备考2024年中考数学专题突破（全国通用）专题1-1 一网打尽全等三角形模型 ·十个模型（原卷版）

专题1-1一网打尽全等三角形模型（10个模型）导语：熟悉模型，补全结构条件不足另外凑，凑不出来挠挠头，下次考试再来秀目录模型梳理 2题型一倍长中线模型 14题型二一线三等角模型 14题型三半角模型 172022·山东日照真题 18题型四手拉手模型 212022·张家界真题 232022·贵阳中考 23题型五对角互补+邻边相等模型 26题型六平行线夹中点模型 27题型七截长补短模型 28题型八绝配角模型 322023·深圳宝安区二模 332023·深圳中学联考二模 33题型九婆罗摩笈模型 352022武汉·中考真题 362020·宿迁中考真题 37题型十脚蹬脚模型（海盗埋宝藏） 39

模型梳理模型1倍长中线模型（一）基本模型AABDCE已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE．结论1：△ACD≌△EBD．AABDCFE已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点，连接ED，延长ED到点F，使DF＝DE，连接CF．结论2：△BDE≌△CDF．已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，作CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，结论3：易证：△CDE≌△BDF（SAS）

（二）结论推导结论1：△ACD≌△EBD．证明：∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD．∵∠ADC＝∠EDB，AD＝ED，∴△ACD≌△EBD．结论2：△BDE≌△CDF．证明：∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD．∵∠BDE＝∠CDF，DE＝DF，∴△BDE≌△CDF．（三）解题技巧遇到中点或中线，则考虑使用“倍长中线模型”，即延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造出全等三角形．模型2一线三等角模型（一）基本模型AABDPC123已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）．结论1：△CAP≌△PBD．1123DPCBA已知：点P在AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）．结论2：△APC≌△BDP．（二）结论推导结论1：△CAP≌△PBD．证明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD．∵∠1＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△CAP≌△PBD．结论2：△APC≌△BDP．证明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3，∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D．∵AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△APC≌△BDP．（三）解题技巧在一条线段上出现三个相等的角，且有一组边相等时，则考虑使用一线三等角全等模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和进行等角代换，判定三角形全等，然后利用全等三角形的性质解题．一线三等角模型常以等腰三角形、等边三角形、四边形（正方形或矩形）为背景，在几何综合题中考查．模型3半角模型（一）基本模型ABABCDEF已知：△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，BD＝CD，点E，F分别在AB，AC上，∠EDF＝60°．结论1：EF＝BE＋CF，∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．ADADBECF已知：四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°．结论2：EF＝BE＋DF，∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．ABABCED已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D，E在BC上，∠DAE＝45°．结论3：DE2＝BD2＋CE2．（二）结论推导结论1：EF＝BE＋CF，∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．