2024年广东省高考数学一轮复习第7章：立体几何（附答案解析）

2024年广东省高考数学一轮复习第7章：立体几何

一、单项选择题

1.如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形4&G的直观图，则正确的图形是（）

c,

A

答案A

解析以EG所在直线为x轴，以3G边上的高为y轴建立坐标系，画对应的『轴，

使夹角为45。，画直观图时与x轴平行的线段长度保持不变，与夕轴平行的线段长度变为原

来的一半，然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图，如图.

A

B---、c

2.下列四个命题中，正确的是（）

A.各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱

B.对角面是全等矩形的六面体一定是长方体

C.有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱

D.长方体一定是直四棱柱

答案D

解析对于A,底面是菱形的直平行六面体，满足条件但不是正棱柱；对于B,底面是等腰

梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；C显然错误；长方体一定是直四棱柱，D正确.

3.从平面外一点尸引与平面相交的直线，使尸点与交点的距离等于1,则满足条件的直线可

能有（）

A.0条或1条B.0条或无数条

C.1条或2条D.0条或1条或无数条

答案D

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解析当点尸到平面的距离大于1时，没有满足条件的直线；当点尸到平面的距离等于1时，

满足条件的直线只有1条；当点尸到平面的距离小于1时，满足条件的直线有无数条.

4.已知加，〃表示两条不同的直线，扇仅表示两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A.若加〃a,〃_L£,m//n>则

B.若〃?_!_〃，m_La,n〃贝!la〃夕

C.若a_L£,〃?_La,〃?_!_〃，则〃〃尸

D.若a_L"aG夕=加，则nA-p

答案A

解析对于A,由加〃a,m//n,得到：

若〃〃a,过〃的平面yGQ=/,贝"〃〃/,

又n邛,则/_!_£,又口,则a_L£,

若又〃J_夕，贝l|a_LA综上，a邛,故A正确；

对于B,若〃?_L〃，m±a,〃〃人则la与£相交或平行，故B错误；

对于C,若a邛,mLa,m±nf则〃与夕相交、平行或〃u夕，故c错误；

对于D,若aG4=加，nA.m,则〃与夕相交或〃up,故D错误.

5.已知直线a,b,/和平面a,aQU。，bup,aCB=l,且。_1_及对于以下命题，判断正确

的是（）

①若a,b异面,则a,b至少有一个与/相交；

②若a,b垂直，贝lj〃，6至少有一个与/垂直.

A.①是真命题，②是假命题

B.①是假命题，②是真命题

C.①是假命题，②是假命题

D.①是真命题，②是真命题

答案D

解析对于①，若〃，b都不与/相交，

则只有一种可能，即。，b均平行于/,则。〃b,

，若q,6异面，则a,b至少有一个与/相交，故①正确；

对于②，根据面面垂直的性质定理得：

若a,b垂直，则aJ_人或b_La,故a,8至少有一个与/垂直，故②正确.

6.（2023・徐州模拟）圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm的水，若放入一个玻璃球（球的半径与

圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为（）

A.—cmB.15cmC.10^3cmD.20cm

3

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答案B

解析根据题意，玻璃球的体积等于放入玻璃球后水柱的体积减去原来水柱的体积；

设玻璃球的半径为厂，即圆柱形玻璃杯的底面半径为厂；

则玻璃球的体积为圆柱的底面面积为nr2,

3

放入一个玻璃球后，水恰好淹没玻璃球，

此时水面的高度为2厂，所以£尹=兀户（2L一10）,解得厂=15（cm）.

7.蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的

球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，

蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠的

表面上有五个点P,A,B,C,。恰好构成一正四棱锥尸一N8CQ,若该棱锥的高为8,底面

边长为4/，则该鞠的表面积为（）

A.647rB.IOOTTC.1327tD.1447r

答案B

解析正四棱锥尸一/BCD的底面是正方形，底面边长为43，高为8,如图所示，

所以正四棱锥的底面对角线的长为43乂S=8,

设正四棱锥外接球的半径为R则辟=（8—/?）2+42,解得R=5,

所以球的表面积为S=4TVR2=4兀X25=100TI,即该鞠的表面积为100K.

