2022-2023学年湘豫名校联考高三一轮复习诊断考试二数学（文科）及答案

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湘豫名校联考

2022年11月高三一轮复习诊断考试(二)

数学(文科)

注意事项：

1.本试卷共6页。时间120分钟.满分150分.答题前.考生先将自己的姓名、准考证

号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然

后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时.将答案

写在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A={1|—},B={丁|logzN<l}.则(CuA)08=()

A.{x|l<r<2}B.{X|C.{X10<J<2}D.{H|0VZ<2}

2.设R•则“不等式上2—工+〃,+1)0在R上恒成立''的一个充分不必要条件是()

A.—7"B.—j-C.—7-D.加4-7-

4444

3.函数y=lg(£；—1)+(工+1)"的定义域是()

A.L―2,—1)U(―1<2)B.(—2,—1)U(—1.2)

C.(-1,2)U(2,+°o)D.(-°O,-2)U(-2,-1)

4.已知公差不为零的等差数列{%：>中+上=14,且小，生.恁成等比数列,则数列公”}的

前9项的和为()

A.1B.2C.81

5.古希腊数学家泰特托斯(Theaetetus,公元前417—公元前369

年)详细地讨论了无理数的理论.他通过图来构造无现数4,73.

石.….如图.若记NBAC=a,NCAD=g4i|sin(a-/?)=()

A2展一3氐„2展一展

6,—6-

「

2瓜+娓n3瓜丁2糜

-6,6―

数学(文科)试题第1页(共6页)

6.已知实数x,y满足约束条件《i+y》]，则z=2x+y的最小值是()

工一2y20,

A±

A，BC.3D.5

3-f

7.在平行四边形A5C。中，点E,F分别在线段QC,DB上，且满足EC=2DE,DF=3FB,

记荏=a,无3=6则邪=()

53.115.

AA.谈一力Bu-12a~Tb

c133.195,

C.衣上了匕Dn.『了匕

8.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中提出了已知三角形的三边求

面积的方法:“以小斜界并大斜解减中斜塞,余半之，自乘于上.以小斜痔乘大斜骞减上,

余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”以上文字用公式表示就是S=

'+，—"J],其中a",c分别是△ABC的内角A,B,C的对边，S是

△ABC的面机在△ABC中，若a=3,G=5,c=6,则△ABC的内切圆的面积为（）

A77rB.用

A-T

「8K

C-TD.y

9.已知命题6VHe[0,13一40；命题97工。6口,+8）+-工＞商-1.若/＞八（”）

为真命题,则实数«的取值范围是()

A.B.[-14]

C.D._l]u[lu]

10.〈手j的部分图象如图所示，把

人力的图象上所有的点向左平移得个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短

X乙

到原来的寺倍（纵坐标不变），得到的函数图象的解析式是

A.、=2$山（力+春）R

B.y=2sin（z+^）,工6R

C・3=25由（41+看）R

D.y=2sin（4«r+/R

数学（文科）试题第2页（共6页）

11.已知正四棱锥的所有顶点都在体积为367r的球0的球面上,若该正四棱锥的高为人,且

24九45,则该正四棱锥的体积的取值范围是()

A.修朗B.［喈］C.售蜀叫鳄］

12.设/'(H)是定义在R上的连续函数八工)的导函数，且/(x)>/(x).当x>0时，不等

式e“f(lnz)Vzf(aH)恒成立，其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围为

()

A.C.(e,+8)D.(0,e)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数八幻满足下列条件:①人工)的导函数/'(工)为偶函数；②“外在区间(一8,

-2),(2,+8)上单调递增，则八工)的一个解析式为/(力=.(答案不唯一)

14.已知向：的数量积(又称向量的点积或内积)：a・b=|a|,|b|cos〈a,b〉，其中

〈a,b〉表示向贵a,b的夹角.定义向量a,b的向量积(又称向量的叉积或外积)：laXbl=

|a|•I时sin〈a,b〉，其中〈a,b〉表示向量a,b的夹角.已知点疯),0为

坐标原点，则IOAXOBI=.

15.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PDJ_底面ABCD,

M为BC的中点,PD=AD=¥cD,则异面直线AM与PC

所成的角的余弦值为.

16.已知函数“工)=/+。工z-aGQX))在工=1处有极值.若

方程f(x)+5k=0恰有三个不同的实数根，则实数k的取

值范围为.

三、解答题：共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)

已知向量m=(l,—底),”=(sinx,cosh),函数/(x)=(m-rn),n.在△ABC中，内

角A,B,C的对边分别为a,6,c,且/(C)=1.

