2023年吉林省长春市一模数学试题（含答案）

2023长春市中考第一次模拟考试5.某品牌净水器的进价为1600元，商店以2000元的价格出售.春节期间，商店为让利于顾客，

计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该净水器最多可降价多少元？若设净水器可降价

数学试题工元，则可列不等式为（）

A2000-1600-XR2000T600-x

一.选择题（共8小题每题3分共24分）>20%<20%

.1600.1600

1.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）

2000-1600-X2000-160O-X

r>20%n<20%

,2000.2000

6.如图，在一块长为α,宽为2/2的长方形铁皮中，以2人为直径分别剪掉两个半圆，若α=4,h

=1时，则剩下的铁皮的面积为（）（π取3）

C8

2.古代为便于纪元，乃在无穷延伸的时间中，取天地循环终始为一巡，称为元，以元作为计算时

间的最大单位，1元=129600年，其中129600用科学记数法表示为（）

7.在AABC中，NAC3=90°,用直尺和圆规在A8上确定点。，使AACDS∕∖CBD,根据作图

A.1.296×104B.12.96×104C.1.296×106D.1.296XlO5痕迹判断，正确的是

3.拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，据统计全国每年浪费食物总量约59000000O（X）千克，这个数据用()

科学记数法表示为（）

A.0.59X10"千克B.59X109千克

C.5.9X109千克D.5.9X10∣°千克

4.如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（）

8.如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y=2（χ>0）的图象上，点B在反比例函数

IIIH、X

-2-10123y=K（x>0）的图象上，AB〃X轴，BDLr轴与反比例函数尸2的图象交于点C,与X轴交

XX

A.-√3B.-√2C.√2D.√5

于点O,若BC=2CD,则攵的值为（)

y知点A的横坐标为1,过点A作X轴的平行线.分别交两条抛物线于点8、C（点8在点A左侧,

点C在点A右侧），则BC的值为.

三、解答题（共78分）

15.（6分）先化简，再求值：（α+2）（«-2）+a（1-«）,其中α=2023.

A.4B.5C.6D.716.（8分）某师范类高校计划选派学生到山区进行支教工作，甲、乙、丙、丁4名学生积极报名

参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员.学校决定用随机抽取的方式确定人选.若

二、填空题（共6小题每题3分共18分）

从这4名学生中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名学生都是共产党员

9.因式分解：a2-2ab=.

的概率.

10.若关于X的不等式ax>b的解集是XV2,则关于X的不等式Q-2b）x+心0的解集是.

17.（6分）小吉和小林进行跳绳比赛.已知小吉每分钟比小林多跳18个，小吉跳135个所用的时

5

间与小林跳120个所用的时间相等.求小林每分钟跳绳的个数.

11.明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，

七两分之多四两，九两分之少半斤.”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四18.（8分）如图，在AACB和AECD中，NACB=∕ECD=90°,NCAB=NCED=30°,连接

两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）.这AE交BD点、M,将ACDE绕点C顺时针旋转.

个问题中共有两银子.

（1）如图1,当点E在边AC上，点。在8C上时，请直接写出AE与3。之间的关系：

12.关于X的方程Λ2+2X+Z=0有两个相等的实数根，则后的值为.

（2）如图2,将ACDE绕点C顺时针旋转至图2的位置，请判断坐的值及NAM8的度数，并

BD

13.我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方

说明理由；

形（如图所示）.若直角三角形的内切圆半径为3,小正方形的面积为49,则大正方形的面积

（3）在（2）的条件下，将ACOE绕点C在平面内旋转，AE,8。所在直线交于点M.若CE

为.

=√5,CB=y∕7,请直接写出当点E与点"重合时AE的长.

14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-工（3-3）2+〃?与），=2（.什2）2+〃的一个交点为4.己

2.3

19.（7分）如图，在6X6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长均为1

线段48的端点均在格点上.

（1）父亲的速度为米/秒，儿子的速度为米/秒：

（1）在图中画出等腰直角AABC,使N84C=90°,则AABC面积为,

（2）当200WfW300时，求儿子在竞走过程中y与X之间的函数关系式;

（2）在图中找一点O,并连接A。、BD,使aABO的面积为迫.（要求：只用无刻度的直尺,

4

保留作图痕迹，不写作法）

B

W

20.（8分）某校初一年级有600名男生，为增强体质，拟在初一男生中开展引体向上达标测试活

动.为制定合格标准，开展如下调查统计活动.

（I）A调查组从初一体育社团中随机抽取20名男生进行引体向上测试，B调查组从初一所有男生（1）如图①，P为AB上的一个动点，以PD,PC为边作OPC。。.

中随机抽取20名男生进行引体向上测试，其中（填或“8”）调查组收集的测试

①请问四边形PCQ。能否成为矩形？若能，求出AP的长：若不能，请说明理由.

成绩数据能较好地反映该校初•男生引体向上的水平状况；

（2）根据合理的调查方式收集到的测试成绩数据记录如下：②填空：当AP=时，四边形PCQO为菱形；

成绩/个23457131415③填空：当AP=时，四边形PCQD有四条对称轴.

