（衡水万卷）高考数学二轮复习 二十五 数列综合题（一）作业 理-人教版高三数学试题

衡水万卷作业（二十五）数列综合题（一）考试时间：45分钟姓名：__________班级：__________考号：__________题号一总分得分、解答题（本大题共5小题，共100分）LISTNUMOutlineDefault\l3设数列各项均为正数，且满足．（I）求证：对一切n≥2，都有（II）已知前n项和为，求证：对一切n≥2，都有．LISTNUMOutlineDefault\l3设不等式组所表示的平面区域，记内整点的个数为（横纵坐标均为整数的点称为整点）。（1）时，先在平面直角坐标系中做出平面区域，在求的值；（2）求数列的通项公式；（3）记数列的前n项和为，试证明：对任意，恒有成立。LISTNUMOutlineDefault\l3（2015重庆高考真题）在数列中，（I）若求数列的通项公式；（II）若证明：LISTNUMOutlineDefault\l3已知首项大于的等差数列的公差，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，，，其中．①求数列的通项；②是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3设数列的前n项和为．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”．（1）若数列的前n项和，证明：是“H数列”；（2）设是等差数列，其首项，公差．若是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立．

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0衡水万卷作业（二十五）答案解析、解答题LISTNUMOutlineDefault\l3（Ⅰ）

∴，解得0＜＜1，

当n=2时，，不等式成立，

假设当n=k（k≥2）时，不等式成立，即，

则当n=k+1时，,故当n=k+1时，不等式也成立，

由数学归纳法知，对一切n≥2，都有．

（Ⅱ）设f（x）=ln（x+1）-，x＞0则f′(x)=-=＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，则f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞，

令x=，代入上式，得＜ln(n+2)-ln(n+1)，对一切n≥2，≤+++…+＜ln（n+2）-ln（n+1）+ln（n+3）-ln（n+2）+…+ln（2n+2）-ln（2n+1）

=ln（2n+2）-ln（n+1）=ln2．

∴对一切n≥2，都有S2n-Sn-1＜ln2．．LISTNUMOutlineDefault\l3解：（1）D2如图中阴影部分所示，∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，∴a2==25．（另解：a2=1+3+5+7+9=25）（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），据题意有an==10n+5．（另解：an=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）（3）Sn=5n（n+2）．（8分）∵==•＜，∴++…+＜++…+=（﹣+…+﹣）=（+﹣﹣）＜（13分）【思路点拨】（1）在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，可求a2的值；（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），即可求数列{an}的通项公式；（3）利用裂项法，放缩，求和即可证明结论LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由有若存在某个，使得，则由上述递推公式易得.重复上述过程可得，此与矛盾，所以对任意，.从而既是一个公比q=2的等比数列.故.（Ⅱ）由，数列的递推关系式变为变形为.由上式及归纳可得因为，所以对求和得.另一方面，由上已证的不等式知得.综上，.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】（1）（2）①②1【解析】（1）数列的首项，公差，，，2，整理得解得或（舍去）．因此，数列的通项．（2）=1\*GB3①，．令，则有，．当时，，．因此，数列的通项．=2\*GB3②，，，若数列为等比数列，则有，即，解得或．当时，，不是常数，数列不是等比数列，当时，，，数列为等比数列．所以，存在实数使得数列为等比数列．【思路点拨】，则，，．求出通项，当时，，不是常数，数列不是等比数列，当时，，，数列为等比数列．所以，存在实数使得数列为等比数列．LISTNUMOutlineDefault\l3（1）当时，当时，∴时，，当时，∴是“H数列”（2）对，使，即取得，∵，∴，又，∴，∴（3）设的公差为d令，对，，对，则，且为等差