证明：延长AC到点G，使CG＝BE，连接DG．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．ABCDEFG∵∠BDC＝120°，BD＝CD，∴∠DBCABCDEFG∴∠DBE＝∠DCF＝90°，∴∠DBE＝∠DCG＝90°，∴△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，∠DEB＝∠G，∠BDE＝∠CDG．∵∠EDF＝60°，∴∠BDE＋∠CDF＝60°，∴∠CDG＋∠CDF＝60°，即∠GDF＝60°．∵DF＝DF，∴△DEF≌△DGF，∴EF＝FG，∠DEF＝∠G，∠DFC＝∠DFE．∴∠DEB＝∠DEF．∵FG＝CG＋CF，∴EF＝BE＋CF．结论2：EF＝BE＋DF，∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．证明：延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．ADBECFG∵正方形ABCD，∴∠ABG＝∠D＝90ADBECFG∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∠G＝∠AFD，∠BAG＝∠DAF．∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠BAE＋∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°．∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEG，∴EF＝EG，∠AEB＝∠AEF，∠AFE＝∠G．∴∠AFD＝∠AFE．∵EG＝BE＋BG，∴EF＝BE＋DF．结论3：DE2＝BD2＋CE2．证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACF，连接EF．ABCEDF∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABCEDF∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACF＝∠B＝45°，∴∠ECF＝90°，∴EF2＝CF2＋CE2＝BD2＋CE2，∵∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠CAE＝45°，∴∠CAF＋∠CAE＝45°，即∠FAE＝45°．∵AE＝AE，∴△AEF≌△AED，∴EF＝DE，∴DE2＝BD2＋CE2．（三）解题技巧对于半角模型，一般情况下都需要做辅助线（延长或旋转），构造全等，通过等量代换得到相关的结论．模型4手拉手模型（一）基本模型AADEBCO已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE相交于O，连接OA．结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE，结论2：∠BOC＝∠BAC，结论3：OA平分∠BOE．（二）结论推导结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE．证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE．∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，ADEBCOADEBCOF结论2：∠BOC＝∠BAC．证明：设OB与AC相交于点F．∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE．∵∠AFB＝∠OFC，∴∠BOC＝∠BAC．ADEBCOGHADEBCOGH证明：过点A分别做BD，CE的垂线，垂足为G，H．∵△ABD≌△ACE，∴S△ABD＝S△ACE，∴＝．∵BD＝CE，∴AG＝AH，∴OA平分∠BOE．（三）解题技巧如果题目中出现两个等腰三角形，可以考虑连接对应的顶点，用旋转全等模型；如果只出现一个等腰三角形，可以用旋转的方法构造旋转全等．模型5 对角互补+邻边相等模型模型解读：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。如图，，作垂线 旋转 模型6平行线夹中点模型如图，AB//CD，点E是BC的中点． 【模型分析】如图①，延长DE交AB于点F，易证：△DCE≌△FBE（AAS）。如图②，延长AE交CD延长线于点F，易证：△ABE≌△FCE（AAS）口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行模型7截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长:指在长线段中截取一段等于已知线

