湖北云学名校联盟2023-2024学年高二年级上册12月联考数学试题含答案

湖北云学名校联盟2023-2024学年高二上学期12月联考数学试题

2023年云学名校联盟高二年级12月联考

数学试卷

考试时间：2023年12月21日14:3076:30时长：120分钟满分：150

分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

个选项符合题目要求.

22

1.已知双曲线匕-二=1的渐近线方程为了=±2》，则实数加=

16m

A.4B.8C.32D.64

2.已知/、加、〃是不同的直线，。、/?、/是不同的平面，贝！］/〃冽的一个充分条件是

A.IIIa,muaB.Illa,milB，allp

C.aC\/3=1,=m,-nD.11B，a工回0=m

3.已知点2（1,2）、B（0,-呵,若经过点M（-1,0）的直线/与线段48有公共点，则直线/的倾

斜角的取值范围为

n2TT

A.

75TB・,州

7171712万

c-D.u

4.我国经济的迅速发展使得对能源的需求增加，常规的化石能源供应不足的矛盾日益突出.能

源安全成为我国必须解决的战略问题.发展新能源和可再生能源有利于改善我国能源结构,

保障能源安全，保护环境，走可持续发展之路.为响应国家号召，甲、乙两公司在某小区

设置电动汽车充电桩.某一天，甲公司设置的10组充电桩被使用的平均时间为。，方差为

2；乙公司设置的30组充电桩被使用的平均时间为6,方差为1吆2.若a=b,则该小区这40

5

组充电桩被使用时间的方差为

A.°B."C.竺D.H

5102010

5.下列有关事件与概率的说法错误的是

A.若ZqB,则尸（2）4尸（8）B.若尸（28）0尸（2）尸（8）,则Z与3不独立

二-注々J-rzTT孥日日-1C口TTV3^-石上心注」＞步石、辂d右

C.若Z与8对立，则Z与8互斥D.若p(z)=l-P(8),则Z与8对立

6.已知0(0,0),2(-3,0),直线/:y=fcc上存在点尸，且点尸关于直线/':y=x的对称点P'满

足尸0|=2尸』，则实数左的取值范围是

A.(-®,-73]U[V3,+«)B.[-V3,V3]

22

7.已知2、尸分别为椭圆二+白=1(。〉6〉0)的左顶点和左焦点，B、。是椭圆上关于原点

ab

对称的点，若直线CF平分线段28,则椭圆的离心率为

8.如图所示，两个不同的平面a、[J,A,8两点在两平面的交线上，48=18,以48为直

径的圆G在平面a内，以48为长轴，F、尸为焦点的椭圆。2在平面力内•过圆G上一点尸

向平面0作垂线，垂足为笈，已知HF'<印"且ZHFF'=-.若射线FH与椭圆相交于点。，

且FH<FQ,在平面夕内,以点〃为圆心，半径为4的圆经过点。，且圆笈与直线28相

切.则平面a、力所成的角的余弦值为

、2766n4769

A.---B.----------

3369

02V78八V2

393

共20分.全部血的得5分，选对但不全的得

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分,

2分，有选错的得0分.

9.已知圆。:丁+产=i和圆c：x2+「—4》=：0相交于48两点，则下列结论正确的是

A.两圆的公共弦28的长为运

B.四边形CMC3的面积为其

2

C.两圆的公切线相交于点(-2,0)D.两圆的公切线相交所成角的大小吗

二注々J-rzTT孥日日-1C口TTV3^-吉—/Z-注空

10.设甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球

放入乙袋，再从乙袋中任取1球，记事件/="从甲袋中任取1球是红球”，记事件8=

“从乙袋中任取1球是白球”，贝U

A.尸⑷3B.尸⑻=[C.P(刖)=5D.尸(前)=；

11.如图，在棱长为2的正方体4BCD-481GA中，E、尸分别是棱4用、上的动点，且

A.E=BF,则下列说法正确的是'