（2）如图②，若尸为AB上的一点，以PD,PC为边作口PCQD,请问对角线PQ的长是否存在

人数/人11185121

最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

这组测试成绩的平均数为个，中位数为个;

（3）若以（2）中测试成绩的中位数作为该校初一男生引体向上的合格标准，请估计该校初一

有多少名男生不能达到合格标准.

21.（8分）周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始匀速往返练

习.在同•直角坐标系中，父子二人离同•端的距离s（米）与时间，（秒）的函数图象如图所

小.图①图②

23.(10分)如图，RtZ∖ABC中，ZΛCB=90°,AC=3,SC=4.动点P从点4出发，沿线段AB

以每秒5个单位的速度向终点B运动，连接PC,作点A关于PC的对称点。，连结CD、DP,

设点P的运动时间为f(秒).

(I)线段AB的长是；

(2)连结BD,则线段BD的最小值是,最大值是

(3)当点。落在AABC的内部时，求，的取值范围;

(4)当直线PD与aABC的一边垂直时，求出，的值.

24.(9分)在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线y=*+αr与X轴交于点A(3,0),点

P在抛物线上，且点P的横坐标为m.

(1)求该抛物线的函数表达式.

(2)当点P不与点。、A重合时，连结OP、AP.

①直接写出AOAP的面积随m增大而增大时，”的取值范围.

②当NO∕¾=90°时，求，”的值.

(3)点P关于直线X=-2m+∖的对称点为点Q,当m＜工时，连结PQ'以PQ为边向下作正

3

方形PQMN,若抛物线与正方形PQMN有3个公共点，直接写出，”的值.

共有12种等可能的结果，其中被抽到的两名学生都是共产党员的结果有：（乙，丙），（乙，丁）,

（丙，乙），（丙，丁），（丁，乙），（丁，丙），共6种，

数学参考答案

・•・被抽到的两名学生都是共产党员的概率为&=』.

一.选择题（共8小题每题3分共24分）122

17.

1.C.2.D.3.D.4.C.5.A.6.A.7.C.8.C.

解：设小林每分钟跳绳X个，则小吉每分钟跳绳（x+18）个，

二、填空题（共6小题每题3分共18分）

根据题意列方程，得/_=▲鸵，

9.α(α-2b).10.x≤-5.11.46.12.1.13.289.14.10.x+18X

三、解答题（78分）即135x=120（x+18）,

15.解得尸144,

解：原式=J-4+α-J经检验X=144是原方程的解，

答：小林每分钟跳绳144个.

当α=2023时,18.

原式=2023-4解：（1）如图1中，结论：AE=MBD.理由如下：

=2019.

16.

解：画树状图如下:图1

•・•在AACB和AECO中，ZACB=ZECD=9Qo,ZCAB=ZCED=30o,

：・EC=&CD,AC=MBC,

甲,∖AE=AC-EC=y∕3CBC-CD)=MBD.

乙丙

(2)结论：如图2中，岖=Jξ,NAM8=90°,

BD

ΛZAMB=90o，退二炳,

BD

理由是：设BD=x,则AE=y[^x,

RtZSECO中，NDEC=30°,NDCE=90°,RtAECD中,ZCED=30o,CE=√ξ,

••立=Ian30°=亚_,JCD=1,DE=2,BE=X-2,

CD3

中，

同理得：竺=tan300=YRtZXACBNCA8=30°,CB=√7,

CA3

:∙AB=2CB=2救,

•・•—EC—-C—B

CDCA在RlZ∖4M8中，由勾股定理得：AE1+BE1=AB2,

YNACB=NECo=90°,

(MX)2+(ɪ-2)2=(2√7)2,

・•・ZACE=ZBCD,

X1-X-6=0,

：.4ACEsABCD,

(χ-3)(Λ+2)=0,

••迪=二=«,/EAC=NDBC,

BDCDXl=3，X2=-2,

在AAMB中，NAMB=I800-(NMA8+NA8M)=180°-(.ZCAB+ZABM+ZDBO=90°.ΛΛE=3√3;

②点E与点“重合时，如图4,同理得：NAMB=90°,

(3)①点E与点M重合时，如图3,同理得：XNCEsXBCD,

D

/k图4B

故答案为：6.5.

—=V3»设BO=x,则AE=Fx,20.

BD

解：（1）从初一所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，收集的测试成绩数据能较好

在RtZXAMB中，由勾股定理得：AE1+BE2=AB2,

地反映该校初一男生引体向上的水平状况，

(√3x)2+(Λ-+2)2=(2√7)2

故答案为：B；

x1+x-6=0,

（2）这组测试成绩的平均数为：ɪ（2×l+3×l+4×1÷5×8+7×5+13×l+14×2+15×l）=7

(x+3)(JV-2)=0,20

（个），

Xl=-3,X2=2,

中位数为：5（个），

ΛAE=2√3:

故答案为:7,5：

综上所述，AE的长为3√W或2√S.

