全等三角形（5个知识点）-中考复习讲义及练习（解析版）

第四部分三角形

专题14全等三角形（5大考点）

核心考点一全等三角形的判定

核心考点二全等三角形的性质

核心考点核心考点三全等三角形中的倍长中线模型

核心考点四全等三角形中的旋转模型

核心考点五全等三角形综合问题

新题速递

核心考点一全等三角形的判定

画W（2022.湖南湘西.统考中考真题）如图，在RtAABC中，/4=90。，历为BC的中点，”为AB上一

点，过点C作CG//AB,交HM的延长线于点G,若AC=S,AB=6,则四边形ACG”周长的最小值是（）

A.24B.22C.20D.18

【答案】B

【分析】通过证明△8MH丝ZXCMG可得B"=CG,可得四边形4CG，的周长即为AB+4C+GH,进而可确

定当例"J_A8时，四边形ACG”的周长有最小值，通过证明四边形ACG”为矩形可得”G的长，进而可求

解.

【详解】：CG〃AB,

：.ZB=ZMCG,

∙.∙Λf是8C的中点，

.∙.BM=CM,

在ABMH和^CMG中,

ZB=ZNCG

BM=CM,

ZBMH=NCMG

：.∕∖BMH^∕∖CMG（ASA）,

：.HM=GM,BH=CG,

∙.∙AB=6,AC=8,

/.四边形ACGH的周长=4C+CG+A∕7+GH=AB+AC+GH=14+GH,

二当GH最小时，即AB时四边形ACG”的周长有最小值，

VZΛ=90o,MHLAB,

.∖GH∕∕AC,

二四边形ACG〃为矩形，

.∙.GH=8,

二四边形ACG，的周长最小值为14+8=22,

故选：B.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定G4的值是解题的关键.

瓯（2022•山西•中考真题）如图，在正方形ABCZ）中，点E是边BC上的一点，点F在边8的延长线

上，且BE=DF,连接所交边AO于点G.过点A作4V_L防，垂足为点M,交边C。于点M若BE=5,

【答案】4√34

【分析】连接AE、AF.EN,首先可证得AE=A尸，可证得AN垂直平分EF,可得

EN=FN,再根据勾股定理即可求得正方形的边长，再根据勾股定理即可求得AN的长.

【详解】解：如图：连接AE、AF.EN,

四边形ABCo是正方形

设AB=BC=CD=AD=a,Z8=ZA3F=90°，

在AWE与AiADF中,

AB=AD

■NB=NADF

BE=DF

.∙ΛABE^ΛADF(SAS),

：.AE^AF,

.1△A所是等腰三角形，

又∙AMYEF,

.∙.AN垂直平分E凡

EN=FN=DN+DF=CD-CN+DF=a-8+5^a-3,

又∙BE=5,

EC=BC-BE=a-5,

在RfZXECN中，EN2=EC2+CN2,

.∙.(α-3)2=(α-5)2+82,

解得«=20,

AD=20,DN=CD-CN=TQ-8=12,

在RNADN中，AN?=AD?+DN2,

.∙.AN=y∣AD2+DN2=√202+122=4√34，

故答案为：4√34.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分

线的性质，勾股定理，证得AN垂直平分EF是解决本题的关键.

瓯（2022•贵州贵阳・统考中考真题）如图，在正方形ABCz）中，E为AD上一点,连接BE,BE的垂直

平分线交AB于点交CO于点N,垂足为。，点尸在。C上，且M/〃A£>.

（1）求证：AABE经公FMN；

（2）若AB=8,AE=6,求ON的长.

【答案】（1）见详解

【分析】（1）先证明四边形AZ）FM是矩形，得到Ao=MR/AMF=90。=/MFQ,再利用MMLBE证得

ZMBO=ZOMF,结合NA=90°=NNEW即可证明；

（2）利用勾股定理求得BE=IO=MM根据垂直平分线的性质可得8O=OE=5,8Λ∕=ME,即有AM=A8-8M=8-ME,

2575

在RΛΔAΛ√E中，AM2+AE2=ME2可得（8-ME）?+6?=ME?,解得：ME=一，即有BM=ME=—，

44

再在RtA8M。中利用勾股定理即可求出MO,则N。可求.