A.所与CQ的夹角取值范围是「工，工

42_

B.平面JEF与正方体ABCD-4与4。1的截面为梯形

C.三棱锥G-加4的体积为定值

D.当E、尸分别是棱4用、5c的中点时，三棱锥G-屏耳的外接球的表面积为亍万

12.已知曲线Ci/cosa+V=1,其中ae[0,»],则下列结论正确的是

A.方程表示的曲线是椭圆或双曲线

B.若a=。，则曲线的焦点坐标为(-1,0)和(1,0)

C.若则曲线的离心率ej亘土正

_63J\_22

D.若方程表示的曲线是双曲线，则其焦距的最小值为2人

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.直线/经过点尸(3,6),且与圆。:/+/_2》—外+1=0相切，则直线/的方程

为;

14.已知直线/的方向向量为2=(1,-2,2),则向量1=(-1,1,2)在直线/上的投影向量的坐标

为;

15.如图，直线28在平面o内，点C在平面a外，直线28与ZC的

夹角为6,直线ZC与平面a所成的角为工-6.若平面4BC与平面

2

。所成角的大小为0，且COS0=彳，则cos。的值为；

二-注々J-rzTT孥日日-1C口TTV3^-石上心注石、辂C看

16.过焦点为E的抛物线/=4x上一点/作其准线的垂线，垂足为8,直线与抛物线相

交于C、。两点，当8C=CD时，三角形48E的面积为.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)

已知直线4:加x+y-l=0,直线：2x—〃y—4=0,其中%〃eR.

⑴若直线4经过点(1,2),H41/2＞求加,〃；

(2)若直线/J4,当4与4之间的距离取最大值时，求直线4的方程.

18.(本小题满分12分)

2023年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利78周年纪念日，某市宣传

部组织市民积极参加“学习党史”知识竞赛，并从所有参赛市民中随机抽取了50人，统计

了他们的竞赛成绩加(504比4100),制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求出图中X的值；

⑵求这50位市民竞赛成绩的平均数和上四分位数；

⑶若成绩不低于80分的评为“优秀市民”，从这50名市民中的“优秀市民”中任选两名

参加座谈会，求这两名市民至少有一人获得90分以上的概率.

二-注々J-rzTT孥日日-1C口TTV3^-石

19.(本小题满分12分)

如图，等腰梯形/BCD中，ADIIBC,AB=BC=CD=2,2。=4,现以ZC为折痕把

折起，使点3到达点尸的位置，且"LCD.

⑴证明：平面B4C，平面NCZ)；

⑵M为尸。上的一点，若平面/CM与平面ZCZ)的夹角的余弦值为二匚，求点尸到平面

5

ACM的距离.

20.(本小题满分12分)

已知曲线G上的点P(x,y)到直线/:x=4的距离是点尸到点F(l,0)的距离的2倍，曲线。2是

顶点为原点，焦点为少的抛物线.

(1)求曲线G、G的方程；

(2)经过点尸的直线r,与曲线G相交于2、8两点，与曲线。2相交于M、N两点，若

\MN\=I\AB\,求直线r的方程.

二-注々J-rzTT孥日日-1C口TTV3^-石上心注二＞亚看、辂C1右

21.(本小题满分12分)

如图，在直三棱柱48C-48c中，ABLBC,M、N分别是441、8片的中点，

BB]=2AB=2.

⑴在平面"3C内找一点尸，使得直线B4"/平面"NC,并说明理由；

⑵若二面角C-4片-3的大小为7，求直线8C与平面所成角的正弦值.

22.(本小题满分12分)

双曲线的左右焦点为片(-c,0),工(c,0),实轴长为6,点尸在双曲线的右支上,直线尸片交双

曲线于另一点。，满足|尸局=|片可，且APQK的周长为32.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)过点G(1,l)作直线/与双曲线的右支相交于/、N两点，在线段W上取点笈，满足

吗=当，点笈是否恒在一条定直线上？若是，求出这条直线的方程；若不是，请说明

|GN|阿

理由.