段:补短:指将短线段延长,延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等服三角形、角平分线等关键词

句,可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程,截长补短法(往往需证2次全等)。

①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS），可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.模型8绝配角模型（一）基本模型AABCDE已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边BC上一点，∠C＝2∠BAD，延长DB到点E，使BE＝BD，连接AE．结论：AC＝EC．（二）结论推导结论：AC＝EC．证明：∵∠ABC＝90°，BE＝BD，∴AE＝AD，∴∠E＝∠ADE，∠BAE＝∠BAD，∴∠EAD＝2∠BAD．∵∠C＝2∠BAD，∴∠EAD＝∠C，∴∠CAE＝∠ADE＝∠E，∴AC＝EC．（三）解题技巧如果题目中出现二倍角，可以考虑用绝配角模型，构造等腰三角形，绝配角＋等腰三角形＋全等三角形一般同时出现，然后用勾股定理或相似求解．构造等腰三角形是这类绝配角问题的重要方法．模型9婆罗摩笈模型如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，连接AD，CE，M，N分别在AD，CE上，且MN经过点B【性质1：垂直得中点】若MN⊥CE，则①点N是AD的中点，②＝，③CE＝2BN．【性质2：中点得垂直】若点N是AD的中点，则①MN⊥CE．【证明】如图，（知中点得垂直，倍长中线） 证明：延长BN至点P，使BN＝PN，连结PN， 易证：△PAD≌BDA∴BC＝PD，BE=PA∵PA∥BD，∴∠PAB＋∠ABD＝180°，又∵∠ABC＝∠DBE＝90°∴∠CBE＋∠ABD＝180°，∴∠CBE＝∠PAB，易证：△CBE≌△PAB，∴∠BCM＝∠ABN，∵∠ABN＋∠CBM＝90°∴∠BCM＋∠CBM＝90°∴∠BMC＝90°模型10脚蹬脚模型（海盗埋宝藏）模型成立条件：等腰三角形顶角互补已知：△ABC、△ADE为等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB，AD=ED，点F为CE的中点，则△BFD是等腰直角三角形.ABCABCEDABCEDF【证明】法一：倍长中线延长DF至点G，使得FG=FD，易证△DEF≌△GCF（SAS）；所以CG=ED=AD，∠2=∠7；又∠1+∠2+∠3=360°，∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°（五边形内角和），∠4=∠6=90°；所以∠3+∠5+∠7=∠1+∠2+∠3，所以∠1=∠5；则△BCG≌△BAD（SAS），所以∠DBG=90°，BG=BD；所以BF=DG=DF，BF⊥DF。法二：构造手拉手模型将△ABC沿AB对称，将△ADE沿AD对称连接PE，CQ，易知△ACQ≌△APE，进而得出PE=CQ且PE⊥CQ，而BE是△CPE的中位线，CD是△CQE的中位线，故BF=DF，且BF⊥FD 题型一倍长中线模型如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F，求证：AF＝EF．AABCDFE如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E是BC的中点，过点E作EF∥AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G，求证：BG＝CF．AAGBEDCF如图，△ABC≌△ADE，∠ACB＝∠AED＝90°，连接EC并延长，交BD于点F，求证：F为BD的中点．AABCDEF题型二一线三等角模型基础篇如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，AD⊥BD于点D，CE⊥BD于点E，求证：CE＝BD．BBCADE如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CD于点D，BE⊥CD于点E，若BE＝6，DE＝4，则△ACE的面积为_________．AABCDE如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1，AC＝，以AC为直角边向外作等腰Rt△ACD，连接BD，则BD的长为_________．AABCD如图，在中，，过点B作，延长到点D，使得，连接，，若，，则的长为________．

