2024版新教材高考数学总复习：高考大题研究课五数列的综合

高考大题研究课五数列的综合

题型一等差数列、等比数列的综合问题

例1［2023•河北衡水模拟］设等比数列｛an｝的前n项和为£,已知S,+S*i=3a“+i—2,

且&=1.

(D求数列｛aj的通项公式；

(2)已知数列｛%｝是等差数列，且。=a“◎=$,设.b产ajc“,求数列｛、｝的前〃项和

Tn.

［听课记录］

题后师说

等差数列、等比数列的综合问题是新高考命题的热点之一，对这类问题应重点分析等差、

等比数列项之间的关系.数列的求和主要是等差、等比数列的求和、裂项相消法求和及错位

相减法求和.

巩固训练1

［2023•河南洛阳模拟］已知数列｛a。是公差大于1的等差数列，前〃项和为S”创=3,

且劭+1,a.—1,a一3成等比数列.

(1)求数列｛a"的通项公式；

⑵若儿=,,「、，求数列｛、｝的前〃项和T.,.

题型二数列与不等式的综合问题

例2［2023•山东烟台模拟］已知数列｛a"的前〃项和为S,国=点当时，S2=a〃S

⑴求S,；

(2)设数歹U｛1｝的前"项和为。，若1OW(n2+9)・2"恒成立，求乂的取值范围.

［听课记录］

题后师说

巩固训练2

［2022•安徽十校联考］已知数列｛aQ满足&+a?+…+&T—a=—2(n>2且nGV),

且32=4.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)设数列｛访_1；；+L1))的前〃项和为T”,求证：|W7XL

题型三数列中的结构不良试题

例3［2023•河北沧州模拟］己知数列｛aQ满足&=2,前〃项和为S“,且a„+1+a„-3X2".

(1)写出a?,a,并求出数列｛aj的通项公式；

(2)在①4=log2(anan+i+入)；②4=log2(S+X)这两个条件中任选一个补充在下面

横线中，并加以解答.若数列｛、｝满足,求实数4使得数列｛、｝是等差数列.

注：如果求解了两个问题，则按照第一个问题解答给分.

［听课记录］

题后师说

结构不良试题是近几年新高考命题的新题型，对这类题型的解法是：先定后动，先对题

目中确定的条件进行分析推断，再观察分析“动”的条件，结合题干要求选出最适合自己解

答的条件求解.

巩固训练3

[2023•山东济南历城二中模拟]在“①义+〉&,a3a10—44,ai+a9-15；②S=5&,a2

=3；③2S,=〃("+3)”三个条件中任选一个，补充到下面的横线上，并解答.

已知等差数列｛aQ的前〃项和为S,且.

(1)求｛aQ的通项公式；

(2)若6〃=^—,求｛%｝的前〃项和为。，求证：刀,号

anan+i2

真题展台

L[2022•新高考H卷]已知｛4｝是等差数列，｛4｝是公比为2的等比数列，且也一段=

bi=b\—a\.

(1)证明：a尸bi；

(2)求集合｛用4=&+打，1W〃W5OO｝中元素的个数.

2.[2021•全国甲卷]已知数列｛a｝的各项均为正数，记S为｛a｝的前刀项和，从下面

①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛4｝是等差数列；②数歹U｛历｝是等差数列；③勿=3五

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

3.［2021•浙江卷］已知数列｛a｝的前〃项和为S,a尸一之,且4S+i=3SL9(〃eN*).

(1)求数列｛a｝的通项公式；

(2)设数列｛设满足34+(77-4)a〃=0UeN*),记伍｝的前n项和为T,,.若。W［以对任

意〃6N*恒成立，求实数A的取值范围.

高考大题研究课五数列的综合

例1解析：(1)因为$+S+i=3arH—2,所以£~i+S=3a,—2(〃22),两式相减可得

a.+a.+1=3a”+1—3a〃(〃22),整理得a.+i=2a”(〃22),n—1时，ai+W=3a?-2=2ai+az

=3az—2=2az=4=a2=2,；.a2=2ai,所以公比g=2,即数列｛aQ是以1为首项，2为公比

的等比数列，所以a=2"?

⑵易知。=团=1,Q=£=3,所以公差d—^—X,所以c„—n,所以b„—an•c„—n•2"

因为T„=l•2°+2•2l+3•22+—+/?•2"-1,则2T„=1•2'+2•22+3•23+-+（n-

1）•+2",两式相减可得T„=n-2fl-（2°+21+-+2n-1）=/?•2"--=•2"

1—2

+1.即Tn—（77—1）•2"+1.

巩固训练1解析：（1）设等差数列的公差为d,由全=&+d=3,得4=3一",

所以国+1=4—4曲-l=a+2d—l=d+2,3=a+5d—3=44

由题意有（d+2）2=4d（4—4，得5）—12什4=0且小1,得d=2,

/.ai=3—2=l,

.,.a„=l+2(/?-l)=2/7-l.

(2)所以$=笔西=4,

b-n—n_1_1O______J),

2

”(2Sn+n)an(2n+n)(2n-l)(2n+l)(2n-l)2\2n-l2n+l/

1n

所以Tn—bi~\~bi~\------------------------------------F-―-)=-

23352n_12n+l2n+l

例2解析：(1)当时，Si=a„S-an,所以喋=(Sn—S-DS-Gn—Sn-l，整理

得：SS■尸S,-LS”即苴一9一=1.所以数歹1」住］是以苴=工=2为首项，1为公差的等差数

列.所以！=〃+1,即5,=—.