二-注々J-rzTT孥日日-1C口TTV3^-石

2023年云学名校联盟高二年级12月联考

数学评分细则

二选择题

题号123456789101112

答案ADCBDAACACDABDACDBCD

三、填空题

122

13.x=3或3x—4y+15=014.

15.-16.18A/2

5

四、解答题

17.解：（1）因为直线人经过点（1,2）,将点（1,2）带入直线八的方程可得

m+2-1=0,解得m=-1,.......2分

又因为八，匕

所以2m—n=0,解得n=2m=_2........4分

综上所述，m=-1,n=-2........5分

（2）根据题意，直线八过定点4（0,1）,直线%过定点8（2,0）........6分

因为LII/、,所以八与八之间的距离d&\AB\

当d=A班寸，11与心之间的距离取得最大值........8分

此时481",

又因为直线A5的斜率=-t直线h的斜率为一m,

所以一；（_m）=_1,解得m=-2,.......9分

所以直线心的方程为2x-y+1=0........10分

题目简单评分标准很细，严格按评分标准给分。

18.解：（1）由频率分布直方图可知：

0.004x10+10x+0.04x10+0.016x10+0.008x10=1

x=0.032.......2分

(2)由元=12七夕,,得:

；=|

x=0.04x55+0.32x65+0.4x75+0.16x85+0.08x95=74.2...............4分

设市民竞赛成绩的上四分位数为明则

0.08+0.16<0.25,0.08+0.16+0.4>0,25

70<a<80

(80-«)x0.04+0.08+0.16=0.25

Aa=79.75...............7分

(3)由频率分布直方图可知：50名市民中有“优秀市民”12人，其中8人成绩在不高于90

分，记为4,4,&4,4,4,4,4,有4人成绩在90分以上,记为51，2,鸟，当•从“优秀

市民”中任选两名参加座谈会，用集合{掰,〃}表示这个试验的一个样本点，因此该试验的样

本空间为

Q={{m,n}|m,ne{A1,A2,A3,A4,A5,A6,A1,As,Bl,B2,B3,B4}},

其中〃(Q)=66...............9分

事件/="两名市民至少有一人获得90分以上”，则

M={{m,n]|m,ne{A1,A2,A3,A4,A5,A6,A1,Ai}},其中〃(Af)=28...............10分

本题没有其他解题方法，评分标准很细，严格按照评分标准给分。

、

2,——38——19

第三问如果学生没有过程只有概率结果6633,建议扣一分

19.(1)在梯形45co中，取4D的中点N,连接CN

•：BC//4D,8C=ZN=LA。..四边形/SON为平行四边形，/.AB=CN,

2

■.CN=-AD,:.CDLAC...............2分

2

■：PALCD,PAr\AC=A,PA,ACu平面K4C,r.CO，平面F4C,

•/CDczACD,：.PAC±ACD................4分

(2)分别取ZC,Z£>中点O,连接PO,=PC,0为NC中点,.,.POLZC,

又平面K4C，平面ZCD,平面K4C口平面/CD=ZC,尸Ou平面HC,

平面ZCD,♦.•0,^^分别为2。,40中点，；.9〃。。，，狈，平面必。，

则以。为坐标原点,C%,ON,O0正方向为x,y,z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则

0(0,0,1),A(V3,0,0),C(-V3,0,0),£»(-V3,2,0),............6分

£>P=(V3-2,1),AC=(-2^3,0,0),CD=(0,2,0),AD=(-26,2,0),PA=(拒,0,-1),

设DM=WP=(V32-22,2)(0<2<1)，贝!IAM=AD+DM=(V32-273,2-22,2),

设平面ZCA/的法向量£=(X,y,Z),1=(0,422—2)................8分

2A/5一

•；平面ACM与平面ACD夹角的余弦值为二，又平面ACD的一个法向量m=(0,0,1),

竿=*±二拽,.……1。分

加〃V52*2-82+452

PA-n

_______2亚

...点尸到平面ZCA/的距离d=-M—...........12分

\n\5

(2)另：以C点建系：则Z(2G,0,0),D(0,2,0),P(^,0,l),PD=(-^2,-1)............6分

令两=2而且0W2W1,CA/=(73-732,22,1-2).................8分

可得平面的法向量3=(0,1-4-22),平面ZCD的法向量而=(0,0,1),有:

|-22|_275

4=—则M为中点10分

V(l-2)2+(-22)252.

