2023年福建省晋江市高二数学第二学期期末监测模拟试题（含解析）

2022-2023高二下数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

3

1.小红和小明利用体育课时间进行投篮游戏，规定双方各投两次，进球次数多者获胜.已知小红投篮命中的概率为《，

小明投篮命中的概率为,，且两人投篮相互独立，则小明获胜的概率为()

2

12286

A.—B.-C.—D.—

2552525

2.点P是曲线y=V-lnx上任意一点，则点P到直线y=x-2的距离的最小值是()

A.1B.0C.2D.272

3.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要文献.现拟把这4部著作分给甲、乙、

丙3位同学阅读，每人至少1本，则甲没分到《周髀算经》的分配方法共有()

A.18种B.24种C.30种D.36种

4.集合A={x.—%—240},8={目%—1<0},则A8=()

A.|x|x<1)B.|x|-l<x<l)

C.D.{止24x<l}

5.设xo是函数/(x)=/〃x+x-4的零点，则xo所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

6.若偶函数/(x)(xGR)满足f(x+2)=且xe[0,1]时，/(x)=x,则方程/(x)=1呜国的根的个数是

()

A.2个B.4个C.3个D.多于4个

7.设集合M={x|log2(xT)<l},N={x|xN2}|,则()

A.{%|2<x<3}B.{x|x>2}C.{%|x>1}D.{%|1<x<3}

8.如图，设A、8两点在河的两岸，一测量者在A的同侧河岸边选定一点C,测出A、C的距离是50帆，ZACB=45，

NC4B=105，则A、8两点间的距离为()

A.50^2/?1B.506mC.25在〃zD.-------m

2

9.已知i为虚数单位，若复数二满足i(2-z)=3+i,贝！||z|=()

A.V5B.V10

C.5D.10

10.已知随机变量。的分布列为P4=A)=；,k=l,2,3,则。(3《+5)=()

A.6B.9

C.3D.4

2x-3y+6..O

11.设x，)‘满足约束条件＜x+y—2”0，则z=x+3y的最大值是()

y..O

A.-3B.2C.4D.6

12.等差数列｛斯｝的前“项和S“，且4SS2W6,15WS4W2L则及的取值范围为()

'947'一2333''933-'2347'

A.一,B.—C.一,D.

.88..88..88..88.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.两根相距6利的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2%的概率是.

14.观察下面几个算式：1+2+1=4；1+2+3+24-1=9；1+2+3+4+3+2+1=16；1+2+3+4+5+4+3+2

+1=25.利用上面算式的规律，计算1+2+3++99+100+99++3+2+1=

x=2/+1

15.将参数方程1，a为参数)化成普通方程为__________.

y=-4t

16.在复平面上，复数z对应的点为A(—2,1),贝!)|z+l|=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)把编号为1、2、3、4、5的小球，放入编号为1、2、3、4、5的盒子中.

(1)恰有两球与盒子号码相同；

(2)球、盒号码都不相同，问各有多少种不同的方法

18.(12分)已知椭圆C：1+马=13>6>0)的离心率为交，直线x+y—1=0被圆/+截得的弦长为

a-b-2

日

(1)求椭圆。的方程；

(2)过点(1,0)的直线/交椭圆。于A，B两点,在x轴上是否存在定点P,使得PA.P3为定值？若存在，求出点P

的坐标和ELP6的值；若不存在，请说明理由.

19.(12分)已知函数分3=2.—”+归+1|.

(1)求不等式/(x)W5的解集；

(2)若2x+&,求实数"的取值范围.

20.(12分)已知函数人x)=(滔匕+；)工33>0,且*i).

(1)讨论/(x)的奇偶性；

(2)求a的取值范围，使/(x)>0在定义域上恒成立.

21.(12分)已知AABC的角A、B、。所对的边分别是b、c,设向量加=(a,b),/?=(sinB,

sinA),〃=S—2M-2).

