2023年吉林长春中考数学试卷真题及答案

2023年长春市初中学业水平考试

数学

本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页.全卷满分20分.考试时间为

120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形

码准确粘贴在条形码区域内.

2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿

纸、试卷上答题无效.

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.实数。、6、。、d伍数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（）

abed

——__I_1,1.1__L»_J——>

—4—3—2—10123

A.aB.bC.cD.d

2.长春龙嘉国际机场T3A航站楼设计创意为“鹤舞长春”，如图所示，航站楼的造型如

仙鹤飞翔，蕴含了对吉春大地未来发展的美好愿景.本期工程按照满足2030年旅客吞

吐量38000000人次目标设计的，其中38000000这个数用科学记数法表示为（）

A.0.38x10sB.38x10''C.38x10sD.3.8xl07

3.下列运算正确的是（）

A.a3—a2=aB.a2-a=a3C.（a2）=a'D.ah^-a2=a3

4.下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字.若多面体的底面是面③,

则多面体的上面是（）

②③④

@

试卷第1页，共8页

A.面①B.面②C.面⑤D.面⑥

5.如图，工人师傅设计了一种测零件内径ZB的卡钳，卡钳交叉点。为//'、88'的中

点，只要量出H夕的长度，就可以道该零件内径48的长度.依据的数学基本事实是（）

A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B.两角及其夹边分别相等的两个三角形

全等

C.两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例D.两点之间线段最短

6.学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳

到地面，如图所示.已彩旗绳与地面形成25。角（即/B/C=25。）、彩旗绳固定在

地面的位置与图书馆相距32米（即ZC=32米），则彩旗绳的长度为（）

后

官

3232

A.32sin25。米B.32cos25。米C.---------米D.----------米

sin25°cos250

7.如图，用直尺和圆规作/朋XN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的

8.如图，在平面直角坐标系中，点A、8在函数y=上6>0,x>0）的图象上，分别以A、

X

8为圆心，1为半径作圆，当。/与x轴相切、08与y轴相切时，连结AB=3④,

则人的值为（）

试卷第2页，共8页

A.3B.3亚C.4D.6

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共8分）

9.分解因式：a2-1=.

10.若关于x的方程/一2》+加=0有两个不相等的实数根，则加的取值范围是

11.2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康

跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点

的路程为公里.（用含x的代数式表示）

12.如图，和是以点。为位似中心的位似图形，点A在线段上.若

OA：AA'=｝：2,则14BC和AA'B'C'的周长之比为.

13.如图，将正五边形纸片/5CDE折叠，使点B与点E重合，折痕为展开后，

再将纸片折叠，使边Z8落在线段4/上，点B的对应点为点5',折痕为ZF,则N/E8'

的大小为度.

试卷第3页，共8页

14.2023年5月8日，C919商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步.12

时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中

高级别的礼仪）.如图①，在一次“水门礼''的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱,

喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分.如图②，当两辆消防车喷水口/、

B的水平距离为80米时，两条水柱在物线的顶点4处相遇，此时相遇点〃距地面20米,

喷水口/、8距地面均为4米.若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口

4、5'到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点少距地面米.

图①图②

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15.先化简.再求值：（a+l）2+a（l-a）,其中。=正

3

16.班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则下：将三个完

全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、

红色、绿色.参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后再将杯子

倒置于桌面，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜

色.若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖.用画树状图（或列

表）的方法，求某同学获一等奖的概率.

17.随着中国网民规模突破10亿、博物馆美育不断向线上拓展.敦煌研究院顺势推出数

试卷第4页，共8页

字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评.某工厂计划制作3000个“伽

瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提

前5天完成任务.问原计划平均每天制作多少个摆件？

18.将两个完全相同的含有30。角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放.点

A,E,B,。依次在同一直线上，连结X尸、CD.

(1)求证：四边形4EDC是平行四边形；

(2)己知8c=6cm,当四边形/FDC是菱形时.49的长为cm.

19.近年来，肥胖经成为影响人们身体健康的重要因素.目前，国际上常用身体质量指

数(BodyMassIndex,缩写BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式

是

5…体重(单位：kg)

身高彳位置：n?)