(D求C的大小；

(2)若c=3,且AABC的面积SC，,冬］，求AABC周长L的取值范围.

数学(文科)试题第3页(共6页)

18.(本小题满分12分)

已知数列｛%｝的各项均为正数，且对任意的"GN•都有矍+,+…+母=%

(D求数列储.｝的通项公式；

(2)设4=,工^——("GND,且数列｛6｝的前”项和为T",问是否存在正整数机,

(wH-l)log2a„

对任意正整数"有金恒成立？若存在，求出机的最大值;若不存在,请说明

理由.

19.(本小题满分12分)

已知函数f(z)=a—港M(zeR)的图象关于原点对称.

(D求实数a的值；

(2)若¥H6[0,+8),不等式f(l+&X2D+/(2，-4DV0恒成立，求实数k的取值

范围.

数学(文科)试题笫4页(共6页)

20.(本小题满分12分)

已知函数/(z)=e'—az+bcosnaWR.

(1)若人工)在点(0J(0))处的切线方程为22+7-1=0,求a,6的值；

(2)当6=1时，若函数g(z)=/(N)—f(z)在(0,K)上有两个极值点，求实数a的取值

范围.

21.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，。人，2“「4=尸〃，侧面PAD_L底面ABCD,底面

ABCD为矩形,E为AB上的动点(与A,B两点不重合).

(1)判断平面PAE与平面PDE是否互相垂宜？如果垂直，靖证明；如果不垂宜，请说

明理由；

(2)若AD=4,AB=4成■，当E为AB的中点时，求点C到平面PDE的距离.

数学(文科)试题第5页(共6页)

22.(本小题满分12分)

已知函数/XN)=ln工一£+l(aWR且aWO).

(1)若函数f(z)的最小值为2,求a的值；

(2)在(1)的条件下，若关于工的方程/(力=机有两个不同的实数根不，工2,且NiVhz,

求证：HI+皿＞2.

数学(文科)试题第6页(共6页)

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2022年11月高三一轮复习诊断考试(二)

数学(文科)参考答案

题号123456789101112

答案AABCBBACDDCA

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.A【解析】由题意,得集合B={x|log2X<1]={x|0<x<2].又A={x|-1<x<1],所以[RA={x|x<-1

或x>1},所以(CRA)AB=[X|1<X<21.故选A.

2A【解析】由不等式x'x+m+INO在R上恒成立得△=(7)'-4(m+1)旬解得m2-/故“m>

'•i•

是“不等式x2-x+m+120在R上恒成立”的充分不必要条件.故选A.

2-x八・

3.B【解析】若使函数y=ig|±-i)+(x+1)°的解析式有意义，则二0.

r4-1.

(W2,

-2<x<2,所以或故该函数的定义域为(-2,-1)U(-1.2).故选B.

4.C【解析】因为a3+a5=14,所以2a4=14,解得a4=7.又a】.a2.as成等比数列.所以a广a1a$.设数列{aj

的公差为d,则公4-2d)2=(a4-3d)(a4+d),即(7公差2:(7-3d)(7+d),整理得d2-2d=0.因为dWO,所

以d=2,所以S9-------------------8L故选C._

5.【解析】由图知，s£na-cosa=—遇in£_=—所以sin(a-S)=sinacos^3-

-J

cosasin^=故选B.

6.B【解析】根据题意，画出可行域，如图中阻影部分所示.

联立方程{X土厂得《所以什」)

(X2-0-1，，

尸④1

由z=2x+y,得y=-2x+z.由图知，当直线y=-2x+z过点

Pi-।时，z取得最小值，即Zm=2x；+1•--故选B

7.A【解析】方法一：如图，因为在平行四边形ABCD中，点E.F分别满足

DE.ECBF._FD连接AFAE贝『岸二洋—碇二(AB+BF)-

23''

(AB+DE)因J_7X6-阳)__L(b-a)a

44433

所以EF=fa+JL(b-a)1-(b+a)■二a-1b故选A

LJ

数学(文科)参考答案第1页(共7页)

方法二：如图，因为在平行四边形ABCD中，点E,F分别满足定=

J.EC^F-JFDPJrIUEF=3F-DE3F=5B=_(KS^ABT

7,3f1A

-4(a-b)-DE_3cwLa,所1^=二(a-b)a--ia-

433**12

:b.故选A.

8.C【解析】因为a=3.b=5.c=6.

