2023年中考数学复习 常考应用综合-最值、最优方案问题（五大类型）（解析版）

冲刺中考数学压轴之满分集训

专题06常考应用综合-最值、最优方案问题(五大类)

【典例今折】

【类型一：方程(组)+不等式(组)】

【典例1】(2021•呼和浩特)为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，

每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动.去年学校通过采购

平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400

元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A品

牌比3品牌便宜12元.今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、

8两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A品牌

比去年提高了5%,8品牌比去年降低了10%,如果今年购买A、8两种足球

的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足

球？

【解答】解：设去年A足球售价为x元/个，则B足球售价为(x+12)元/个.

由题意得：2880总2400,即典=120,

x2x+12xx+12

A96(x+12)=120%,

/•x—48.

经检验，x=48是原分式方程的解且符合题意.

足球售价为48元/个，B足球售价为60元/个.

设今年购进B足球的个数为a个，则有：

(50-a)X48X(l+5%)+aX60X(1-10%)<(2880+2400)X-1-

.*.50,4X50-50.4a+54a<2640.

.•.3.6220,

•/100

个3

最多可购进33个B足球.

【变式1-1](2023•市南区一模)2020年腊月，某商家根据天气预报预测羽绒

服将畅销，就用26400元采购了一批羽绒服，后来羽绒服供不应求.商家又

用57600元购进了一批同样的羽绒服，第二次所购数量是第一次所购数量的2

倍，第二次购进的单价比第一次购进的单价贵了10元.

(1)该商家第一次购进的羽绒服有多少件？

(2)若两次购进的羽绒服销售时标价都相同，最后剩下50件按6折优惠卖

出，若两批羽绒服全部售完后利润率不低于25%(不考虑其他因素)，则每

件羽绒服的标价至少为多少元？

【解答】解：(1)设该商家第一次购进的羽绒服有x件，则第二次购进的羽

绒服有2x件.

由题意得：26400=57600

x2x

解得x=240.

经检验，x=240是原方程的解.

答：该商家第一次购进的羽绒服有240件；

(2)设每件羽绒服的标价为a元.

由题意得：0.6«X50+(240+240X2-50)a-(26400+57600)2(26400+57

600)X25%,

解得a2150.

答：每件羽绒服的标价至少为150元.

【变式1-2](2022•荷泽)某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮

球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购

进排球的数量少10个.

(1)篮球、排球的进价分别为每个多少元？

(2)该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售,

最多可以购买多少个篮球？

【解答】解：(D设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个1.5x元,

依题意得：3200__3600_=10,

x1.5x

解得:x=80,

经检验，x=80是方程的解，

1.5%=1.5X80=120.

答：篮球的进价为每个120元，排球的进价为每个80元；

(2)设购买加个篮球，则购买(300-m)个排球，

依题意得：120M+80（300-/7?）<28000,

解得：〃W100,

答：最多可以购买100个篮球.

【变式1-3]（2021•烟台）直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音

上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每

天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量

增加10件.

（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少

元？

（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元.为提高市

场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格

不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？

【解答】解：（1）设售价应定为九元，则每件的利润为（x-40）元，日销售

量为20+1°（60-x）=（140-2x）件，

5

依题意，得：（x-40）（140-2x）=（60-40）X20,

整理，得：x2-110x+3000=0,

解得：xi=50,X2=60（舍去）.

答：售价应定为50元；

（2）该商品需要打。折销售，

由题意，得，62.5义—_<50,

10

解得：aW8,

答：该商品至少需打8折销售.

【类型二：方程（组）+不等式（组）-----次函数模型】

【典例2】（2022•济南）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗.已

知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比

1棵乙种树苗多花费10元.

（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？

（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树

苗的3倍.则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由.

【解答】解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，乙种树苗每棵的价格是>•

元，

根据题意得：（20x+16y=1280,

Ix-y=10

解得卜=40,

ly=30

答：甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；

（2）购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少，理由如下：

设购买两种树苗共花费w元，购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗（100-m）

棵，

•.•购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，

100-

解得〃?225,

根据题意：w=40加+30（100-zn）=10/«+3000,

V10>0,

，卬随m的增大而增大，

...■=25时,w取最小值，最小值为10X25+3000=3250（元），

此时100-7/1=75,

答：购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少.

