2024年中考数学复习（全国版）重难点05 二次函数与几何的动点及最值、存在性问题（解析版）

重难点突破05二次函数与几何的动点及最值、存在性问题目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题题型03已知点关于直线对称点问题题型04特殊角度存在性问题题型05将军饮马模型解决存在性问题题型06二次函数中面积存在性问题题型07二次函数中等腰三角形存在性问题题型08二次函数中直角三角形存在性问题题型09二次函数中全等三角形存在性问题题型10二次函数中相似三角形存在性问题题型11二次函数中平行四边形存在性问题题型12二次函数中矩形存在性问题题型13二次函数中菱形存在性问题题型14二次函数中正方形存在性问题二次函数常见存在性问题：（1）等线段问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再利用点到点或点到直线的距离公式列出方程或方程组，然后解出参数的值，即可以将线段表示出来.【说明】在平面直角坐标系中该点在某一函数图像上，设该点的横坐标为m，则可用含m字母的函数解析式来表示该点的纵坐标，简称“设横表纵”或“一母式”.（2）平行y轴动线段最大值与最小值问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再用纵坐标的较大值减去较小值，再利用二次函数的性质求出动线段的最大值或最小值.（3）求已知点关于直线对称点问题：先求出直线解析式，再利用两直线垂直的性质（两直线垂直，斜率之积等于-1）求出已知点所在直线的斜率及解析式，最后用中点坐标公式即可求出对称点的坐标.（4）“抛物线上是否存在一点，使其到某一直线的距离为最值”的问题：常常利用直线方程与二次函数解析式联立方程组，求出切点坐标，运用点到直线的距离公式进行求解.（5）二次函数与一次函数、特殊图形、旋转及特殊角度综合：图形或一次函数与x轴的角度特殊化，利用与角度有关知识点求解函数图像上的点，结合动点的活动范围，求已知点与动点是否构成新的特殊图形.2.二次函数与三角形综合(1)将军饮马问题:本考点主要分为两类：①在定直线上是否存在点到两定点的距离之和最小;②三角形周长最小或最大的问题，主要运用的就是二次函数具有对称性.(2)不规则三角形面积最大或最小值问题:利用割补法将不规则三角形分割成两个或以上的三角形或四边形，在利用“一母式”将动点坐标表示出来，作线段差，用线段差来表示三角形的底或高，用面积公式求出各部分面积，各部分面积之和就是所求三角形的面积.将三角形的面积用二次函数的结构表示出来，再利用二次函数的性质求出面积的最值及动点坐标.(3)与等腰三角形、直角三角形的综合问题:对于此类问题，我们可以利用两圆一线或两线一圆的基本模型来进行计算.问题分情况找点画图解法等腰三角形已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形以AB为腰分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画圆，与已知直线的交点P1，P2，P4，P5即为所求分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，BP，AP的长度，由①AB＝AP；②AB＝BP；③BP＝AP列方程解出坐标以AB为底作线段AB的垂直平分线，与已知直线的交点P3即为所求分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，BP，AP的长度，由①AB＝AP；②AB＝BP；③BP＝AP列方程解出坐标问题分情况找点画图解法直角三角形已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形以AB为直角边分别过点A，B作AB的垂线，与已知直线的交点P1，P4即为所求分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，BP，AP的长度，由①AB2＝BP2＋AP2；②BP2＝AB2＋AP2；③AP2＝AB2＋BP2列方程解出坐标以AB为斜边以AB的中点Q为圆心，QA为半径作圆，与已知直线的交点P2，P3即为所求注：其他常见解题思路有：①作垂直，构造“三垂直”模型，利用相似列比例关系得方程求解；②平移垂线法：若以AB为直角边，且AB的一条垂线的解析式易求(通常为过原点O与AB垂直的直线)，可将这条直线分别平移至过点A或点B得到相应解析式，再联立方程求解．（4)与全等三角形、相似三角形的综合问题:在没有指定对应点的情况下，理论上有六种情况需要讨论，但在实际情况中，通常不会超过四种，要注意边角关系，积极分类讨论来进行计算.情况一探究三角形相似的存在性问题的一般思路：解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论思想及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：①假设结论成立，分情况讨论．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应点(尤其是以文字形式出现求证两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置的不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；②确定分类标准．在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应来分类讨论；③建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标．情况二探究全等三角形的存在性问题的思路与探究相似三角形的存在性问题类似，但是除了要找角相等外，还至少要找一组对应边相等．3.二次函数与四边形的综合问题特殊四边形的探究问题解题步骤如下：①先假设结论成立；②设出点坐标，求边长；③建立关系式，并计算．若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论：a.探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论．b.探究菱形：①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标，一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等的性质列关系式．c.探究正方形：利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解．d.探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解.题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题1．（2023·广东东莞·一模）如图，抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y(1)求此函数的关系式；(2)在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC与点M，当点N坐标为多少时，线段(3)在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标．(4)在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)y=(2)当N的坐标为−32,−15(3)K−1，4，(4)存在，点E的坐标为0,32或0,−72【分析】（1）由OA=OC=3求得A−3,0,C0，−3,再分别代入抛物线解析式y=x2＋（2）求出直线AC的解析式，再设出M、N的坐标，把MN表示成二次函数，配方即可；（3）根据平行四边形的性质，以AB为边，以AB为对角线，分类讨论即可；（4）设出E的坐标，分别表示出△ADE的平分，再分每一条都可能为斜边，分类讨论即可．【详解】（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A∴A−3,0∴将其分别代入抛物线解析式，得c=−39−3b+c=0解得b=2c=−3故此抛物线的函数表达式为：y=x（2）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A−3,0,C0解得k=−1t=−3∴直线AC的解析式为y=−x−3，设N的坐标为n，n2∴MN=−n−3−n∵−1<0，∴当n=−32时，MN有最大值，为把n=−32代入抛物线得，N的坐标为当N的坐标为−32,−154（3）①当以AB为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，∴KL必过−1,0，∴L必在抛物线上的顶点D处，∵y=x∴K②当以AB为边时，AB=KL=4，∵K在对称轴上x=∴L的横坐标为3或−5，代入抛物线得L−5,12或L3,12，此时K都为综上，K−1，4，L（4）存在，由y=x2∵A−3∴AD设E0，m，则A①AE为斜边，由AE2=A解得：m=−7②DE为斜边，由DE2=A解得：m=3③AD为斜边，由AD2=E解得：m=−1或−3，∴点E的坐标为0,32或0,−72或【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，会运用待定系数法列方程组，两点间距离公式求MN的长，由平行四边形的性质判定边相等，运用勾股定理列方程．2．（2023·河南南阳·统考一模）如图，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交于点C0，−4，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线AC交PD于点E