（3）600xW=90（人），

19.20

答：校初一大约有90名男生不能达到合格标准.

解：(1)如图所示：

21.

△48C面积:五+/乂62+32+2=6.5；

解：（1）由图形可知，父亲的速度为2X20O=9（米/秒）,

（2）点。在直线/上即可，答案不唯一.1203

儿子的速度为四二2（米/秒）.

100

故答案为：lθ,2；

3

（2）当200<∕W300时，设儿子在竞走过程中y与X之间的函数关系式为y=灯+〃,Y四边形PC。。是平行四边形，假设四边形PC。。是矩形,

把（）和（）代入解析式得：［

200,200300,0200t+b=200,则NDPC=90°,

l300t+b=0

解得（t=-2,；.NAPD+NBPC=90°，

lb=600

在aAO『中，NA=90°,

.•・当200≤rW300时，设儿子在竞走过程中y与X之间的函数关系式为y=-2/+600；

,NAPD+NAoP=90°,

（3）Y父亲的速度为西米/秒，儿子的速度为2米/秒，

3：•ZADP=/BPC,

・•・10分钟父子所走路程和为10X6OX（-lθ+2）=320。（米），

：

3'NA=N5,

父子二人第一次迎面相遇时，两人所走路程之和为200米，/.AAPDsABCP,

父子二人第二次迎面相遇时，两人所走路程之和为200X2+200=600（米），・辿=空

*eBPBC,

父子二人第三次迎面相遇时，两人所走路程之和为400X2+200=1000（米），

∖"AD=2tAB=5tBC=3,

父子二人第四次迎面相遇时，两人所走路程之和为600X2+200=1400（米），

SAP=χf则8尸=5-斯

・2X

..百T

父子二人第〃次迎面相遇时，两人所走路程之和为200Ui-1）×2+200=（400〃-200）米,

解得：内=2,.¥2=3,

令400〃-200=3200,

，当AP的长为2或3时，四边形PCQO是矩形;

解得〃=8.5,

②四边形PC。。为菱形时，DP=CPf

・••父子二人迎面相遇的次数为8,

VZA=ZB=90o,

故答案为:8.

2222

ΛAD+AP=βC+BPt

22.

即22+AP2=32+(5-AP)2,

解：（1）①四边形PCQo能成为矩形，AP的长为2或3,理由如下:

解得：AP=3,

故答案为：3；・•・BH=BC+CH=3+2=5,

③当四边形PCQ。为正方形时，有四条对称轴，，当PQ_LAB时，P。的长最小,

•・•同时满足①②的四边形PCQD为正方形，此时，PQ=BH=5,

."P=3,，尸。的长存在最小值，为5.

故答案为:3；

(2)存在，理由如下：

过Q作。斤_LBa交Be的延长线于V,如图②所示:

VZB=90o,

：.AB//QH,

.*.NAPQ=NHQP,

23.

・•・ZAPD+^DPQ=NPQC+/CQH,

解：(1)在RtZiACB中，AB=√AC2+BC2=√32+42=5,

•・•四边形PCQD是平行四边形，

故答案为：5：

:∙PD"QC,PD=QC,

(2)如图1,♦・•点4与点。关于PC的对称，

."DPQ=NCQP,

：./APD=NCQH,

在AAOP和4"CQ中，

'NA=NH

<ZAPD=ZHQC*

PD=QC

:AADP//XHCQ(AAS),图1

∙*.AC=CD=3

：.AD=CH=Iif

・•・点D的运动轨迹是以点C为圆心，AC为半径的半圆，

，当B,C,。共线，BD最小,其最小值是4-3=1,

当点P在点A处时，。与4重合，此时8。的值最大，最大值是5；

故答案为：L5；

(3)如图2,当点。落在AB上时，CPlAB.

过点P作PTlAC于点T.则CT=PT,

设CT=PT=Xf

•：PT〃CB、

：•AAPTs△ABC,

图2

.PT=ATj

,

VZA=ZA,ZCPA=ZACB=9Qo,"BCAC^

..x—3-χ

JXAPCSRACB,**I~,

・AP=AC・L12

**ACAB^,7

.怛=3,■"-AP=VAT2+PT2=^(3-y)2+(-y-)2=y--

5^,

ΛAP=-i,・LAP_3

557

・=AP=9观察图象可知，满足条件的，的值为：-1-<∕<X

525257

如图3中，当点。落在BC上时，NACP=NPCB=45°.故答案为：-LVfV3；

257

(4)如图4中，当PO_L4C时，延长OP交AC于点R.

B

如图6中，当PO_LA8时，过点C作C〃_LA8于点H.

则CJLAB,CR=CV=巫4=乌

55

：.AR=AC・CR=3-卫∙=3,

55

丁cosA=蚂=理■,

ABAP

图6

旦

.3=互•：NCPH=∕CPD=45°,

•.亏AP,

：.PH=CH=理,

.∙.AP=1,5

此时Z=XCOsA=&!=旦，

5AC5

如图