人教版七年级数学第四章几何图形初步角 讲义（无答案）

/第四章几何图形初步角一、学习目标1．在现实情景中,理解角的概念,掌握角的表示方法。2．认识角的度量单位：度、分、秒,学会进行简单的换算和角度的计算。3．会比拟两个角的大小,能分析图中角的和差关系。4．理解角平分线的概念,会画角平分线。5.认识一个角的余角和补角,理解互余、互补的概念,会求一个角的余角和补角；在具体情境中了解余角与补角．懂得等角的余角相等,等角的补角相等．并能运用这些性质解决一些简单的实际问题。6.理解方位角的意义,掌握方位角的判别与应用。二、知识精讲知识点1：角的概念和表示方法⑴概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点是角的顶点,这了条射线是角的两条边。⑵表示方法：①“∠〞加三个大写字母表示但表示顶点的字母写在中间如：∠AOB或∠BOA②用“∠〞加顶点大写字母表示【注意：只适合以某一点为顶点的角只有一个角时】如：∠O③用“∠〞加阿拉伯数字1、2.、3表示如：∠1④用“∠〞加希腊字母α、β、γ表示如：∠α【例1】以下四个图形中,能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是〔〕【题组训练】：1．以下两条射线能正确表示一个角的是〔〕2．正确表示以下的角。______________________________________________3．以下说法中不正确的选项是〔〕A.∠AOB的顶点是O点B.射线BO,射线AO分别是∠AOB的两条边C.∠AOB的边是两条射线D.∠AOB与∠BOA表示同一个角4．如图,以下表示角的方法错误的选项是〔〕A.∠1与∠AOB表示同一个角B.∠AOC可用∠O来表示C.图中共有三个角∠AOB、∠AOC、∠BOCD.∠β表示的是∠BOC5．以下说法中,正确的选项是。〔〕A．平角是一条直线。B.一条直线是一个周角C．两边成一条直线的角是平角。D.直线是平角6．以下说法中不正确的选项是〔〕A.∠AOB的顶点是O点B.射线BO,射线AO分别是∠AOB的两条边C.∠AOB的边是两条射线D.∠AOB与∠BOA表示同一个角7．如图(1),以下表示角的方法错误的选项是〔〕A.∠1与∠AOB表示同一个角B.∠AOC可用∠O来表示C.图中共有三个角∠AOB、∠AOC、∠BOCD.∠β表示的是∠BOC8．如图(2),用两种方法表示同一个角的是〔〕A.∠1和∠CB.∠2和∠CC.∠3和∠AD.∠4和∠B9..如图,∠DOB是直角,∠COAA．∠1=∠2B．∠3=12(∠10..在∠AOB的内部任取一点C作射线OC,那么一定成立的是〔〕A．∠AOB>C．∠AOC=∠11.利用一副三角板,能作出大于0°而小于90°的角共有〔〕A．13个B．11个C．5个D．4个12．如图〔3),〔1〕试用三个大写字母表示:∠1就是,∠2就是,∠3就是,∠4就是。〔2〕图中共有____个角〔除去平角〕,其中可以用一个大写字母表示的角有个.13．比拟两个角大小的方法有和。14.一条射线OA,假设从点O再引两条射线OB和OC,使∠AOB=60°,∠BOC=20°,15．如图,点C是∠AOB的边OA上一点,D、E是OB上两点,那么图中共有_____条线段,____条射线,_____个小于平角的角.16．一个正方形纸片沿着一条折痕剪去一个三角形,剩下的那局部将会有个角。17.如下图,图中共有多少个角,能用一个字母表示的角是哪个？把图中所有的角都表示出来。18．借助三角板画出15°,105°,120°,135°的角。19.一条射线OA,假设从点O再引两条射线OB和OC,使∠AOB=600,∠BOC=200,求∠AOC的度数。(注意考虑角的位置关系)20.如图∠AOB=145°,∠AOC=550,∠BOD=1100,求∠COD的度数。知识点2：角的度量及单位换算⑴角的度、分、秒换算：10=60/,1/=60//,1平角=1800,1周角=3600,注意：不能说成平角是一条直线,周角是一条射线,时钟一大格300,一小格60⑵角的运算：①度化分、秒→整数局部不管,小数局部×60得出的整数局部作为分,再将小数局部×60得出秒。②分、秒化度→分÷60再加上秒÷3600最后加上整度数③度分秒的加法→度对度,分对分,秒对秒分别相加再从秒开始满60向前一单位进“1〞④度分秒的减法→先整体观察分秒是否够减假设不够向前一单位借“1〞当“60〞直至各单位够减为止再相减。⑤度分秒的乘法→先用这个数分别乘以度分秒再从秒开始满60向前一单位进“1〞以此类推。⑥度分秒的除法→先用度除以这个数商作为度余数×60化为分再加原数中的分除以60商为分以此类推【例1】22.5°=______°______′；12°24′=________；【例2】计算153°19′46″+25°55′32″②106°9′-34°58′30″③〔180°－91°32′24″〕×3④53°40′30″×2-75°57′28″÷2⑤13°53′×3－32°5′31″⑥86°19′27″+7°23′58″×3【例3】(1)从3时到6时,钟表的时针旋转的角度是(2)2点15分,钟表的时针与分针所成的锐角是度；【题组训练】：1．