2024年中考数学复习（全国版）第08讲 一元一次不等式（组）及其应用（讲义）（原卷版）

第08讲一元一次不等式（组）及其应用目录一、考情分析二、知识建构TOC\o"1-3"\n\p""\h\z\u考点一不等式及不等式的基本性质题型01不等式的概念及意义题型02列不等式题型03取值是否满足不等式题型04利用不等式的性质判断式子正负题型05根据点在数轴位置判断式子正负题型06利用不等式的性质比较大小题型07利用不等式的性质证明（不）等式题型08利用不等式的性质确定参数的取值范围题型09不等式性质的应用考点二一元一次不等式题型01判断一元一次不等式题型02根据一元一次不等式求参数值题型03求一元一次不等式解集题型04利用数轴表示一元一次不等式解集题型05一元一次不等式整数解问题题型06根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围题型07与一元一次不等式有关的新定义问题题型08含绝对值的一元一次不等式题型09不等式与方程组综合求参数的取值范围考点三一元一次不等式组题型01一元一次不等式组定义题型02解不等式组题型03求不等式组整数解题型04由不等式组整数解求字母取值范围题型05由不等式组的解集求参数题型06与不等式组有关的新定义问题题型07根据程序图解不等式组题型08不等式组与方程的综合考点四不等式（组）的实际应用题型01利用一元一次不等式解决实际问题题型02利用一元一次不等式组解决实际问题考点要求新课标要求命题预测不等式及不等式的基本性质结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质中考数学中，一元一次不等式(组)的解法及应用题时有考察.其中不等式性质、解一元一次不等式(组)，通常是以选择题或填空题的形式出现，难度不大.而不等式（组）相关的应用题常会和其它考点(如二元一次方程组、二次函数等)结合考察，常以解答题形式出现，此时难度上升，需要小心应对.对于一元一次不等式（组）中含参数问题，难度偏大，但是考察几率并不大，为避免丢分，学生应在复习过程中扎实掌握．一元一次不等式能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集一元一次不等式组会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集.不等式（组）的实际应用能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题.考点一不等式及不等式的基本性质一、不等式的相关概念不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示.解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式.二、不等式的性质基本性质1若a>b，则a±c>b±c若a<b，则a±c<b±c基本性质2若a>b,c>0，则ac>bc（或ac基本性质3若a>b,c<0，则ac<bc（或ac11.方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系.2.常见的不等号有：≠，>，≥，<，≤五种.3.用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点.4.不等式的解与不等式的解集的区别与联系：1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值.2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值.3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解.5.在列不等式时，要注意抓住问题中的一些关键词语，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等.同时要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．6.运用不等式的性质的注意事项：1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算．2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子．3）等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母．4）运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向.题型01不等式的概念及意义【例1】以下表达式：①4x+3y≤0；②a>3；③x2+xy；A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式1-1】（2023湖里区模拟）某养生钙奶饮料中的包装瓶上标注“每100克内含钙＞150毫克”，它的含义是指（）A．每100克内含钙150毫克B．每100克内含钙不低于150毫克C．每100克内含钙高于150毫克D．每100克内含钙不超过150毫克题型02列不等式【例2】（2020·河北·统考模拟预测）下面列出的不等式中，正确的是（

）A．“m不是负数”表示为m>0 B．“m不大于5”表示为C．“n与4的差是正数”表示为n-4>0 D．“n不等于4”【变式2-1】（2023·甘肃陇南·统考二模）乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超过3500米．若用x（米）表示乌鞘岭主峰的海拔高度，则x满足的关系为（

）A．x<3500 B．x≤3500 C．x≥3500【变式2-2】（2023南宁市模拟）a是非负数的表达式是（

）A．a＞0 B．a≥0 C．a题型03取值是否满足不等式【例3】（2023·河北保定·统考二模）在-2,-2,1,-3四个数中，满足不等式x<A．－2 B．－3 C．-2 D．【变式3-1】（2021·四川南充·统考中考真题）满足x⩽3的最大整数x是（A．1 B．2 C．3 D．4【变式3-2】（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）当x=4时，不等式成立的是（