(1)求抛物线的解析式；(2)求点A、B的坐标和直线AC的解析式；(3)求当线段CP=CE时m的值；(4)连接BC，过点P作直线l∥BC交y轴于点F，试探究：在点P运动过程中是否存在m，使得CE=DF，若存在直接写出【答案】(1)y=(2)A−8，(3)−4(4)存在，m=2−25或【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）令y=0，解方程即可求得点A、B的坐标，再运用待定系数法即可求得直线AC的解析式；（3）过点C作CF⊥PE于点F，根据等腰三角形的性质可得点F是PE的中点，设Pm,14m2+32（4）过C作CH⊥PD于H，设Pm,14m2+32m−4，由PF∥BC，可得直线PF解析式为【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为−3∴设抛物线的解析式为y=ax+3把点C0，−4代入，得：−4=9a−∴y=1∴该抛物线的解析式为y=1（2）解：令y=0，得14x2∴A−8设直线AC的解析式为y=kx+b，则−8k+b=0b=−4，解得：k=−∴直线AC的解析式为y=−1（3）解：如图，过点C作CF⊥PE于点F，

∵CP=CE，∴EF=PF，即点F是PE的中点，设Pm,1∴Fm∵PE∥y轴，∴CF∥∴18m2+1∴m=−4．（4）解：存在m，使得CE=DF，理由如下：如图：过C作CH⊥PD于H，

设Pm由B2，0，C根据PF∥BC，设直线PF解析式为y=2x+c，将14∴c=1∴直线PF解析式为y=2x+1令x=0得y=1∴F0∴OF=1∵∠CHD=∠PDO=∠COD=90°，∴四边形CODH是矩形，∴CH=OD，∵CE=DF，∴Rt△CHE≅∴∠HCE=∠FDO，∵∠HCE=∠CAO，∴∠FDO=∠CAO，∴tan∠FDO=∴OFOD=OC∴14m2解得：m=−4或m=4或m=2−25或m=2+2∵P在第三象限，∴m=2−25或m=−4【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数综合应用、等腰三角形性质、矩形判定及性质、相似三角形判定及性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．3．（2023·山东聊城·统考三模）抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A3,0，与y轴交于点

(1)求b，c的值；(2)若P为直线AC上方抛物线上的动点，作PH∥x轴交直线AC于点H，求(3)点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使直线AC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N的纵坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)b=2，c=3(2)PH取得最大值为9(3)存在，2−2或【分析】（1）将坐标代入解析式，构建方程求解；（2）设PH交y轴于点M，Pm,−m2+2m+3，则PM=m；待定系数法确定直线AC的解析式为y=−x+3，从而确定PH=m−m（3）如图，设PN与AC交于点G，可设直线PN的解析式为y=x+p，设点N(1,n)，求得y=x+(n−1)；联立y=−x+3y=x+(n−1)，解得x=−n2+2y=n2+1，所以点P的横坐标为【详解】（1）∵抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A3,0，与∴−9+3b+c=0c=3，解得：b=2∴b=2，c=3；（2）设PH交y轴于点M，Pm,−∴PM=m，∵PH∥x轴，∴点H的纵坐标为设直线AC的解析式为y=kx+n，∴3k+n=0n=3，解得：k=−1∴直线AC的解析式为y=−x+3．∴−m∴x=m∴Hm∴PH=m−m∴当m=32时，PH（3）存在点N，使直线AC垂直平分线段PN，点N的纵坐标为2−2或

如图，设PN与AC交于点G，∵AC垂直平分PN，直线AC的解析式为y=−x+3∴可设直线PN的解析式为y=x+p设点N(1,n)，则n=1+p∴p=n−1，∴y=x+(n−1)联立y=−x+3y=x+(n−1)解得x=−∴点P的横坐标为2×(−n2∴−(−n+3)2∴点N的纵坐标为2−2或2+【点睛】本题考查利用二次函数解析式及点坐标求待定参数、待定系数法确定函数解析式、二次函数极值及其它二次函数综合问题，利用直线间的位置关系、点线间的位置关系，融合方程的知识求解坐标是解题的关键．题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题4．（2023·广东梅州·统考二模）探究求新：已知抛物线G1:y=14x(1)求抛物线G1平移得到抛物线G(2)设T0,t，直线l：y=−t，是否存在这样的t，使得抛物线G2上任意一点到T的距离等于到直线(3)设H0,1，Q1,8，M为抛物线参考公式：若点Mx1,【答案】(1)将G1向左平移−6个单位，向上平移11(2)存在，1(3)9【分析】（1）设G1向左平移a个单位，向上平移b个单位得到函数G（2）设Px0,（3）点H坐标与（2）中t=1时的T点重合，过点M作MA⊥l，垂足为A，如图所示，则有MH=MA，当且仅当Q,M,A三点共线时QM+MA取得最小值．【详解】（1）.解：设G1向左平移a个单位，向上平移b个单位得到函数G由平移法则可知14整理可得14可得方程组3+12a=0∴平移路径为将G1向左平移−6个单位，向上平移11（2）解：存在这样的t，且t=1时满足条件，设Px0,则点P到直线l的距离为x024+t，点P到点联立可得：x0两边同时平方合并同类项后可得x0解得：t=1；（3）解：点H坐标与（2）中t=1时的T点重合，作直线l：y=−1，过点M作MA⊥直线l，垂足为A，如图所示，则有

