,

6

故选：B.

3.（多选）（2022•福建漳州•二模）已知正方体"CD-A4CQ的边长为2,M为由的中点，尸为侧面8C04

上的动点，且满足平面ABP,则下列结论正确的是（）

A.AM±B.MB.〃平面48户

C.动点尸的轨迹长为名叵D.A〃与A片所成角的余弦值为好

33

【答案】BC

【详解】

如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2,

则4（0,0,2）,A（022）,5（0,0,0）,M（2,l,0）,P（x,y,0）,

所以43=（0,-2,-2）,BP=（x,y,0）,AM=（2,1,-2）,

由40〃平面ABP,

0+bx=2

得40=。43+切明，即卜2〃+勿=1,化简可得3x-2y=0,

-2a=-2

所以动点尸在直线3x-2y=0上，

A选项：AM=（2,l,—2）,4M=（2,—1,0）,=2x2+lx（-l）+（-2）x0=3*0,所以A"与4M不

垂直，所以A选项错误；

B选项：CD\"B,ABu平面A8P,CRcz平面ABP,所以CR//平面ABP,B选项正确；

C选项：动点尸在直线3x-2y=0上，且P为侧面8CC声上的动点，则「在线段《8上，《［*2,0）,所以

收=［）+2?+（）2=半,。选项正确：

D选项：4旦=（0,0,-2）,cos（AAM8）=地2+；+（_2）2=|，D选项错误；

故选：BC.

4.（多选）（2022・湖北・一模）我们把经过同一顶点的三条棱两两垂直的三棱锥，称作直角三棱锥.在直角三

棱锥S-A8C中，侧棱SA、SB、SC两两垂直，设SA=mSB=h,SC=c，点S在底面A8C的射影为点。，三

条侧棱SA、SB、SC与底面所成的角分别为a、/、y,下列结论正确的有（）

A.。为AASC的外心B.ZiABC为锐角三角形

C.若a＞匕＞C,则2＜尸＜7D.sin2a+sin2/7+sin2y=1

【答案】BCD

【详解】

连接AD并延长交8c于E，连接SE,因为S£）_L平面ABC,BCu平面ABC,

所以SOJ_3C,因为SA、SB、SC两两垂直，所以SAL平面SBC,因为BCu平面SBC,

所以S4_L8C,因为5。门斜=5,所以BC_L平面S4E,因为AEu平面SAE,所以BCJ_AE,即8CJLAQ,

同理可证得即LAG8,何，故D应为」4BC的垂心，故选项A不正确；

由勾股定理可得，AB2=a2+b2,AC2=a2+c2,BC2=b2+c2,

在，A8C中，由余弦定理得,

AB24-AC2-BC2_a2+b2+a2+c2-b2-c2a2

cosABAC=>0,所以㈤C为锐角，同理可

2ABAC-2-Ta2+bTy[a2+J•Ja2+b2\Ja2+c2

得NABCNACB都为锐角，所以,ABC为锐角三角形，故选项B正确;

设50=力，则由题意得sina=",sin/?=?,siny=",

abc

若”>b>c,则sinc<sin£<siny,因为a、/?、/都为锐角，所以a<£<y,选项C正确;

由选项A可知，SA_L平面SBC,因为SEu平面SBC,所以SA_LSE,由等面积法可得

be,aSE1a2b2+a2c2+b2c2111

了77万7声’侍涔—aw—=/+『/

故sin。a+sin26+sin2y=hr+.故选项D正确.