Snn+l

(2)由(1)知，|-=(/?+1)•2",所以Tn=2・2+3•2,+…+〃•2"(〃+1)•2"①，所

Sn

以2北=2•22+3•2：'+…+〃•2"+(n+l)•2"+'@,①一②得,-7；=4+(22+23+-+2n)

-(/?+1)•2"|=一〃・2小，所以7；=〃・2+,所以2，W(n2+9)・2",即/2•2,,+l^(n2+

9)-2",即4W"理=2+之，因为？+之22号?=3,当且仅当〃=3时，等号成立，

2n22n22nyj22n

所以

=

巩固训练2解析：(1)因为a+a2H-----an-\—an=-2,所以a+a2H------\-an—afl+\~

2,

两式相减得&+i=2a(〃22),

当〃=2时，句一d2=-2,又/=4,所以劭=2,/=2a,

所以a〃+i=2&(nEN*).

所以｛an｝是首项为2,公比为2的等比数列，

所以a=2(n6N*)；

(2)、下RH.2n_2n_1________1

k~nn+1-nn+1J

八止月：(an-l)(an+i-l)(2-l)(2-l)2-l-2-l

所以，=(六一六)+(六-W)+…+(念一^10=1—由〃21,得

2—4,

所以一金2|，

综上，|W7X1.

例3解析：⑴由&+】+&=3X2"得：52—3X2-31=4；々=3X22—4=8；

猜想可得：a产*;

当。=1时，ai=2满足a=2"；

假设当时，a=2*成立，

则当〃=4+1时，a/+i=3X2*—a*=3X2*—2'=2'•(3—1)=2"'成立，

综上所述：当〃6N*时，a,,=2".

nn+12n+1

(2)若选条件①，&,=log2(2-2+X)=log2(2+A),

若｛、｝为等差数列，则bm+b,L\=2b”,

2n+32n12n+1

即log2(2+X)+log2(2-+X)=21og2(2+X),

.\(22n+3+入)•(22时1+X)=(22n+1+A丫,整理得:(22n+3+22n-1)A=22H-2•A

即2"i•174=2%"•A>.•.174=81，解得:"0,

则存在实数4=0,使得｛、｝为等差数列；

若选条件②，£=久==2"+1—2,

1-2

；・4=log2(2n+i—2+人)，

若｛bn｝为等差数列，则2+%=2'

n+2nz/+1

Alog2(2-2+X)+log2(2-2+X)=21og2(2-2+A),

A(2n+2-2+X).(2n-2+X)=(2n+1-2+X)2,整理得：(2计2+2门)(4一2)=

2,?+2(A-2),

即5(4一2)•2"=(4一2)•2"2,.・・5(4—2)=4(4—2),解得：4=2,

则存在实数入=2,使得｛1｝为等差数列.

巩固训练3解析：⑴若选择①，因为为+〉&,用&o=44,&+德=15,国+40=%+

解得主=4,aio=lL

设公差为&则有&=4+2〃=4,ao=a+9d=ll,

解得科=2,d=L

所以an=n+l.

若选择②，设公差为d,岳=7劭=5曲，

即7Q1+3d)=5(a1+5d),

结合4=4+"=3,解得国=2,d=l,

所以an=n+l.

若选择③，当〃=1时，ai=5i=2；

当时，a„=S-S„-｛_(n-iXn+2)=n+x^

当n=\时亦满足上式，

所以af,=n+l.

(2)证明：由(1)得.=^-=,二=白—白,

anan+i(n+l)(n+2)n+ln+2

山子

所以方=51一1与,+1”1i…+I初1一”1=171?

因为^^>0,(〃eN*),所以?—匕<；，

n+22n+22

所以

真题展台一一知道高考考什么？

1.解析：(1)证明：设等差数列｛a,J的公差为d

由ai—b产a、—bi,知a1+d—28i=a+2d—46]，

故d=2b｝.

由我一Z>2—b\一科，知a1+d-2b\=8b\—(a+3",

所以句+d—26=4d—(a+34,

所以a+d—2仇=d一句.整理，得功=打，得证.

(2)由(1)知d=26=24.

/，-1

由d=&+句，知b\•2=a1+(/»—1)•d+a[9

即bx•2*T=A+(kl)•2—+A,即2"T=2加

因为1WRW500,所以2W2*-'W1000,

解得2WAW10.

故集合的d=a”+a“1W/W500｝中元素的个数为9.

2.解析：①③=②.

己知｛a｝是等差数列，出=3a.

设数列｛a｝的公差为d,则az=3ai=ai+d,得d=2&,

所以S=

因为数列｛4｝的各项均为正数，所以离=嗝，

所以居二■一代=(〃+1)后一/强=向(常数)，所以数列｛图｝是等差数列•

①②=③.

已知｛&｝是等差数列，｛图｝是等差数列.

设数列｛&｝的公差为必

则S“=〃ai+n(nj，=»d+(a1一?)〃

因为数列｛声？是等差数列，所以数列｛商｝的通项公式是关于〃的一次函数，则&一T

=0,即d=2ai,所以a2=ai+d=3ai.

②③=①.

已知数列｛胫3是等差数列，鱼=3&,所以S=a”S=ai+a2=4ai.

设数列｛图｝的公差为4力0,则医一医=同一病=4

=

得ai=所以JSn=JS]+(n—1)d=nd,所以Snn(f,

所以A=S-S,T=//——(〃-1)3=2/〃一d(〃22),是关于〃的一次函数，所以数列

｛a,,｝是等差数列.

3.解析：(1)由4S5=3S—9①，得4S,=3£T—9(〃22)②.

①一②，得4a”+i=3a"(〃22),即a”+i=；a"(/?22).

由题意，得4(a+检)=3科-9,ai=-p