例如：某人身高1.60m,体重60kg,则他的BMIJR

中国成人的BMI数值标准为：BMK18.5为偏瘦；18.5WBMI<24为正常；24<BMI<28

为偏胖；BMI228为肥胖.

某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们

的BM1值并绘制了如下两幅不完整的统计图.

试卷第5页，共8页

抽取的员工胖瘦程度的条形统计图抽取的员工胖瘦程度的扇形统计图

(1)补全条形统计图；

(2)请估计该公司200名员工中属于偏胖和肥胖的总人数；

(3)基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划.员工小张身高1.70m,BMI值为

27,他想通过健身减重使自己的BMI值达到正常，则他的体重至少需要减掉

kg.(结果精确到1kg)

20.图①、图②、图③均是5x5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,每个小正

方形的顶点称为格点.点4、8均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中

⑵在图②中，-8C的面积为5

(3)在图③中，A/BC是面积为g的钝角三角形.

21.甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15

分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶.甲、乙距山脚的垂直高度y(米)与甲登山的时

间x(分钟)之间的函数图象如图所示.

试卷第6页，共8页

⑴当154x440时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；

(2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度.

22.【感知】如图①，点/、B、尸均在。。上，408=90。，则锐角的大小为

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形N3C的外接圆，点尸在正

上(点尸不与点/、。重合)，连结P/、PB、PC.求证：P8=P4+PC.小明发现,

延长以至点E,使/E=PC,连结BE,通过证明△尸8cg△E94,可推得R8E是等

边三角形，进而得证.

下面是小明的部分证明过程：

证明：延长尸/至点E,使ZE=PC,连结8E,

•••四边形/8CP是0O的内接四边形，

N8/P+N8cp=180°.

ZBAP+ABAE=\^°,

ABCP=NBAE.

•.•A/BC是等边三角形.

/.BA=BC9

:APBCAEBA(SAS)

请你补全余下的证明过程.

【应用】如图③，0O是“8C的外接圆，乙48c=90°,/8=8C,点P在0。上，且

PB

点尸与点8在/C的两侧，连结PA、PB、PC.若PB=242PA,则—的值为.

23.如图①.在矩形/BCD.AB=3,AD=5,点E在边5c上，且BE=2.动点P从

试卷第7页，共8页

点E出发，沿折线E8-切-工。以每秒1个单位长度的速度运动，作NPE0=9O。，EQ

交边或边。C于点。，连续P。.当点。与点C重合时，点P停止运动.设点P的运

动时间为，秒.(r>0)

图①图②

(1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为;

(2)当点。和点。重合时，求tanAPQE；

(3)当点P在边43上运动时，的形状始终是等腰直角三角形.如图②.请说明理

由：

(4)作点E关于直线PQ的对称点F,连接尸尸、QF,当四边形EPF0和矩形N88重

叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出，的取值范围.

24.在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线yu-f+fev+Z(6是常数)经过

点(2,2).点A的坐标为(见0),点8在该抛物线上，横坐标为1-机.其中m<0.

(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标;

(2)当点5在x轴上时，求点A的坐标；

(3)该抛物线与x轴的左交点为P,当抛物线在点尸和点B之间的部分(包括P、8两点)

的最高点与最低点的纵坐标之差为2-机时，求”的值.

(4)当点8在x轴上方时，过点B作BC_Ly轴于点C,连结/C、BO.若四边形/O8C

的边和抛物线有两个交点(不包括四边形/O8C的顶点)，设这两个交点分别为点E、

点/，线段80的中点为。.当以点C、E、。、D(或以点C、F、0、D)为顶点

的四边形的面积是四边形力08c面积的一半时，直接写出所有满足条件的机的值.

试卷第8页，共8页

1.B

【分析】根据绝对值的意义即可判断出绝对值最小的数.

【详解】解：由图可知，时>3,0<|6|<1,0<|c|<l,2<|J|<3,

比较四个数的绝对值排除。和d,

根据绝对值的意义观察图形可知，，离原点的距离大于b离原点的距离，

Wl<ld，

这四个数中绝对值最小的是6.

故选：B.

【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义，绝对值是指一

个数在数轴上所对应点到原点的距离，离原点越近说明绝对值越小.

2.D

【分析】根据科学记数法公式转换即可，科学记数法公式为：axlO",14同<10,〃为整数

的位数减1.