故选：BCD

5.（多选）（2022♦广东梅州•二模）在长方体ABO-AAG。中，|他|=|阳=1，|的卜2,动点尸在体对

角线BR上（含端点），则下列结论正确的有（）

A.当尸为8。中点时，Z4PC为锐角B.存在点尸，使得8。1平面APC

D.顶点3到平面APC的最大距离为正

C.|”|+|PC|的最小值2遥

2

【答案】ABD

【详解】

解：如图，以点。为原点建立空间直角坐标系,

设8尸=43〃（04/141）,

则A（l,0,0）,8（l,l,0）,C（0,l,0）,4（0,0,2）,

则BD,=(-1,-1,2),故BP=ABDt=(—4—%22),

则AP=A8+8P=(0,1,0)+(—/l,一/1,24)=(-A,l-2,2A),

CP=CB+BP=(l,0,0)+(-A,-A,22)=(l-A,-A,2/1),

对于A,当P为中点时,

则村-另』,

CP=

则*(W，T，心信,卜1

所以cosZAPC=IPA]|PC।=J.>o,

两俨C|31

所以4PC为锐角，故A正确；

当平面APC,

因为APCPu平面APC,所以8。LCP,

BD.AP=2+Z-l+42=0

则《解得片，

B£>1CP=2-l+2+4A=0

故存在点尸，使得8乌_1■平面APC,故B正确;

对于C,当B.LARBQJCP时，|"|+|PC|取得最小值,

由B得，此时兀=」，

6

则4尸=卜费，9CP=修一岩），

66371663y

所以网半尸卜画，

即|M+|pq的最小值为粤,故c错误;

对于D,AB=(0,l,0),AC(-l,l,0),

设平面APC的法向量”=（x,y,z）,

n-AC=-x+y=0

则有，

HAP=-2X+(1-2)+2/IZ=0,

可取〃(24242/1-1),

AB-n

则点8到平面APC的距离为,8卜|cos（AB,n

|n|>/12/l2-4Z+l，

当4=0时，点B到平面APC的距离为0,

当0＜尤＜1时,

2,

所以点8到平面APC的最大距离为立，故D正确.

2

故选：ABD.

方考前预测夕彳（限时:30分钟）

1.“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称

美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的

“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1,则经过该多面体的各个顶点的球的体积为（）

由题意，P。，平面A8CO,所以POLOC,又BDPO=O,

所以0C，平面PBD,

所以OE_LOC,cosNCEO=程,CE2=OE2+OC2=x2+8，即CE=6+8,

所以COSNCEOM且M-T工=,解得x=2,

所以尸o=>JPD2-OD2=2V2，

所以％TBS=；X4X4X2正=呼.

故选：A.

3.已知三棱锥P-A8C,其中PAL平面ABC,N54c=120。，PA=AB=AC=2,则该三棱锥外接球的

表面积为（）

A.124B.16zrC.20%D.24万

【答案】C

【详解】

根据题意设底面，ABC的外心为G,O为球心，所以。G_L平面A8C,因为PA_L平面ABC,

所以OG〃94,设。是以中点，因为OP=Q4,所以。OJ.PA,

因为R4_L平面ABC,AGu平面ABC,所以AG_LP4,因此OQ〃AG,

因此四边形OD4G是平行四边形，故OG=AO='PA=1,

2

由余弦定理，得

BC=AB2+AC2-2AB-ACcosnO°=^4+4-2x2x2x（-^）=2百,

,4a2AG=^2-=>AG-2

由正弦;E理，得73,

2

所以该外接球的半径R满足R2=（OG『+（AG）2=5nS=4乃2=20万，

故选：C.

4.莆田妈祖城有一钟楼，其顶部可视为正四棱柱与正四棱锥的组合体，如图，四个大钟分布在正四棱柱

的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针成60。角的次数是（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【详解】

由题设，在0、6点时相邻钟面上的时针都平行，即夹角为0度；在3、9点时相邻钟面上的时针垂直，即

夹角为90度，

所以相邻钟面上的时针，在0~3、3~6、6~9、9~12点之间各有一次成60。角的情况，故共有4次成60。

角.