此时QM+MH=QM+MA，当且仅当Q,M,A三点共线时QM+MA取得最小值即QM+MA=QA=8−(−1)=9∴QM+MH的最小值为9；【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到线段最小值、平移性质等，灵活运用所学知识是关键．5．（2023·湖北宜昌·统考一模）如图，已知：点P是直线l：y=x−2上的一动点，其横坐标为m（m是常数），点M是抛物线C：y=x(1)求点M的坐标；（用含m的式子表示）(2)当点P在直线l运动时，抛物线C始终经过一个定点N，求点N的坐标，并判断点N是否是点M的最高位置？(3)当点P在直线l运动时，点M也随之运动，此时直线l与抛物线C有两个交点A，B（A，B可以重合），A，B两点到y轴的距离之和为d．①求m的取值范围；②求d的最小值．【答案】(1)M(2)N(1,3)，点N是点(3)①m≤−52或m≥32【分析】（1）将抛物线解析式写成顶点式即可求解；（2）根据解析式含有m项的系数为0，得出当x=1时，y=3，即N(1,3)，根据二次函数的性质得出−m2−2m+2=−m+12（3）①根据直线与抛物线有交点，联立方程，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，求得m的范围，即可求解；②设A,B的坐标分别为x1,y1,x2,y2，其中x1【详解】（1）解：y=x2+2mx−2m+2∴顶点M−m,−（2）解：∵y=x∴当x=1时，y=3，抛物线C始终经过一个定点1,3，即N(1,3∵M−m,−m2∴M的纵坐标最大值为3，∴点N是点M的最高位置；（3）解：①联立y=x−2y=得x2∵直线l与抛物线C有两个交点A，B（A，B可以重合），∴Δ=b2=4m2+4m−15∵4m2+4m−15=0∴当4m2+4m−15≥0时，m≤−②设A,B的坐标分别为x1,y由①可知x1,x∴x1当m=−3时，如图所示，yA当−3≤m≤−52时，则d=x∵−2<0，∴当m=−52时，d取得最小值为当m≥32时，∴当m=32时，d取得最小值为综上所述，d取得最小值为2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．6．（2023·云南楚雄·统考一模）抛物线y=x2−2x−3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线(1)直接写出A，B两点的坐标；(2)如图①，当OP=OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；(3)如图②，直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m，求FPOP的值（用含m【答案】(1)A(−1,0)，B(3,0)(2)0或3−412(3)1【分析】（1）令y=0，解方程可得结论；（2）分两种情形：①若点D在AC的下方时，过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1．②若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G(0,5)，过点G作AC的平行线交抛物线于点D2，D3，（3）设E点的横坐标为n，过点P的直线的解析式为y=kx+b，由y=kx+by=x2−2x−3，可得x2−(2+k)x−3−b=0，设x1，x2是方程x2−(2+k)x−3−b=0的两根，则x1x2=−3−b，推出xA【详解】（1）解：令y=0，得x2解得：x=3或−1，∴A(−1,0)，B(3,0)；（2）∵OP=OA=1，∴P(0,1)，∴直线AC的解析式为y=x+1．①若点D在AC的下方时，过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1∵B(3,0)，BD∴直线BD1的解析式为由y=x−3y=x2−2x−3，解得∴D∴D②若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G(0,5)过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2，D3，D2直线l的解析式为y=x+5，由y=x+5y=x2解得：x=3−412∴D2，D3的横坐标为3−综上所述，满足条件的点D的横坐标为0，3−412，（3）设E点的横坐标为n，过点P的直线的解析式为y=kx+b，由y=kx+by=x2设x1，x2是方程x2∴∵x∴x∴m=3+b，∵x∴x∴n=−1−b设直线CE的解析式为y=px+q，同法可得mn=−3−q∴q=−mn−3，∴q=−(3+b)(−1−b∴OF=1∴FPOP【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．题型03已知点关于直线对称点问题7．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx−c的图象与x轴交于点A(−3,0)和点B(1,0)，与y

(1)求这个二次函数的表达式．(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC:y=x+3交于点D，若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值．(3)如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=−x(2)S△MCD(3)Q1−5，【分析】（1）根据抛物线的交点式直接得出结果；（2）作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，先求出抛物线的对称轴，进而求得C，D坐标及CD的长，从而得出过M的直线y=x+m与抛物线相切时，△MCD的面积最大，根据x+m=−x2−2x+3的△=0求得m的值，进而求得M的坐标，进一步求得CD（3）分两种情形：当点P在线段AC上时，连接BP，交CQ于R，设P(t，t+3)，根据CP=CB求得t的值，可推出四边形BCPQ是平行四边形，进而求得Q点坐标；当点P在【详解】（1）解：由题意得，y=−(x+3)(x−1)=−x（2）解：如图1，作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，∵OA=OC=3，∠AOC=90∴∠CAO=∠ACO=45°，∴∠MEQ=∠AEF=90°−∠CAO=45°，抛物线的对称轴是直线：x=−3+1∴y=x+3=−1+3=2，∴D(1,2)，∵C(0,3)，∴CD=2故只需△MCD的边CD上的高最大时，△MCD的面积最大，设过点M与AC平行的直线的解析式为：y=x+m，当直线y=x+m与抛物线相切时，△MCD的面积最大，由x+m=−xx2由△=0得，32m−3=9∴x∴x∴y=−−y=x+3=−3∴ME=15∴MQ=ME⋅sin∴S（3）解：如图2，当点P在线段AC上时，连接BP，交CQ于R，∵点B和点Q关于CQ对称，∴CP=CB，设P(t，由CP2=C∴t1=−∴P−∵PQ∥∴CRQR∴CR=QR，∴四边形BCPQ是平行四边形，∵1+(−5)−0=1−5∴Q1−如图3，当点P在AC的延长线上时，由上可知：P5同理可得：Q1+综上所述：Q1−5，【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．8．（2023·四川甘孜·统考中考真题）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A−1，0，B两点，与

(1)求b，c的值；(2)P为第一象限抛物线上一点，△PBC的面积与△ABC的面积相等，求直线AP的解析式；(3)在（2）的条件下，设E是直线BC上一点，点P关于AE的对称点为点P'，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点P'恰好落在直线BC上，如果存在，求出点【答案】(1)b=−2,(2)y=x+1(3)存在，点P'的坐标为1+21【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）S△PBC=S（3）由题意的：∠AEP=∠AEP【详解】（1）由题意，得1−b+c=0,∴（2）由（1）得抛物线的解析式为y=x令y=0，则x2−2x−3=0，得∴B点的坐标为3，∵S∴AP∥BC．∵B3∴直线BC的解析式为y=x−3．∵AP∥BC，∴可设直线AP的解析式为y=x+m．∵A（−1，∴0=−1+m．∴m=1．∴直线AP的解析式为y=x+1．

（3）设P点坐标为m，∵点P在直线y=x+1和抛物线y=x∴n=m+1，∴m+1=m解得m1∴点P的坐标为4，

由翻折，得∠AEP=∠AEP∵AP∥BC，∴∠PAE=∠AEP∴∠PAE=∠PEA．∴PE=PA=4+1设点E的坐标为t，t−3，则∴t=6±21当t=6+21时，点E的坐标为6+设P'由P'E=AP，s−6−21解得：s=1+21则点P'的坐标为1+当t=6−21时，同理可得，点P'的坐标为综上所述，点P'的坐标为1+21,【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，此题题型较好，综合性比较强，用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想．9．（2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模）如图，“爱心”图案是由抛物线y=−x2+m的一部分及其关于直线y=−x的对称图形组成，点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D

(1)求m的值及AC的长；(2)求EF的长；(3)若点P是该图案上的一动点，点P、点Q关于直线y=−x对称，连接PQ，求PQ的最大值及此时Q点的坐标．【答案】(1)m=6，AC=6+(2)5(3)2542【分析】（1）用待定系数法求得m与抛物线的解析式，再求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而求得A的坐标，根据对称性质求得B，C的坐标，即可求得结果；（2）将抛物线的解析式与直线EF的解析式联立方程组进行求解，得到E，F的坐标，即可求得结果；（3）设P（m,−m2+6），则Q（【详解】（1）把D6,0代入y=−解得m=6∴抛物线的解析式为：y=−∴A根据对称性可得B−6,0，∴AC=AO+OC=6+（2）联立y=−x解得x=3y=−3或∴E−2,2，∴EF=（3）设P（m,−∴PQ=整理得PQ=∵m−∴当m−122=0时，即m=∴PQ的最大值为25∴1故Q【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，求抛物线与一次函数的交点坐标，二次函数的最值等知识，解题的关键是掌握关于直线y=−x对称的点坐标的关系．题型04特殊角度存在性问题10．（2023·山西忻州·统考模拟预测）如图，抛物线y=18x2+34x−2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．P是直线AC下方抛物线上一个动点，过点P作直线l∥BC，交AC于点D，过点P作

