高一数学二项式定理

关于高一数学二项式定理§10.5二项式定理理解二项式定理，会利用二项式定理求二项展开式。掌握二项展开式的通项公式，会应用通项公式求指定的某一项。会正确区分二项式系数与项的系数，会求指定项的二项式系数和系数。第2页,共14页，2024年2月25日，星期天动脑筋问题1：

＋

＋

＋

＋

…＋＋…＋＝?问题2：你能否判断(3x2－)10的展开式中是否包含常数项？二项式定理它研究的就是(a＋b)n的展开式的一般情形。nCr第3页,共14页，2024年2月25日，星期天探索(a＋b)2

＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3(a＋b)4＝(a＋b)3(a＋b)＝(a3＋3a2b＋3ab2＋b3)(a＋b)＝(a＋b)2

＝(a＋b)(a＋b)a2ababb2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3a3a2bab2b3共有四项a3:a2b:同理，ab2有

个；b3有

个；每个括号都不取b的情况有一种，即

种，相当于有一个括号中取b的情况有

种，所以a2b的系数是

所以a3的系数是第4页,共14页，2024年2月25日，星期天(a＋b)2

＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝a3＋

a2b＋

ab2＋

b3(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝

a4＋

a3b＋

a2b2＋

ab3＋

b4一般地，(a＋b)n＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)……(a＋b)＝

an＋

an-1b＋

an-2b2＋

an-3b3＋…＋

an-rbr＋…＋

bn该公式称为二项式定理。1）每一项的系数（r=0，1，2，…，n）叫做该项的二项式系数。2）叫做二项展开式的通项，表示第r+1项，记作Tr+1。其右端的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，共有n+1项。其中3）若取a=1，b=x则得一个重要公式：(1+x)n=1+x+x2+…+xr+…+xn

第5页,共14页，2024年2月25日，星期天二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can-1b＋Can-2b2＋…＋Can-rbr＋…＋

Cbn通项公式（第r+1项）：Tr+1＝Can-rbr；其中C称为第r+1项的二项式系数。解：例1：展开(a+b)5例2：展开(1-x)n(1-x)n=Cn0-Cn1X+Cn2X2-…+(-1)nCnnXn解：第6页,共14页，2024年2月25日，星期天解：∵a＝x，b＝－2，n＝10根据通项公式Tr＋1＝an－rbr得T5＝T4+1

＝·x10－4·(－2)4＝＝3360x6它的二项式系数是二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can-1b＋Can-2b2＋…＋Can-rbr＋…＋

Cbn通项公式（第r+1项）：Tr+1＝Can-rbr；其中C称为第r+1项的二项式系数。·x6·16＝210Cnr例3、求(x－2)10的展开式中的第五项，并求出它的二项式系数。问题1，2小结第7页,共14页，2024年2月25日，星期天二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can-1b＋Can-2b2＋…＋Can-rbr＋…＋

Cbn通项公式（第r+1项）：Tr+1＝C例4、求(x－2)10的展开式中x6项的系数。an-rbr；称为第r+1项的二项式系数。解:(x－2）10的展开式的通项是Tr＋1＝x10－r(－2)r＝(－1)r2r由题意知10－r＝6∴r＝4于是x6项的系数是(－1)424＝16×＝3360其中Cx10－rCr10rC10第8页,共14页，2024年2月25日，星期天问题2：

＋

＋

＋

＋

…＋＋…＋＝?nCr问题1：解：根据二项式定理，取a=1,b=1(1+1)n=Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn∴Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n第9页,共14页，2024年2月25日，星期天解：根据二项式定理，取a＝3x2，b＝－∴的通项公式是Tr＋1＝(3x2)10－r(－)r＝·310－r·x20－2r·(－1)r

·x－＝(－1)r

·310－r·

·x20－

令20－＝0∴r＝8r∈N∴的展开式中第9项为常数项。C10rC10rC10r第10页,共14页，2024年2月25日，星期天小结二项式定理展开式中a与b是用“＋”连接的，即(a＋b)n＝an＋an－1b＋…＋an－rbr＋…＋bn，在实际运用时注意正确选择a、b。

通项公式Tr+1＝Can-rbr是指第r＋1项，r+1项的二项式系数。其中C称为第（见例3）注意正确区分二项式系数与项的系数。（见例3）nCr第11页,共14页，2024年2