【变式2-1］（2022•桐梓县模拟）某社会团体准备购进甲、乙两种防护服捐给一

线抗疫人员，经了解，购进5件甲种防护服和4件乙种防护服需要2万元，

购进10件甲种防护服和3件乙种防护服需要3万元.

（1）甲种防护服和乙种防护服每件各多少元？

（2）实际购买时，发现厂家有两种优惠方案，方案一：购买甲种防护服超过

20件时，超过的部分按原价的8折付款，乙种防护服没有优惠；方案二：两

种防护服都按原价的9折付款，该社会团体决定购买x（x>20）件甲种防护

服和30件乙种防护服.

①求两种方案的费用y与件数x的函数解析式；

②请你帮该社会团体决定选择哪种方案更合算.

【解答】解：（1）设甲种防护服每件x元，乙种防护服每件y元，

根据题意得：(5x+4y=20000,解得卜=2400,

I10x+3y=30000ly=2000

答：甲种防护服每件2400元，乙种防护服每件2000元；

(2)①方案一:y1=2400X20+2400X0.8X(%-20)+2000X30=1920x+69600；

方案二：*=(2400.r+2000X30)X0.9=2160^+54000.

②当yi="时，1920.r+69600=2160x+54000,

解得x=65；

当yi>”时，即1920%+69600>2160x+54000,

解得:x<65；

当yiV"时，即1920x+69600V2160x+54000,

解得x>65.

二当购买甲种防护服65件时，两种方案一样；

当购买甲种防护服的件数超过20件而少于65件时，选择方案二更合算；

当购买甲种防护服多于65件时，选择方案一更合算.

【变式2-2](2022•黔西南州)某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造

一片绿化地，种植A、3两种花卉，已知3盆A种花卉和4盆3种花卉的种

植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元.

(1)每盆A种花卉和每盆B种花卉的种植费用各是多少元？

(2)若该景区今年计划种植A、8两种花卉共400盆，相关资料表明：A、B

两种花卉的成活率分别为70%和90%,景区明年要将枯死的花卉补上相同的

新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，应如何安排这两种花

卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用.

【解答】解：(1)设每盆A种花卉种植费用为龙元，每盆8种花卉种植费用

为y元，根据题意，

得：px+4y=330,

|4x+3y=300

解得：卜=30.

ly=60

答：每盆A种花卉种植费用为30元，每盆3种花卉种植费用为60元；

(2)设种植A种花卉的数量为加盆，则种植8种花卉的数量为(400-m)

盆，种植两种花卉的总费用为卬元，

根据题意，得：（1-70%）m+（1-90%）（400-m）^80,

解得：〃W200,

卬=30m+60（400-m）=-30m+24000,

-30<0,

二w随m的增大而减小，

当〃?=200时，卬的最小值=-30X200+24000=18000,

答：种植A、8两种花卉各200盆，能使今年该项的种植费用最低，最低费用

为18000元.

【变式2-3］（2022•天津模拟）抗疫期间，社会各界众志成城，某乳品公司向疫

区捐献牛奶，若由铁路运输每千克需运费0.58元；若由公路运输每千克需运

费0.28元，并且还需其他费用600元.

（1）若该公司运输第一批牛奶共计8000千克，分别由铁路和公路运输，费

用共计4340元，请问铁路和公路各运输了多少千克牛奶？

（2）设该公司运输第二批牛奶x（千克），选择铁路运输时，所需费用为y

（元），选择公路运输时，所需费用”（元），请分别写出yi（元），"（元）

与x（千克）之间的关系式；

（3）运输第二批牛奶时公司决定只选择一种运输方式，请问随着x（千克）

的变化，怎样选择运输方式所需费用较少？

【解答】解：（1）设铁路和公路分别运输牛奶小y千克，

由题意可得：产.8°0°,

10.58x+0.28y+600=434C

解得：卜=5。00,

|y=3000

答：铁路和公路分别运输牛奶5000千克和3000千克；

（2）由题意可得:yi=0.58x,j,2=0.28x+600；

（3）当时，0.58x=0.28x+600,

解得x=2000,

当运输2000千克时，两种方式均可，

当yiV"时，0.58x<0.28x+600,

解得XV2000,

，当运输少于2000千克时，铁路划算,

当V>>2时，0.58x=0.28x+600,

解得x>2000,

二当运输超过2000千克时，公路划算.