(1)直接写出A，B，C三点的坐标，并求出直线AC的函数表达式；(2)当线段PF取最大值时，求△DPF的面积；(3)试探究在拋物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠CAQ=45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A−8,0，B2,0，C(2)8(3)存在，−3,3或−3,−【分析】（1）对于直线y=18x2+34令18x2+34x−2=0，则x=2或−8，则点A，B的坐标分别为（2）设点P的横坐标为m，则Pm,18m2+34m−2，Fm,−14m−2（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为x=−3，当点Q在x轴上方时，设抛物线的对称轴交x轴于点N，交AC于H，故点Q作QT⊥AC于点T，在△AQH中,∠CAQ=45°，tan∠QHA=4，用解直角三角形的方法求出QH=174，即可求出Q点坐标，当点QQ'在x轴上方时，直线AQ的表达式为y=【详解】（1）解：对于抛物线y=18x2+34令18x2+34x−2=0，则x=2或−8，则点即点A，B，C三点的坐标分别为−8,0，2,0，0,−2，设直线AC的表达式为y=kx+b，则−8k+b=0b=−2解得k=−1∴直线AC的函数表达式为y=−1（2）设点P的横坐标为m，则Pm,18PF=−当m=−−12×−18此时，P−4,−3由B2,0，C0,−2，可得直线BC的函数表达式为设直线l的函数表达式为y=x+p，将P−4,−3代入可得p=1∴直线l的函数表达式为y=x+1，由y=−14x−2∴D−125,−75，点∴S（3）存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为x=−3，当点Q在x轴上方时，如下图：

设抛物线的对称轴交x轴于点N，交AC于H，故点Q作QT⊥AC于点T，则∠ACO=∠QHA，则tan∠ACO=当x=3时，y=−14x−2=−由点A，H的坐标得，AH=5在△AQH中，∠CAQ=45°，tan∠QHA=4设TH=x，则QT=4x，则QH=17则AH=AT+TH=5x=5174则QH=17x=17则点Q−3,3当点QQ'在x轴上方时，直线AQ的表达式为当∠CAQ'=45°则直线AQ'的表达式为当x=−3时，y=−5即点Q'的坐标为−3,−综上所述点Q的坐标为−3,3或−3,−25【点睛】本题考查了二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、面积的计算等，其中第三小问中要注意分类求解是解答本题的关键．11．（2023·山西运城·校联考模拟预测）综合与探究如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A−6,0，D−1,5两点，点P是直线AD上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m，过点P

(1)求抛物线的函数表达式；(2)当PE的长最大时，求线段PE的最大值及此时点P的坐标；(3)连接BC，OP，试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得∠OPE=∠BCO，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=−(2)点P的坐标为−72,45(3)存在，m=−2或m=−【分析】（1）将点A、D的坐标代入求解即可得到答案；（2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AD于点N，易得PE=22PN，即可得到PN（3）设P(m,−12m2−52m+3)，求出OP的解析式，联立AD的解析式求出交点坐标【详解】（1）解：由题意得：36a−6b+3=0a−b+3=5解得：a=−1故抛物线的表达式为：y=−1（2）解：过点P作PH⊥x轴于点H，交AD于点N，

由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y=x+6，则直线AD和x轴的正半轴的夹角为45°，则∠ANH=∠DAO=45°=∠PNE，则PE=2设点P的坐标为：m，−1则PN=−1即PN的最大值为258，此时，点P的坐标为：−则PE的最大值为252故点P的坐标为：−72，458（3）解：存在，理由如下：设P(m,−12m2−52m+3)，OP与∴k1m=−1∴y=(−1联立得，y=(−解得：x=−12mm2∴F(−12m设E(t,t+6)∵PE⊥AD，∴PA2=A解得：t=−∴E(−∴FE==2PE==2∵∠OPE=∠BCO，∠OEP=∠BOC=90°，∴△FPE∽△BCO，∴FEPE当x=0时，y=3，当y=0时，−12x2−∴OB=1，OC=3，∴m解得：m=−2，m=−10−2，m=3（不符合意义舍去），∴m=−2或m=−10【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次和二次函数的性质、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．12．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A1,0，B4,0(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求PAPC(3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=12【答案】(1)y=(2)3(3)Q5+172,2或Q【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可；（2）根据△PAC的周长等于PA+PC+AC，以及AC为定长，得到当PA+PC的值最小时，△PAC的周长最小，根据抛物线的对称性，得到A,B关于对称轴对称，则：PA+PC=PB+PC≥BC，得到当P,B,C三点共线时，PA+PC=BC，进而求出P点坐标，即可得解；（3）求出D点坐标为0,2，进而得到tan∠OBD=12，得到∠QDB=∠OBD，分点Q【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A∴a+b+4=016a+4b+4=0，解得：a=1∴y=x（2）∵y=x2−5x+4，当x=0∴C0,4，抛物线的对称轴为直线∵△PAC的周长等于PA+PC+AC，AC为定长，∴当PA+PC的值最小时，△PAC的周长最小，∵A,B关于对称轴对称，∴PA+PC=PB+PC≥BC，当P,B,C三点共线时，PA+PC的值最小，为BC的长，此时点P为直线BC与对称轴的交点，设直线BC的解析式为：y=mx+n，则：4m+n=0n=4，解得：m=−1∴y=−x+4，当x=52时，∴P5∵A1,0∴PA=52−1∴PAPC（3）解：存在，∵D为OC的中点，∴D0,2∴OD=2，∵B4,0∴OB=4，在Rt△BOD中，tan∵tan∠QDB=∴∠QDB=∠OBD，①当Q点在D点上方时：过点D作DQ∥OB，交抛物线与点Q，则：∠QDB=∠OBD，此时Q点纵坐标为2，设Q点横坐标为t，则：t2解得：t=5±∴Q5+172②当点Q在D点下方时：设DQ与x轴交于点E，则：DE=BE，设Ep,0则：DE2=O∴p2+4=4−p∴E3设DE的解析式为：y=kx+q，则：q=23k2+q=0∴y=−4联立y=−43x+2y=x∴Q3,−2或Q综上：Q5+172,2或Q5−【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题．题型05将军饮马模型解决存在性问题13．（2023·广东湛江·校考一模）抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A−3,0,B

(1)(2)求抛物线的解析式(3)在抛物线对称轴上找一点M，使△MBC的周长最小，并求出点M的坐标和△MBC的周长(4)若点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥BC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点【答案】(1)抛物线的解析式为y=−(2)当△MBC的周长最小时，点M的坐标为−1,43，△MBC(3)在抛物线上存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为−2,2或−1−7,−2【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线x=−1，连接AC，交抛物线对称轴于点M，此时△MBC的周长取最小值，由点A，B，C的坐标可得出BC，AC的长度及直线AC的解析式，再结合二次函数图象对称轴的横坐标和直线AC的解析式可得出点M的坐标和△MBC的周长；（3）由点B，C，P的纵坐标可得出点Q的纵坐标为2或−2，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点Q的坐标．【详解】（1）解：解：将A−3,0,B1,0代入y=a解得：a=−2∴抛物线的解析式为y=−2（2）解：当x=0时，y=−2∴点C的坐标为0,2．∵抛物线的解析式为y=−2∴抛物线的对称轴为直线x=−1．连接AC，交抛物线对称轴于点M，如图1所示．