【详解】解：38000000=3.8xl07,

故选：D.

【点睛】本题考查了科学记数法；解题的关键是熟练掌握科学记数法的定义.

3.B

【分析】根据同底数幕的乘法，同底数幕的除法，幕的乘方，合并同类项，逐项分析判断即

可求解.

【详解】A./与/不能合并，故该选项不正确，不符合题意；

B.a2-a=a3,故该选项正确，符合题意；

C.(/丫=。6,故该选项不正确，不符合题意；

D.a^a2=a\故该选项不正确，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了同底数塞的乘法，同底数基的除法，塞的乘方，合并同类项，熟练掌握

以上运算法则是解题的关键.

4.C

【分析】根据底面与多面体的上面是相对面，则形状相等，间隔1个长方形，且没有公共顶

答案第1页，共22页

点，即可求解.

【详解】解：依题意，多面体的底面是面③，则多面体的上面是面⑤，

故选：C.

【点睛】本题考查了长方体的表面展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键.

5.A

【分析】根据题意易证%©O8'(SAS),根据证明方法即可求解.

【详解】解：。为44'、83'的中点，

/.OA=OA',OB=OB,

ZAOB=ZA'OB'(对顶角相等)，

.•.在“08与△H08'中，

OA=0A'

•NA0B=ZA'OB1,

OB=OB

四△HOB'(SAS),

AB=A'B'>

故选：A.

【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键.

6.D

【分析】根据余弦值的概念即邻边与斜边之比，即可求出答案.

【详解】解：表示的是地面，8c表示是图书馆，

:.AC1BC,

：.“BC为直角三角形，

故选：D.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦

值的概念.

7.B

【分析】根据作图可得/。=4瓦。尸=所，进而逐项分析判断即可求解.

【详解】解：根据作图可得/。=/瓦。尸=即，故A,C正确；

答案第2页，共22页

，4尸在DE的垂直平分线上，

AAFVDE,故D选项正确，

而。尸=所不一定成立，故B选项错误,

故选：B.

【点晴】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键.

8.C

【分析】过点48分别作y,x轴的垂线，垂足分别为瓦。，AE,BD交于点C,得出B的横

坐标为1,A的纵坐标为1,设“(%/)，3(1,A),则ZC=A-1,8C=A-1,根据/8=3应，

即可求解.

【详解】解：如图所示，过点48分别作"x轴的垂线，垂足分别为E,D,AE,BD交

于点C,

依题意，B的横坐标为1,A的纵坐标为1,设/(□),8(1,左)

则/。=左一1,8。=左一1,

又,：NACB=90°,AB=3&，

：.k~\=3(负值已舍去)

解得：k-4,

故选：C.

答案第3页，共22页

【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关

键.

9.(a+l)(a-l).

【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案

【详解】解：a2-l=(a+l)(a-1).

故答案为：(。+1)(。-1)

【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关

键.

10.m<\

【分析】根据根的判别式求出A=(-2)2-4xlx,"=4-4,”>0,再求出不等式的解集即可.

【详解】解：••・关于x的方程/一2'+"?=0有两个不相等的实数根，

A=(-2>-4xlxm=4-4m>0

解得：m<\,

故答案为：m<\.

【点睛】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，解题的关键是能熟记根的判别式的内

容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c=03b,c,为常数，。*0),①当

△=62-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，②当A=〃-4ac=0时，方程有两个相等

的实数根，③当△=/-4ac<0时，方程没有实数根.

11.(7.5-1Ox)

【分析】根据题意列出代数式即可.

【详解】根据题意可得，

他离健康跑终点的路程为(7.5-lOx).

故答案为：(7.5-10x).

【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意.

12.1:3

【分析】根据位似图形的性质即可求出答案.

【详解】解：•••。/：44'=1：2,

:.OA:OA'=1:3,

答案第4页，共22页

设周长为4，设周长为4，

・・・“BC和AABC是以点O为位似中心的位似图形，

,,丁市―§•

.e./,:/2=1:3.

..△ABC和AABC的周长之比为1:3.

故答案为：1:3.

【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质.

13.45

【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为15-2)x180。=108。，根据折叠的性质求得

NBAM/FAB',在YAFB'中,根据三角形内角和定理即可求解.