【详解】（1）在正方形ABCQ中，<AD=DC=CB=AB,ZA=ZD=ZC=90o,BC//AD,

AB//DC,

MF//AD,NA=No=90。，AB//DC,

•••四边形AQFM是矩形，

：.AD=MF,ZAMF=90o=ZMFD,

：.ZBMF=9。°=ZNFM,即ZBMO+ZOM尸=90°,AB=AD=MF,

YAlN是BE的垂直平分线，

：.MNLBE,

/.NBoM=90。=NBMo+NMBO,

.∖NMBo=NoMF,

NNFM=NA=90

VMF=AB,

ZOMF=ZMBO

：.∕∖ABE之AFMN；

(2)连接ME,如图，

VAB=8,AE=6,

，在用ZkABE中，BE=√AB2÷AE2=√82÷62=10»

，根据(1)中全等的结论可知MN=8E=10,

YMN是BE的垂直平分线，

ΛBO=OE=-BE=5,BM=ME,

2

：・AM=AB∙BM=8∙ME,

・・・在放ZkAME中，AM2+AE2=ME2

25

Λ(8-ME)2+62=ME2,解得：ME=-,

4

25

・•・BM=ME=―,

4

・•・在RtABMO中,MO2=BM2-BO2,

/.MO=y∣BM2-BO2=杼彳。

1525

.*∙ON=MN-MO—10=—.

44

25

即No的长为：

4

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判

定与性质等知识，掌握勾股定理是解答本题的关键.

厚命题超限

知识点、全等三角形的判定

一、全等三角形判定1——“边边边”

定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.

要点诠释：如图，如果A'5'=AB,A'C'=AC,B1C=BC,则AABC丝△A'8'C'.

二、全等三角形判定2一—“边角边”

定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.

要点诠释：如图，如果AB=A'B',ZA=ZA',AC=A,C',则AABCgAA'5'C'.

注意：1.这里的角，指的是两组对应边的夹角.

2.有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.

如图，Z∖ABC与aABD中，AB=AB,AC=AD,ZB=ZB,但aABC与aABD不完全重合，故不全等,

也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.

三、全等三角形判定3——“角边角”

定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.

要点诠释：如图，如果NA=/A',AB=A'8',ZB=ZB',则aABC丝△45'。.

四、全等三角形判定4一—“角角边”

定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)

要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定

两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.

2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

如图，在aABC和AADE中，如果DE〃BC,那么NADE=NB,ZAED=ZC,又NA=NA,但

ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

BC

要点三、判定方法的选择

1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表:

已知条件可选择的判定方法

一边一角对应相等SΛSΛΛSΛSΛ

两角对应相等ASAAAS

两边对应相等SASSSS

2.如何选择三角形证全等

(1)可以从求证出发，看求证的线段或角(用等量代换后的线段、角)在哪两个可能全等的三角形中，可

以证这两个三角形全等：

(2)可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；

(3)由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；

(4)如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.

3.三角形证全等思路

'找夹角→SAS

已知两边,找直角→HL

找另一边→SSS

'边为角的对边→找任一角→AAS

.,ʌ.&H［找夹角的另一边→SAS

已知一IZJ∙角2

边为角的邻边找夹边的另一角→ASA

找边的对角→AAS

’找夹边→ASA

已知两角<

找任一边->AAS

五、判定直角三角形全等的特殊方法一一“HL”

定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）.

要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形

的形状和大小就确定了.

（2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.

（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在

两个三角形前加上“Rt”.

勒客g≡缭

【变式1】（2022・四川绵阳・东辰国际学校校考模拟预测）如图，在ABC中，ZACB=90。，BC=6,cosZB=4,

4

AE平分乙BAC,且AELCE于点E,点。为BC的中点，连接。E,则OE的长为（）

C.2√7D.2--

2

【答案】B

【分析】利用余弦求出AB的长，利用勾股定理求出AC的长，延长CE交AB于点F,证明

&AFE名aACE(ASA),得到AC=AF=2√7,推出DE是VeB尸的中位线，进行求解即可.

【详解】解：VZACB=90o,BC=6,cosZB=-,

4

.BC3

..---=一,

AB4

4

・・・AB=-BC=S

3f

∙'∙AC=√AB2-BC2=2√7；

延长CE交AB于点F,

：AE平分∕84C,AElCE,

：,NEAF=NEAC,ZAEC=ZAEF=90°,

XVAE=AE,

二AFEWACE(ASA),

ΛAC=AF=2√7,CE=EF,

.∙.点E为CF的中点，

；点。为BC的中点，

.∙.DE=∣BF=∣(AB-AF)=4-√7；

故选B.

【点睛】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理.通过添加辅助线，证

明三角线全等，是解题的关键.