∵点A，B关于直线x=−1对称，∴MA=MB，∴MB+MC=MA+MC=AC，∴此时△MBC的周长取最小值．∵点A的坐标为−3,0，点B的坐标为1,0，点C的坐标为0,2，∴AC=13，BC=5，直线AC的解析式为当x=−1时，y=2∴当△MBC的周长最小时，点M的坐标为−1,43，△MBC的周长为（3）解：∵以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点B，P的纵坐标为0，点C的纵坐标为2，∴点Q的纵坐标为2或−2，如图2所示．

当y=2时，2=−2解得：x1∴点Q的坐标为−2,2；当y=−2时，−2=−2解得：x1∴点Q的坐标为−1−7,−2或∴在抛物线上存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为−2,2或−1−7,−2或【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）利用两点之间线段最短，找出点M的位置；（3）根据平行四边形的性质，找出点Q的纵坐标为2或−2．14．（2023·河南周口·校联考三模）如图，抛物线y=−12x2+bx+c交x轴于点A，B，交y轴于点C，连接AC

(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；(2)在直线x=1上找一点P，使PA+PC的和最小，并求出点P的坐标；(3)将线段AC沿x轴向右平移a个单位长度，若线段AC与抛物线有唯一交点，请直接写出a的取值范围．【答案】(1)抛物线的表达式为y=−12(2)1,3(3)2≤a≤6【分析】（1）根据对称轴得出b=1，再将点代入确定解析式，即可确定顶点坐标；（2）连接BC，交直线x=1于点P，点P即为所求，连接AP，利用两点之间线段最短得出PA+PC的和最小，由待定系数法确定直线BC的表达式为y=−x+4，即可确定点P的坐标；（3）根据题意得：点C的运动轨迹为射线CD，点A的运动轨迹为射线AB，若线段AC与抛物线有唯一交点，则线段AC在线段m,n间平移（含线段m,n），由抛物线的对称性得CD=2×1=2，AB=2×2+1【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴−b2×−∴y=−1把点A−2,0代入，得−解得c=4．∴抛物线的表达式为y=−1把x=1代入y=−12x∴抛物线的顶点坐标为1,9（2）如图1，连接BC，交直线x=1于点P，点P即为所求．连接AP，由抛物线的对称性可知点A与点B关于直线x=1对称，则点B的坐标为4,0．此时PA+PC=PB+PC=BC，即PA+PC的和最小．y=−12x2+x+4∴点C的坐标为0,4．设直线BC的表达式为y=kx+d，把点B4,0，C0,4代入可得4∴直线BC的表达式为y=−x+4．当x=1时，y=−1+4=3．∴点P的坐标为1,3．

（3）2≤a≤6．如图2，根据题意得：点C的运动轨迹为射线CD，点A的运动轨迹为射线AB，若线段AC与抛物线有唯一交点，则线段AC在线段m,n间平移（含线段m,n），由抛物线的对称性得CD=2×1=2，AB=2×2+1∴当线段AC与抛物线有唯一交点时，a的取值范围为2≤a≤6．

【点睛】题目主要考查待定系数法确定函数解析式，线段最短问题及交点问题，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．15．（2023·黑龙江齐齐哈尔·校联考一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．

（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值；（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m．是否存在点P，使△FCG是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3；（2）M（2，﹣1），10+32；（3）存在，m＝5或m＝4或m=3+【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，用待定系数法求出解析式；（2）连接BC交DE于点M，此时MA+MC最小，可以根据轴对称的性质证明此时线段和最小，再利用几何的性质求出此时的周长最小值和点M的坐标；（3）设点F（m，﹣m2+4m﹣3），点G（m，m﹣3），然后用m表示出FG2、CF2、【详解】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：a+b−3=09a+3b−3=0解得a=−1b=4∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；（2）如下图，连接BC交DE于点M，此时MA+MC最小，

又因为AC是定值，所以此时△AMC的周长最小．由题意可知OB＝OC＝3，OA＝1，∴BC=CO2∵DE是抛物线的对称轴，与x轴交点A（1，0）和点B（3，0），∴AE＝BE＝1，对称轴为x＝2，由OB＝OC，∠BOC＝90°得∠OBC＝45°，∴EB＝EM＝1，又∵点M在第四象限，在抛物线的对称轴上，∴M（2，﹣1），∴此时△AMC的周长的最小值＝AC+AM+MC＝AC+BC＝10+3（3）存在这样的点P，使△FCG是等腰三角形，∵点P的横坐标为m，故点F（m，﹣m2+4m﹣3），点G（m，m﹣3），则FG2＝（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2，CF2＝（m2﹣3m）2，GC2＝2m2，当FG＝FC时，则（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2＝（m2﹣3m）2，解得m＝0（舍去）或4；当GF＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或3±2当FC＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或5，综上，m＝5或m＝4或m=3+2或3−【点睛】本题考查二次函数的综合题，解题的关键是掌握求二次函数解析式的方法，利用轴对称解决线段和最小值的方法和等腰三角形存在性问题的解决方法．题型06二次函数中面积存在性问题16．（2023·黑龙江鸡西·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+8交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接AC、BC，AB=AC

(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在一点G，使直线BG将△ABC的面积分成1:2的两部分，若存在，求点G的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=−(2)G的坐标为−5，3【分析】（1）求出C0，8，则OC=8，由tan∠ABC=2得OB=4，B4，0（2）设直线BG交AC于点M，过点M作MN⊥x轴于点N，过点G作GQ⊥x轴于点Q，设Gt，−13t2−23t+8，则GQ=−13【详解】（1）解：在y=ax2+bx+8中，令x=0∴C0∴OC=8，∵tan∠ABC=∴OB=4，∴B4设OA=m，则AC=AB=4+m，在Rt△AOC中，OA2解得：m=6，∴A−6∴设抛物线解析式为y=ax+6将点C0，8∴抛物线解析式为y=−1（2）解：设直线BG交AC于点M，过点M作MN⊥x轴于点N，过点G作GQ⊥x轴于点Q，，设Gt，−13∴BQ=4−t，当S△ABM:S△CBM=1:2时，即S∴MN=1∵tan∠BAC=∴AN=2，∴BN=AB−AN=8，∵tan∠GBQ=GQBQ解得t=−5或t=4（与A重合，舍去），∴G−5当S△CBM:S同理可得MN=2∵tan∠BAC=∴AN=4，∴BN=AB−AN=6，∵tan∠GBQ=GQBQ解得t=−103或∴G−综上所述，G的坐标为−5，3或【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，设计待定系数法，三角形面积的计算，锐角三角函数等，解题的关键是分类讨论思想的应用．17．（2023·广东汕头·统考二模）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、