【变式2-4］（2021•铜仁市）某快递公司为了提高工作效率，计划购买A、B两

种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多

搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物460吨.

（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？

（2）每台A型机器人售价3万元，每台8型机器人售价2万元，该公司计划

采购A、8两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800

吨，请根据以上要求，求出A、8两种机器人分别采购多少台时，所需费用最

低？最低费用是多少？

【解答】（1）解：设每台A型机器人每天搬运货物大吨，每台8型机器人每

天搬运货物y吨，

Jx-y=20

l3x+2y=460，

解得卜=100,

|y=80

,每台A型机器人每天搬运货物100吨，每台6型机器人每天搬运货物80吨；

（2）设：A种机器人采购〃？台，8种机器人采购（20-相）台，总费用为卬

（万元），

100m+80（20-m）21800.

解得：〃?210.

w—3m+2（20-m）

="?+40.

Vl>0,

...w随着“的减少而减少.

.,.当〃?=10时，w有最小值，掖小=10+40=50.

.二A、B两种机器人分别采购10台，10台时，所需费用最低，最低费用是50

万元.

【变式2-5］（2021•恩施州）“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是

运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各

地.甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销.已知每千克花生的售价比每千

克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同.

（1）求每千克花生、茶叶的售价；

（2）已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，甲计划两种产

品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2

倍.则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？

【解答】解：（1）设每千克花生x元，每千克茶叶（40+x）元，

根据题意得：50x=10（40+x）,

解得：x=10,

40+x=40+10=50（元），

答：每千克花生10元，每千克茶叶50元；

（2）设花生销售加千克，茶叶销售（60-加）千克获利最大，利润卬元，

由题意得:r6m+36（60-m）<1260f

Int<2（60-m）

解得:30WmW40,

w=（10-6）m+（50-36）（60-m）=4zn+840-14m=-lO/w+840,

V-10<0,

二卬随"？的增大而减小，

.•.当加=30时，利润最大，

此时花生销售30千克，茶叶销售60-30=30千克，

卬球人=-10X30+840=540（元），

，当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大，最大利润为540元.

【变式2-6】“桂花糕”是中国特色传统小吃，用糯米粉、糖和桂花蜜为原料制

作而成，历史悠久，种类多样.小李在某糕点生产厂家选中A,8两款不同包

装的“桂花糕”，决定从该厂家进货并销售.两款“桂花糕”的进货价和销

售价如表：

类别A款8款

价格

进货价（元/盒）4030

销售价（元/盒）5645

（1）若小李用2000元购进了A,8两款“桂花糕”，其中A款“桂花糕”购

进了35盒，求B款“桂花糕”购进多少盒？

（2）若小李计划A款“桂花糕”进货数量不超过8款“桂花糕”进货数量的

一半，且计划购进两款“桂花糕”共60盒，小李应该如何设计进货方案才能

获得最大利润，最大利润是多少？

【解答】解：（1）设8款“桂花糕”购进x盒，

根据题意得：35X40+30x=2000,

解得x=20,

答：B款“桂花糕”购进20盒；

（2）设购进A款“桂花糕”〃?盒，销售利润为W元，则购进3款“桂花糕”

（60-m）盒，

••.A款“桂花糕”进货数量不超过8款“桂花糕”进货数量的一半，

（60-m）,

2

解得wW20,

根据题意得W=（56-40）m+（45-30）（60-m）=加+900,

Vl>0,

...W随机的增大而增大，

...〃?=20时，W取最大值，最大值为20+900=920（元），

此时60-加=60-20=40,

答：购进A款“桂花糕”20盒，购进B款“桂花糕”40盒，获得最大利润,

最大利润是920元

【类型三：方程（组）+不等式（组）一一二次函数模型】

【典例3】（2021•遂宁）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每

件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每

提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元.