故选：B

5.已知一个圆锥的体积为3万，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（）

A.2>/3B.3C.旧D.走

3

【答案】C

【详解】

设底面半径为，高为〃，母线为/,如图所示：

1q

则圆锥的体积V=7乃，〃=3乃，所以/〃=9,即〃==,

3r

1o

S侧=5•2=2乃/，则/=2r,

又h=」l2-户=底，所以&r=9,故厂

故选：C.

6.设三棱柱ABC-A4G的侧棱垂直于底面，AB=AC=2ZBAC=90°,M=3V2,且三棱柱的所有

顶点都在同一球面上，则该球的表面积是

A.244B.181C.264D.164

B.点用到平面AOG的距离为|加

c.异面直线A耳与CQ所成角的余弦值为巫

10

A.PDQ

D.设P,Q分别在线段A旦，OG上，月.七7二岸，则尸。的最小值为代

?!1£>)£JC|

【答案】ABD

【详解】

解：在正三棱柱ABC-A4G中，。为BC的中点，所以4)_LBC,

如图建立空间直角坐标系，则A(G,O,O),8(0,1,0),c(o,-i,o),D(o,0,0),A(疯0,3),4(0，1，3),

q(0-1,3),所以AB=b8,l,-3),ZM=(百,0,0),DC,=(O,-l,3),设平面A£»G的法向量为〃=(x,%z),

则卜"A=6"=°,令z=],则y=3,犬=0,所以〃=(0,3,l),因为“•A8=-6x0+lx3+(-3)xl=0,

[n-DCj=-y+3z=0

即〃1.48,乂平面A£>G，所以45//平面AZ)G，故A正确;

/厂\ABn\|-V3x0+3xl+lx3|3而3/—

因为Ag=-8,1,3,所以c=------==——[=^—,则点用到平面相＞G的距离为；故

''|n|V32+1255

B正确;

因为AA=卜6,1,0),CQ=(O,l,-3),设内线A内与CQ所成角为。，则cosO=,；d=%所以

异面直线—斤成角的余弦值为噜，故C错误:

设笑=盥=3则A2=4A冉、QQ=4OG，因为A耳=(-6,1,0),DCt=(o,-i,3),所以

/1=(&,40),£)Q=(O,-43；l),则P(G-&,43),e(O,-A,32),所以

|PQ『=(G-6@+4万+(3-3耳=162z—242+12,所以当几=；时|PQ『有最小值，所以|「。|，=3,

所以|PQL=6，故D正确；

故选：ABD

9.（多选）已知同底面的两个正三棱锥P-ABC和Q-ABC均内接于球。，且正三棱锥P-ABC的侧面与

底面所成角的大小为;，则下列说法正确的是（）.

4

A.P4/平面Q8C

B.设三棱锥Q-A8C和尸—ABC的体积分别为%和%“sc，则%-AHC=4%..C

4

C.平面A8C截球。所得的截面面积是球。表面积的石倍

D.二面角P-A8—。的正切值为-|

【答案】BCD

【详解】

•••同底面的两个正三棱锥P-ABC和ABC均内接于球O,

...PQ为球。的直径，

取AB的中点M,连接PM、QM,则PM_LAB,CM1AB,QM1AB,

AZPMC为侧面PAB与底面ABC所成二面角的平面角，ZQMC为侧面QAB与底面ABC所成二面角的

平面角，乂正三棱锥尸-ABC的侧面与底面所成角的大小为:，

4

设底面的中心为N,P到底面的距离为h,球的半径为R,贝iJPN=h,OP=R,ON=R—h,MN=h,CN=2h,

...R2=（2〃y+（R-M，

5

=QN=4h,PN=h,

・・・P、C、Q、M四点共面,又CN=2MN,QN=4h,PN=h,

.•・PA与QM不平行，故PA与平面QBC不平行，故A错误；

由QN=4PN,可得%-.sc=4匕＞_ABC，故BI上确;

:平面ABC截球0所得的截面面积为万（2/z）2=4万层，球O表面枳为4万店=4万=25万川,

4

・・・平面ABC截球O所得的截面面积是球O表面积的石倍，故C正确；

PM=&h,QM=也2+（4力）2=gh,QP=5fi,

"小吗热驾一看,io端

55

AtanZPM2=-p即二面角P-A8一。的正切值为一日，故D正确.