(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．②设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，直接写出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；【答案】(1)y=−(2)①存在，最大值为12124；②P−1,4【分析】（1）根据正切函数，可得OB，根据旋转的性质，可得（2）①可求得直线CD的解析式，过P作PN⊥x轴于点N，交CD于点M，可用t表示出PM的长，当PM取最大值时，则②根据相似三角形的性质，可得PM与ME的关系，根据解方程，可得t的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【详解】（1）解：在Rt△AOB中，OA=1，tan∴OB=3OA=3，∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOBSSS∴OC=OB=3，OD=OA=1．∴A，B，C的坐标分别为1,0，0,3，−3,0，代入解析式得：a+b+c=09a−3b+c=0解得：a=−1b=−2∴抛物线的解析式为y=−x（2）①存在点P使△PCD的面积最大，△PCD的面积有最大值为121理由如下：设直线CD解析式为y=kx+m，把C、D两点坐标代入可得：−3k+m=0m=1解得：k=1∴直线CD解析式为y=1如图2，过P作PN⊥x轴，交x轴于点N，交直线CD于点M，

∵P点横坐标为t，∴PN=−t2−2t+3∵P点在第二象限，∴P点在M点上方，∴PM=PN−MN=−t∴当t=−76时，PM有最大值，最大值为∵S∴当PM有最大值时，△PCD的面积有最大值，∴S综上可知，存在点P使△PCD的面积最大，△PCD的面积有最大值为12124②当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，△EFC∽△EMP，

∴EM∴MP=3ME，∵点P的横坐标为t，∴Pt,−∵P在第二象限，∴PM=−t2−2t+3∴−t解得t1=−2，t2=3，与当t=−2时，y=−−2∴P−2,3当∠CEF=90°时，△CEF∽△COD，此时，PE⊥x轴，∴P∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为−1,4或−2,3．【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC，OD的长，又利用了待定系数法；解（218．（2023·辽宁盘锦·校联考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+3经过A−1，0、B3，0两点，交y轴于C，对称轴与抛物线相交于点P

(1)求该抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在一点Q，使△QPB与△EPB的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．(3)抛物线上存在一点G，使∠GBA+∠PBE=45°，请求出点G的坐标．【答案】(1)y=−(2)存在，(2−3,2(3)−32【分析】（1）将A−1，0、B（2）根据二次函数图像的性质可得PH=4，BH=2，然后再求出直线BC解析式为y=−x+3可得E1，2；如图：如图，过点E作EQ∥BC，交抛物线于Q，此时△QPB与△PEB的面积相等；再求出直线QE的表达式为：y=−2x−1+2（3）先说明∠CBO=45°，再分点G在直线AB的上方和下方两种情况，分别运用正切函数和抛物线的对称性即可解答．【详解】（1）解：把A−1，0a−b+c=09a+3b+c=0，解得a=−1∴该抛物线的解析式为y=−x（2）解：存在，求解如下：由y=−x则顶点P1，4∴H1∴PH=4，BH=2，∵B∴由待定系数法可得：直线BC解析式为y=−x+3，∴点E1如图，过点E作EQ∥BC，交抛物线于Q，此时△QPB与

由点P、B的坐标得，直线PB的表达式为：y=−2x−3则直线QE的表达式为：y=−2x−1联立①②并整理得：x2−4x+1=0，解得：则点Q的坐标为(2−3,23对于直线QE，设QE交x轴于点R，令y=−2x−1解得：x=2，即点R（2，0），则BR=3−2=1，取点R′使BR=BR'，过点R′作PB的平行线l，如上图，则点R′（4，0），则直线l的表达式为：y=−2x−4联立y=−x2+2x+3和y=−2则Δ=16−20故在点B的右侧不存在点Q，综上，点Q的坐标为(2−3,23（3）解：∵B3∴OB=OC，∴∠CBO=45°，若点G在直线AB的上方时，

∵PH⊥AB，∠CBO=45°，∴∠HEB=45°，∴∠PBE+∠BPE=45°，∵∠GBA+∠PBE=45°，∴∠BPE=∠GBA，∴tan∠BPH=tan∠GBA=∴OF=3∴点F∴直线BF解析式为y=−1联立①③（得：−x解得x=3y=0或∴点G的坐标为−1若点G在直线AB的下方时，由对称性可得：点F'∴直线BF解析式为y=1联立①④得：−x解得：x=−32y=∴点G的坐标为−综上所述：点G的坐标为：−32,−【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数图像的性质、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合和分类讨论思想是解答本题的关键．19．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知：y关于x的函数y=a−2

(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a=4b，则a的值是___________；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A−2,0，B4,0，并与动直线l:x=m(0<m<4)交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE①当点P为抛物线顶点时，求△PBC②探究直线l在运动过程中，S1【答案】(1)0或2或−(2)①6，②存在，16【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出a值．（2）①根据A和B的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标P，从而求出PH长度，再利用A和B的坐标点即可求出BC的直线解析式，结合xF=xP即可求出F点坐标，从而求出②观察图形，用m值表示出点P坐标，再根据平行线分线段成比例求出OD长度，利用割补法表示出S1和S2，将二者相减转化成关于m的二次函数的顶点式，利用m取值范围即可求出【详解】（1）解：∵函数的图象与坐标轴有两个公共点，∴a−2∵a=4b，∴a−2当函数为一次函数时，a−2=0，∴a=2．当函数为二次函数时，a−2x若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与x轴，y轴分别只有一个交点时，∴Δ∴a=−1当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点，即其中一点经过原点，∴b=0，∵a=4b，∴a=0．综上所述，a=2或0．故答案为：0或2或−1（2）解：①如图所示，设直线l与BC交于点F，直线l与AB交于点H．