（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减

少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？

（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润

最大？最大利润是多少元？

【解答】解：(1)设T恤的销售单价提高x元，

由题意列方程得：(x+40-30)(300-10x)=3360,

解得：Xi=2或82=18,

•••要尽可能减少库存，

；.X2=18不合题意,应舍去.

...T恤的销售单价应提高2元，

答：T恤的销售单价应提高2元；

(2)设利润为W元，由题意可得：

M=(x+40-30)(300-10x),

=-10f+200x+3000,

=-10(x-10)2+4000,

,当x=10时，M最大值=4000元，

,销售单价：40+10=50(元)，

答：当服装店将销售单价定为50元时，得到最大利润是4000元.

【变式3-1](2023•蜀山区校级一模)随着我国经济、科技的进一步发展，我国

的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种

植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转

租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社

里的工人，这样更有利于机械化种植.某地某种粮大户，去年种植优质水稻

200亩，平均每亩收益480元.计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩,

每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元.

(1)该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到96600元？

(2)该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多

少？

【解答】解：(1)设该大户今年应承租x亩土地，才能使今年总收益达到96600

元，

由题意得x[480-2(x-200)]=96600,

解得x2-440A+48300=0,

解得x=230或x=210,

.••该大户今年应承租210亩或230亩土地，才能使今年总收益达到96600元；

（2）设该大户今年应承租加亩土地，收益为W元，

由题意得W=m[480-2（w-200）]=-2m2+880/n=-2Cm-220）2+96800,

Y-2<0,

.•.当m=220时,W最大，最大为96800,

.••大户今年应承租220亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是96800

元.

【变式3-2】某文具店最近有A,B两款纪念册比较畅销.该店购进A款纪念册

5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本

共需130元.在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为

40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销

售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部

分对应数据如下表所示：

售价（元/本）.......22232425.......

每天销售量.......80787674.......

（本）

（1）求A,B两款纪念册每本的进价分别为多少元；

（2）该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本8款纪念册的利润，

且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价加元；

①直接写出8款纪念册每天的销售量（用含〃?的代数式表示）；

②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？

【解答】解：（1）设A款纪念册每本的进价为。元，B款纪念册每本的进价

为b元，

根据题意得：[5a+4b=156,

I3a+5b=130

解得卜=20,

lb=14

答：A款纪念册每本的进价为20元，8款纪念册每本的进价为14元；

（2）①根据题意，A款纪念册每本降价加元，可多售出2〃?本A款纪念册，

•.•两款纪念册每天销售总数不变，

...8款纪念册每天的销售量为（80-2〃?）本；

②设B款纪念册每天的销售量与售价之间满足的一次函数关系是y=kx+b',

根据表格可得：f°=22k+b',

l78=23k+b,

解得心=-2,

lb'=124

.•.y=-2x+124,

当y=80-2加时，x=22+m,

即B款纪念册每天的销售量为（80-2〃?）本时，每本售价是（22+加）元，

设该店每天所获利润是w元，

由已知可得vv=（32-m-20）（40+2m）+（22+m-14）（80-2m）=-

4加+48〃z+1120=-4（w-6）2+1264,

•；-4<0,

；.〃?=6时，w取最大值，最大值为1264元，

此时A款纪念册售价为32-加=32-6=26（元），

答：当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264

元.

【变式3-3]（2022秋•中原区校级期中）党的“二十大”期间，某网店直接从

工厂购进A、B两款纪念“二十大”的钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：

利润=销售价-进货价）

类别A款钥匙扣8款钥匙扣

价格

进货价（元/3025

件）

销售价（元/4537

件）

（1）网店第一次用8500元购进A、B两款钥匙扣共300件，求两款钥匙扣分

别购进的件数；

（2）第一次购进的两款钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、8两款钥匙

扣共800件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于22000元.应如

何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？

(3)“二十大”临近结束时，8款钥匙扣还有大量剩余，网店打算把8款钥

匙扣调价销售.如果按照原价销售，平均每天可售4件.经调查发现，每降

价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少

元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？

【解答】解：(1)设购进A款钥匙扣x件，8款钥匙扣)，件，

根据题意得：卜刁=30°，

l30x+25y=8500

解得：卜=200.

