电路分析第7章一阶电路C

第七章一阶电路§7-1分解方法在动态电路分析中的运用§7-2一阶微分方程的求解§7-4零状态响应§7-3零输入响应§7-5线性动态电路的叠加原理§7-6分解和叠加方法的综合应用—三要素法§7-7阶跃响应及分段常量信号响应§7-8冲激响应（以下4节教学大纲不要求）

§7-9卷积积分

§7-10瞬态和稳态正弦稳态的概念§7-11子区间分析方波激励的过渡过程和稳态动态元件的VCR为微分或积分形式，故线性、时不变动态电路要用线性常系数微分方程来描述。分析动态电路即是求解线性、常系数微分方程。本章内容概述含有一个独立的动态元件的电路，要用线性、常系数一阶微分方程来描述，故称为一阶电路。本章重点讨论一阶电路在直流激励下的动态分析。分别介绍换路定律、零输入响应、零状态响应和全响应，并推导出一阶电路在直流激励下求解任一变量响应的一般方法—三要素法。本章还将介绍瞬态（暂态）和稳态的概念。分解法的基本步骤：

1.把给定的网络N分为两个明确的单口网络N1和N2。

2.分别求N1，N2的VCR。（§4-2）

3.联立两个VCR，求单口网络端钮上的电压u

和电流i。

4.应用置换定理，分别求单口网络N1，N2中的电压，电流。§7-1分解方法在动态电路分析中的运用0uiabu

=

f2(i)u

=

k1i+A1网络Nu

=

k1i+A1N1N2i=βu=α+-u

=

f2(i)u

=

k1i+A1bN1u

=

a+-i

=

ba+-N1置换§7-1分解方法在动态电路分析中的运用用戴维南定理15V14

uc(t)+-+-CiC+–i4

1F2

2i18V0.75A+-uc(t)CiC+-uc(t)1514A14

用诺顿定理§7-1分解方法在动态电路分析中的运用

ROic+uC=uOC+uC=uOC

ROCduCdt初始值uC(t0)=iC

+iGO

=iSCC+G0uC=iSCduCdt初始值

uC(t0)=isc(t)G0+-CiGOiCuc(t)uoc(t)uc(t)R0+-+-CiCNCuc(t)+-iC

戴维南等效电路

诺顿等效电路

§7-2一阶微分方程求解

dYdt-AY=BXY(t0)=Y0

初始条件非齐次常系数线性微分方程

齐次常系数线性微分方程dYdt-AY=0Y(t0)=Y0

初始条件求解1.直接积分法

7-2一阶微分方程的求解，且应满足初始条件

Y(t0)=Y0，（1）解的结构：Y(t)=Yh(t)+Yp(t)2.猜试法有两种解法：（2）Yh(t)

：对应的齐次方程的通解（3）Yp(t)

：非齐次方程的一个特解

一般与输入（激励）函数具有相同形式（4）根据初始条件，确定积分常数稳定状态指电路中的电压和电流在给定的条件下已达到某一稳定值（对交流量是指它的幅值达到稳定值）。稳定状态简称稳态。暂态（瞬态）电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态往往不能跃变，而是需要一定过程（时间）的，这个物理过程就称为过渡过程。电路的过渡过程往往为时短暂，所以电路在过渡过程中的工作状态常称为暂态，因而过渡过程又称为暂态过程。过渡过程的基本概念换路指电路的接通、切断、短路、电压改变或参数改变等。产生过渡过程的原因：当电路中有储能元件电容或电感，而且换路的结果将引起电容中的电场能或电感中的磁场能发生变化时，因为电路元件中能量的储存和释放是需要一定的时间的，所以电路中就会出现过渡过程。电感储存的磁场能WL=12L

iL2不能跃变

WC=12C

uC2电容储存的电场能不能跃变本章将要分析RC和RL一阶线性电路的过渡过程，着重讨论下面两个问题：(1)暂态过程中电压和电流(响应)随时间的变化规律;(2)影响暂态过程快慢的电路的时间常数。

设

t=0为换路瞬间，而以t=0–表示换路前的终了瞬间，t=0+表示换路后的初始瞬间。换路定律由于电容中的电场能和电感中的磁场能不会突变，所以换路瞬间，电容上的电压和电感中的电流是不可能突变的。因此，电容电压和电感电流在换路后的初始值应等于换路前的终了值，这一规律，称为电路的换路定律。

iL(0–)=iL(0+)

uC(0–)=uC(0+)

iL(0–)=iL(0+)

uC(0–)=uC(0+)从t=0–到t=0+瞬间，电感元件中的电流iL和电容元件上的电压uC不能跃变。用公式表示为换路定律:换路定律仅适用于换路瞬间，可根据它来确定t=0+时电路中电压和电流之值，即暂态过程的初始值。确定各个电压和电流的初始值时,先由t=0–的电路求出iL(0–)