如图，已知AB＝BC，AB⊥BC，AD⊥BD，BD＝2AD，求证：CD＝AB．BBCAD提高篇如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BDE＝90°，点E在BC上，点F是CE的中点，连接AF，DF，求证：AF＝DF且AF⊥DF．AABCEDF如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC上一点，CE⊥BD于点E，连接AE，若CE＝4，则△ACE的面积为_________．AAEDBC如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠CDE＝90°，点A在边DE上，连接BE交CD于点F，求证：AE＝2DF．BBCADEF如图，把两个腰长相等的等腰三角形拼接在一起，AB＝AC＝AD，∠BAD＝90°，过点D作DE⊥AC于点E，若BE＝BC，DE＝8，求AE的长．AABCDE如图，E为正方形ABCD外一点，连接AE，DE，AE＝AB，AF平分∠BAE交DE于点F，连接CF．（1）求∠AFD的度数；（2）求证：AF⊥CF．AADBCFE如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，DE⊥AB，交AC于点E，交BC的延长线于点F，若DF＝AC，AB＝m，AE＝n，求AD＋DE的值（用含m，n的式子表示）．AABCFDE题型三半角模型例题例1如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D为△ABC外一点，BD＝CD，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝60°，则△AEF的周长为_________．AAEFBCD例2如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°，△CEF的周长为2，则正方形ABCD的边长为_________．AADBECF例3如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E，F在AB上，∠ECF＝45°，AE＝2，EF＝3，则BF的长为_________．CCAEBF2022·山东日照真题例4如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于点E，F．设CM＝a，CN＝b，且ab＝8．（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；（2）①如图2，当a＝b时，求∠ECF的度数；②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．AACBMEPFN图1ACBMEPFN图2基础如图，D为等边△ABC外一点，BD＝CD，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝60°，若BE＝1，△AEF的周长为4，则AE的长为_________．AAEFBCD如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，且EF＝BE＋DF．（1）求证：∠EAF＝45°；（2）作∠EFC的平分线FG交AE的延长线于G，连接CG．探究BC，CF与CG的数量关系，并证明．AADBECFG提高如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，两锐角的角平分线交于点P，点E，F分别在边AC，BC上，且∠EPF＝45°，则△CEF的周长为_________．CCABEFP如图，正方形ABCD的边长是4，点E是BC的中点，连接DE，DF⊥DE交BA的延长线于点F，连接EF，AC，DE，EF分别与AC交于点P，Q，则PQ＝_________．FFBACDEPQ如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D为边AC上一点，将△BCD沿BD翻折得到△BED，延长DE到点F，使∠DBF＝45°，若S△ADF＝S△BEF，则CD2＋EF2的值是_________．FFBCADE如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且∠EAF＝45°．（1）探究EF，BE，DF之间的数量关系，并证明；（2）若CE＝5，DF＝2，求正方形ABCD的边长．AADBECF（1）问题背景：如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E、F在线段BC上，∠EAF＝45°，用等式表示线段BE，EF与CF的数量关系，并证明；（2）拓展应用：如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E在线段BC上，点F在BC的延长线上，∠EAF＝45°，若EC＝1，CF＝2，求BE的长．BBCEFABCFAE图1图2在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E是CD边上一点，将△BCE沿BE折叠得到△BFE，∠ABF的平分线与EF的延长线交于点G．（1）如图1，当点F落在AD边上时，求DF的长；（2）如图2，若＝，求CE的长；（3）当点E从点C运动到点D时，直接写出点G运动的路径长．BBC图1ADEFGGBC图2ADF题型四手拉手模型例题例1在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，探究且BD与CE的数量关系和位置关系，并证明．AADEBC例2如图，P为正方形ABCD外一点，∠APD＝45°，求证：∠BPC＝45°．AADPBC例3已知△ABC为等边三角形．（1）如图1，P为△ABC外一点，∠BPC＝120°，连接PA，PB，PC，求证：PA＝PB＋PC；（2）如图2，P为△ABC内一点，PB＞PC，∠BPC＝150°，若PA＝4，△PBC的面积为，求△ABC的面积．AABCPABCP图1图2基础篇1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BAC＝90°，D，E，C三点在一条直线上，BD＝1，BC＝，求DE的长．AABCDE2．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在△ABC内，BD的延长线与CE交于点F，若点F为CE的中点，AD＝3，BD＝，求DF的长．AABCDEF3．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为．提高篇4．如图，△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，则BD的长为_________．AABCD2022·张家界真题5．如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（）．A．B．C．D．AABCO2022·贵阳中考6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，AC＝BC＝6，∠ACB＝∠ADB＝90°，若BE＝2AD，则△ABE的面积是_________．CCABDE7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，AB⊥AC，若∠ABD＝30°，求∠ACD的度数．BBCAD8．如图，在中，，，，将线段绕着点逆时针旋转60°得到，，则的面积为．9．如图，在中，，，，将线段绕着点逆时针旋转60°得到，，则的面积为．10．已知△ABC是等边三角形，PA＝5，PB＝3．（1）如图1，点P是△ABC内一点，且PC＝4，求∠BPC的度数；（2）如图2，点P是△ABC外一点，且∠APB＝60°，求PC的长．BBC图1PABC图2PA11．△ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，．(1)【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．(2)【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(3)【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．