(y=100

答：购进A款钥匙扣200件，8款钥匙扣100件.

(2)设购进机件A款钥匙扣，则购进(800-m)件B款钥匙扣，

根据题意得：307n+25(800-m)<22000,

解得：〃?W400.

设再次购进的A、8两款钥匙扣全部售出后获得的总利润为vv元，则卬=(45

-30)m+(37-25)(800-zn)=3m+9600.

V3>0,

随机的增大而增大，

.•.当加=400时,w取得最大值,最大值=3X400+9600=10800,此时800-

"7=800-400=400.

答：当购进400件A款钥匙扣，400件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利

润，最大销售利润是10800元.

(3)设8款钥匙扣的售价定为。元，则每件的销售利润为(a-25)元，平

均每天可售出4+2(37-a)=(78-2a)件，

根据题意得：(a-25)(78-2a)=90,

整理得:a2-64a+1020=0,

解得：ai=30,02=34.

又•••要尽快减少库存，

."=30.

答：8款钥匙扣的售价应定为30元.

【变式3-4](2020•鄂州)一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件

3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x

为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：

x（元/件）456

y（件）1000095009000

（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；

（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件.若某一

周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大

利润和售价分别为多少元？

（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便

向某慈善机构捐赠〃z元（1W〃ZW6）,捐赠后发现，该商场每周销售这种商品

的利润仍随售价的增大而增大.请直接写出m的取值范围.

【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：>=履+。（女#0）,

把x=4,y=10000和x=5,y=9500代入得，

<f4k+b=100001

15k+b=9500

解得，［k=-500,

lb=12000

-500x+12000；

（2）根据“在销售过程中耍求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件.若

某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，

'x>3

,x415»

-500x+12000>600C

解得，3WxW12,

设利润为卬元，根据题意得，

w=G-3）y=（x-3）（-500A-+12000）=-500A-+13500^-36000=-500

（x-13.5）2+55125,

；-500<0,

...当“V13.5时,卬随x的增大而增大，

•；3WxW12,且x为正整数

.•.当x=12时，w取最大值为:-500X（12-13.5）2+55125=54000,

答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元;

(3)根据题意得,卬=(x-3-〃力(-500X+12000)=-500^+(13500+500m)

x-36000-12000/??,

.,•对称轴为尤=-135Q0+500m=13.5+0.5/??,

-1000

,:-500<0,

...当xV13.5+O.5m时，w随x的增大而增大，

•••该商场这种商品售价不大于15元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种

商品的利润仍随售价的增大而增大.

又为整数，

...对称轴在x=14.5的右侧时，当xW15(尤为整数)时，卬都随x的增大而增

大，

.1.14.5<13.5+0.5m,解得加>2,

*.*1WmW6,

-W6

【类型四：确定取值范围】

【典例4](2022•新昌县二模)如图，是一种单肩包，其背带由双层部分、单

层部分和调节扣构成.小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层

部分的长度，可以使背带的长度(单层部分与双层部分长度的和，其中调节

扣所占长度忽略不计)加长或缩短，设双层部分的长度为x(c〃力，单层部

分的长度为y(cm).经测量，得到表中数据.

双层部分长度281420

x(cm)

单层部分长度148136124112

y{cm)

(1)根据表中数据规伸，求出y与x的函数关系式.(不必写出自变量取值

范围)

(2)设背带的长度为L(cm),即L=x+y.

①按小文的身高和习惯，L=130(cm)时为最佳背带长度.请计算此时双层

部分的长度.

②求L的取值范围.

双层部分

调节扣

【解答】解：(1)由表格数据规律可知y与x的函数关系为一次函数，设y

与x的函数关系式为(AWO),

由题知，148=2k+b,

I136=8k+b

解得产-2,

lb=152

与尤的函数关系式为y=-2r+152；

(2)①根据题意知卜3=130,

ly=-2x+152

解得(x=22，

]y=108

双层部分的长度为22CT??；

②由题知，当x=O时，y=152,

当y=O时，x=76,

...76WLW152.