所以SA-+[c2a2_6,X32-产理-F)2=214.

△ABC的周长I=3+5+6三设△ABC的内切圆半径为r.

由SAAK-Ir,解得rw'.

所以AABC的内切圆的面积为〃"一"-.故选C.

9.D【解析】因为pA(军q)为真命题，则P为真命题，q为假命题.命题P：Vxe[0,1].eX-a20为真命题，则

aS，在[0,1]上恒成立,所以aye*)w“=1,所以a4;命题q：3Xoe[l,+oo),十r。>422-1为假

命题,则军q：Vxe[1,+8),J_-xS4a2-1为真命题.所以，J_-x)<4aJ-1,因为函数y-4-x

rIrmax，r

_L-x)=0,即4a2-120,解得aS-J_或a?_L.因为pA(军q)为真命

在[1,+8)上单调递减所以

J'nax

题,所以实数a的取值范围是(-8-J.]Ul]故选D

10.【>_【解析】由题中函数图象可知的2,最小正周期为上4x|=所以3-三-2.将

2)代入函数解析式中.得2sin(g+，)=2,所以4>=g+2k7r.keZ.因为I。[,所以6=：,故

f(x)=2sin(2x+i.,xeR把f(x)的图象上所有的点向左平移二个单位长度，得到函数图象的解析

式为y=2sin[2(x+二)]

2sin'2x+，।,x®R；再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的

倍(纵坐标不变)，得到函数图象的解析式为y=2sin(4x+q.),xeR,故选D

11.C【解析】设球。的半径为R,因为球0的体积为36兀，所以4兀2=36灭,解得R=3

当3〈h45时，如图,设正四棱锥的底面边长为2a，则有3z=2a2+(h-3)J整理

得2a2=6h-h2.同理,当2shs3时,有32=2a?+(3-h)?,整理得2a2=6h-h2.

所以正四棱锥的体积V_J_Sh__Lx4azxh-二x(6h-lV)xh=-「IP+4标

333R.

由V'=-2h2+8h=0得h=4或h=0因为2介5,当2介<4时，V,>0,所

以函数V(h)在[2,4)上单调递增■.当4<h45时,V<0,所以函数V(h)在(4,5]

上单调递减.所以当h二4时，正四棱推的体积V取得最大值，最大值为V(4)二

11.又V(2)-匚，V(5)-'，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选C.

12.A【解析】设g(x)1，则g'(x).因为f*()>f(x)，片>0,所以g'(x)>0恒成立.则

CTbx

数学(文科)参考答案第2页(共7页)

函数g(x)在R上单调递增.当x>。时,铲>。,不等式e-fdnx)<xf(ax)可化为"=〉咤

即g(ax)>g(lnx)恒成立.又函数g(x)在R上单调递增，所以不等式ax〉Inx在(0,+8)上恒成

IL,_—.X-x'-Inx,一］

立，所以a>」3在(0.+©o)上恒成立.令。(x)="，则。‘(X)—'「2°.令0'(X)=0,

得

x=e.当x£(0,e)时,0'(x)>0.所以。(x)在(0,e)上单调递增：当xw(e.+8)时，。，(x)<0,所以。(x)在

<e+8)单调递减.所以。(x*=O(e)=@e-_L,所以a>>L,故所求实数a的取值范围为

—一rr»»

I［，+8).故选A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.x+「(答案不唯一)

T

14.1【解析】因为点A(0.1).B(-1.3),所以nA三(0.1),6二(-1.3),

所以15Al="02+123回|二JI)2+(J3)2=2.

OA-OB।•(-D4-J•;_?

所以COS〈K.醇>=|林||/一

因为<OA,w［0,兀］.PJTIU<OA.O6>--.

r

所以=1BAOB|sin<OA76B>=1x2xsin_1

15.'【解析】如图所示，取AD的中点N,连接CN.PN,又M为BC的中点.

则CM//AN.CM=AN,所以四边形NAMC为平行四边形.所以AM//NC.

所以NPCN(或其补角)为异面直线AM与PC所成的角.

不妨设PD=AD=1,则CD=2.

在APCN中，PC=3.PN=1+|4f,CN=(2)_2+|Vz.'.>1

o95

由余弦定理，得cosNPCN尸下工噂黄1二4g二「二4二I

所以异面直线AM与PC所成的角的余弦值为，.

16(-二1)【解析】因为f(x)=x3+ax2-a2x,所以f(x)=3x2+2ax-a2=(3x-a)(x+a).