依题意得：2a+b=1020a+b=28，解得：∴抛物线的解析式为：y=−x∵点P为抛物线顶点时，P(1,9)，C(0,8)，∴PH=9，xP由B4,0，C0,8得直线BC的解析式为∵F在直线BC上，且在直线l上，则F的横坐标等于P的横坐标，∴F1,6∴FH=6，OH=1，∴PF=PH−FH=9−6=3，BH=OB−OH=4−1=3∴S故答案为：6．②S1如图，设直线x=m交x轴于H．由①得：OB=4，AO=2，AB=6，OC=8，AH=2+m，P∴PH=−m∵OD⊥x，PH⊥AB，∴OD∥∴AO即22+m∴OD=8−2m∵S1=∴S∴S∵−3<0，0<m<4，∴当m=43时，S1故答案为：163【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到函数与坐标轴交点问题，二次函数与面积问题，平行线分线段成比例，解题的关键在于分情况讨论函数与坐标轴交点问题，以及二次函数最值问题．题型07二次函数中等腰三角形存在性问题20．（2023·广东湛江·统考三模）如图，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=−x2−2x+3与x轴交于A，B两点，与y(1)如图①，连接BC，在y轴上存在一点D，使得△BCD是以BC为底的等腰三角形，求点D的坐标；(2)如图②，在抛物线上是否存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图③，连接BC，在直线AC上是否存在点F，使△BCF是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如图④，若抛物线的顶点为H，连接AH，在x轴上是否存在一点K，使△AHK是等腰三角形？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由；(5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△ACG是等腰三角形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)D(0，43(2)存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形，E(−1+132，1−132)或(−1−(3)存在点F，使△BCF是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的点F(−2，1)或(5，5+3)或(−5，3−5)(4)存在点K，使△AHK是等腰三角形，K点坐标为(1，0)或(25−3，0)或(−25−3，0)或(2，0)(5)存在点G，使△ACG是等腰三角形，G点坐标为(−1，1)或(−1，14)或(−1，−14)或(−1，3+17)或(−1，3−17)【分析】（1）设D(0，t)，由DC=BD，则|3−t|=1+t2，求出t即可求D(0，43（2）点E在线段AC的垂直平分线上，再由△AOC是等腰直角三角形可得AC垂直的直线为y=−x，联立方程组y=−xy=−x2（3）设F(t，t+3)，由BC=BF和BC=CF，建立方程求出t的值，即可求出答案；（4）求出顶点H(−1，4)，设K(m，0)，分三种情况讨论：①当AH=HK时，可得K(1，0)；②当AH=AK时，可得．K(25−3，0)或(−25−3，0)；③当HK=AK时，可得K(2，0)；（5）设G(−1，t)，分三种情况讨论∶①当AG=CG时，可得G(−1，1)；②当AG=AC时，可得G(−1，14)或(−1，−14)；③当AC=CG时，可得G(−1，3+17)或(−1，3−17)．【详解】（1）解：令x=0，则y=3，∴C(0，3)，令y=0，则x=−3，∴A(−3，0)，令y=0，则−x解得x=−3或x=1，∴B(1，0)，设D(0，t)，∴DC=BD，∴|3−t|=1+t解得t=43∴D(0，43)（2）解：存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形，理由如下：∵A(−3，0)，C(0，3)，∴AC的中点为(−32，32∵OC=OA，∴△AOC是等腰直角三角形，∴过AC的中点与AC垂直的直线为y=−x，联立方程组y=−xy=−解得x=−1+132∴E(−1+132，1−132)或(−1−13（3）解：存在点F，使△BCF是以BC为腰的等腰三角形，理由如下：设F(t，t+3)，当BC=BF时，∴(t−1)2解得t=0(舍去)或t=−2，∴F(−2，1)；当BC=CF时，t2∴t=±5，∴F(5，5+3)或(−5，3−5)，即满足条件的点F(−2，1)或(5，5+3)或(−5，3−5)；（4）解：存在点K，使△AHK是等腰三角形，理由如下：∵y=−x∴顶点H(−1，4)，设K(m，0)，①当AH=HK时，4+16=(m+1)解得m=1或m=−3(舍)，∴K(1，0)；②当AH=AK时，4+16=(m+3)解得m=25−3或m=−25−3，∴K(25−3，0)或(−25−3，0)；③当HK=AK时，(m+1)2解得m=2，∴K(2，0)；综上所述：K点坐标为(1，0)或(25−3，0)或(−25−3，0)或(2，0)；（5）解：存在点G，使△ACG是等腰三角形，理由如下：∵抛物线的对称轴为直线x=−1，设G(−1，t)，①当AG=CG时，4+t解得t=1，∴G(−1，1)；②当AG=AC时，4+t解得t=±14∴G(−1，14)或(−1，−14)；③当AC=CG时，1+(t−3)解得t=3+17或t=3−17，∴G(−1，3+17)或(−1，3−17)；综上所述：G点坐标为(−1，1)或(−1，14)或(−1，−14)或(−1，3+17)或(−1，3−17)．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．21．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考二模）如图，抛物线y=x2+bx+c（b、c是常数）的顶点为C，与x轴交于A、B两点，其中A1，0，B−3,0，点P从A点出发，在线段AB上以1单位长度/秒的速度向B点运动，运动时间为t秒0<t<4，过P

(1)求该抛物线的解析式；(2)当t为何值时，△CPQ的面积最大？并求出△CPQ面积的最大值；(3)点P出发的同一时刻，点M从B点出发，在线段BC上以52单位长度/秒的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BMP为等腰三角形，若存在，直接写出P【答案】(1)y=(2)t=2，面积最大值2；(3)−79,0或【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）求出直线BC的解析式为y=−2x−6，根据平行求出直线PQ的解析式为y=−2x−2t+2，同理可得直线AC的解析式为y=2x−2，通过建立方程求出点Q1−12t,−t，由PQ∥BC，则S△CPQ=S（3）根据锐角三角函数和勾股定理的知识分别表示出BP2、BM2、MP【详解】（1）解：将A1，0，B∴1+b+c=09−3b+c=0解得：b=2c=−3∴抛物线的解析式为y=x（2）解：如图：

∵y=x∴C−1,−4设直线BC的解析式为y=kx+m，∴−3k+m=0−k+m=−4解得：k=−2b=−6∴直线BC的解析式为y=−2x−6，∵P1−t,0，PQ∥BC∴直线PQ的解析式为y=−2x−2t+2，同理可得直线AC的解析式为y=2x−2，当−2x−2t+2=2x−2时，x=1−1∴Q1−∵PQ∥BC，∴S△CPQ∴当t=2时，△CPQ面积的最大值为2；（3）解：存在t，使△BMP为等腰三角形，理由如下：如图，

由（2）可知，P1−t,0过M点作MG⊥x轴交于G点，过C点作CH⊥x轴交于H点，∵C−1,−4∴CH=4，OH=1，∵B−3,0∴OB=3，∴BH=2，∴BC=4∴sin∠ABC=CHBC∴42∴GM=t，∴GB=1∴OG=OB−BG=3−1∴M−3+当点P在点G右侧时，BPMPBM由题意可得：①当MP=BP，则4−t2=134t2−12t+16②当BP=BM时，则4−t2=54t2，解得③当MP=BM时，则134t2−12t+16=5当点P在点G左侧时，MP①当MP=BP，则54t2+2t+4=4−t②当BP=BM时，则4−t2=54t③当MP=BM时，则54t2综上所述当t=169或t=85−2或∴点P坐标为：−79,0或17−8【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，求两直线的交点坐标，二次函数的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理是解题的关键．22．（2023·海南海口·海师附中校考三模）如图，抛物线y=ax2+3x+ca≠0与x轴交于点A−2,0和点B，与y轴交于点C0,8，顶点为D，连接AC，CD，