【变式2](2022•重庆长寿・统考模拟预测)如图，矩形04BC中，CM=4,AB=3,点。在边BC上，且

CE>=3O8,点E是边OA上一点，连接。E,将四边形ABoE沿。E折叠，若点A的对称点A"恰好落在边

OC上，则OE的长为()

B'

【答案】B

【分析】连接AD、A。，根据矩形的性质得到BC=O4=4,0C=AB=3,ZC=ZB=ZO=90o,即可求得C。、

BD,根据折叠的性质得到AD=AO,根据全等三角形的性质可到HC=BD=I,再根据勾股定理即可求解.

【详解】连接A。、AD,如图，

；四边形0A8C是矩形，

：.BC=OA=A,OC=A8=3,ZC=ZB=Z(7=90°,

•：CD=3BD,

.∖CD=3,BD=I,

：.CD=AB,

根据翻折的性质有：A,D^AD,A'E=AE,

,在咫△A'CO和心△A中，CiAAB,A'D=4D,

.,.RtΔ,ACDRt^DBA(HL),

：.AC=BD=X,

：.40=2,

,/在RtXAOE中,A'O2+OE2=A:E2,

.∙.22+OE2=(4-O£)2,

故选：B.

【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解答本题的

关键.

【变式3](2022•河南郑州•河南省实验中学校考模拟预测)如图，已知RtZ∖ABC中，ZAθC=90°,以斜

边AC为边向外作正方形AcL)E,正方形的对角线交于点O,连接08.已知BC=9,AS=6,则08=

【分析】如图所示，过点。作OHIBC于，，过点A作AGJ_CW于G,则四边形ABHG是矩形，证明

△GAO丝Z∖∕∕OC得到。”=AG=8",OG=CH,设OG=Cw=X,则8〃=9-x,OH=X+6,由此求出X

的值，再利用勾股定理求出答案即可.

【详解】解：如图所示，过点0作OHJ.BC于H,过点4作AGLO”于G,则四边形ABHG是矩形，

ΛGH=AB=6,ZOHB=90°,ZAGO=ZOHC=90°,AG=BH,

∙.∙四边形Aa)E是正方形，

.∙.OA=CO,/AOC=90°,

.,.ZGAO+ZGOA=90°=ZGOA+ZHOC,

：.ZGAO=ZHOC,

.,.∆GAO^ZV∕OC(AAS),

ΛOH=AG=BH,OG=CH,

^OG=CH=x,则BH=BC-CH=9-X,OH=OG+GH=x+6,

；♦9—X=X+6,

.∙,X=2,

2

・•・OH=BH=-,

2

/.OB=yJθH2+BH2=.

2

故答案为：”也.

2

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确

作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

【变式4］（2021・四川眉山・统考三模）如图，在正方形ABCD中，AB=6,点E在边CD上，且CE=2OE,

将AADE沿AE对折至AAFE,延长E尸交边BC于点G,连接AG,CF,下列结论：①4ABGg∕∖4/G；②G

12

为BC的中点；③C尸〃AG；④S△£%=不，其中正确结论的序号是.

【答案】①②③④

【分析】用HL即可证明RmABG^RtLAFG即可判断①；先分别求出DE,CE的长，然后设BG=FG=X,

则CG=6-工在RtACEG中利用勾股定理求出CG,8G的长即可判断②;根据GF=Ge得至IJNGFC=NGCF,

只需要证明NAGB=NAGF=/GFC=NGCF即可判断③；先求出△CEG的面积，再根据GF与EF的长即

可求出AE尸C的面积，即可判断④.

【详解】解：；将4AOE沿AE对折至AAkE,四边形ABCD是正方形,

：.AD=AF,NO=NA/E=N8=90°,AB^AD,

.'.AB=AD=-AF,∕B=NAFG=90°,

XVAG=AG,

：.RtLABG^RtAFG(HL),故①正确;

：.BG=FG9

YCE=2DE,

：.EF=DE=-CD=I,

3

ΛCE=4,

设BG=FG=X9则CG=6-x.

在放AECG中，根据勾股定理，得GE?=CG2+CE2,

・・・（67）2+42=（x+2）2,

解得x=3.

.∙.8G=3=CG,

J点G是BC的中点，故②正确；

•：CG=BG,BG=GF,

：.CG=GFf

,△FGC是等腰三角形，/GFC=/GCF.

又YRmABG咨R於AFG；

：.ZAGB=ZAGF,ZAGB+ZΛGF=2ZΛGB=180O-∕FGC=∕GFC+∕GCF=2∕GFC=2∕GCF,

：.ZAGB=ZAGF=ZGFC=ZGCFf

：.AG//CF,故③正确；

「SzECG=3GC∙CE=3x3x4=6,EF=2,GF=3,

212

ΛSEFC~6×-~-=—,故④正确，

Δ3+25

故答案为：①②③④.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形

的性质与判定，平行线的判定，三角形面积等等，熟知相关知识是解题的关键.