令f'(x)=0,解得x.二或x=-a因为函数f(x)在x=1处有极值，且a>0,所以x_二_1,得a=3

33

所以f(x)=x3+3x2-9x,所以f'(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x--|)

令f(x)=0.解得x=-3或x=1,列表：

数学(文科)参考答案第3页(共7页)

X(-8,-3)-3(-3.1)1(1,+OO)

fr(X)+0—0+

f(X)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

所以函数f(x)在x=1处取得极小值,即a=3成立.所以函数f(x)的单调递增

区间为(-8,-3)和(1.+8),单调递减区间为(-3.1),f(x)(s*<a=f(-3)=

27.f(x)®d>«=f(1)=-5.函数f(x)的大致图象如图所示,若方程f(x)+

5k=0恰有三个不同的实数根,则函数y=f(x)的图象与直线y=-5k恰有三

个交点.由数形结合可知,-5<-5k<27.解得-有<k<1,故实数k的取值范

围为(可1)

三、解答题：共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【解析】(1)因为f(x)=(m+n)_,n=(1+sinx,-3+cosx)•(sinx,cosx)

=sinx(1+sinx)+cosx(-」3+cosx)

=sinx-3cosx+1=2sin(x-)+1,....................................................................................................2分

又f(C)=2sin(c-二/1=1,所以sin(c-=|=0..........................................................................4分

所以C=+k7t<ksZ.因为0<C<7r.所以C=.............................................................................5分

(2)由(1)知C»—,所以S△we=-i-absinC=-r7abx—ab...............................................................6分

因为SD,(o,卫「所以0<dab<-^所以(Kab<1........................................................................7分

(4)44

由余弦定理得c2=a2+b之-2abcosOa?+b?-ab=(a+b)2-3ab.......................................................8分

又c=3,所以a+b=-/c2+3ab=»Z9+3ab...............................................................................................9分

因为△ABC的周长L=a+b+c=J9+3ab+3,

所以6<L<23+3,即AABC周长L的取值范围为(6,23+3)............................................................10分

18.【解析】⑴因为匕+于+…+WJmneN",

N2Zn

当*2时,]+,+…+]；=n-1,

两式相减得不=1(n22),即a“=2"(n22).................................................................................................3分

又当n=1时，—.1,得a1=2,满足上式....................................................4分

2

n

所以an=2,nwN*......................................................................................................................................5分

⑵由⑴可得可-(“7］扁；「马不TT-rneN-............................................................7分

则、=(|-;)+修-4■广••+|4--1)=1-士1.............................................................8分

易知数列｛TJ为递增数列,所以(Q”,产T,=b,■丁...........................................9分

因为对任意正整数n有L>丁台恒成立,所以就仁〈,.数学(文科)参考答案第4页(共7页)

解得水二史.1011又m6N*,所以叫“二1010.11分

所以存在正整数m使得对任意正整数n有小丁忠恒成立，且m的最大值为1010..................12分

19•【解析】⑴方法一：由题意知.函数f(x)为R上的奇函数.

所以对任意的xwR,都有f(-x)=-f(x)...............................................................................................1分

即a-।(a-[1),所以2a-.二广2............................................................2分

所以a=1......................................................................................................................................................3分

方法二：由题意知，函数f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=0................................................................1分

所以f(0)=a-..........................................................................................................................2分

解得a=1......................................................................................................................................................3分

(2)由(1)得f(x)1xwR

2-*b

取Xi.X2wR,且Xi<X2,

所以f(x,)-f(X2)=(1-2二)-(匕”：)=(2『[1)(2,2\)•...........................................5分

因为xKx”所以2打<2-2,所以2X'-2,2<O,又2X'+1>0,2,2+1>0.

所以f(x,)-f(xz)〈0,即f(xl〈f(xz).所以函数f(x)在R上单调递增........................7分

不等式f(1+kx2<)+f(2«-4x)<0,即f(1+kx2«X-f(2X-4X).

又f(x)为R上的奇函数,所以f(1+kx2")<-f⑵-4")=f(4*-2*).

又f(x)在R上单调递增,所以1+kx2*〈4*-2*在xe[0,+8)时恒成立.