【详解】解：•••正五边形的每一个内角为15-2)*180。=108。，

将正五边形纸片/BCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为

贝ljNBAM=-ZBAE=-xl08。=54c,

22

・・,将纸片折叠，使边48落在线段ZA/上，点3的对应点为点"，折痕为2尸，

NFAB'=-ABAM=-x54)=27,ZAB'F=Zfi=108°,

22

在\'AFB'中，/"S'=180°-N8-AFAB'=180°-108°-27°=45°,

故答案为：45.

【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的

关键.

14.19

【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令x=0求

平移后的抛物线与y轴的交点即可.

【详解】解：由题意可知：

力(一40,4)、8(40,4)、77(0,20),

2

设抛物线解析式为：y=aX+20,

将”(-40,4)代入解析式”江+20,

答案第5页，共22页

解得:…击

Y2

y=--+20,

100

2

消防车同时后退10米，即抛物线、=-工+20向左(右)平移10米，

100

平移后的抛物线解析式为：(x+lO)，，

'100

令x=0,解得：y=19,

故答案为：19.

【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的

关键是求得移动前后抛物线的解析式.

15.3a+l；百+1

【分析】根据完全平方公式以及单项式乘以单项式进行化简，然后将字母的值代入进行计算

即可求解.

【详解】解：(a+a+a(l-a)

=a2+2a+\+a-a2

=3“+l

当^时，原式=3x31=6+1

33

【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值，实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及单

项式乘以单项式的运算法则是解题的关键.

,4

19

【分析】依题意画出树状图，运用概率公式求解即可.

【详解】解：画树状图如下：

开始

红色红色绿色

红色红色绿色红色红色绿色红色红色绿色

共有9种可能，获一等奖即两次颜色不相同的可能有4种，

答案第6页，共22页

则某同学获一等奖的概率为：?4，

9

答：某同学获一等奖的概率为14.

【点睛】本题考查了树状图求概率，正确画出树状图是解题的关键.

17.原计划平均每天制作200个摆件.

【分析】设原计划平均每天制作x个，根据题意列出方程，解方程即可求解.

【详解】解：设原计划平均每天制作x个，根据题意得，

30003000«

----=----+5

x1.5x

解得：x=200

经检验，x=200是原方程的解，且符合题意，

答：原计划平均每天制作200个摆件.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键.

18.⑴见解析；

⑵18

【分析】(1)由题意可知AACBgADFE易得AC=DF,NCAB=ZFDE=30°即AC//DF,

依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明；

(2)如图，在中，由30。角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余

易得/8=28C=12cm,48c=60。；由菱形得对角线平分对角得NC/)/=47%=30。，

再由三角形外角和易证NBCD=NCDA即可得8c=8。=6cm,最后由4。=+BD求解即

可.

【详解】(1)证明：由题意可知

：.AC=DF,NC4B=NFDE=30°,

\AC//DF,

：.四边形/EDC地平行四边形；

(2)如图，在RS/C8中，4c8=90°,NC/8=30°,8c=6cm,

AB=2BC=ncm,NABC=60°,

四边形4FDC是菱形，

.:4。平分/。0/，

NCD4=NFDA=30°,

答案第7页，共22页

••・ZABC=ZCDA+/BCD,

/BCD=ZABC-ZCDA=60°-30°=30°,

/BCD=ZCDA,

BC=BD=6cm,

AD=AB+BD=18cm,

故答案为：18.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，30。角所对的直

角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边：解题的关键是熟练

掌握相关知识综合求解.

19.(1)见解析

(2)110人

(3)9

【分析】(1)根据属于正常的人数除以占比得出抽取的人数，结合条形统计图求得属于偏胖

的人数，进而补全统计图即可求解；

(2)用属于偏胖和肥胖的占比乘以200即可求解：

(3)设小张体重需要减掉xkg,根据BMI计算公式，列出不等式，解不等式即可求解.

【详解】(1)抽取了7+35%=20人，

属于偏胖的人数为：20-2-7-3=8,

补全统计图如图所示，

答案第8页，共22页

抽取的员工胖瘦程度的条形统计图

(3)设小张体重需要减掉xkg,

依题意，27<24

解得：x>8.67,

答：他的体重至少需要减掉9kg,

故答案为：9.

