放缩法解（证）导数压轴题-2023届新高考二轮复习突破讲义

难点突破之一

放缩法解(证)导数压轴题

一'导数黄金不等式：

\.ex>x+\(当且仅当x=0时等号成立)；

2.1nx<x-l(当且仅当x=l时等号成立)；

3.5泊犬<%,其中%>0;

71

4.sinx<x<tanx,其中0cx<,；

5.x\nx>x-l(当且仅当x=l时等号成立)；

InX

6.—<x-l(当且仅当x=l时等号成立)；

X

7.e'Nex+(x—1)2,其中xNO(当且仅当x=0或1时等号成立)；

8.ex+e~x>x2+2.

二、部分黄金不等式的证明

1.求证e*Zex+(x-l)2,其中xNO(当且仅当x=0或1时等号成立).

证明：

方法一、构造函数g(x)=e*—ex-

g(x)—e'——2(x—1),g"(x)=e'—2,

当0<x<ln2时g"(x)<0,g'(x)单调递减；当x>ln2时g"(x)〉O,g'(x)单调递增;

而g'(0)=3—e〉0,g'(ln2)<g<l)=0,

所以存在x0e(0,ln2)使得g'(%)=0,

于是当xe(O,Xo)时，g'(x)>0,g(x)递增；

当xe(x(),l)时，g'(x)<0,g(x)递减；

当xe(l,+o。)时，g'(x)>0,g(x)递增；

而g(O)=g(l)=O,所以xNO时e*2ex+(x-l)2(当且仅当x=0或x=1时取等号).

方法二、当x=0时e*Nex+(x-l)2成立.

e'1(x—IMe"—x—1)

当x>0时，构造函数g(x)=---e-x——+2,g'(x)--------7------，其中e*>x+l

XXx~

当0<x<l时g'(x)<0,g(x)单调递减;当X>1时g'(x)>0,g(x)单调递增；

于是g(X)min=g6=0，所以原不等式成立•

2.证明：ex+e~x>x2+2.

证明：记/(%)="+""—/一2

所以r(x)在R上递增，而尸(0)=0

所以x<0时/'(x)<0,从而/(x)递减；x>0时/'(幻〉0,从而/(x)递增；

所以/(x)>/(0)=0即e，+©t>X2+2

即原不等式成立.

三、应用举例

例1.证明：xev-lnx-x-l>0.

证明：xe*-lnx-x-l

2ex~'

例2.设函数/(x)=e1nx+——，证明：/(x)>1

x

2ex~'

证明：要证/'(x)=e*lnx+---->1

x

即证e*(xInx)+2e"-'>x

记h(x)=xlnx,〃'(x)=1+Inx由〃'(x)=0得x=1，

e

0<x<，时〃(%)<0,/?(无)递减；%>1时〃(无)>0,〃(幻递增；

ee

所以/i(x)2/?(1)=-,，B|Jx\nx>--

eee

于是,(jdnx)N-ei,

e\x\nx)+2e~>2Q-1)+1=%(利用d之x+1进行放缩)

两等号成立的条件不同

所以ex(xInx)+2ex-'>x

故/(x)>l成立.

另证：(凸凹翻转)

X2

由题意知/'(x)>l等价于xlnx>-----

exe

设函数g(x)=xlnx,则g'(x)=l+lnx.

所以当XG(0,3时，g'(X)<0；当XG(',+8)时，g'(x)〉0.

ee

故g(x)在(0」)上单调递减，在d,+8)上单调递增，

ee

从而g(x)在(0,+8)上的最小值为g(3=-L

ee

x21—x

设〃(幻==一一，则力(x)=——

eee

所以当xe(0,l)时，〃'(x)>0；当xe(l,+8)时，h\x)<0.

故近龙)在(0,1)上单调递减，在(1,物)上单调递增，

从而A(x)在(0,+oo)上的最大值为/?(1)=-1.

e

综上，当」>0时g(x)>/x(x),即

例3.求证：x>0时，ex—xlnx—sinx-1>0

证明：令/(无)=ex-x\nx-sinx-\

/*(x)=ex-lnx-cosx-1>ex-x-cosx(利用InxWx-l进行放缩)

记g(x)=ex-x-cosx,则g\x)=-1+sinx,gH(x)=ex+cosx

1>0时，eA>1,而一IWCOSXWI,故g”(x)>0

所以g\x)在(0,+oo)上递增,故gG)>g所)=0

所以g(x)在(0,+8)上递增，故g(x)>g(O)=O,即/(尤)>0

所以/(X)在(0,+8)上递增，

而x-0时，e*—l,sin九一>0,尤Inx-0

所以x―0时，/(x)r0,即lim/(x)=O

A-^0

所以f(x)>0.