(1)若加〃〃，求证：AASC为等腰三角形；

TT

(2)若mLp,边长c=2,角C=］，求AABC的面积.

22.(10分)在AABC中，内角A,B,。所对的边分别为。，b,c.已知。=1,cosA=—,B=2A-

3

(I)求b的值；

(15求sin(6-的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

由题意可知，用(x，y)表示小明、小红的进球数，所以当小明获胜时，进球情况应该是(2,0),(2,1),(1,0),由相互独

立事件同时发生的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式，即可求得。

【详解】

由题意可知，用(x,y)表示小明、小红的进球数，所以当小明获胜时，进球情况应该是(2,0),(2/),(1,0),小明获胜

的概率是

31326

X—x---1---1---=--

5七卜。；25252525

故选D。

【点睛】

本题主要考查相互独立事件同时发生的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式的应用，意在考查学生分类讨论思想意

识以及运算能力。

2、B

【解析】

y'=2x-^=\,则x=l,即

2、历，故选B.

所以d双

3、B

【解析】

分析：先不考虑限制条件，则共有种方法，若甲分到《周髀算经》，有两种情况：甲分到一本(只有《周髀算经》),

甲分到2本(包括《周髀算经》)，减去即可.

详解：先不考虑限制条件，则共有36种方法，若甲分到《周髀算经》，有两种情况：甲分到一本(只有《周髀

算经》)，此时共有=6种方法;

甲分到2本(包括《周髀算经》)，此时共有用=6种方法,

则分配方法共有36—6—6=24种.

点睛：本题考查了分组分配的问题，关键在于除去不符合条件的情况，属于基础题

4、C

【解析】

先化简集合A,B,结合并集计算方法，求解，即可.

【详解】

解得集合A={M(X-2)(X+1B0}={止14%«2},8={小<1}

所以AD5={X|X<2},故选C.

【点睛】

本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B,难度较小.

5、C

【解析】

由函数的解析式可得/(2)<0,/(3)>0,再根据函数的零点的判定定理，求得函数的零点所在的区间，得到答案.

【详解】

因为天是函数,f(x)=lnx+x—4的零点，由/(2)=ln2-2<0J(3)=ln3—l>0,

所以函数/(x)的零点4所在的区间为(2,3),

故选C.

【点睛】

本题主要考查了函数的零点的判定定理的应用，其中解答中熟记零点的存在定理，以及对数的运算性质是解答的关键,

着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

6、B

【解析】

在同一坐标系中画出函数y=/(x)和函数y=log31x|的图象，这两个函数的图象的焦点个数，即为所求.

【详解】

因为偶函数“X)满足/(X+2)=/(%),所以函数的周期为2,

又当XG[0,1]时，〃x)=x,故当xe[—l,0)时，/(x)=-x,

则方程/(x)=log-3,|的根的个数，等价于函数y=/(x)和函数y=log3凶的图象的交点个数，

在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示，可得两函数的图象有4个交点，

即方程/(x)=log3|x|有4个根，故选B.

【点睛】

本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，即根的存在性及根的个数的判定，其中解答中把方程/(x)=log31x|的

根的个数，转化为函数y=/'(x)和函数y=logski的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合

图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

7、C

【解析】

解出集合M中的不等式即可

【详解】

因为“={x|log2(x-l)<l}={x[1<x<3},N={x|x>2}

所以MuN={x|x>l}

故选：C

【点睛】

本题考查的是解对数不等式及集合的运算，属于基本题.

8、A

【解析】

利用三角形的内角和定理求出=30，再利用正弦定理即可求解.

【详解】

由三角形的内角和可得NB=30,

ACAR

在AABC中，由正弦定理可得一^=—

sinZ.BsinZC

snV2

ACsinZCx2.K\

所以AB=-------------=----------=50V2(m],

sinZB1''

2

故选：A

【点睛】

本题考查了正弦定理在生活中的应用，需熟记正弦定理，属于基础题.