【变式5］（2023•陕西西安•统考一模）如图①，在二ABC中，AB=AC,。是BC的中点，E为48C内一

点，连接ED并延长到F,使得ED=DF,连接AF∖CF.

A

⑴求证：BE//CF；

⑵若NEBDga4C,求证：AF2AB2+BE21

(3)如图②，探索当ZBEC与NBAC满足什么数量关系时，AC=AF,并说明理由.

【答案】(1)见解析;

(2)见解析；

(3)NBEC=1800-gZBAC.

【分析】(1)证明BDE组CDF,可得？EBD2FCD,即可；

(2)由(1)可知BE=CF,2EBD?FCD、再由AS=AC,可得NACB=；(180。-NBAC),然后

ZEfiD=|ZBAC,可得NFef>=；NBAC,从而得至I]∠½CF=NACB+NFCD=90°,再由勾股定理，即可求解;

(3)连接M,根据等腰三角形的性质可得,HB=g(180θ-Nβ4刁,ZAFC=g(180。-Nalf),从而得到

NCFB=ZAFB+ZAFC=180。-；ZBAC,再证明，BCE空CBF,即可求解.

【详解】(I)证明：。是BC的中点，

.∙.BD=DC,

ED=DF,NEDB=ZCDF,

BDE=LCDF,

・•.?EBD?FCD,

∙∙BE//CF；

f

(2)证明：由(1)可知JBE=CF,!EBD?FCD,

•：AB=AC,

：.ZΛCB=ɪ(180o-ZBAC),

.NEBD=—/BAC,

2

/.ZFCD=-ZBAC

2

.∙.ZACF=ZAC8+ZFCD=g(180。-NBAC)+々8=90。,

AF2=AC2+CF2=AB2+BE2;

(3)解：连接环,

AC=AF,AB^AC,

AB=AF,

：.ZAFB=g(1800-NBAF),ZAFC=；(180°-ZCAF),

.∙.NCFB=ZAFB+ZAFC=g(180。-N8AF)+；(180。-ZC4F)=180o-∣ZBAC,

BE//CF,

.∙.AEBC=ZFCB,

BE=CF,BC=BC,

；..BCE=CBF,

；.NBEC=NCFB,

：.ZBEC=∖S00--ZBAC.

2

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质,

熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质是解题的关键.

核心考点二全等三角形的性质

O氟题悠熨

例R（2022•江苏扬州•统考中考真题）如图，在AABC中，AB<AC,将,.ABC以点A为中心逆时针旋转

得至IJVADE,点。在BC边上，OE交AC于点F.下列结论：①∆AFEADFC；②DA平分NBDE;③

NCDF=NBAD,其中所有正确结论的序号是（）

C.①③D.①②③

【答案】D

【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解.

【详解】解：：将43C以点A为中心逆时针旋转得到V4DE,

Λ.ADE^LABC,

NE=NC,

.ZAFE=ZDFC,

∆A^ADFC,故①正确：

ADEg.ABC,

.∖AB=AD

.∙.ZABD=ZADB,

,ZADE=ZABC,

.∖ZADB=ZADE,

DA平分ZBDE,故②正确；

-ADEWABC,

.-.ABAC=ZDAE,

:.ZBAD=ZCAE,

∕∖AFEADFC,

.-.NCAE=NCDF,

:.NCDF=NBAD,

故③正确

故选D

【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握

以上知识是解题的关键.

题4（2021•山东日照•统考中考真题）如图，在矩形A8C。中，A8=8cm,AD=Ucm,点P从点B出发，

以2cm∕s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点。从点C出发，以VCmZS的速度沿CO边向点

。运动，到达点。停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动.当U为时，一AfiP

与APCQ全等.

【分析】可分两种情况：①MSP≡"CQ得到BP=CQ,AB=PC，②MBP=AQCP得到BA=CQ,PB=PC,

然后分别计算出t的值，进而得到V的值.

【详解】解：①当BP=CQ,AB=PC时，AABPW"CQ,

AB=Scm,

；.PC=&7H,

.∙.βP=12-8=4(c∕w),

∖2t=4,解得：t=2,

:.CQ=BP=4cm,

.∙.v×2=4,

解得：v=2；

②当8A=CQ,PB=PC时，MiBP三NQCP,

PB=PC,

:.BP=PC=6cm,

.*.2/=6,解得：，=3,

CQ=AB=Scm,

.∙.v×3=8,

Q

解得：3=半

Q

综上所述，当u=2或泊，AABP与"QC全等，

O

故答案为：2或

【点睛】主要考查J'全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质.