【变式4-1】(2021•衡阳)如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和

调节扣构成.小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长

度，可以使背带的长度(单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长

度忽略不计)加长或缩短，设双层部分的长度为xcm,单层部分的长度为

ycm.经测量，得到表中数据.

双层部分长度尤(cm)281420

单层部分长度y(cm)148136124112

(1)根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；

(2)按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳背带长.请计算

此时双层部分的长度;

（3）设背带长度为Lem,求L的取值范围.

【解答】解：（1）由表格数据规律可知y与x的函数关系为一次函数，设y

与x的函数关系式为（AWO）,

由题知,148=2k+b,

解得（kT,

lb=152

与x的函数关系式为>'=-2x+152；

（2）根据题意知卜切口回，

|y=-2x+152

解得卜=22,

ly=108

双层部分的长度为22CT??；

（3）由题知，当尤=0时，y=152,

当y=0时，x=76,

.•.76WLW152.

【变式4-2］（2021•十堰）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/依，经过市

场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/依）与时间九（天）之

间的函数关系式为：y=（0-25x+3°g<x<2：y整数），且日销量加（必）

135（20<x<40且x为整数）

与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：

时间X（天）13610•••

日销量m142138132124・・・

（依）

（1）填空：〃?与x的函数关系为m=-2x+144（1WxW40且x为整数）

（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？

(3)在实际销售的前20天中，公司决定每销售1依商品就捐赠〃元利润(〃

<4)给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润

随时间x的增大而增大，求〃的取值范围.

【解答】解：(1)由题意可设日销量m(kg)与时间x(天)之间的一次函

数关系式为：m=kx+b(&W0),

将(1,142)和(3,138)代入加=日+。，有：(142=k+b,

I138=3k+b

解得左=-2,8=144,

故m与x的函数关系为：m=-2x+144(1WXW40且x为整数)；

(2)设日销售利润为W元，根据题意可得：

当lWx〈20且x为整数时，W=(0.25x+30-20)(-2x+144)=-

0.5X2+16X+1440=-0.5(x-16)2+1568,

此时当x=16时，取得最大日销售利润为1568元，

当20Vx<40且尤为整数时，W=(35-20)(-2尤+144)=-30x+2160,

此时当x=21时，取得最大日销售利润W=-30X21+2160=1530(元)，

综上所述，第16天的销售利润最大，最大日销售利润为1568元；

(3)设每天扣除捐赠后的日销售利润为P,根据题意可得：

P=-0.5/+16x+1440-〃(-2x+144)=-0.5/+(16+2〃)x+1440-144〃，其

对称轴为直线x=16+2〃，

•.•在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，旦x

只能取整数，故只要第20天的利润高于第19天，即对称轴要大于19.5

，16+2〃>19.5,求得〃>1.75,

又，尺%

的取值范围是：1.75</<4,

答：〃的取值范围是1.75<«<4,

【变式4-3](2022•黄冈模拟)某商贸公司购进某种商品的成本为20元/千克，

经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y(元/千克)与时间尤

(天)之间的函数关系式为：y=1S25x+,g<x<20),且尤为整数，且日

[35(20<x<40)

销量机(千克)与时间x(天)之间的变化规律符合一次函数关系，如表：

时间x(天)13610…

日销量加:千142138132124…

克）

（1）求机与x的函数关系式；

（2）当1WXW20时，最大日销售利润是多少？

（3）求：在未来40天中，有多少天销售利润不低于1550元？

【解答】解：（1）由题意可设日销量m（kg）与时间x（天）之间的一次函

数关系式为：m=kx+h（攵W0）,

将（1,142）和（3,138）代入加=日+4有：（142=k+b，

I138=3k+b

解得人=-2,6=144,

故，”与x的函数关系为：加=-2x+144（1或无或40且%为整数）；

（2）设日销售利润为W元，根据题意可得：

当1WxW20且x为整数时，W=（0.25x+30-20）（-2x+144）=-

0.5^+16%+1440=-0.5（x-16）2+1568,

此时当x=16时，取得最大日销售利润为1568元，

.,.第16天的销售利润最大,最大日销售利润为1568元；

（3）由（2）得，当1〈JCW20且x为整数时，W=-0.5（x-16）2+156,

令卬=1550,得1550=-0.5（%-16）2+1568,

解得：xi=10,也=22.