A．x+1<4 B．12x>2 C．题型04利用不等式的性质判断式子正负【例4】（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考模拟预测）如果x<-3A．x2>-3x B．x2≥-3x C．x【变式4-1】（2023·湖南常德·统考模拟预测）已知a>b，则下列不等式变形不正确的是（A．a-2>b-2 B．-2【变式4-2】（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知a,b,c,A．若b=d，则a>c BC．若b>d，则a>c D【变式4-3】（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）设x，y，c为实数，则（

）A．若x＞y，则x+3c>C．若x＞y，则xc2>题型05根据点在数轴位置判断式子正负【例5】（2023·黑龙江大庆·统考一模）实数a，A．-a-c>-b-c B．【变式5-1】（2023·上海徐汇·统考二模）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（

）A．a+b<0 B．b-a<0【变式5-2】（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（

）A．a+b<0 B．b-a<0【变式5-3】（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考三模）如图所示，数轴上有O、A、B、C四点位置与各点所表示的数，若数轴上有一点D，D点所表示的数为d，d-5=d-

A．在A的左边 B．在A、C之间 C．在C、O之间 D．在O、B之间【变式5-4】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）m，n在数轴上对应的点如图所示，下列各式正确的是（

）

A．x<x-C．x-m<题型06利用不等式的性质比较大小【例6】（2022·浙江丽水·统考一模）数m，m+1，-m-A．-m-2<C．m<m+1<-【变式6-1】（2022·浙江杭州·统考一模）已知M=x2-2x+4以下是小明的解答：∵M=x-∴M≥小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答．40．（2021·江苏南京·南师附中树人学校校考一模）阅读：（1）若a＜b，则2a﹣3＜2b﹣3，简述理由：小明的解法：∵a＜b，∴2a＜2b，（不等式性质2：），∴2a﹣3＜2b﹣3，（不等式性质1）．小亮的解法：令y＝2x﹣3，∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大．∵a＜b，∴2a﹣3＜2b﹣3．小敏的解法：∵a＜b，观察函数y＝2x﹣3的图象可知，图象上点（a，2a﹣3）在点（b，2b﹣3）的左边，而图象由左往右呈上升趋势，∴2a﹣3＜2b﹣3．（2）若a＜b＜0，请用两种不同的方法比较﹣2a与﹣2（3）若a＜b＜0，比较（a+2）2+1与（b+2）2+1的大小，简述理由．（4）若a＜b＜0，且a≠﹣2，b≠﹣2，直接写出﹣2a+12根据不等式的基本性质，可知比较两个数或式子的大小可以通过求它们的差来判断．如果两个数或式子分别为m和n，若m-n>0，则m>n；若m-n=0，则m=n；若m-n<0，则m<n.题型07利用不等式的性质证明（不）等式【例7】（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）根据不等式的性质：若x-y＞0，则x＞y；若x-【变式7-1】（2019上·江西赣州·九年级校考期中）学以致用：问题1：怎样用长为12cm小学时我们就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为3cm的正方形时面积最大为9思考验证：问题2：怎样用铁丝围一个面积为9m小明猜测：围成正方形时周长最小．为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的材料：结论：在a+b⩾2ab(a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则aa+b⩾对于任意正实数a、b，∵(a-b)2∴a+b⩾解决问题：（1）若x>0，则x+4x⩾（当且仅当x=（2）运用上述结论证明小明对问题2的猜测；（3）当x>-1时，求y【变式7-2】（2022·山东日照·日照市新营中学校考二模）2002年国际数学大会的会徽设计的基础是公园3世纪中四数学家赵爽为证明勾股定理绘制的弦图（如图1），该图蕴含着丰富的不等关系，例如，正方形的面积大于4个直角三角形的面积之和…设直角三角形的边长为a，b，则S正方形>4SRT△当a=b时，中间小正方形收缩为一个点，此时正方形的面积每于4个直角三角形的面积之和，即综上所述，a2+b使用上述结论，“a2+b2≥2(1)证明：“若a，b为正实数，则a+b≥2ab．当且仅当(2)a，b均为实数，若ab为定值4，则a+b有最小值________；若a+b为定值6，则(3)请结合函数图象（图2）研究y=x+(4)如图3，已知P是反比例函数y=1x(x>0)图象上任意一动点，O(0,0)，A(-1,a【变式7-3】（2023·江苏扬州·统考一模）将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为ab(1)再往杯中加入mm>0克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为(2)请证明（1）中的数学关系式；(3)在△ABC中，三条边的长度分别为a,b题型08利用不等式的性质确定参数的取值范围【例8】（2023·重庆·重庆实验外国语学校校考二模）若a=35-2，则A．2<a<3 B．3<a<4 C．【变式8-1】（2023路南区二模）若x<y，且a-3x⩾aA．a>3 B．a<3 C．a⩾【变式8-2】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考三模）已知关于x的不等式a+2x<1的解集为x>1【变式8-3】（2023·浙江杭州·统考二模）已知实数x，y，a满足x+3y+a=4，x-y-3题型09不等式性质的应用【例9】（2023·河北保定·校考一模）已知实数a，b，c满足a+2b=3c，则下列结论A．a-b=3C．若a>b，则a>c>【变式9-1】（2023武威县模拟）若x+y=3，x≥0，y≥0A．0 B．3 C．6 D．9【变式9-2】（2023德阳市一模）实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（