例4.已知函数f(x)=xe2x-kx-\nx,

(1)证明：当氏=2时，/(x)无零点；

⑵若对任意实数x>0,/(x)»l恒成立，求实数攵的取值范围.

【答案】(—8,2]

【解析】

(1)先证明结论.令g(x)=e「x—1,g'(x)=e'-l.由g'(x)<0得x<0,由g'(x)〉O

得x>0.故g(x)在(-oo,0)上递减，在(-oo,0)上递增.g(x)>g(0)=0.得证.

当攵=2时，/(x)=xe2x-lx-\nx--2x-lnxNlnx+2x+l-2x-lnx=1>0.故无零

点.

xe^x_Inx_1

(2)由/(尤)21对任意实数x>0恒成立，得kW—....---

x

、-1,/、xe2'-Inx_1_.,八/.

记h(X)=------------,则k<"(X)min.

X

.、X€X—Inx—1jn.i।—Inx—1Inx+2x+1—Inx—1

而力(x)=----------------=------------------>-------------------------=2(利用/vNx+1进行放缩)

XXX

上述等号成立当且仅当lnx+2x=0.令0(x)=lnx+2x,^(1)=-ln2+l<0,^(1)>0,则

°(x)=0有解.所以心)1nhi=2.故心2.

例5.设函数f(x)=ex-l-x-ax2.

⑴若a=0,求/(x)的单调区间;

(2)若当x20时/(x)20,求。的取值范围.

【解析】⑴。=0时/(x)=/-l-x,f\x)=ex-\,

当x<0时/(x)<0,/(x)单调递减；当4>0时/(x)>0,/(x)单调递增；

所以/(x)的减区间为(0,+8),增区间为(0,+00).

⑵f'(x)=ex2ax.

由(1)知当xNO时e'21+x,当且仅当x=0时等号成立.

故/'(x)»尤一2ax=(l-2a)x,从而当1一2«20,即时，/'(x)»0(x»0),

而/(0)=0,于是当xNO时/(x)NO.

当a>!时，由"〉l+x(xw0)得"*>l-x(x。0),

2

于是/'(x)<ex-\+2a5-1)=、一切

ex

故当xe(0,ln(2a))时，f\x)<0,而/(0)=0,于是xe(0,ln(2a))时，/(x)<0,

综上知a的取值范围为(-oo,；］.

例6.12020湖北省七市州3月调考】

已知函数/(幻=幺二：其中e=2.71828…为自然对数的底数.

X

⑴求/(无)的单调区间；

(2)若6*—2工111光一区一120对\/%>0恒成立，记女max=丸，证明：4>LL

【解析】(参变分离，利用两大基本放缩)

易证得e'Nex+(x—1)^(x>0)=>cx—12+(e—2)x,

由Vx>0时ex-2xlnx-Ax-l>0恒成立有

e'—2xInx—1

记g(%)则

x

：.A>\A.

f(x)=ax+\nx,其中aeR.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

⑵若和尤2是方程xf'(x)=l+lnx的两个不同的实数根，求证：匕3+匕监>0.

%x2

【答案】

【解析】比值换元+均值放缩

(1)函数定义域为(0,+8)f\x)=a+-

X

当时/'(x)>0,/(x)在(0,+00)上递增；

当a<()时f'(x)=0=>x=-*-,

XG(0,--),/'(x)>0,/(x)递增；xe(--,+a>),尸(x)>0,/(尤)递减;

aa

(2)方程V'(x)=1+Inx即ar=Inx,a=@土，于是a=@土=电士=>—=史上

x玉x2须In再

不妨设西<々，则三〉1

设卫=电±=1，则，>i,可得[nX]=把2111X2

玉In玉t-1

_1-Inx.1-Inx,八

要证———+---L>0

xtx2

即证(上)2(1—In%)+1—In々>0

即证"(1—曳)+1—皿>0

t-1t-\

即证(L+D"D-lnf>0(fiJffl/2+l>(二)2进行放缩)

r(r+l)2

^-(1)

只要证--------------lnr>0

P+1)

t2-1

即证------ln/>0

2t

.t~-1.厂+11(/—1)'

令g")=—:;---lnt,t>l，则80)="^^----=>0

2t2rt2r

故g⑺在(l,y。)递增

故g«)>g⑴=0

故原结论成立.