V-1<0,对称轴为直线x=16,10WxW20,共11天.

2

当20VxW40且尤为整数时，W=（35-20）（-2x+144）=-30x+2160,

令W=1550,得1550=-30A+2160,

解得：x=K

3

：-30<0,

.­.20<x<ll,无整数解，即0天.

3

综上所述，在未来40天中，有11天销售利润不低于1550元.

【变式4-4］（2021•河北）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指

挥机（看成点P）始终以3km/min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞

行，2号试飞机（看成点。）一直保持在1号机P的正下方.2号机从原点。

处沿45°仰角爬升，到4km高的A处便立刻转为水平飞行，再过lmi〃到达B

处开始沿直线3C降落，要求1机山后到达C(10,3)处.

(1)求OA的"关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度;

(2)求BC的〃关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；

(3)通过计算说明两机距离PQ不超过3km的时长是多少.

：.OA上的点的横纵坐标相同.

(4,4).

设。A的解析式为：h=ks,

4k=4.

：.k=l.

.••Q4的解析式为：h=s.

•••2号试飞机一直保持在1号机的正下方，

...它们的飞行的时间和飞行的水平距离相同.

•••2号机在爬升到A处时水平方向上移动了4km,飞行的距离为4&加,

又1号机的飞行速度为3km/min,

.".2号机的爬升速度为：4近+生=3近km/min.

3

(2)设3c的解析式为h=ms+n,

由题意：B(7,4),

..(7m+n=4

110m+n=3

1

m-石

解得：

19

.••8C的解析式为/?=」s包

33

令h=0,则s=19.

，预计2号机着陆点的坐标为（19,0）.

（3）解法-：•.•P。不超过3切?，

.*.5-但3.

‘5-s43（04s44）

：.PQ=，1（4<S<7）,

5-<3（74s419）

解得:24W13.

・••两机距离PQ不超过3k%的时长为：（13-2）~?3=旦（m%）.

3

解法二：当尸。=36时，力=5-3=2（km）,

•・・〃=$,

/•5=2.

由2=卷$吟■得：s=13，

二・两机距离PQ不超过女机的时长为：,13;21（加〃）.

33

【变式4-5]（2021•扬州）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下

面是两公司经理的一段对话：

甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部

租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车.另外，

公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.

乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需

一次性支付月维护费共计1850元.

说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利

润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.

在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：

（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；

当每个公司租出的汽车为37辆时,两公司的月利润相等；

(2)求两公司月利润差的最大值；

(3)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元(«>0)给慈善机构,

如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽

车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值

范围.

【解答】解：(1)[(50-10)X50+3000]X10-200X10=480007G,

当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；

设每个公司租出的汽车为x辆，

由题意可得：[(50-x)X50+3000]%-200A-=3500A--1850,

解得：彳=37或%=-1(舍)，

当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；

(2)设两公司的月利润分别为y甲，丁乙，月利润差为y,

则y甲=[(50-x)X50+3000]%-200^,

y乙=35O(k-1850,

当甲公司的利润大于乙公司时，0VxV37,

y=y甲-y乙=[(50-x)X5O+3OOOU-200x-(3500%-1850)

=-50^+1800%+1850,

当x=-1800=18时,利润差最大，且为18050元；

-50X2

当乙公司的利润大于甲公司时，37<xW50,

y=y乙-y巾=3500x-1850-[(50-x)X50+3000]x+200x

=50^-1800A-1850,

,对称轴为直线二=「180°=18,50>0,

50X2

.•.当37VxW50时，y随x的增大而增大，

.•.当x=50时，利润差最大，且为33150元,

综上：两公司月利润差的最大值为33150元；

(3)..•捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，

则利润差为y=-50x2+1800^+1850-ar=-50/+(1800-a)x+1850,

对称轴为直线x=1800。,

100

只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，

A16,5<18QQ-a<17.5,

100

解得：50<a<150

【类型五：拱形问题】

【典例5](2022•陕西)现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，

线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过

点。垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据设计要求：OE=

10m,该抛物线的顶点P到OE的距离为9m.