瓯（2022•江苏常州•统考中考真题）在四边形ABCO中，。是边BC上的一点.若MMSgvo8,则点

。叫做该四边形的“等形点

（1）正方形"等形点”（填“存在”或“不存在”）；

（2）如图，在四边形ABCD^,边BC上的点。是四边形ABC。的“等形点”.已知CD=4五，OA=5，BC=12,

连接AC,求AC的长；

OF

（3）在四边形ER7，中，EHHFG.若边FG上的点。是四边形EEG”的"等形点”，求右的值.

OCJ

【答案】（1）不存在，理由见详解

(2)4√5

(3)1

【分析】（1）根据“等形点'’的概念，采用反证法即可判断；

（2）过A点作AM,BC于点M,根据“等形点”的性质可得AB=CD=4无，O4=OC=5,OB=7=OD,设Mo=”,

则BM=BO-MO=7-a,在RtAABM和RmAOM中,利用勾股定理即可求出AM,则在RmAMC中利用勾股

定理即可求出AC；

（3）根据“等形点”的性质可得。F=O”，OE=OG,ZEOF=ZGOH,再根据EH〃/G,可得NEOF=/0EH,

ZGOH=ZEHO,即有NOEH=NoHE,进而有OE=O//,可得OF=OG,则问题得解.

【详解】ɑ）不存在，

理由如下：

假设正方形ABCD存在“等形点”点。，即存在AOAB^^OCD,

；在正方形ABe。中，点。在边BC上，

二ZABO=Wo,

'：∕∖0/XOCD,

二ZABO=ZCDO=90o,

：.CDLDO,

VCDlfiC,

DO//BC,

：。点在8C上，

与8C交于点0,

.∙.假设不成立，

故正方形不存在“等形点”；

（2）如图，过4点作AM,8C于点如图，

点是四边形ABCD的“等形点”，

Λ∆0Aβ⅛∆0CD,

：.AB=CD,OA=OC,OB=OD,ZAOB=ZCOD,

'∙,CD=4√2.0A=5,BC=∖2,

：.AB=CD=4五,0A=0C=5,

：.OB=BC-OC=ɪ2-5=7=OD,

VAΛ∕1BC,

，ZAMO=90o=ZAMB,

：.设Mo=a,则BM=Bo-MO=7-a,

，在山△ABM和RtAAOM中，AM-=AB--BM-=AO1-MO1，

/•AB1-BM2=AO2-MOr,即(4五了一(7-4=5?-〃，

解得：a=3,即Mo=3,

二MC=MO+OC=3+5=8，AM=y∣AO1-MO2=√52-32=4

，在处△AMC中，AC=^AM2+MC2=√42+82=4√5-

即AC的长为4有：

(3)如图，

Y。点是四边形EFG”的“等形点”，

.,.∕∖OEF^∕∖OGH,

：.0F=0H,0E=0G,NE0F=∕G0H,

'：EH//FG,

...NEOF=NOEH,NGOH=NEHO,

：.根据NEOF=ZGOH有ZOEH=ZOHE,

：.OE=OH,

V0F=0H,OE=OG,

：.OF=OG,

•••丝=1.

OG

【点睛】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理、正方形的性质、平行的性质等知识，充分利用全等三

角形的性质是解答本题的关键.

厚命题内函,

知识点、全等三角形的性质

①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；

要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质

是今后研究其它全等图形的重要工具.

全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、

旋转前后的图形全等。

【变式1]（2022.重庆•校联考一模）如图，将三角形纸片ABC沿。E折叠，使B与C重合，CD,AE相交

于F,已知BD=4AD,设4ABC的面积为S,ΔCEF的面积为Si,∆ADF的面积为S2,则汨2的值为（）

ɔ

B

C.ɪD∙2

105

【答案】C

【分析】由折叠可知△或陀三△（7跳,进而得到B+s"F=Sw>E,过E作EHLAB于”，CM垂直AB交

13

84的延长线于M,由得到S2+S0M=WSSCTΓ,进而得到H-S?=]$ME，再利用三角形面枳公

式推出S=ISw）E，即可求解.

