人教版七年级数学下册 第五章 相交线与平行线 讲义

/阿基米德,公元前年出生在意大利西西里岛的叙拉古,岁时在被称为“智慧之都〞的希腊中心亚历山大城学习,他博阅群书,钻研?几何原本?．阿基米德通过大量实验发现了杠杆原理,又用几何演绎方法推出许多杠杆命题,并给出严格的证明,其中就有著名的“阿基米德原理〞,阿基米德是兼数学家与力学家的伟大学者,享有“力学之父〞的美称。23．相交线与平行线解读课标在我们生活中存在大量的图形,它们为人类带来无穷无尽的直觉源泉,相交线与平行线随处可见,它们构成同一平面内两条直线的根本位置关系,它们的性质和位置关系是认识和学习其他图形性质的根底．相交线与平行线都与角相关：两直线相交,对顶角相等；两直线平行,同位角相等、内错角相等、同旁内角互补．我们还可以用角之间的关系来判断两直线是否平行．与平行线相关的问题一般都是平行线判定与性质的综合运用,有以下两方面应用：1．角的计算与证明；2．两直线位置关系确实定．问题解决例1如图,,,,那么__________．试一试、、外表上看很难联系起来,过点作,问题就迎刃而解了．例2如图,,,点在上,点在上,设与相等的角的个数为〔不包括本身〕,与互补的角的个数为,假设,那么的值是〔〕．A．B．C．D．试一试略例3如图,,,求证：．试一试从角出发,导出两直线的位置关系,再推出新的角的关系,新的两直线的位置关系是解这类问题的根本思路．例4如图,、是两根钉在木板上的平行木条,将一根橡皮筋固定在、两点,点是橡皮筋上一点,拽动点将橡皮筋拉紧后,请你探索、、之间具有怎样的关系？并说明理由．试一试这是一道结论开放的探究性问题,由于点位置的不确定性,可引起对点不同位置的分类讨论〔如夹在、之间或之外、内折或外折等〕,这是解本例的关键．例5平面上有条不同的直线,如果其中任何三条直线都不共点．〔1〕你能画出各直线之间的交点个数为的图形吗？其中分别为,,．〔2〕请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形,从中你能发现什么规律？分析与解设条直线交点的个数为,那么．〔为什么？〕〔1〕如图①,得到的交点个数为个；如图②,得到的交点个数为个；如图③、④,得到的交点个数分别为、．〔2〕的大小直接取决于条直线中互相平行的直线的数量,因为条直线中可能有：一组平行线〔条；条；条；条；条；条〕；二组平行线〔条,条；条,条；条,条；条,条；条,条；条,条〕；三组平行线〔条,条,条；条,条,条〕；没有平行线,所以当我们探求此题的完整的答案时,可以分为上述四种情况,分别加以研究．实际上此题的答案共有个,即,,,,,,,,,,,,,,,其中重复数字表示交点个数相等但图形不同的答案．平移变换例6平面上有六条两两不平行的直线,试证：在所有的交角中,至少有一个角小于．分析把平面上的直线平行移动,那么移动后的直线所成的角与移动前的直线所成的角是相等的,这样,我们就可将所有的直线移动后,使它们相交于同一点,此时,情况就相对简单得多．证明在平面上任取一点,过点分别作这条直线的平行线,,,,,,那么由平行线的特性,知,,,,,之间互成的角与原来的条直线,,,,,之间互成的角相等．现在我们考虑,,…,的情况,我们只考察与,与,…,与,与所成的角,由图不难发现这个角成一个平角,即这个角的和为．假设这个角没有一个小于,那么这个角都大于或等于,从而这个角的和至少为,这是不可能的,所以,这个角中至少有一个小于,不妨设与所成的角小于,那么原来的直线与所成的角也必小于．数学冲浪知识技能广场1．如图,用一吸管吸吮易拉罐内的饮料时,吸管与易拉罐上部夹角,那么吸管与易拉罐下部夹角________度．2．如图,,,,那么________．3．将直尺与三角尺按如下图的方式叠放在一起,在图中标记的角中,与互余的角是_______．4．如图,,,那么图中与相等的角〔不含〕有______个；假设,那么________．5．在、两座工厂之间要修建一条笔直的公路,从地测得地的走向是南偏东,现、两地要同时开工,假设干天后,公路准确对接,那么地所修公路的走向应该是〔〕．A．北偏西B．南偏东C．西偏北D．北偏西6．如图,直线,将含有角的三角板的直角顶点放在直线上,假设,那么的度数为〔〕．A．B．C．D．7．如图,,那么〔〕．A．B．C．D．8．如图,、是中边上的任意两点,,,那么图中相等的角共有〔〕．A．对B．对C．对D．对9．如图,,,求、、的度数．10．如图,,求证：．思维方法天地11．如图,,长方形的顶点在直线上,那么_________．12．如图,,,,那么__________．13．某人在练车场上练习驾驶汽车,两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反,那么这两次拐弯的角度可能是________．①第一次向左拐,第二次向右拐；②第一次向右拐,第二次向左拐；③第一次向右拐,第二次向左拐；④第一次向左拐,第二次向左拐．14．两个角的两边分别平行,其中一个角为,那么另一个角的度数为_________．15．如图,,那么的度数等于〔〕．A．B．C．D．16．如图,,平分,且,那么与的关系是〔〕．A．B．C．D．17．探照灯、锅形天线、汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关,如下图是一探照灯灯碗的纵剖面,从位于点的灯泡发出的两束光线、经灯碗反射后平行射出,如果图中,,那么的度数为〔〕．A．B．C．D．18．如图,两直线、平行,那么〔〕．A．B．C．D．19．,．〔1〕如图①,当平分时,求证：平分；〔2〕如图②,移动直角顶点,使,求证：．20．如图,,,求证：．应用探究乐园21．〔1〕如图①,,那么_________．如图②,,那么___________．如图③,,那么___________．如图④,,那么___________．从上述结论中你发现了什么规律？请在图②,图③,图④中选一个证明你的结论．〔2〕如图⑤,,那么______________．〔3〕利用上述结论解决问题：如图,和的平分线相交于,,求的度数．22．实验证明,平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．〔1〕如图,一束光线射到平面镜上,被反射到平面镜上,又被反射,假设被反射出的光线与光线平行,且,那么_________,________．〔2〕在〔1〕中,假设,那么_______；假设,那么________；〔3〕由〔1〕、〔2〕,请你猜测：当两平面镜、的夹角________时,可以使任何射到平面镜上的光线,经过平面镜、的两次反射后,入射光线与反射光线平行．请说明理由．相交线与平行线问题解决例1,,,例2D例3先证,再证.例4如图,可分别得到以下关系〔证法同①〕数学冲浪1.2.3.、、4.；5.A6.A7.A8.D9.,,10