8.某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫

做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆（如图所示）.若该同学所画的椭圆的

离心率为5则“切面”所在平面与底面所成的角为（）

A.—B,-C.-D.-

12643

答案B

解析设椭圆与圆柱的轴截面如图所示，作。8c交8C于点E,则NCDE为“切面”所

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在平面与底面所成的角，设为0.

设底面圆的直径为2厂，则CD为椭圆的长轴2。，短轴为26=DE=2r,

则椭圆的长轴长2a=|8|=2:，即〃=一三，

cos0cos6

所以椭圆的离心率为e=1=£="\/I二^=入/1-—S-=sin9,所以6>=匹.

2a\!az\/—L_6

\lcos?。

9.（2023•安庆模拟）已知球。的半径为R,J,B,。三点在球。的球面上，球心O到平面

48C的距离为?凡AB=AC=0ZBJC=120°,则球。的表面积为（）

A.48兀B.16兀C.32由兀D.练

3

答案A

解析在△/8C中，由余弦定理，得8C=N3+3—2xSxSxcos1200=3,

设△/8C外接圆半径为r,

由正弦定理2r—=2s,得r—yfi,

sin120°

又R2=3R2+3,；.R2=[2,

4

...球。的表面积为4兀△2=48兀

10.（2022•北京模拟）在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，VA,VB,Z;两两垂直，

幺=夕8=叱=1（单位：dm）,小明同学计划通过侧面以C内任意一点尸将木块锯开，使截

面平行于直线四和/C,则该截面面积（单位：dm?）的最大值是（）

A

A.-dm2B.—dm2

44

C.—dm2D.-dm2

44

答案B

解析根据题意，在平面幺。内，过点P作跖〃力。分别交幺，PC于点F,E,

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在平面⑵C内，过点E作E。〃年交8c于点。，

在平面K48内，过尸作尸。〃夕8交48于点。，连接。。，如图所示,

因为EF〃AC"

所以△KEFsAyct,设其相似比为鼠

"=隹=丝

VAVCAC

因为勿=-5=，C=l,所以NC=/，即EF=lik,

因为FD//VB,

所以△AFDSAAVB,即丝=四=四，

VABAVB

AFVA-VF

因为1T,

VAVA

所以£4=江=1一人即五£)=1一七

VBVA

同理0s△cj<8,即器=$=胃=i一七

即EQ=\~k,

所以FD〃EQ,且FD=EQ,

所以四边形为平行四边形，

因为夕8_L1C,VBLVA,VADVC=V,幺u平面幺C,-Cu平面以C,

所以""L平面VAC,

因为FD//VB,

所以FD_L平面VAC,

因为EFU平面VAC,

所以FDLEF,

所以四边形尸£QO是矩形,即S^FEQD=FD-EF=(1-k)•也k=―近

所以当左=；时，S适彩FE0D有最大值坐.

故该截面面积的最大值是更dm2.

二、多项选择题

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11.如图所示，在正方体48CD—小BICQI中，E是平面/DDBi的中心，"，N,F分别是

BC,CG,的中点，则下列说法正确的是（）

A.MN=-EF

2

B.MN^-EF

2

C.MN与EF异面

D.MN与EF平行

答案BC

解析设正方体一小田GO的棱长为2a,

则MN=^MC\+C\N2=

作点E在平面/8CA内的射影点G,

连接EG,GF,

所以EF=+（极）2

=3a,

所以MN$~EF,故选项B正确，A错误;

2

连接DE,因为E为平面月。。小的中心，

所以DE=~A\D,

2

又因为M,N分别为BiG,CCi的中点，

所以MN//B\C,

又因为所以MV〃E£）,

且DECEF=E,

所以MN与EF异面,故选项C正确，D错误.