(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、

B处分别安装照明灯.已知点A、B到OE的距离均为6m,求点A、B的坐标.

【解答】解：(1)由题意抛物线的顶点P(5,9),

,可以假设抛物线的解析式为y=a(x-5)2+9,

把(0,0)代入，可得a=--t，

25

.♦.抛物线的解析式为旷=-言(x-5)2+9；

(2)令y=6,得-_丛(x-5)?+9=6,

25

解得xi=5愿+5,%2=-包巨+5,

33

(5--5^1,6),B(5+^Zl,6).

33

【变式5-1](2022•柯城区校级三模)如图，隧道的截面由抛物线OEC和矩形

ABC。构成，矩形的长AB为4加，宽BC为3m,以0c所在的直线为x轴，

线段8的中垂线为〉轴，建立平面直角坐标系.y轴是抛物线的对称轴，最

高点E到地面距离为4米.

(1)求出抛物线的解析式.

(2)在距离地面茎•米高处，隧道的宽度是多少？

4

(3)如果该隧道内设单行道(只能朝一个方向行驶)，现有一辆货运卡车高

3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论.

【解答】解：(1)根据题意得：。(-2,0),C(2,0),E((0,1),

设抛物线的解析式为y=o?+i(“wo),

把。(-2,0)代入得：4a+l=0,

解得“=-工，

4

...抛物线的解析式为了=-/2+1；

(2)在y=-工『+1中，令^=卫-3=>1得:

444

A=-Jbr+L

44

解得x=土巡，

距离地面区米高处，隧道的宽度是2愿〃?；

4

(3)这辆货运卡车能通过该隧道，理由如下:

在、=-匕2+1中，令y=3.6-3=0.6得：

4

0.6=-Aj?+l,

4_

解得x=±2叵，

5

，|2x|=4百^=2.53（w）,

5

V2.53>2,4,

...这辆货运卡车能通过该隧道.

【变式5-2］（2022•诸暨市模拟）如图1,一个移动喷灌架喷射出的水流可以近

似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的

高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水

平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点。处，草

坡上距离。的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树AB,AB垂直水

平地面且A点到水平地面的距离为3米.

（1）计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地.

（2）记水流的高度为yi,斜坡的高度为"，求的最大值.

（3）如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点B,那么喷射架应向后平移多少

米？

【解答】解：（1）由题可知：抛物线的顶点为（10,6）,

设水流形成的抛物线为y=a（A-10）2+6,

将点（0,1）代入可得。=」，

20

•..抛物线为y=W（X-10）2+6，

当x=15时，y=-AX25+6=4.75>4.2,

20

答：能浇灌到小树后面的草坪；

（2）由题可知A点坐标为（15,3）,

则直线。4为片1^，

.•"「丫2=击―10）2+6冬=*2春+1=_击&8）2等

答：yi-”的最大值为誉；

（3）设喷射架向后平移了加米，

则平移后的抛物线可表示为y=^（X-10.）2+6，

将点8（15,4.2）代入得：加=1或加=-11（舍去），

答：喷射架应向后移动1米.

【变式5-3]（2022•台州）如图1,灌溉车沿着平行于绿化带底部边线/的方向

行驶，为绿化带浇水.喷水口“离地竖直高度为。（单位：m）.如图2,可

以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分

图象；把绿化带横截面抽象为矩形OEFG,其水平宽度。£=3加，竖直高度为

EF的长.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高

点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口05”，灌溉车到/的距离0。为

d（单位：机）.

（1）若仁1.5,EF=0.5m.

①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；

②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；

③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围.

（2）若EF=\m.要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接

写出的最小值.

A

图I图2

【解答】解：（1）①如图1，由题意得A（2,2）是上边