(1)求抛物线的解析式；(2)当t为何值时，△PBC的面积最大？并求出最大面积；(3)M为直线BC上一点，求MO+MA的最小值；(4)过P点作PE⊥x轴，交BC于E点．是否存在点P，使得△PEC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的解析式为：y=−(2)当t=4时，△PBC(3)2(4)存在，P点的坐标为P6,8，P4,12【分析】（1）利用待定系数法求解析式；（2）利用抛物线的解析式求出点B的坐标，得到直线BC的解析式，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点F，交BC于点G，利用S△PBC（3）作O关于直线BC的对称点为O'，得到四边形COBO'为正方形，则O'8,8，则MO+MA=MO'+MA，当A、M、（4）分三种情况：当CE=PE时，当PE=PC时，当CE=CP时，分别求出点P的坐标【详解】（1）解：由题意得：4a−6+c=0c=8，解得：a=−∴抛物线的解析式为：y=−1（2）当−12x2+3x+8=0∴B8,0设直线BC的解析式为y=kx+b，则8k+b=0b=8解得k=−1∴直线BC的解析式为y=−x+8．如图，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点F，交BC于点G．

设点Pt,−12∴PG=−1∴S△PBC∴当t=4时，△PBC（3）作O关于直线BC的对称点为O'，连接O

∵∠CBO=45°，OB=OC，∴四边形COBO'为正方形，则则MO+MA=MO当A、M、O'三点共线时，MO+MA最小，即为线段A∴MO+MA最小值为O'（4）∵Pt,−∴Et,−t+8

∵OB=OC=8，∴BC=2OB=8∵BF=EF=8−t∴BE=2∴CE=CB−BE=82PE=−1PC当CE=PE时，−12t2+4t=∴P8−2当PE=PC时，则PE∴−1解得t=0（舍去）或t=6，∴P6,8当CE=CP时，则CE∴2t解得t=4或t=8（舍去），∴P4,12综上，P点的坐标为P6,8，P4,12，【点睛】此题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称问题，等腰三角形的性质，图形面积问题，综合掌握各知识点是解题的关键．23．（2023·广东东莞·东莞市东莞中学松山湖学校校考二模）如图，二次函数y=12x2+bx−32的图象与x轴交于点A(−3,0)和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P

(1)b=___；点D的坐标：___；(2)线段AO上是否存在点P（点P不与A、O重合），使得OE的长为12？若存在，请求出点P(3)在x轴负半轴上是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1；(−3,4)．(2)线段AO上存在点P（点P不与A、O重合），使得OE的长为12．此时点P坐标为P−1,0或(3)存在这样的点P，点P的坐标为(−4,0)，此时ΔPED与正方形ABCD重叠部分的面积为24【分析】（1）利用点在二次函数图象上，代入即可求得b，将二次函数换成交点式，即能得出B点的坐标，由AD=AB可算出D点坐标；（2）假设存在，由DP⊥AE，找出∠EPO=∠PDA，利用等角的正切相等，可得出一个关于OP长度的一元二次方程，再求解即可；（3）利用角和边的关系，找到全等，再利用三角形相似，借助相似比即可求得AM，求出△ADM的面积即是所求．【详解】（1）∵点A(−3,0)在二次函数y=1∴0=92−3b−∴二次函数解析式为y=1∴点B(1,0)，AB=1−(−3)=4，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB=4，∴点D(−3,4)，故答案为：1；(−3,4)．（2）直线PE交y轴于点E，如图1，

假设存在点P，使得OE的长为12，设OP=a，则AP=3−a∵DP⊥AE，∠APD+∠DPE+∠EPO=180°，∴∠EPO=90°−∠APD=∠ADP，tan∠ADP=APAD∴3−a4=1解得：a1∴P−1,0或−2,0故线段AO上存在点P（点P不与A、O重合），使得OE的长为12．此时点P坐标为P−1,0或（3）假设存在这样的点P，DE交x轴于点M，如图2，

∵△PED是等腰三角形，∴DP=PE，∵DP⊥PE，四边形ABCD为正方形∴∠EPO+∠APD=90°，∠DAP=90°，∠PAD+∠APD=90°，∴∠EPO=∠PDA，∠PEO=∠DPA，在△PEO和△DAP中，∠EPO=∠PDADP=PE∴△PEO≌△DAP，∴PO=DA=4，OE=AP=PO−AO=4−3=1，∴点P坐标为(−4,0)．∵DA⊥x轴，∴DA∥EO，∴∠ADM=∠OEM，又∵∠AMD=∠OME，∴△DAM∽△EOM，∴OMMA∵OM+MA=OA=3，∴MA=4△PED与正方形ABCD重叠部分△ADM面积为12答：存在这样的点P，点P的坐标为(−4,0)，此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积为245【点睛】本题考查了二次函数的交点式、全等三角形的判定、相似三角形的相似比等知识，解题的关键是注重数形结合，找准等量关系．题型08二次函数中直角三角形存在性问题24．（2023·辽宁营口·校联考一模）已知直线l与x轴、y轴分别相交于A(1,0)、B(0,3)两点，抛物线y=ax2−2ax+a+4(a<0)经过点B，交x

(1)求直线l的函数解析式和抛物线的函数解析式；(2)在第一象限内抛物线上取点M，连接AM、BM，求△AMB面积的最大值及点M的坐标．(3)抛物线上是否存在点P使△CBP为直角三角形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)一次函数解析式为：y=−3x+3，二次函数解析式为：y=−(2)258，(3)存在，点P的坐标为(−2，−5)或(1，4)或【分析】（1）先利用待定系数法求得直线l的函数解析式，求得点B的坐标，从而可以求得抛物线的解析式；（2）根据题意可以求得点A的坐标，然后根据题意和图形可以用含m的代数式表示出S，然后将其化为顶点式，再根据二次函数的性质即可解答本题；（3）分三种情况讨论，分别当BC、PC、PB为斜边时，利用勾股定理列方程即可求解．【详解】（1）解：设y=kx+b，把A(1,0)，B(0,3)代入得：k+b=00+b=3∴k=−3，b=3，∴一次函数解析式为：y=−3x+3，把B(0,3)代入y=ax∴3=a+4，∴a=−1，∴二次函数解析式为：y=−x（2）解：连接OM，

把y=0代入y=−x2+2x+3∴x=−1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为−1和3，设点M(m,−m∵M在抛物线上，且在第一象限内，∴0<m<3，∵A的坐标为(1,0)，∴S==12×m×3+∴当m=52时，S取得最大值此时M的坐标为52（3）解：设点P(n，则BC2=32当PC为斜边时，则n2解得n=0（舍去）或n=1，∴点P(1，当PB为斜边时，则n−32解得n=3（舍去）或n=−2，∴点P(−2，当BC为斜边时，则n−32解得n=3（舍去）或n=0（舍去）或n=1+52∴点P的坐标为1+52，综上，点P的坐标为(−2，−5)或(1，4)或【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数的最值、勾股定理，待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想和转化的数学思想解答．25．（2023·江苏连云港·校联考三模）如图，二次函数y=ax2+4x+c的图象与x轴交于A、B两点与y轴交于点C，B点坐标−1,0，C

(1)求抛物线的函数关系式和点A坐标；(2)在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)过抛物线上的