【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，样本估计总体，一元一次不等式的

应用，根据统计图表获取信息是解题的关键.

20.⑴见解析

(2)见解析

(3)见解析

19

【分析】(1)以"=3为底，设月8边上的高为人,依题意得=解得〃=3,

即点C在/8上方且到AB距离为3个单位的线段上的格点即可；

(2)由网格可知，48="+俨=加，以/8=，石为底，设48边上的高为〃，依题意得

S,“Bc=；4Bh=5,解得〃=J记，将48绕A或B旋转90。，过线段的另一个端点作的

平行线，与网格格点的交点即为点C:

(3)作BD=AB=#,过点。作C。〃/8,交于格点C.

【详解】⑴解:如图所示，

以48=3为底，设48边上的高为〃，

答案第9页，共22页

19

依题意得：S^ABC=-ABh=-

解得：〃=3

即点C在上方且到48距离为3个单位的线段上的格点即可,

答案不唯一；

(2)由网格可知,

AB=-j32+\2=V10

以=W为底，设月8边上的高为〃，

依题意得：S“Bc=g/8〃=5

解得：h=V10

将绕A或8旋转90。，过线段的另一个端点作AB的平行线，与网格格点的交点即为点C,

答案不唯一，

(3)如图所示，

作BD=AB=5过点。作CD〃/8,交于格点C,

答案第10页，共22页

由网格可知，

BD=AB=A/22+12=后'4D=而，

是直角三角形，且4BJ.BD

'：CD//AB

:SABC=；ABBD=3.

【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算；解题的关

键是熟练利用网格作平行线或垂直.

21.(l)^=12x-180

(2)180

【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；

(2)求得甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y=4x+60(254x460),联立

y=12x-180(154x440),即可求解.

【详解】(1)解：设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y=h+b,将(15,0),

(40,300)代入得，

J15k+b=0

[40k+6=300'

优=12

解得：/,1801

=-ldO

.•.y=12x-180(15<x<40)；

答案第11页，共22页

(2)设甲距山脚的垂直高度y与冗之间的函数关系式为y=3+A(254x460)

将点(25,160),(60,300)代入得,

125勺+4=160

160^+4=300

优=4

解得：/小

［伪=60

=4x4-60(25<x<60)；

y=12%一180

联立

y=4x+60

x=30

解得:

歹=180

，乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米

【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键.

22.感知：45：探究：见解析；应用：空.

3

【分析】感知：由圆周角定理即可求解；

探究：延长尸幺至点E,使/E=PC,连结BE,通过证明△尸8c丝AEBZ(SAS),可推得P3E

是等边三角形，进而得证；

应用：延长4至点E,使4E=PC,连结8E,通过证明AP8CZAE8Z(SAS)得，可推得PBE

PB

是等腰直角三角形，结合PE=PA+PC与PE=6PB可得PC=3PA,代入法即可求解.

【详解】感知：

由圆周角定理可得ZAPB=-ZAOB=45°,

2

故答案为：45；

探究：

证明：延长乃至点E,使/E=PC,连结8E,

•••四边形/8C尸是。。的内接四边形，

/.ZBAP+ZBCP=\S00.

■：ZBAP+Z.BAE=\S00,

ABCP=NBAE.

答案第12页，共22页

•••△48C是等边三角形.

BA—BC,

「.△PBC⑶EB力(SAS),

:・PB=EB,NPBC=/EBA,

・•.ZEBA+ZABP=/PBC+ZABP=ZABC=60°,

:.APBE是等边三角形，

PB=PE,

:.PB=PE=PA+AE=PA+PC,

即PB=PA+PC；

应用：

延长4至点E,使45=PC,连结BE,

v四边形Z4CP是。。的内接四边形，

ZBAP+ZBCP=ISO0.

•・•Z^P+Z^£=180°,

ABCP=ABAE.