）A． B． C． D．考点二一元一次不等式一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式：ax+b<步骤具体做法依据注意事项去分母在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数不等式性质2、31）不要漏乘不含分母的项；2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母.3）如果分子是多项式，去分母后要加括号.去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号分配律去括号法则1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项;2)括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各项都要变号；3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各项都不变号.移项把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边不等式性质11）移项时不要漏项;2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号.而在不等式同一边改变项的位置时不变号.合并同类项把不等式变为ax<b合并同类项法则1）不要漏项；2）系数的符号处理要得当.系数化为1将不等式两边都除以未知数系数a，得到不等式的解不等式性质2、31)不等式两边都除以未知数系数;2)当系数为负数，不等号的方向发生改变.1.1.一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1.2.进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论．3.在解一元一次不等式时,上述的五个步骤不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根据不等式的形式灵活安排求解步骤.题型01判断一元一次不等式【例1】（2021·全国·九年级假期作业）在数学表达式：-3<0，a+b，x=3，x2+2xyA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-1】（2021·陕西·九年级专题练习）下列各式中，是一元一次不等式的有（

）个．①a-3＜2；②-x-1x＞A．1 B．2 C．3 D．0题型02根据一元一次不等式求参数值【例2】已知23（m+4）x|m|–3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（

A．4 B．±4 C．3 D．±3【变式2-1】若m-1xm-3>0是关于A．0 B．1 C．-1 D．【变式2-2】若(k-1)xk+3≥0是关于题型03求一元一次不等式解集【例3】（2023·湖南长沙·校联考模拟预测）下列变形中正确的是（

）A．由-2x<1，得x<-1C．由2x+1>x-1，得x【变式3-1】（2022·安徽·统考中考真题）不等式x-32【变式3-2】（2022·安徽宣城·统考一模）解不等式：2x题型04利用数轴表示一元一次不等式解集【例4】（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）不等式3x＋1＜2x的解在数轴上表示正确的是（）A． B．C． D．【变式4-1】（2023下·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）不等式x-1≥2xA．B．C． D．【变式4-2】（2021·浙江金华·统考中考真题）一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（