以下说法中正确的选项是〔〕A.两条射线所组成的图形叫做角B.一条直线可以看成一个平角C.角的两边越长,角就越大D.角的大小和它的度数大小是一致的2.∠AOB=120°,OC在它的内部,且把∠AOB分成1：3的两个角,那么∠AOC的度数为()A．40°B．40°或80°C．30°D．30°或90°3.以下判断正确的选项是〔〕．A.平角是一条直线B.但凡直角都相等C.两个锐角的和一定是锐角D.角的大小与两条边的长短有关4.0.15°=′=″,25°12′36″=°。5．50°38′的一半是。6.〔1〕2.5°=′；〔2〕24°30′36″=°；〔3〕30.6°=_____°_____′；〔4〕30°6′=______°；〔5〕49°38′+66°22′=；〔6〕180°-79°19′=.7．把一个蛋糕n等份,每份的圆心角为30°,那么n=.8．分别确定四个城市相应钟表上时针与分钟所成的角的度数.______________________________________9.由2点30分到2点55分,时钟的时针旋转了________度,分针旋转了________度,此刻时针与分针的夹角是________度．10.钟表在3点30分时,时针与分针所成的锐角是度。11.0.5周角=平角=直角=度。12.在图4中,小于平角的角有个。13.将一张正方形的纸片,对折两次,相邻两条折痕(虚线)间的夹角为______度。14.如图,点O是直线AD上的点,∠AOB、∠BOC、∠COD三个角从小到大依次相差25°,那么这三个角的度数分别为_____________.15．计算:〔1〕13°29′+78°37′〔2〕62°5′-21°39′(3)22°16′×5；〔4〕42°15÷5；(5)182°36′÷4+22°16×3.16.上午9点半时,时针与分针的夹角是多少度？17．如图,AB是直线,∠1=∠2=50°36′求∠3的度数。18.两个角的度数之比为7：3,它们的差为36°,求这两个角。知识点3：角平分线ABC角平分线：一条射线把一个角分成两个相等的角,ABC几何语言：OOB平分∠AOCO∠AOB=∠BOC=12∠AOC〔或者∠AOC=2∠AOB=2∠BOC〕【例1】如图,OB是∠AOC的角平分线,OD是∠COE的角平分线.如果∠AOB=40°,∠COE=60°,求∠BOD的度数【例2】如下图,点O是直线AB上一点,OE,OF分别平分∠AOC和∠BOC,假设∠AOC＝68°,那么∠BOF和∠EOF是多少度？【例3】如图,直线AB、CD交于O点,且∠BOC=80°,OE平分∠BOC,OF为OE的反向延长线.(1)求∠2和∠3的度数.(2)OF平分∠AOD吗?为什么?【例4】如图,O为直线AB上一点,∠AOC=50°,OD平分∠AOC,∠DOE=90°〔1〕请你数一数,图中有多少个小于平角的角；〔2〕求出∠BOD的度数；〔3〕请通过计算说明OE是否平分∠BOC.【题组训练】：1.点C在∠AOB的内部,下面的等式中,能表示OC是∠AOB的平分线的有〔〕①∠AOC=∠BOC②∠AOB=2∠AOC③∠AOC=12∠AOB④∠BOC=12∠AOB2.如图,长方形ABCD沿AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,如果∠BAF=60°,那么∠DAE等于()A.15°B.30°C.45°D.60°3.点M、O、N顺次在同一直线上,射线0C、0D在直线MN同侧,且∠MOC=64°,∠DON=46°,那么∠MOC的平分线与∠DON的平分线夹角的度数是〔〕.A.85°B.105°C.125°D.145°4.如图,将一副三角尺按不同位置摆放,摆放方式中∠α与∠β互余的是〔〕5.∠A与∠B互补,∠A与∠C互余,那么2∠B－2∠C＝________°6.,∠AOB=45°,OC是∠AOB的一条三等分线,那么∠AOC的度数是7.∠AOB是直角,OM平分∠BOC,ON平分∠AOC,那么∠MON= _。8．如图：∠1∶∠2∶∠3∶∠4=1∶2∶3∶4,那么∠1=°,∠2=°,∠3=°,∠4=°。9．如图.OE平分∠BOC,OD平分∠AOC,∠BOE=20°,∠AOD=40°求∠DOE的度数.7.如图,BD平分∠ABC,BE分∠ABC分2:5两局部,∠DBE=21°,求∠ABC的度数.8．直线AB、CD相交于点O,OE平分∠AOD,∠FOC=90°,∠1=40°,求∠2与∠3的度数。9．OC是从∠AOB的顶点O引出的一条射线,假设∠AOB=70°,∠AOB=2∠BOC,求∠AOC的度数10.如图,射线AD、BE构成∠1、∠2量出∠1、∠2以及∠BAC、∠ACB、∠ABC的度数,并计算∠ACB+∠A,∠A+∠ABC的值,你能得到什么结论呢？