例8.已知函数f(x)=2x-alnx+4a,(。eR).

⑴讨论函数/(x)的单调性；

(2)令g(x)=/(x)-sinx,若存在玉,工2e(0,+oo),且引力々时，ga)=g(X2)，证明：x\x2<〃.

【答案】

【解析】放缩+对数均值

(2)不妨设w>0

g(X])=g(x2)即2xt—aIn%+4a—sinx}-2x2-alnx2+4a-sinx2

令/z(x)=x-sinx,x>0,〃'(x)=l-cosxNO,故/z(x)在(0,+8)上单调递增，

故〃(工2)>4(X)，HPx2-sinx2>x]-sin

故a(lnx2—Inx,)>x,-x,,a>——~——

Inx2-Inx,

于是要证X/2</

令「=卜,则即证21n，-f+；<0,其中/>1

121一"if

令p(t)=21nt-t+-,t>1,p,(t)=--l--=————<0

故p«)<p(l)=0,BP21nr-r+-<0

t

故MX2<a2.

三、通关练习(19题)

1.证明：当〃?W2时ex-ln(x+7/1)>0恒成立.

证明：要证当加42时e*-ln(x+m)>0成立

只要证e'-ln(x+2)>0

即证，>ln(x+2)

而/Nx+1(当且仅当x=0等号成立)，

ln%<x-l=>ln(%+2)<x+l(当且仅当x=-l等号成立)，

所以e*>ln(x+2)成立.

所以原结论成立.

2.证明：当时，tzeA-lnx-l>0.

e

证明：要证当a21时，ae*-lnx-120成立

e

只要证1•e'-lnx—120

e

即证e'T21nx+1

而e'Nx+lne*TNx(当且仅当x=l等号成立)，

lnx<x-l=>lnx-l<x(当且仅当x=l等号成立)，

所以e'TNlnx+1成立.

所以原结论成立.

3.证明：(QX—l)e*—ln(6/x—1)一工一120.

证明：(依-1)/一In(火一1)一x—1=JnQf+x一]n(or—1)一工一1

4.证明：x2ex-2\nx-x-\>0.

证明：x1ex—21nx-x-l=e2Inv+v—21nx-x-l

5.证明：ex+exInx-ex2>0.

ex'[

证明：即证---+lnx-x>0

x

而----i*lnx-x=e1+Inx—x>1+(—Inx+x—l)+l+lnx—x=0

所以e*+exlnx—e/»0成立.

6.已知函数/(x)=xe2*-lnx-or,若x〉0,a«2,求证：/(x)>1.

证明：x>0,a<2时

7.证明：当x>0时，e'+e'x-2\nx-3>0

证明：己知d+"*2/+2成立

于是要证eA+e-A-21nx-3>0

只要证d+2—21nx-320

即证/一21nx—120

记fM=x2-2Inx-1

所以尸(x)在(0,+oo)上递增，而/'(1)=0

所以0<%<1时/'(x)<0,从而/(x)递减；x>l时/'(x)>0,从而/(x)递增;

所以/(x)2/(l)=0即％2—21nx-lN0

即原不等式成立.

8.证明：当x>0时，ev-(e+l)x+x2+--l>0.

X

【解析】(放缩后再证)已知》>()时/Nex+Cr-lf

于是要证e'—(e+l)x+f+——1>0

X

1

只要证依+*-1)29-(0+1)%+f7+—―1>0

X

91

即证2J"3X+-N0

x

,71

记/z(x)=2厂-3x+—,x>0

x

〃(x)=4x-3-LA"(X)=4+-4>0

XX

所以"(x)在x>0时递增，而"(1)=0

所以0<x<l时"(x)<0,从而。x)递减;x>l时"(<)>0,从而。%)递增:

,1

所以/i(x)2%⑴=0即+一一1>0

x

即原不等式成立.

另证：(直接证明)

,1

记/(%)=ex—(e+l)x+x2H----l,x>0

x

所以/(x)在尤>0时递增,而广⑴=0

所以0<%<1时/'(x)<0,从而/(幻递减；x>l时/'(x)〉0,从而/(幻递增；

所以/(x)2/(l)=0即2%2-3%+，20

x

所以原不等式成立.

9.己知函数/(x)=xyeM-1,若。=2时不等式/(%)2〃a+3111%对一切xe(0,+o。)恒成立，求m

的取值范围.