因为当X20时,2*21，所以内2*-上-1在xe[0.+oo)时恒成立..........9分

令t=2,，则t21,则g(t)=t-_L-1,t>1.

t

又因为g'(t)=i+_L〉o所以函数g(t)=t-_L-i在”+8)上单调递增..................io分

/,,,

故g(t)2g(1)=7,此时x=0.................................................................................................................11分

所以k<-1,即实数k的取值范围为(-8,-1)......................................................................................12分

20.【解析】(1)因为f(xi=ex-ax+bcosx,所以f*(x)=ex-a-bsinx.........................................................1分

所以f(0)=1+b,f(0)=1-a....................................................-..............................................................2分

因为f(x)在点(0.f(甲)处的切线方程为2x+y7=0,所以f(0)=-2,f(0)=1.

所以，一a二-2,解得..............................................................4分

<1+b=1.二

(2)因为当b=1时，f(x)=ex-ax+cosx,f'(x)=ex-a-sinx.

所以g(x)=f'(x)-f(x)=a(x-1)-(cosx+sinx)...............................................................................6分

所以g(x)=a+sinx-cosx=a+2sin(x--2-)...................................................................................7分

因为函数g(x)在(0,兀)上有两个极值点，且函数g'(x)在(0,兀)上连续,

所以方程g'(x)=0在(0,兀)上有两个不同的实数根.

即a=-2sin(x-0］在(0,兀)上有两个不同的实数根........................................9分

即y二a与函数y=-2sin(x-二(0,兀)上有两个不同的交点，

数学(文科)参考答案第5页(共7页)

结合y=-2sin(x-二|在(0,n)上的大致图象可知，-2<a<-

1......................................................................11分

故实数a的取值范围为(-2,-

1)....................................................................................................................................................12分

21.【解析】(1)平面PAE与平面PDE垂

直•................................................................................1分

证明如下：

因为底面ABCD为矩形，所以AB±AD.

又侧面PADJ_底面ABCD,且平面PADG平面ABCD二AD,所以AB_L平面PAD......................................

3分

又PDU平面PAD,所以AB±PD.

又PDJ.PA,且PACAB=A，所以PD_L平面PAB.

又PDU平面PDE,所以平面PDE_L平面PAB,即平面PAE_L平面

PDE.............................................................4分

(2)当E为AB的中点时，取AD的中点O,连接0P.

因为PA=PD,所以PO±AD.

因为侧面PADJ_底面ABCD,且平面PADQ平面ABCD=AD,

所以PO_L底面ABCD.......................................................................................5分

因为PA_LPD,AD=4,所以PA三PD=2^0=2.

福沃t叁BAE4£口曲唯曲当生少吵=?2J2,所以PE=4.

-•<

由(1)知PD_L平面PAB,又PEU平面PAB,所以PD±PE.

所以SAPDE=J_PD-PJ_LX22X4=4

2.....................................................二..........................................7分

所以Vp-CDE1"^"SACDEPO-yx82x2・生产.：：：：：：：：：：：：............................................................9•分

设点C到平面PDE的距离为h,

则由Vc.PDEsa±SAPDEh=Vp.CDE/#±x42h二"二，解得

：l33

h=4................................................................11分

所以点C到平面PDE的距离为

4...................................................................................................................................................12分

22【解析】(1)因为f(x)Jnx-9+l,x>0,

,x>0..........................................................................................................................................................1分

当a>0时，有f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,+8)上单调递增，所以函数f(x)不存在最小值，所以

a>0

不合题意，所以

a<0..............................................................................................................................................................................

2分

当a<0时，令f'(x).£；=0,得x=-a.

当x£(0,-a)时，f'(x)<0,函数f(x)在(0,-a)上单调递减；

当xw(-a,+8)时，f,(x)>0,函数f(x)在(-a,+8)上单调递

增..............................................3分

所以曲)聂小值=f(x)极小值=f(-a)=ln(-a)+1=2,解得a=-

.

1...............................................................5分

(2)方法一：由(1)知,f(x)=lnx+±+l,x>0,因为X1为方程f(x)=m的两个不同的实数

+

根，所以InXj+J-+1=m①Jnx2，+1=m②.

11X111xl-x

①.②得：lnxi-lnx2+(-)=0,即ln=()=

\X1X2/X2\XlX27X1X2

2,..........................................................7分

数学(文科)参考答案第6页(共7页)

X「,24.右XLr，t-1_,±.~'T

所以xm=,，Pt=*(O<t<l),有x-，，=mt，所以X2-L-।，从而得xi+xz

liix：lnf

一I,r»

.............................................................................................................................9分

In1

令h(t)=t-A-2lnt(0<t<l)J!1h'(t)=l+；-；_(_L-

2

i)>oz.............................................10分

所以函数h⑴在(0,1)上单调递增，即VtG(0,l),h(t)<h(l)=0,