12.（2023•忻州模拟）如图，已知在边长为6的菱形Z5CZ）中,ZBAD=60°,万分别是

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线段4。，8C上的点.且/£=5F=2.将四边形NBFE沿EF翻折，当折起后得到的几何体

4EO-8尸C的体积最大时，给出下列说法，其中正确的说法有（

A.AD±EF

B.BC//nADE

C.平面QEFC_L平面力8EE

D.平面ZOEJL平面//E

答案BC

解析将四边形Z8FE沿£下翻折,得到几何体/ED-BFC,

在几何体力EO-8尸C中，DE//CF,CFU平面CF8,DE<Z平面CFB,

；.DE〃平面CFB,又AE〃BF,BFU平面CFB,4EU平面CFB,二/E〃平面CF8,

,:AECDE=E,，平面CF8〃平面/OE,

:BCU平面CFB,...BC〃平面/DE,故B正确；

如图，过点、D作DHLEF,交.EF于H,过，作交力8于点G,

过点C作CNLEF,交力■的延长线于M过点N作交的延长线于点如

图所示，

则四棱锥。-8FM0与。一NE//G是全等的两个四棱锥，

■:NM1AB,则MVTLE/，又CNLEF,NMCCN=N,

：.EF_L平面CMN,，EF±平面DHG,

•.•力G平面。HG,Z住平面O/7G,则/。与E尸不垂直，故A错误；

三棱柱CNM—DHG为直三棱柱，

几何体4ED—8FC的体积与三棱柱CNM一。"G体积相同，

三棱柱CNM-DHG的体积V=SKNM・NH,

在RtZ\OE/7中，DE=4,NEDH=30。,：.EH=2,

又EF=6,NF=EH,:.NH=6,

当面积最大时，几何体4E£>—8FC的体积最大，

当NWLCN时，&CNM面积取最大值，

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,:NMLNE,NECCN=N,则MV_L平面DEFC,

又MWU平面尸E,二平面48FEJ_平面。EFC,故C正确；

若平面/£）E_L平面Z8尸E,由平面/OEA平面

过。有两条直线。//',。”与平面N8FE垂直，

这与过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直相矛盾，故D错误.

三、填空题

13.（2023•榆林模拟）在四棱锥P一力8C。中，底面/8C。是矩形，以，底面48CD,且我=

AB,AD=®B,则tanZJPC=.

答案2

解析底面/SCO,4CU底面4BCD,：.PALAC,

设/8=1,贝]以=1,AD=\[i,AC=\jAD2+CD2=2,：.tanZAPC=—=2.

PA

14.（2022•安庆模拟）如图，在三棱锥P—N8C中，点。为N8的中点，点P在平面/8C内的

射影恰为08的中点E,已知N8=2PO=2,点C到。尸的距离为3，则当NZC8最大时，

直线PC与平面PAB所成角的大小为.

较享-

口3

解析•.•点C到。尸的距离为3,

.•.点C是以OP为旋转轴，3为底面半径的圆柱与平面/8C的公共点,

即点C的轨迹是以为焦距，以23为短轴长的椭圆，

由椭圆的对称性可知，

当/NCB最大时，AC=BC=2,COLAB,

•.•点P在平面/8C内的射影恰为08的中点E,

...PEJL平面ABC,

•.•尸EU平面PAB,

.,.平面为8_1_平面ABC,

平面我8。平面OCU平面力8C,

；.CO_L平面PAB,

...NCPO是直线PC与平面为8所成的角，

•；CO=00尸=1,

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:.tan/CPO=叟=®：.ZCPO^~.

OP3

15.如图所示，在长方体中，4B=3,ZO=4,441=5,点E是棱CG上的

一个动点，若平面5EA交棱/小于点F,则四棱锥S-8E。尸的体积为,截面四

边形尸的周长的最小值为.

答案202^74

解析由题意可得，D\F//BE,

则P—V+V—V+V

1[-BByBCAB+-BByDyAvA^

=-><U2J

1P-X5X4X3+-X5X4X3|

=，x122J=20；

3

将长方体展开，如图所示，当点、E为BDi与CCi的交点、,尸为8"与Z4的交点时，截面四

边形BEDiF的周长最小，最小值为28£>1=2）5?+（3+4