•:AB=CB,

.•.△PBC也△EB4(SAS),

:.PB=EB,APBC=AEBA,

NEBA+/ABP=ZPBC+ZABP=/ABC=90°,

.•.△PBE是等腰直角三角形，

/.PB2+BE2=PE?,

2PB2=PE2，

PE=y/2PB，

•：PE=PA+AE=PA+PCt

:.PA+PC=y[iPB，

•・・PB=2y[2PA，

:.PA+PC=6X26PA=4PA，

/.PC=3PAf

PB2y12PA272

---=-------=----，

PC3PA3

答案第13页，共22页

故答案为：—.

【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性

质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做

辅助线构造AP8C丝AE8/,进行转换求解.

23.⑴后

(2)-

2

(3)见解析

(4)0<IW9-3正或/=?或一

26

【分析】(1)证明四边形是矩形，进而在Rtz\Q8E中，勾股定理即可求解.

PFBF2

(2)证明APBESAECD,得出tanNPQE=一=一=一；

DECD3

(3)过点、P作PHLBC于点H,证明APHEGAEC。得出PE=0E,即可得出结论

(4)分三种情况讨论，①如图所示，当点尸在BE上时，②当尸点在48上时，当尸重合

时符合题意，此时如图，③当点P在/。上，当产，。重合时，此时。与点C重合，则P90E

是正方形，即可求解.

【详解】(1)解：如图所示，连接8。，

•••四边形力88是矩形

ZBAQ=NABE=90°

ZPEQ=90°,

答案第14页，共22页

二四边形力是矩形,

当点P和点B重合时，

QE=AB=3,BE=2

在RtAQBE中，BQ=4BE?+QE?=732+22=713,

故答案为：V13.

(2)如图所示，

VZP£2=90°,NPBE=ZECD=90。,

.・・/1+/2=90。,/2+/3=90。，

・・・Zl=Z3

/.APBES^ECD,

.PEBE

・・方一而‘

■:BE=2,CD=AB=3,

・.,ZPEQ=90°,ZPHE=Z.ECQ=90P,

AZ1+Z2=90°,Z2+Z3=90°,

则四边形夕是矩形,

・・・PH=AB=3

又＜EC=BC-BE=5-2=3

答案第15页，共22页

:.PH=EC,

：.^PHE^ECQ

：.PE=QE

.♦.△PQE是等腰直角三角形；

(4)①如图所示，当点P在8E上时,

在RtAN。尸中，4F=JQF^-AQ?=J32—d=五,

则B尸=3-右，

VPE=t,贝IJ5P=2T,PF=PE=t,

在RSPBF中，PF2=PB2+FB2,

t2=(3-^)2+(2-/)2

解得：/=上土5

2

当/<"叵时，点尸在矩形内部，符合题意，

2

.•.0<区叶叵符合题意，

2

②当P点在上时，当尸,/重合时符合题意，此时如图,

则尸8=f-8£=f-2,PE=AP=AB-PB=3-(t-2)=5-t,

在RtZ\P8E中，PE1=PB2+BE2

(5-r)2=(/-2)2+2\

答案第16页，共22页

17

解得：Z=~2"，

6

③当点尸在4。上，当重合时，此时。与点C重合，则?尸。E是正方形，此时

f=2+3+2=7

综上所述，0＜区％*或/=?或f=7.

26

【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质,

分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键.

24.(l)y=-x2+2.r+2；顶点坐标为(1,3)

(2)4-6,0)

=或w=-2或上1或m=叵二1

22

(4)机=-2+V2或5=2-2y[3或"7=一万

【分析】(1)将点(2,2)代入抛物线解析式，待定系数法即可求解；

(2)当P=0时，-x2+2x+2=0，求得抛物线与x轴的交点坐标，根据抛物线上的点B在x

轴上时，横坐标为1-"?.其中加＜0,得出机=-Vi，即可求解；

(3)①如图所示，当1＜1-加＜1+6,即-6＜团＜0时,，②当1-川21+6,即机时，

③当1-6＜1-加＜1,即0＜机(百时，④当1-加41-6，即m分别画出图形，根

据最高点与最低点的纵坐标之差为2-%，建立方程，解方程即可求解；

(4)根据5在x轴的上方，得出-行根据题意分三种情况讨论①当E是ZC的中

点，②同理当尸为工。的中点时，③;邑“℃=5.8..,根据题意分别得出方程，解方程即可

求解.

【详解】(1)解:将点(2,2)代入抛物线y=-9+入+2,得，