【详解】解：由折叠可知ABQESCDE,

•∙SACDE=SABDE»

•q4q—q

•∙°CEFT°DEF-u,BDE

..S∣+Sdef=Sbde①,

过E作于"，CM垂直AB交84的延长线于例,

,.∙BD=4AD,

：.SAr)F=LXLBD.EH=-.-BD.EH=-S„nF,

ade24424bde

,∙S?+S,DEF=ISBDE②，

①一②得：5,-S2=^S8flf,

"：CM^AB,

S4flc=SɪɪAB-CM=∣(AD+BD)∙CM=∣(AD+4AD)∙CM=gχ5AD∙CM,

S=-BD.CM=-×4AD∙CM,

bndncr22

2SBDE=^×4AD∙CM,

C-×5AD.CM

.S=2__________

∙,2V-1，

八BDE-×4AD.CM

2

3

S

y-S4∞

AfB

S5

-S

2

DE

故选：C.

【点睛】本题考查折叠的性质、全等三角形的性质及三角形面积，解题关键是正确作出辅助线.

【变式2】（2021•辽宁沈阳•统考一模）如图，在ABC中，ZACB=90。，将一ABC绕点C顺时针旋转得到

DEC,使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为。，延长短E交AB于点尸，则下列结论一

定正确的是（）

A.AC=DEB.BC=EFC.ZAEF=ZDD.ABYDF

【答案】D

【分析】本题可通过旋转的性质得出△ABC与^DEC全等，故可判断A选项；可利用相似的性质结合反证

法判断B,C选项；最后根据角的互换，直角互余判断D选项.

【详解】由已知得：ZiABCnzsDEC,则AC=DC,ZA=ZD,ZB=ZCED,故A选项错误；

VZA=ZA,NB=NCED=/AEF,

PPΛP

故4AEF△ABC,则-------，

BCAB

假设BC=EF,则有AE=AB,

由图显然可知AEKAB,故假设BC=EF不成立，故B选项错误；

假设/AEF=ND,则∕CED=∕AEF=∕D,

故&CED为等腰直角三角形，即^ABC为等腰直角三角形，

因为题干信息AABC未说明其三角形性质，故假设NAEF=ZD不一定成立，故C选项错误；

VZACB=90o,

.,.ZA+ZB=90o.

又,：ZA=ZD,

.,.ZB+ZD=90o.

故ABj_DF,D选项正确.

故选：D.

【点睛】本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，证明过程常用角的互换、直角互余作为解题工具，

另外证明题当中反证法也极为常见，需要熟练利用.

【变式3】（2022•湖南长沙•长沙市长郡双语实验中学校考模拟预测）如图，AABC中，AB=5,AC=4,以

点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交A8、AC于•。和E,再分别以点。、E为圆心，大于二分之一OE

为半径作弧,两弧交于点F,连接A尸并延长交BC于点G,G从LAC于H,GH=2,则4ABG的面积为.

【答案】5

【分析】根据..AO/旦A£F,得出AG为/B4C的角平分线，得到GM=G”即可求出△ABG的面积.

连接。尸、EF,过点r作GMLA3,交AB于点、M

•・•在以A为圆心的圆中，AD=AE9以。、E为圆心的半径OP=JEF

AD=AE

：.∖DF=EF

AF=AF

：・JADFAAEF

JZDAF=ZFAE

・・・AG为/B4C的角平分线

∖∙GMLABfGHLAC

：.GM=GH=2

；•Sm!"GM=*x2=5

故答案为：5.

【点睛】本题考查全等三角形和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的相关知识.

【变式4］（2022•广东深圳•模拟预测）如图，已知AABdDCEqAHEF,三条对应边BC、CE、EF在

同一条直线上，连接B”，分别交AC、DC.OE于点尸、Q、K,其中SAPQC=I,则图中三个阴影部分的

面积和为.

ADH

【答案】13

【分析】根据全等三角形对应角相等，可以证明AC〃OE〃，尸，再根据全等三角形对应边相等BC=CE=

EF,然后利用平行线分线段成比例定理求出“尸=3PC,KE=2PC,所以PC=DK,设4。。K的边QK为x,

DK边上的高为儿表示出ACQK的面积，再根据边的关系和三角形的面积公式即可求出三部分阴影部分的

面积.

【详解】解：'：LABgXDCE9丛HEF,

：.NACB=NDEC=ZHFE,BC=CE=EF,

.∖AC∕∕DE∕∕HF,

.PCIiC1PCBC1

,"BE^2,WF-BF-3,

：.KE=2PC,HF=3PC,

又,：DK=DE-KE=3PC-2PC=PC,

：./\DQK^/\CQP（相似比为1）

设AQQK的边。K为X,QK边上的高为儿

则ɪXh=1,整理得xh=2,

ShBPC-^x∙2h-xh-2,

Sesa^CEKQ=ɪ×3x∙2h-2=3Xh-2=3×2-1—6-1=5,

SXEFH=ɪx3x∙2h=3xfι=6,

.∙.三个阴影部分面积的和为：2+5+6=13.