11.如图,点O在直线AB上,OD是∠AOC的平分线,OE是∠COB的平分线.(1)求∠DOE的度数.(2)如果∠AOD=51°17′,求∠BOE的度数.12.如图,∠AOB＝90o,∠AOC是60o,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC。求∠DOE。13.如图,O是直线AB上一点,OC为任一条射线,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.〔1〕指出图中∠AOD的补角,∠BOE的补角；〔2〕假设∠BOC=68°,求∠COD和∠EOC的度数；〔3〕∠COD与∠EOC具有怎样的数量关系？14.∠AOB=∠COD=90°,OC平分∠AOB,∠BOD=3∠DOE．OACBOACBED15.如图,O为AD一上点,∠AOC与∠AOB互补,OM,ON分别为∠AOC,∠AOB的平分线,假设∠MON=40°,试求∠AOC与∠AOB的度数．知识点4：余角和补角的概念和性质⑴余角与补角：如果两个角的和等于90°〔直角〕,就是说这两个叫互为余角,即其中的每一个角是另一个角的余角。如果两个角的和等于180°〔平角〕,就说这两个角互为补角,即其中一个角是另一个角的补角。⑵性质：等角的余角相等,等角的补角相等。【注意：①互余、互补一定是指两个角②两角互余即这两个角相加等于900,两角互补即这两个角相加等于1800】【例1】〔1〕一个角的余角比它的补角的13还少20°,求这个角〔2〕一个角的补角与它的余角的度数之比是3:1,求这个角的度数.【题组训练】1.如果一个角是30°,那么它的余角是_____度．2.∠1=200,∠2=300,∠3=600,∠4=1500,那么∠2是____的余角,_____是∠4的补角.3.如果∠α=39°31°,∠α的余角∠β=_____,∠α的补角=_____,∠α-∠β=_____.4.假设∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,∠1=40°,那么∠3=______°,依据是______________.5.一个角的补角是130°,那么这个角的余角是_____度．6.如果一个角的补角是150°,那么这个角的余角是________.7.如图,∠AOB＝∠COD＝90°,那么∠AOC=∠BOD,这是根据〔〕.A.直角都相等B.同角的余角相等C.同角的补角相等D.互为余角的两个角相等8.如图,将一副三角板叠放在一起,使直角的定顶点重合于点0,那么∠AOC+∠DOB=_____.9.如果79°－2x与21°＋6x互补,那么x=_____.10.如果和两角互补,和两角互余,那么=____________(用含有β和γ的式子表示)11.以下说法中错误的选项是〔〕A．两个互余的角都是锐角B．钝角的平分线把钝角分为两个锐角C．互为补角的两个角不可能都是钝角D．两个锐角的和必定是直角或钝角12.如果∠α+∠β=90°,而∠β与∠γ互余,那么∠α与∠γ的关系是〔〕A．互余B．互补C．相等D．不能确定13.以下说法中正确的选项是：〔〕 A．锐角大于它的余角B．锐角小于它的补角 C．锐角不小于它的补角 D．锐角的补角小于锐角的余角14.一个锐角和它的余角之比是5∶4,那么这个锐角的补角的度数是：〔〕 A．100° B．120° C．130° D．140°15．一个角的余角比它的补角的少40°,求这个角的度数.16.互为余角的两个角的比1：2是,那么这两个角分别是多少？17.互补的两角之差是28°,那么其中一个角的余角是多少?18.一个角的余角的补角比这个角的补角的一半大90°,求这个角的度数.19.如果一个角的补角是这个角的余角的3倍,求这个角．20．把角铁弯成的铁架时截去的缺口应是多少度〔不考虑角铁厚度〕？知识点5：方位角方位角：通常以参照点为基准按“上北下南,左西右东〞建立方位坐标,东北方指东偏北450【例1】在海上,灯塔位于一艘船的北偏东40°方向,那么这艘船位于这个灯塔的().A：南偏西50°方向B：南偏西40°方向C：北偏东50°方向D：北偏东40°方向【例2】一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点,再从B点出发向南偏西15°方向走到C点,那么∠ABC=〔〕A.60°B.15°C.45°D.70【题组训练】：1．如图1,点A在O的北偏东°,点B在O的°,点C在O的°,点D在O的°.2．如图2所示,以下说法中错误的选项是〔〕A．OA的方向是北偏东40°B．OB的方向是北偏西15°C.OC的方向是南偏西30°D．OD的方向是正东南方向3．书店、学校、食堂在平面上分别用点A、B、C来表示,书店在学校的北偏西30°,食堂在学校的南偏东15°,那么平面图上的∠ABC应该是〔〕A．65°B．35°C．165°