【答案】(—8,2]

尤%2%—31nx—1

【解析】由。=2时不等式f(x)>mx+3\nx对一切xe(0,+8)恒成立得m<---------:----

x

^x3e2x-3\nx-\e3lnjt+2x-31nx-131nx+2x+l-31nx-l、

而---------------=----------------->-----------------------=2

XXX

等号成立当且仅当31nx+2x=0

记h(x)=3In%+2x,A(—)=-61n2+—*-6x0.69+0.5<0,/i(l)-2>0

42

所以h使力(％)=0,

天%""一3Inx-1_..

所以--------------最小值为2

X

所以〃242.

10.不等式工一3"尤+1对任意的工£(1,+8)恒成立，则a的取值范围为.

比"-30%_J-_1

【解析】由不等式x7e*-。Inx2x+1对任意的xe(1,+8)恒成立得a<—~--

Inx

x—x_1c-x—1—3Inx+x+l—x—1.

而-----------=------------->-------------------=-3

InxInxx

等号成立当且仅当—31nx+x=0

记/i(x)=-31nx+x,

又/i(e)=—3+e<0,〃⑴=1>0

所以3ro£(l,e)使〃(玉))=。，

_¥一％”—Y—1

所以------:—最小值为-3

Inx

所以。<—3.

11.己知函数/(x)=ex-ln(x-\-d)-a,

(1)当Q=1时求曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的切线方程；

⑵若0恒成立，求实数。的取值范围.

【解析】(l)a=l时/(x)=e'—ln(x+l)—l,/'(x)=ex--—

x+1

所以曲线y=f(x)在点(1,/(I))处的切线方程为y—e+In2+1=(e—1)(x-1)

即y—e++l=(e-^)x-ln2-^

⑵注意到7(0)=l-lna-a

①当。>1时，/(0)=l-ln«-t7<0,不合题意;

②当aWl时，由结论InxWx-1可得ln(x+a)Wx+a-l=-ln(x+a)2-x-a+l,

又e*>x+\

ex-ln(x+a)-a>2-2a,即/(%)>2—2a>0=>tz<1

综上：a<l.

12.已知函数/(x)=xe

(1)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程;

(2)若对任意实数x>0,/(x)—上》2(。+2)》+1恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(l)y=x(2)(T»,l]

—Inx—1

【解析】(2)/(x)-lnx>(«+2)x+1。a+2K------:---

x

人/\xe，I-Inx—1

令g(x)二------------

x

下面说明等号成立的条件，即存在x=x0使得lnx+3x=0,

令/z(x)=lnx+x,显然力(x)在(0,+o。)上递增,

而/1(1)=-ln2+-<0,A(l)=1〉0

22

故m唯一无0€(；,1)使得h(x0)=0,

故g(X)min=3,

从而。+2<3,a<\.

13.已知函数/(x)=〃(//u—x)--,ocR.⑴当。>0时，讨论函数/(%)的单调性；(2)当。=一1

x

时，函数8(幻=/(%)+。+」)6、+如满足：对任意xe(0,+8),都有g(x)21恒成立，求实数小

x

的取值范围.

【解析】

(1)/(X)的定义域是(0,+8),士纪=3e?(匕),

XXX"

[a>0,x>0,:.ax+ex>0>令/'(x)=0，解得：x=l，

令尸(x)>0,解得：0<x<l,令尸(无)<0,解得：x>l，

故/(%)在(0,1)递增，在(1,物)递减；(2)当。=一1时,

g(x)=f(x)+(x+—)ex+mx-xex—lnx+(l+/n)x,

x

x1Mv_x+lnx

由g(x)21在(0,+oo)恒成立，得：rn>-xXeg--1=+—e——1.

XX

设F(x)="-x—l,则尸'(无)="一1,故x<0时，F'(x)<o,F(x)递减，

x>0时，F'(x)>0,尸(x)>0递增，

故F(x)>F(0)=0,即/2x+1(当且仅当x=0时"=”成立)，

故e'+"2x+/zu+l(当且仅当x+加x=0时"=”成立)，

,G(x)=x+/nx是增函数，且6(工)=,一1<0,G(l)=l>0,故存在/e(',l)使得x+/nx=0

eee

成立，

故!+/“■<1一i<i+/〃­〃、+i)_i=_2(当且仅当％=玉,时"=”成立)，

XX

故mN—2,

即机的取值范围是［-2,*冷).

【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可;

x+,nx

\+lnx-e

⑵问题转化为m>-------------1,设F{x)^ex-x-\,根据函数的单调性得到

x

eX+/'"Nx+'x+l(当且仅当x+//u=O时"=”成立)，从而求出机的范围即可.