）A．x+2>0 B．x-2<0 C．2【变式4-3】（2022·湖北宜昌·统考中考真题）解不等式x-1题型05一元一次不等式整数解问题【例5】（2022·河北·统考中考真题）整式313-(1)当m＝2时，求P的值；(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．【变式5-1】（2022下·广东江门·八年级统考阶段练习）求一元一次不等式1-8+【变式5-2】（2023·陕西咸阳·校考二模）解不等式：9x【变式5-3】（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考模拟预测）先化简，再求值：(12-x-1)÷与一元一次不等式的特殊解有关的解题方法：类型一求一元一次不等式特殊解的方法解决此类问题的关键：正确求出不等式的解集，再根据题目要求求出其特殊解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．类型二已知一元一次不等式解集（整数解）求字母的取值．解决此类问题的关键：先把题目中除未知数外的字母当作常数看待解不等式，再根据题目中的限制条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．题型06根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围【例6】（2023·福建漳州·统考一模）关于x的不等式x-b≥0恰有两个负整数解，则bA．-3<b<-2 B．-3<b≤-2【变式6-1】（2021·四川眉山·统考中考真题）若关于x的不等式x+m<1只有3个正整数解，则m【变式6-2】（2023·黑龙江大庆·统考三模）若关于x的一元一次不等式x-2<n+3有且只有5个正整数解，则【变式6-3】（2023·江苏南通·统考一模）若关于x的不等式x+t≥2x-3恰有3【变式6-4】（2023·江苏扬州·统考二模）已知x=3是关于x的不等式3x-题型07与一元一次不等式有关的新定义问题【例7】（2022下·广西·七年级统考阶段练习）定义新运算：对于任意实数a，b都有a⊕b=aa-bA．1 B．2 C．3 D．4【变式7-1】（2023·河北沧州·统考模拟预测）对于a、b定义a★b=1a-b2，已知分式方程A．a<1 B．a>1 C．a<3【变式7-2】（2023·广东广州·统考二模）定义运算“a☆b”为：当a≥b时，a☆b=a+b；当a<A．m>2 B．m>5 C．2<m<5 D．【变式7-3】（2023海港区一模）定义新运算：对于任意实数a，b（a≠0）都有a*b=ba﹣a+b，等式右边是通常的加、减、除运算，比如2*1=12﹣2+1=﹣（1）求4*5的值：（2）若2*（x+2）不大于4，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．【变式7-4】（2023·河北沧州·校考模拟预测）定义一种新的运算※，对于任意实数a和b，规定a※b=(1)求5※-(2)若m-2※2>14题型08含绝对值的一元一次不等式【例8】（2020·四川自贡·统考中考真题）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式x-2的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为x+1=x--1⑴.发现问题：代数式x+1⑵.探究问题：如图，点A,B,P分别表示的是-∵x+1+x-2∴当点P在线段AB上时，PA+PB=3;当点点P在点A的左侧或点B∴x+1+x⑶.解决问题：①.x-4+x+2②.利用上述思想方法解不等式：x③.当a为何值时，代数式x+a+【变式8-1】（1）【阅读理解】“a”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离，所以“a≥2”可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不小于2①“a<2”可理解为②请列举两个符号不同的整数，使不等式“|a|>2”成立，列举的a的值为和我们定义：形如“|x|≤m，|x|≥m，|（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．由上图可以得出：绝对值不等式x>1的解集是x<-1或绝对值不等式x≤3的解集是-①不等式x≥4的解集是②不等式|12x（3）【拓展应用】解不等式x+1【变式8-2】数学实验室：A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是；(2)数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为(3)若x表示一个有理数，且-3<x<1，则x(4)若x表示一个有理数，且x-1+x+3＞4题型09不等式与方程组综合求参数的取值范围【例9】（2023·湖南衡阳·校考二模）已知关于x的方程2x+4=m-xA．m≤43 B．m≥43【变式9-1】（2023泗水县一模）如果关于x的方程2x+mx-A．m≤-1 B．m≥-1 C．m≤-1且m≠-2 D【变式9-2】（2022·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考一模）若不等式3x+2≤4x-1的最小整数解是方程2考点三一元一次不等式组一元一次不等式组的概念：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组．一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．不等式组解集的确定有两种方法：1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了．解一元一次不等式组的一般步骤：求出不等式组中各不等式的解集.将各不等式的解决在数轴上表示出来.在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.1.在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的1.在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.2.利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分.题型01一元一次不等式组定义【例1】（2020·山西·校联考模拟预测）下列各式不是一元一次不等式组的是（