故答案为：13.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质、平行线分线段成比例等知识点，解题关键是根据平行线分线段成

比例定理找到线段间的关系.

【变式5］（2022•广东梅州・统考一模）如图，在四边形ΛBDE中，ABHDE,AC=DE,ZABC=ZDCE=90。，

点A,C,。依次在同一直线上.

,D

BC

⑴求证：OABCgj）CE；

（2）当BC=8,AC=I5时，求AE的长.

【答案】（1）证明见解析

⑵17

【分析】（1）根据AB//DE，可知ZBAC=NCDE,再结合NABC=/DCE、AC=OE,即可证明二ABCg一Z）CE；

（2）由ABC^DCE,可知IBC=CE=8,再在用ΔACE中由勾股定理计算AE的长即可.

【详解】（1）证明：*.∙ABHDE,

NBAC=NCDE,

在AABC和ADCE中，

ZABC=ZDCE

"ZBAC=NCDE,

AC=DE

；..ABC-DCE（AAS）；

（2）由（1）可得5C=CE=8,

在RMACE中，AE=y∣AC2+CE2=√152+82=17.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理的知识，解题关键是熟练进行三角形全等

的证明.

核心考点三全等三角形中的倍长中线模型

雨（2021•浙江湖州•统考二模）如图，在四边形ABCO中，ABHCD,ABYBD,AB=5,BD=A,CD=3,

点E是AC的中点，则BE的长为（）.

D

【答案】C

【分析】延长BE交CQ延长线于尸，可证AAEB丝Z∖CEP,求出QR根据勾股定理求出BP的长，从而求

出的长.

【详解】解：延长BE交CO延长线于P,

∖aAB∕∕CD,

."EAB=NECP,

在aAEB和△(?£：尸中，

ZEAB=ZECP

<AE=CE

ZAEB=ZCEP

：.∕∖AEB^ΛCEP(ASA)

ΛBE=PE9CP=AB=5

又∙.∙CD=3,

ΛPD=2,

•：BD=4

:∙BP=VDP2+BD2=2√5

.∙.BE=TBP=卮

【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股

定理求出BP.

瓯（2021.河南周口•统考二模）如图，在ABC中，AB=4,ZBAC=135。，。为边BC的中点，若AO=IS

则AC的长度为

【答案】2√2+l

【分析】延长AD到E,使得An=DE,证明AAOBgZXEDC,得CE=ΛB=4,过点E作由，AC于H,分

别求出CH和4”的长即可得到结论.

【详解】解：延长A。到E,使得AQ=OE,如图，

,/。为边BC的中点，

J.BD=CD

在^ADB>f∣]∆ECC中，

AD=DE

■ZADB=ZEDC

BD=CD

：.∕∖ADB^ΛEDC

：.NB=ZDCE,CE=AB=4

，AB//CE

NBAC+ZACE=180°

.∙∙ZAeE=I80-135°=45°

过点E作EHd.AC于H

在RtAEHC中，CE=4,NHCE=45"

；•CH=EH=2√2

在∕⅛ΔA∕∕E中，AE=2AD=3,HE=2五

AH=＞］AE2-EH2=1

∙,∙AC=AW+WC=2√2+1

故答案为：2壶+L

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，中线的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等

知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键.

瓯(2021•山东东营•统考中考真题)已知点O是线段AB的中点，点P是直线∕上的任意一点，分别过

点A和点B作直线/的垂线，垂足分别为点C和点D.我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”.

(1)［猜想验证］如图1,当点P与点。重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距''OC和OO的数量关系

是.

(2)［探究证明］如图2,当点P是线段A8上的任意一点时，“足中距”。C和0。的数量关系是否依然成立，

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)［拓展延伸］如图3,①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和。。的数量关系是否

依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

②若NCa)=60。，请直接写出线段4C、BD.OC之间的数量关系.

【答案】(I)OC=8：(2)仍然成立，证明见解析；(3)①仍然成立，证明见解析；②AC+BD=KoC

【分析】(1)根据三角形全等可得：

(2)方法-：过点。作直线瓦7/CD,交BD于点F,延长AC交E尸于点E,证明VeoE史。。尸即可，

方法.：延长CO交B£＞丁点E,证明AoC丝一BoE即可；

(3)①方法一：过点O作直线EFHCD,交BD于点、F,延长C4交EF于点E,证明3cOE-DOF,

方法：：延长CO交DB的延长线于点E,证明^AOCBOE；

②延长CO交。8的延长线于点E,证明AOCBOE,根据已知条件得出。E=√kτ).