本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一

道综合题.

ex1

14.证明：1一%一犬lnx<---(14--).

x+1e

1_L_V*

证明：由e'>l+x,x>0得0<——<1①

ex

设/z(x)=1-x-xlnx,则〃'(x)=-2-lnx

由力(x)=0得x=-2

0cx<e-2时〃(幻〉0,/z(x)递增，x〉e-2时〃(无)<o,力(幻递减，

所以4(x)4〃(/)=1+"2

又lim〃(x)=lim(l-x-xInx)=1

XTOX-^0

所以l</?(x)〈l+e-2即l<l—x—jdnx«l+e-2…②

1_1_v-

①x②得0<----(1-x-xlnx)<1+e~2

ex

即1—x—xlnx<——(Id——).

x+1e-

15.(2012辽宁)设/(x)=ln(x+l)+«ZT+ax+b(a,/?£R,4,。为常数)，曲线y=/(x)与直线

y=g尤在(0,0)点相切.

⑴求。力的值；

Oy

(2)证明：当0<X<2时t\x)<——.

x+6

【解析】

(i)/'U)=-^-+-7=+«

x+12个x+1

33____

/(0)=/?+l=0,f'(G)^-+a=~,解得a=o力=_1,(2)/(x)=ln(x+1)+Vx+1-1

,,yI1|1丫

由均值不等式，当％>0时，Vx+l=7Cr+lH<^—=1+1

又由InxWx-l,当x>0时ln(x+l)<x

记h(x)=(x+6)/(x)-9x,

则当0cx<2时，

所以/i(x)在(0,2)上单调递减，又以0)=0,所以力*)<0

Or

所以当0<x<2时/*)<——.

x+6

16.已知函数y(x)=alnx+—+eR.

⑴讨论函数/(x)的单调性；

2

(2)求证：(x-l)(e—x)+2Inx<—.

【解析】

2

nv—X—1

⑴/(X)的定义域为(0,+8),/'(%)=——一

当aWO时，J'(x)<0,/(x)在(0,+8)上是减函数;

1—Jl+4〃…1+Jl+4〃八

当a>0时，/'(x)=0的两根是罚-----------<0和9=------------>0

2a2a

,-1++4。、上",/、八

二.xe(0,-------------)时，/(x)<0,/(x)单调递减,

2a

1+J1+4〃.小/、小

XG(-------------,+00)时，/(X)>0,f(x)单调递减;

2a

(2)当a=2时，由(1)得/(幻在(0,1)上单调递减，在(l,4w)上单调递增,

113

/(x)>/(l),即21n%+9+^

i1v23x23尤23

用一代换x得21n—+xd--->—,因此21nx-x----<——，2\nx<x+------

xx222222

x23

设g(x)=(x-l)(eT-x)+x+y-1,g'(x)=(2-x)(e-x+1),

.•.尤e(0,2)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

xe(2,+。。)时，g'(x)<0,g(x)单调递减,

,、小、1c3112

^W<g(2)=—+2--=-+

e2e23

17.已知函数f(x)=a\nx-x2.

⑵求证：当。>0时，/(x)<(a-sinx)x2-ax.

【解析】当a>0时，/(x)<(a-sinx)x2-ax

即证alnx-X2-ax1+sinx-x2+ox<0

只要证olnx-x?-ox2+l-x2+o¥<0

即证々(Inx-f+x)<0

只要证Inx—Y+xwo(*)

令g(x)=Inx-x24-x,则g(x)=——2x+l=-------------

xx

当元£(0,1)时g'(X)>0,g(x)单调递增;当X£(l,+oo)时g'(X)<0,g(x)单调递减；

故g(x)2g⑴=0,即(*)成立

故原结论成立.

18.已知函数/(x)=ox+lnx,其中QCR.

⑴讨论函数/(x)的单调性；

⑵若玉是方程xf'(x)=l+lnx的两个不同的实数根，求证：匕坐+匕野>0.

X]x2~

【答案】

【解析】比值换元+均值放缩

(1)函数定义域为(0,+8)f\x)=a+-

X

当时/'(x)>0,/(x)在(0,+00)上递增;

当〃<0时/'(x)=0=>x=-L,

XG(0,--),ff(x)>0,/(x)递增；XG(--,+oo),/(％)>0,,f(x)递减;

aa

小―£,/、([iInx十口Inx.lnxxlnx

(2)方程？(x)=1+InxBn|iJlax=