）A．{x-1>3x-3<2 B．{【变式1-1】下列不等式组：①x>-2x<3，②x>0x+2>4，③x2+1<xxA．2个 B．3个 C．4个 D．5个题型02解不等式组【例2】（2022·广东深圳·统考中考真题）一元一次不等式组x-1≥0xA． B．C． D．【变式2-1】（2022·北京·统考中考真题）解不等式组：2+x【变式2-2】（2022·山东菏泽·统考中考真题）解不等式组3x题型03求不等式组整数解【例3】（2022·江苏淮安·统考中考真题）解不等式组：2x【变式3-1】（2022·山东济南·统考中考真题）解不等式组：x-【变式3-2】（2022·上海杨浦·校考一模）先化简，再求值：2x2+x÷（1﹣x-【变式3-3】（2023太原五中二模）解不等式组：3x题型04由不等式组整数解求字母取值范围【例4】（2023·山东泰安·统考一模）不等式组x<mx≥3有4个整数解，则mA．6≤m≤7 B．6<m<7 C．【变式4-1】（2022·湖南邵阳·统考中考真题）关于x的不等式组-13x>2A．3 B．4 C．5 D．6【变式4-2】（2022·山东济宁·统考中考真题）若关于x的不等式组x-a>0,7-2x>5仅有A．－4≤a＜－2 B．－3＜a≤－2C．－3≤a≤－2 D．－3≤a＜－2【变式4-3】（2023·四川凉山·统考一模）若关于x的不等式组2x+5>03x-A．-4 B．-3 C．-2【变式4-4】（2023·黑龙江·统考模拟预测）若关于x的一元一次不等式组2x-a<03x-题型05由不等式组的解集求参数【例5】（2023菏泽市三模）若不等式组x+13<x2-A．m≤2 B．m<2 C．m≥2【变式5-1】（2022·黑龙江·统考中考真题）若关于x的一元一次不等式组2x-1＜3x-a<0【变式5-2】（2023扎兰屯市三模）若不等式组x+8<4x-1x>m的解集为x＞3【变式5-3】（2023·江苏连云港·校考二模）关于x、y的方程组2x-y=2a+7x题型06与不等式组有关的新定义问题【例6】（2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考一模）定义新运算：a⊗b=2a-b+3．例如，5⊗4=2×5-4+3，则不等式组0.5⊗A．x>3 B．3<x<6 C．无解【变式6-1】（2023·广东广州·统考二模）定义：不大于实数x的最大整数称为x的整数部分，记作x，例如3.6=3，-3=-2，按此规定，若1-3x2A．13<x≤1 B．13≤【变式6-2】（2023·广东深圳·校联考模拟预测）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b=a-2b，若关于x的不等式组x⊗3>0x【变式6-3】．（2022·河南安阳·统考一模）定义新运算：a⊕b=1-ab，则不等式组【变式6-4】（2023·广东江门·江门市怡福中学校考一模）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程8-x=x、7+x=3x+13题型07根据程序图解不等式组【例7】（2022下·安徽黄山·七年级统考期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否>95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（）A．12.75<x≤24.5 B．x<24.5 C．12.75≤【变式7-1】（2023宜宾市三模）如图，这是王彬同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值x”到判断“结果是否≥13”为一次运行过程．如果程序运行两次就停止，那么x的取值范围是（）A．x≥4 B．4≤x＜7 C．4＜x≤7 D．x≤7【变式7-2】（2020潍坊五县三模）如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则x的取值范围为()A．x>1 B．1<x⩽7 C．题型08不等式组与方程的综合【例8】（2023成都市模拟）已知a，b，c为三个非负实数，且满足a+b+c=302a+3【变式8-1】若数a使关于x的分式方程x+1x-2+a2-x=3的解为正数，且使关于y的不等式组考点四不等式（组）的实际应用一元一次不等式（组）的应用题的关键语句：1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50.用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解方程;验：考虑求出的解是否具有实际意义;答：实际问题的答案.题型01利用一元一次不等式解决实际问题【例1】（2023·江西上饶·统考一模）已知△ABC的三个内角互不相等，如果∠A为最小的内角，那么下列四个度数中，∠A最大可取A．20∘ B．58∘ C．60∘【变式1-1】．（2022·山西·中考真题）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价元．【变式1-2】（2021·福建福州·校考二模）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结果得到的总和是800°，则少算了这个内角的度数为．【变式1-3】（2022·贵州安顺·统考中考真题）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩．(1)A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？(2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻？【变式1-4】．（2021·山东青岛·统考中考真题）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的45．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/（1）求两种品牌洗衣液的进价；（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？【变式1-5】（2022·辽宁阜新·统考中考真题）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出．(1)第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？(2)下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品至少要生产多少件？【变式1-6】（2022·山东聊城·统考中考真题）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．(1)