【详解】（1）O是线段A8的中点

.'.OA=OB

ACll9BDLl

:.ΛACO=ABDO

在AACO和ABOO中

OA=OB

<ZACO=ABDO

ZAOC=ZBOD

.∙.ΛACOg/XBDO(AAS)

图1

•.OC=OD

（2）数量关系依然成立.

证明（方法•）：过点。作直线及7/8,交BD于点F,延长AC交E产于点E

・・•EFHCD

・・・ZDCE=ZE=ACDF=90°

・・・四边形CEa为矩形.

/.NOFD=90。,CE=DF

由(1)知，OE=OF

SE-DOF(SAS),

：.OC=OD.

证明（方法二）：延长Co交8Q于点区

D

VACLCD,BD工CD,

：•AC∕∕BD,

・•・ZA=N8,

•:点、。为AB的中点，

：・AO=BO.

又YZAOC=NBOE,

：.a,AOC^BOE（ASA）f

：.OC=OE9

'：NCDE=90。,

.*.OD=OC.

（3）①数量关系依然成立.

证明（方法一）：

过点、O作直线EF7/CD,交BD于点、F,延长。交EF于点E

•・•EFHCD

Z.DCE=ZE=NCDF=90°

・•・四边形CEFD为矩形.

JNOFD=90。,CE=DF

由（1）知，OE=OF

ΛJCOE⅛DOF（SAS）,

.,.OC=OD.10分

证明（方法二）：延长CO交。8的延长线于点E,

.*.ACHBD,

：.ZACO=NE,

工点、。为AB的中点，

：.AO=BO,

又♦・•ZAOC=ZBOE,

・•・，AOC-BQE(AAS),

：・OC=OEf

'：ZCDE=90°,

，OD=OC.

②如图，延长Co交08的延长线于点E,

.*.ACHBD,

・・・ZACO=ZE,

・•・点。为AB的中点，

・・・AO=BO,

又YZAoC=NBOE,

・・・，AOC均BOE(AAS),

JAC=BEf

・・.AC+BD=BE+BD=DE

•・•ZCDE=90o2COD=60°

.,.OD=OC

ZCOD=60°

:.NDCE=60。

DF-

——=tanZDCE=tan60o=√r3

CD

：.DE=6CD

∙∙∙AC+BD=出OC.

【点睛】此题主要考查了三角形全等的性质与判定，直角三角形的性质，锐角三角函数，根据题意找到全

等的三角形，证明线段相等，是解题的关键.

厚命题自确

延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍，这样做的目的是构造一对对顶角，相等的全

等三角形能够把已知的边或角转移到同一个三角形当中进行求解相关的边或角相等。

也就是说倍长中线的模型是当题目当中出现中线或中点时，可尝试利用倍长中线法来构造全等三角形,

证明线段间的数量关系。该类型经常会与中位线定理一起进行综合使用，所以在做遇到中线的题型时，我

们考虑的方向主要有被长中线定理以及三角形的中位线定理，看在实际的运用当中符合哪种类型再做选择。

■四日硼鼠

【变式1］（2022・浙江•九年级自主招生）如图，在ABC中，AC=6,BC=S,NACB=I20。，。是AB的

中点，则CO的长是（）

A.3B.√13C.5D.前三个答案都不对

【答案】B

【分析】延长8到点E,使得DE=CD,连接BE,过E作即IBC于点尸,由。为AB的中点，ZADC=NBDE

得4ADCgBDE,则ACBE,AEBF=180°-ZACB=60°,再由...婀呼运用勾股定理计算即可.

【详解】延长C。到点E,使得3E=CD,连接8E,过£作£FlJBC于点凡

,：D为AB的中点，

AD=BD-

又；ZADC=NBDE,

：.一ADgBDE,

则/加=ZCAD,BE=AC=6,CD=DE,

：,ACIBE,

则ZEBF=180o-ZACB=60°,

：.BF=^BE=3,EF=∙↑BE2-BF2=Wi,

则6F=6C-母'=5,

在RtZSEFC中

CE=∙]EF2+CF2=+52=2√13，

：.CD=LCE=屈

2

故选：B

【点睛】本题考查的是全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识点，解题的关键是构造全等三角形.

【变式2](2021秋・广东惠州•八年级校考阶段练习)如图，LABC中，AO为中线，ADLAC,/84)=30。,

AB=3,贝IlAC长()