随机变量和分布函数

关于随机变量和分布函数§3随机变量的函数及其分布随机变量的函数单个随机变量的函数的分布随机向量的函数的分布随机向量的变换第2页,共36页，2024年2月25日，星期天随机变量的函数回顾随机变量的定义：

（Ω，ℱ）→（R，B）可测回顾Borel函数的定义：

（R，B）→（R，B）可测将二者的复合：

（Ω，ℱ）（R，B）（R，B）第3页,共36页，2024年2月25日，星期天随机变量的函数问题1：为什么要求为Borel函数？问题2：分析学中也研究的函数，概率论中研究函数与其有什么不同？第4页,共36页，2024年2月25日，星期天随机变量的函数随机变量函数的例子

例1：某保险公司开发了某种保险产品，每个保单有效期一年，保费为500元，发生理赔时的理赔额均为10000元，假设共卖出该产品800个保单，记理赔的总次数为，则保险公司在该保险产品上获得的利润为：

例2：人们在进行一项决策时通常先对某一重要相关变量进行预测，然后基于这一预测作出决策，当预测不准时就会造成决策损失，损失大小是实际预测误差的函数的函数，比如，在许多情况下，人们取这一函数为二次函数：

例3：在统计物理中，分子运动的速度为

，则其动能为第5页,共36页，2024年2月25日，星期天随机变量的函数随机向量：

（Ω，ℱ）→（R，B）可测n元Borel函数：

（R，B）→（R，B）可测将二者的复合：

（Ω，ℱ）（R，B）（R，B）第6页,共36页，2024年2月25日，星期天§3随机变量的函数及其分布随机变量的函数单个随机变量的函数的分布随机向量的函数的分布随机向量的变换第7页,共36页，2024年2月25日，星期天单个随机变量的函数的分布随机变量函数的分布函数问题：由一个随机变量的分布确定其函数的分布，对于一般的随机变量而言，就是要确定其分布函数。一般方法：其中为Borel集，进而的分布函数由下式确定第8页,共36页，2024年2月25日，星期天单个随机变量的函数的分布

离散情形

第9页,共36页，2024年2月25日，星期天例子：高尔顿版、二叉树与证券价格高尔顿板

由英国生物统计学家高尔顿（Galton）设计，自板上端放入一小球,任其自由落下.在下落过程中,当小球碰到钉子时,从左边落下与从右边落下的机会相等.碰到下一排钉子

也是如此.自板上端放入n个小球,

观察小球落下后呈现曲线并统计

小球落入各个格子的频率.

第10页,共36页，2024年2月25日，星期天例子：高尔顿版、二叉树与证券价格从高尔顿板看金融中的二叉树模型第11页,共36页，2024年2月25日，星期天单个随机变量的函数的分布连续型情形第12页,共36页，2024年2月25日，星期天连续型情形的例子例1（线性函数）练习：第13页,共36页，2024年2月25日，星期天连续型情形的例子例2（对数正态）注：在现代金融中通常用对数正态描述资产的价格，也就是假设对数价格服从正态分布第14页,共36页，2024年2月25日，星期天非单调函数情形例3：推广——第15页,共36页，2024年2月25日，星期天§3随机变量的函数及其分布随机变量的函数单个随机变量的函数的分布随机向量的函数的分布随机向量的变换第16页,共36页，2024年2月25日，星期天非单调函数情形先看一个例子：求的密度函数一般公式证明留作练习第17页,共36页，2024年2月25日，星期天§3随机变量的函数及其分布随机变量的函数单个随机变量的函数的分布随机向量的函数的分布随机向量的变换第18页,共36页，2024年2月25日，星期天随机向量的函数的分布一般随机变量情形离散情形练习（离散卷积公式）：进一步：如何推广到非独立的情形？取整数的情形？第19页,共36页，2024年2月25日，星期天随机向量的函数的分布探究问题一：一般地两个独立的同类分布随机变量之和的分布还属于这一类分布，则称这一分布类具有再生性。探讨下列分布的再生性：1.二项分布：2.泊松分布：3.几何分布：说明几何分布为什么没有具有再生性？将几何分布类拓宽到哪个分布类可以使其具有再生性？第20页,共36页，2024年2月25日，星期天随机向量的函数的分布探究问题2第21页,共36页，2024年2月25日，星期天随机向量的函数的分布连续型情形第22页,共36页，2024年2月25日，星期天随机向量的函数的分布例（和的分布）——卷积公式思考：1.非独立情形；2.与离散卷积公式对照练习：求商的分布第23页,共36页，2024年2月25日，星期天随机向量的函数的分布探究问题31.2.讨论指数分布、分布的再生性；3.归纳指数分布、埃尔朗分布、、分布之间的关系。第24页,共36页，2024年2月25日，星期天例子：极值的分布多个随机变量的极大值、极小值、极差极大值的分布极小值的分布第25页,共36页，2024年2月25日，星期天例子：极值的分布练习：在连续型的情形求极值的密度函数探究问题1：探究问题2：第26页,共36页，2024年2月25日，星期天§3随机变量的函数及其分布随机变量的函数单个随机变量的函数的分布随机向量的函数的分布随机向量的变换第27页,共36页，2024年2月25日，星期天随机向量的变换随机向量：

（Ω，ℱ）→（R，B）可测n元Borel函数：

（R，B）→（R，B）可测将二者的复合：

（Ω，ℱ）（R，B）（R，B）第28页,共36页，2024年2月25日，星期天随机向量的变换记变换：第29页,共36页，2024年2月25日，星期天随机向量的变换求分布第30页,共36页，2024年2月25日，星期天随机向量的变换一一对应的变换第31页,共36页，2024年2月25日，星期天随机向量的变换变换的导数反变换的导数第32页,共36页，2024年2月25日，星期天随机向量的变换积分变换随机向量变化的密度函数第33页,共36页，2024年2