一1一>lZP“2r、

〃二(0,彳，-1)贝UAP=(一百,0,1)d==—亚.............12分

2\n\5

20.解：(1)记点尸到直线/的距离为d,由题知d=2|尸刊

所以H=2j(x_iy+/,化简为[+[=1.................4分

22

2

Cj:=1C2:y=4x................5分

(2)由题意可知，直线/'的斜率不为0

22

设直线/':x=（y+l,由曲线C］：（+q=l,联立方程有

（4+3r2）v2+6（y-9=0

6t

…二一3所以|48|=Jl+/|必-%|=）■

8分

9

“一石犷

联立直线:x="+1与曲线G：V=4x,有y?-4ty-4=0

丫3+%-"所以河=^^卜_司=4（］+产）

?io分

y3y4=-4

12（l+r2）

又同=2朋所以4（1+『）=2.解得T即

4+3/

所以直线/'的方程为l=《-»+1或X=--—y+1................12分

另解：当斜率不存在时，代入计算不符题意

22

当斜率存在时，设直线Jy—［曲曲线q：亍+/=1,联立方程有

（4k2+3k2-8k2x+秋2-12=0

得与小^^所以认用二标目小一与卜喘詈.....8分

X】XZ=HT

联立直线y=k（x一1）与曲线。2：/=4x,有仅2）*2-（42+4）x+K=0

2k2+4

,M+Xz=­p—

、”】xz=1

所以|MN|=+的勺-孙1=...............10分

5L\MN\-^\AB\所以立尹=2x茎型解得』理

1111k29.32

所以直线/'的方程为y-\"（.r1）...............12分

21.解：（1）延长8加、区4交于点尸，

・••点》;^^为441，8片的中点，

:.MA\HNB\,即四边形四N是平行四边形3分

A[B]MN4分

1/BMnBM=P,：.PGBXAX

：.PAJ/MN,又•••Wu平面①平面MAC

•••%〃平面TWC5分

故在平面AfflC内可以找一点尸（尸=,使得直线弘"/平面7WC.（点尸不唯

一）6分

（2）如图所示，连接C5]

ABIBC,AB±BB,,BCcBB、=B

：.AB1平面BCC\B[即AB1平面BCC出1

：.AB1B[C

ZCB.B是二面角C-4国-B的平面角，

Be

即tan/C8]_5-........-1

BB、

：.BB]=BC8分

以因为坐标原点，建立空间直角坐标系，则

8(0,0,2),C(0,2,2),M(l,0,1)与(0,0,0)

/.SC=(0,2,0),而=(1,0,1),麻=(0,2,2)

设平面Affi。的法向量为〃=(x,y,z),则

r--rrz,.,.令x=l,可取〃=(1,1,-1)

n-B[M=x+z=n0''''

n-BXC=2y+2z=0

设直线BC与平面MBe所成角为内

则sin6=|cos<BC,n>|=|整"—\=,

\BC\-\n\2xj33

直线5c与平面MBXC所成角的正弦值为当12分

第一问：延长BC至点G使BC=CG,延长B1A1至点H使B1A1=A1H,则直线GH上任意一点都可

以是点P。第一问找出p点没有证明的扣一分，把图形补成长方体，之后找的p点，参照参

考答案给分，第二问就按参考答案给分。

22.解：(1)由|尸闾=闺闾=2c,

则归周=2c+6,\PQ\=2c+6-\QFi\,\QF2\=\QFX\+62分

所以有2c+6—周+2c+|QG|+6=32

解得，c=5

22

所以双曲线的标准方程为土-上=14分

916

⑵因为翁幽

设MG=2GN,则必f=—X/W