JJ

故选：BCD.

10.（多选）已知正四面体ABCO的棱长为3,其外接球的球心为。.点E满足AE=4AB（O<4<1）,过点E

作平面a平行于4c和BO,设a分别与该正四面体的棱BC,CD,D4相交于点尸，G,H,则（）

A.四边形EFGH的周长为定值B.当4=g时，四边形EFGH为正方形

11QO

C.当2=:时，a截球。所得截面的周长为一万D.四棱锥A-EFG”的体积的最大值为:尤

343

【答案】ABD

【详解】

AC//平面a,平面a、，平面48C=所，平面a|平面A£»C=GH

则AC//EF,AC//GH,则EF〃GH

又80〃平面a,平面a平面平面aI平面8£）C=GF

则BD//EH,BDHGF,则E”〃GF

则四边形EFGH为平行四边形.

由AE=/IAB，可得AE：AB=/l,则//E:£>3=2,EF.AC=\-A

又正四面体A8CO的棱长为3,

则HE=GF=3A,EF=GH=3（l-X）

选项A：四边形EFGH的周长为"E+G尸+E尸+GH=2[34+3（l-/l）]=6.判断正确；

I33

选项B：当2时，HE=GF=±,EF=GH=~,则平行四边形EFGH为菱形

222

又正四面体A3C。中，对棱8DJ.AC,则EF上EH,

则菱形EFG"为正方形.判断正确；

分别取BD、BC、AC的中点M、N、Q,连接DN、CM、MQ,

设DN、CM交于K,连接AK,则AK为正四面体的高

正四面体A5C。的棱长为3,其外接球的球心为。，则。在AK匕连接CO

AM=CM=,KM=-CM=-x-y/3=—AK=\)AM二KM?=R

23322t

设球O半径为R,则CO1=KC2+KO2,

即代"-R)1解之得

由AM=CM,AQ=QCf可得MQ_LAC

同理有则MQ为异面直线3。、AC之间的距离

MQ={MC二QC—五,则点K到AC的距离为0,球心。到AC的距离为)应

选项C：当；l=g时，设a与MC交于T,则TC=g"C=曰，T到AC的距离为也

球心。到平面EFGH的距离为巫

4

则平面a截球0所得截面的周长为旧兀.判断错误；

选项D：由AE=2AB，MQ=3五

可得点A到平面EFGH的距离为|仞，又平行四边形EFGH为矩形，

则四棱锥A-EFGH的体积V=gx34x3(l-㈤xgx/Ll='近万(1-4)

令f(x)=后(1-x)(0<x<1),则f\x)=141x(2-3x)

由尸(x)>0得0<x<；,由/")<0,得:<x<l

则/(x)在传)单调递增，在停,1)单调递减，在》=：时取最大值后)《0x(刎-|)=¥，即

:夜把(1-㈤的最大值为逑

23

故四棱锥A-EFGH的体积的最大值为述.判断正确.

3

故选：ABD

11.（多选）如图，设区尸别是正方体ABCQ-AB|GR的棱co的两个动点，点E在尸的左边，且C£>=2,

历=1,点P在线段8A上运动，则下列说法正确的是（）

A.8a，平面B卢F

B.三棱锥的体积为定值

C.点P到平面AC。的距离为亚

3

D.直线与直线8g所成角的余弦值的最大值为J

6

【答案】BC

【详解】

易证平面ACGA,而平面与EF,平面Ab。。同一个平面，若平面4EF,即BQ，平面

AB。。，则可推出平面ACGA与平面Age。平行或重合，由图易知这两个平面显然是相交的，矛盾，

故A错误.