9、B

【解析】

先根据复数的除法求出z,然后求出模长.

【详解】

因为i(2-z)=3+i,所以2-z=?,z=2-早=l+3i,所以|Z|=#+32=回,故选B.

【点睛】

本题主要考查复数的运算和模长求解，侧重考查数学运算的核心素养.

10、A

【解析】

直接利用方差的性质。(若+3="X0(或求解即可.

【详解】

由题意得E（J）=gx（l+2+3）=2,

・••。偌）=；［（1-2—（3—2月=；

JJ」J

O（3J+5）=32xO（J）=6,故选A.

【点睛】

本题主要考查方差的性质与应用，意在考查对基本性质掌握的熟练程度，属于中档题.

11、D

【解析】

先由约束条件画出可行域，再利用线性规划求解.

【详解】

2x-3y+6..0

如图即为x,)‘满足约束条件x+y-2,,0的可行域,

y..O

2x-3y+6=0

由＜,解得A（0,2）,

x+y-2=0

1z

由z=x+3）得y=—-x+—,

由图易得：当z=x+3.y经过可行域的A时，直线的纵截距最大，z取得最大值,

所以z=x+3y的最大值为6,

故选£）.

本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

12、B

【解析】

1521

首先设公差为d,由题中的条件可得442a2-6和542a2+d4万，利用待定系数法可得

的=：（24—d）+；（24+4），结合所求的范围及不等式的性质可得

史.史.

8-8

【详解】

设公差为”，由4Ks246,得4<卬+4<6,即4<24—d46

1521

同理由15<§4<21可得,《2。2+4工万.

y=x]

故可设所以有的所以有，

4=x（2a2-d）+y（2a2+J）,=（2x+2y）%+（y-x）d,CCJ解得x=>=：，

2x+2y=l4

即a,=]（2a,-d）+i（2a,+d）,

13151?1

因为14工（2%-"）（万，~8~4^a2+d^~~8'

2311332333

所以+即:"4

O44OOO

故选：B.

【点睛】

本题主要考查不等式的性质及等差数列的运算，利用不等式求解范围时注意放缩的尺度，运算次数越少，范围越准确.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13,-

3

【解析】

在距绳子两段两米处分别取A,B两点，当绳子在线段AB上时（不含端点），符合要求，所以灯与两端距离都大于2m

的概6-率2-2故1填土1.

633

14、10000

【解析】

观察归纳中间数为2,结果为4=22；中间数为3,结果为9=32；中间数为4,结果为16=4?；于是中间数为100,结

果应为1002=10000.

故答案为：10000

点睛：这个题目考查的是合情推理中的数学式子的推理；一般对于这种题目，是通过数学表达式寻找规律，进而得到

猜想.或者通过我们学习过程中的一些特例取归纳推理，注意观察题干中的式子的规律，以免出现偏差.

15、2x+y-2=0.

【解析】

在参数方程中利用加减消元法或代入消元法消去参数/,可将参数方程化为普通方程.

【详解】

x—2t+1—41+2

由＜，得《,,两式相加得2x+y=2,即2x+y-2=0,

y=-4/[y--4t

X=2t+\

因此，将参数方程,。为参数）化成普通方程为2x+y-2=0,

故答案为2x+y-2=0.

【点睛】

本题考查参数方程与普通方程的互化，将直线的参数方程化普通方程，常见的有代入消元法和加减消元法，考查计算

能力，属于基础题.

16、V2

【解析】

由已知可得Z,再由复数模的计算公式求解.

【详解】

解：由已知可得，z=-2+/,

则z+l=-1+i,

••北+1|=万

故答案为：V2.

【点睛】

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)20；(2)44.

【解析】

(1)由题意结合排列组合公式和乘法原理即可求得恰有两球与盒子号码相同的种数；

⑵利用全错位排列的递推关系式可得球、盒号码都不相同的方法种数.

