《隐圆在几何问题中的应用》公开课教学课件

隐圆在几—此作用何中的问题来圆简如单圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，并且等于这条弧所对的圆心角度数的一半.

推论：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.

圆内接四边形的对角互补.

知识必备已知线段AB=6，在平面内有一动点C，满足∠ACB=900,ABC探究：∟CABO∟问题一：你能找到几个这样的点C，问题三：求△ABC面积的最大值？问题二：求C点的运动路径长？运动路径长：6πSmax=9所有符合条件的点C组成了什么样的图形？小结：当线段AB的大小和位置都确定，并且线段AB所对的张角∠ACB=90°，则点C的运动路径是以AB为直径的圆（A,B两个点除外）.∟C已知线段AB=6，平面内动点C，满足∠ACB=600，情况又如何？ABC1(600C2600(变式1：C∟小结：当线段AB的大小和位置都确定，并且线段AB所对的张角∠ACB为锐角时，则点C的运动路径是以AB为弦的两段优弧AB上运动（A,B两个点除外）.已知线段AB=4，线段外动点C，满足∠ACB=900,问题四：若I点为△ABC的内心，求I点的运动路径长？I1变式2：(450POI2C1AB∟C2∟(ABI21350小结：当线段AB的大小和位置都确定，并且线段AB所对的张角∠ACB为钝角时，则点C的运动路径是以AB为弦的两段劣弧AB上运动（A,B两个点除外）.1.模型构建：AB为定线段，平面内的动点C与A、B两端点形成的张角大小固定（即∠ACB=θ），则点C在以AB为弦的圆弧上运动（不与A、B重合）可称为“定边对定角”模型.2.确定圆心：利用圆周角和圆心角的关系来求解.3.确定半径：利用垂径定理和解直角三角来求解找线段，求张角；定弦定角画隐圆找路径，求最值；圆的知识来帮忙正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢.“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”.一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！口诀：直角必有外接圆，定边定角跑双弧.定边对定角解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴∠CBA＝∠A＝60°，AB=BC，∵AE=BF，∴△AEB≌△BCF，∴∠EBA＝∠BCF.…………（1分）∵∠EBA+∠EBC＝60°，∠EBC+∠BCF+∠BPC＝180°，∴∠BPC＝180°-∠EBC-∠BCF=180°-∠EBC-∠EBA，………（2分）＝180°-∠ABC=180°-60°＝120°.…………（3分）②（2）如图所示，由于∠BPC始终为120°，故过点B、C、P作圆O,∴∠BOC＝120°.当PO⊥BC于点N时，点P到BC的距离最大.∵OB=OC，∴∠BOP＝∠BOC=60°,NB=BC=3，∴ON=,OB=，∴点P到BC的最大距离PN=.

…………（6分）③由②可知点P的路径为弧BC的长度，即…………（8分）（2）点A′的路径长与点P的路径长的比值是2：1（或点A′的路径长是点P的路径长的2倍），理由：由（1）中题意可知张角∠CPB的度数始终为120°，可得∠CBP+∠BCP=60°，又因为圆P是△A′BC的内切圆，所以∠CBA′+∠BCA′=120°，所以∠CA′B=60°，所以A′是等边三角形ABC外接圆上优弧BAC上的一动点，…………（9分）由题意可得等边三角形ABC外接圆的半径为，点A′的路径是优弧BAC的长度，即以240°的圆心角，半径为的弧长，如图，所以点A′的路径长=，…………（11分）点A′的路径长与点P的路径长的比值是，（或点A′的路径长是点P的路径长的2倍）…………（12分）课堂小结：有些数学问题,将圆隐藏在已知条件里，隐晦地考查点圆、线圆的位置关系。解题时，需要我们通过分析探索，发现这些隐圆，做到图中无圆，心中有圆，通过慧眼识圆，从而利用圆内的丰富的性质来解题，问题：今天你们学到了什么知识?是怎样学到的?还有什么疑问?AB为定线段，平面内的动点C与A、B两端点形成的张角大小固定（即∠ACB=θ），则点C在以AB为弦的圆弧上运动（不与A、B重合）可称为“定边对定角”模型.如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的两个动点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，求P点的运动路径长？并求CP的最小值？OP’ABCEDP课外作业：课外作