因为%-4所=%”,EF=gs*尸与G，而s*.定值，与£也为定值，所以/训所为定值，故B正确.

因为网〃CQ,所以BA〃平面ACR.又因为点P线段BA上运动，所以点P平面ACR的距离等于点B

到平面4cA的距离，其中S人m=3x（2夜）2=2g,S8c=gx2x2=2.设点B平面ACR的距离为

d,由力.ACD,=%-ABC，得：底2岛=:x2x2,解得：d=空,即点P到平面AC"的距离为亚，故

3333

C正确.

以D原点，分别以D4,OC,OR方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz,

则8（2,2,0）,A（2,0,2）,B,（2,2,2）,£（0,r,0）（0<t<l）,网=（0,-2,2）,B,E=（-2,f-2,-2）.设直线地

与&E成的角为6,贝ij'2&xj8+（"2尸夜xj/-今+为应“叱-；）+|“咫一二‘

当且仅当t=l时，等号成立，故D错误.

故选：BC

12.（多选）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是

（）

A.圆柱的侧面积为4万R2B.圆锥的侧面积为2%改

C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.球的体积是圆锥体积的两倍

【答案】ACD

【详解】

解：对于A,,圆柱的底面宜径和高都等于2R,

•••圆柱的侧面积S,=2万R•2R=4乃if?故A正确;

对于B,.圆锥的底面直径和高等于2H,

22

•••圆锥的侧面积为S2=7rR->jR+4R=亚兀K,故B错误；

对于C,,圆柱的侧面积为E=4万双，

球的表面积53=4〃2,即圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；

对于D,球的体积为乂=：乃川，圆锥的体积为％=g%R2.2R=:万R3,

即球的体积是圆锥体积的两倍，故D正确.

故选：ACD.

13.（多选）如图所示，三棱锥P-ABC中，ACLBC,AC=BC=PC=\,。为线段A3上的动点（。不

与AB重合），且AT>=PZ）,则（）

A.PA1CDB.ZDPC=45。

C.存在点。，使得R4_LBCD.三棱锥P-BCD的体积有最大值受

24

【答案】ABD

【详解】

三棱锥P-45C中，取PA中点E,连接DE,CE,如图,

因AC=8C=PC=1,AD=PD,则£>EJ_PA,CE_LPA,而OEcCE=E,3E,CEu平面COE,

则有PAL平面COE,又8u平面COE,所以A正确；

因AC_LBC,AC=BC=PC=l,则NCA8=45,又AD=PD,则PCDsACD,

于是得NDPC=ZCAB=45，B正确；

假设存在点O，使得PALBC,由选项A知P4_L8,乂CDcBC=C,CDBCu平面ABC,

则B4_L平面ABC,而ACu平面ABC,于是得线段AC是平面ABC的斜线段PC在平面ABC上的射影，

必有PC>AC,与AC=PC=1矛盾，所以假设是错的，C不正确；

令PO=AO=x(O<x<0),则3£>=J5-X，令尸。与平面ABC所成角为e(o<eq),

因此，点P到平面ABC的距离/?=P£)sine=xsin。,而S加=gc8gBsin?=¥(0-x)，

X+X2

则三棱锥P8a)的体枳丫^-SBCD-h=—x(y/2-x)sin0<—(^~)sin0<—,

3BCD1212224

当且仅当x=",且，=£时取"=",所以当D是AB中点，且尸£>，平面48。时三棱锥P-8CD的体积取

22

最大值立，D正确.

24

故选：ABD

14.(多选)在圆锥SO中，C是母线&4匕靠近点S的三等分点，SA=l,底面圆的半径为r,圆锥SO的

侧面积为3万，则()

A.当/=3时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为加

B.当r=］时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为迈

C.当/=3时，圆锥SO的外接球表面积为学

O

D.当/=3时，棱长为2叵的正四面体在圆锥SO内可以任意转动

3

【