【详解】

(1)易知3个球、盒号码都不相同共有2种情况，

则恰有两球与盒子号码相同的排列方法种数为：C；x2=20种；

⑵利用全错位排列的递推关系式：R=0,2=l,D.=(〃—l)(Qi-2)(〃23)可得：

D,=2x(0+l)=2,2=3x(2+l)=9，A=4X(9+2)=44,

即球、盒号码都不相同共有44种方法.

【点睛】

本题主要考查排列组合公式的应用，全错位排列的递推关系式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

v-257

18、(1)二+9=1；(2)P(—,0),——.

2-416

【解析】

(1)由椭圆。的离心率为正，求得。=岳，再由圆的性质和圆的弦长公式，求得。=1,进而可求解椭圆的标准方

2

程；

(2)设/的方程：x=m)，+l,联立方程组，利用根与系数的关系，求得为+%2，%M2,再利用向量的数量积的运算和

代数式的性质，即可得到结论.

【详解】

（1）•.•椭圆C的离心率为也，•••.="?,

2

•.•圆Y+V=从的圆心到直线x+y—1=0的距离为d==—

V22

二直线x+y—l=O被圆f+y2=〃截得的弦长为

2“2-储=2卜2_：=72.

解得b=l,故。=后=垃，.•.椭圆。的方程为5+9=1.

（2）设尸（f,0）,A（x，y）,B（x2,y2）,

当直线/与x轴不重合时，设/的方程：x^my+1.

-2m

x=/ny+l

m+2

由，X22得（苏+2）/+2利），-1=0,

—+/=1\7-1

.2y必二

m+2

4*+1

:.x+xxx-

}2m2+2x2m~+2

以，8=（%T/JIWT,%）=平27（%+兀2）+r+yiy2

J2J/+1

-3m2-4r-l,,

----------+r+1I,3

m24-2+r+r

m2+2

当上?=2,即f时，P4PA的值与〃?无关，此时P4P8=—7

当直线/与x轴重合且/=:时，PA-PB=（&-［,（））］一&-：,。］=^|一2=-亮.

.•.存在点呜,0）使得P4P6为定值-焉.

【点睛】

本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题，解答此类题目，通常联立直线方程与

椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能

力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.

4621

19、(1)--,2(2)7+s

4

【解析】

(1)可先将/(x)写成分段函数的形式，从而求得解集；

(2)f(x)<x2-2x+a^^f(x)-x2+2x<a,令/z(x)=/(x)--+2x,故“2〃(初曲即可，从而求得答案.

【详解】

—3x+1(x4-1)

(1)根据题意可知：/(%)=<3-x(-l<x<l),当1时，即—3X+145,

3x-l(x>1)

4,

解得—<x<-l；当一1cx<1时，即3—尤<5,解得一1cx<1；当》之1时，即

3

-4'

3x-l<5,解得—14xW2.综上，不等式f(x)<5的解集为一§,2；

(2)/(x)WX?_2x+a等价于/(x)-J+2x<a,令人(x)=/(x)-x?+2x,故

2

a2/i(x)111ax即可，①当xW-l时，h(x)=-x-x+1,此时以=加-1)=1；②当

T<x<曲心—+3,此时3)/(；)=?当用时，心)一+51,

此时/X)max=%5(G)2=1Z；综上所述5，饵21%)皿=力(n21=7，故即实数”的取值范

B=「21-

围是—>+0°.

_4_

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的求解，含参恒成立问题，意在考查学生的分析能力，计算能力及分类讨论能力，难度中

等.

20、(1)函数4x)是偶函数(2)«G(l,+~)

【解析】

(1)先求函数式X)的定义域，再判断以一X)与/U)是否相等即可得到结果；(2)由7U)是偶函数可知只需讨论x>0时

的情况，则有+从而求得结果.

【详解】

(1)由于小一1邦，则1,得/0,

工函数人好的定义域为{X-O}.

对于定义域内任意X,有

1n,

f(-x)=

K