12．如图，和都是等腰直角三角形，．（1）猜想：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______；（2）探究：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）拓展：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是______．题型五对角互补+邻边相等模型如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积等于．如图，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．如图，已知中，，以斜边为边向外作正方形，且正方形的对角线交于点，连接．已知，，则另一直角边的长为．

如图，在四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且BE+DF＝EF，则∠BCD＝（用含α的代数式表示）.题型六平行线夹中点模型如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点，AE⊥BE，求证：AB＝AD＋BC．AADBCE如图，AB∥CD，∠BCD＝60°，点E为AD的中点，若AB＝2，BC＝6，CD＝8，则BE的长为_________．AABDCE深圳中考如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝CD，AD＝，E为CD中点，连接AE，且，，作AE⊥AF交BC于F，则BF＝（）A．1 B．EQ3－\R(,3) C．EQ\R(,5)－1 D．EQ4－2\R(,2)题型七截长补短模型如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为________如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于．

（1）求证：；（2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．如图，△ABC和△BDC是等腰三角形，且AB=AC，BD=CD，∠BAC=80°，∠BDC=100°，以D为顶点作一个50°角，角的两边分别交边AB，AC于点E、F，连接EF，点E、F分别在如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB上，连接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC于F．（1）求△CDE的面积；（2）证明：DF+CF＝EF．在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点（1）求证：∠BFC（2）已知∠A①如图1，若BD=4，BC=6.5，求②如图2，若BF=AC，求课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．

题型八绝配角模型例题【例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D在边AC上，∠ABD＝∠C，求AD的长．AADBC【例2】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，点E是BC上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交AC于点F．（1）求证：BE＝CF；（2）如图2，点M为AC上一点，且∠EMC＝2∠BDE，BE＝2，CE＝5，求EM的长．AADEFMBC图1ADEMBC图2基础篇如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝6，BD＝1，则CD的长为_________．AACDB如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别为BC，AC上的点，∠B＝2∠CDE，∠ADE＝45°，AB＝5，AE＝3，则BD的长为_________．AABCDE2023·深圳宝安区二模如图，在中，，点为中点，，则的值为．（后续计算用到相似）2023·深圳中学联考二模如图，在中，点在边上，，，交的延长线于点，若，，则．提高篇如图，△ABC是等边三角形，点D在BC的延长线上，点E在线段AD上，∠DAC＝2∠DBE，BE与AC交于点F，若CF＝1，DE＝2，则CD的长为_________．AABCDFE如图，在△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD⊥BE交BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则BC的长为_________．BBECAD如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，点E在AC边上，AE＝BC＝2，将△BCE沿BE折叠至△BC′E，当C′E∥CD时，CE的长为_________．AADEC′BC如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，BD＝2CD，∠DAC＝2∠ABC，若AD＝，求AB的长．BBDCA如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，点D是AB的中点，点E是AC上一点，∠EBC＝2∠ADE，求AE的长．AABCDE如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在AC，BC上，∠BDE＝2∠ABD，EF⊥BD于点G，交AB于点F，用等式表示线段BF与AD的数量关系，并证明．AABECDGF如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，∠ACD＝2∠ABD，延长BA到点E，使AE＝AB，连接DE，过点D作DH⊥AE于点H．（1）求证：△ADE≌△ADC；（2）用等式表示线段AH与CD的数量关系，并证明；（3）若AD＝，CD＝6，求AB的长．EEDAHBC题型九婆罗摩笈模型如图，△ABE和△ACF都是等腰直角三角形，∠BAE＝∠CAF＝90°，连接BC，EF，AD是BC边上的中线，猜想AD与EF的数量关系与位置关系，并证明．CCBDEAF如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM.2022武汉·中考真题如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点作的垂线，垂足为，分别交，于点，．若，，则四边形的面积是．我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B'C'，当a+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”．(1)[特例感知]在图2，图3中，△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形，且BC＝6时，则AD长为．②如图3，当∠BAC＝90°，且BC＝7时，则AD长为．(2)[猜想论证]在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑延长AD或延长B'A，…）(3)[拓展应用]如图4，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，AB＝12，CD＝6，以CD为边在四边形ABCD内部作等边△PCD，连接AP，BP．若△PAD是△PBC的“旋补三角形”，请直接写出△PBC的“旋补中线”长及四边形ABCD的边AD长．2020·宿迁中考真题【感知】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．【探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．【拓展】（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论：①图1中S△ABC＝S△ADE；②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；

③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N．（1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；（2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE．综合与实践以的两边、为边，向外作正方形和正方形，连接，过点A作于M，延长交于点N.

(1)如图①，若，证明：；(2)如图②，，（1）中结论，是否成立，若成立，请证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由；(3)如图③，，，，且，则________________.我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角