或uC(0–),

而后由t=0+的电路在已求得的iL(0+)

或uC(0+)的条件下求其他电压和电流的初始值。在直流激励下,换路前如果电路已处于稳态，则在t=0–的电路中,电容元件可视为开路,电感元件可视为短路。稳态值电路换路后，经过暂态过程又达到新的稳定状态，这时电路中的电压、电流值称为稳态值。用u()、i()表示。求直流激励下的稳态值,可画出t=

的电路，即在换路后的电路中将电容元件开路,电感元件短路。例7.1下图所示电路中，已知：R1=3，R2=6，R3=3，C1=5

µF，C2=10

µF，E=20V,开关S断开前电路已处于稳态。试求：C1、C2

和R1上电压的初始值和稳态值。C2R2R1+-EC1R320VSt=0C2R2R1+-EC1R320VSt=0解：（1）求初始值，画出t=0–的电路uC1(0-)=————R1+R2+R3R3•EuC2(0-)=————R1+R2+R3R2•E

=———=5V3+6+33×20=———=10V3+6+36×20i

(0-)=E/(R1+R2+R3)

=1.67AuR1(0-)=i

(0-)R1=5VuC1(0+)=uC1(0-)=5VuC2(0+)=uC2(0-)=10VR2+-R3Et=0–的电路uC1(0-)+-uC2(0-)+-i

(0-)uR1(0-)R1+-20V画出t=0+的电路，用支路电流法求i1(0+)，再求uR1(0+)

uR1(0+)=

7V可见uR1(0+)

uR1(0–)因此，求初始值时,只需计算t=0–时的iL(0–)和uC(0–)，因为它们不能跃变，即为初始值，而t=0–时的其余电压和电流都与初始值无关，不必去求。R2+–R3EuR1(0+)+–+–uC1(0+)t=0+的电路C2C1abR1+–20VuC2(0+)i1(0+)而uR1(0-)=i

(0-)R1=5V(2)求稳态值，画出t=

的电路uC1(

)=uC2(

)=E=20VR2+-R3Et=

的电路uC1(

)+-+-R1+–20VuC2(

)uR1(

)uR1(

)=0iL(0+)

=

iL(0-)=2A解：uL(0+)

=

–

iL(0+)(R2+R3)=–

90ViL(0-)

=

2A，(1)画出t

=

0

的等效电路，L—短路uL(0-)=0(2)画出t

=

0+的等效电路iL—等效为电流源—电感电压uL可以跃变KLR2t

=

05A20

15

30

R3R1IS+–iLuLbat

=

0-等效电路5A20

30

R3R1ISiL(0-)uL(0-)+–t

=

0+等效电路2AR215

30

R3+–uL(0+)iL(0+)例7.2下图所示电路中，S合于a时电路已处于稳态。试求：初始值iL(0+),uL(0+)。换路前，如果储能元件没有储能,iL(0+)=iL(0–

)=0,或uC(0+)=uC(0–

)=0，则在

t=0+的电路中，可将电容元件视为短路，将电感元件视为开路。例7.3已知下图中iL(0–)=0,uC(0–)=0,试求S闭合瞬间,电路中各电压、电流的初始值。SUCLR2R1+-t=0uC(0+)+-R2R1UiL(0+)uL(0+)iC(0+)+

–u2(0+)u1(0+)i1(0+)+-t=0+的电路解：画出t=0+的电路uC(0+)=uC(0–)=0，iL(0+)=iL(0–)=0，i1(0+)=iC(0+)=UR1u1(0+)=U，u2(0+)=0，uL(0+)=U元件的等效电路汇总电路元件t=0+

t

RR+U0–iC+–uC(0)

=

0iC+–uC(0)

=

U0iR+u–iL(0)

=

0+uL–LiL(0)

=

I0

+uL–LI0LLLCCC7-3零输入响应以下利用叠加方法求解一阶动态电路的零输入响应、零状态响应和全响应。设电路中电容电压在t0时的值为uC(t0)。将其分解为一个未充电的电容C和一个数值为uC(t0)的电压源的串联。+零输入响应零状态响应+uC(t)–i'(t)RCuC(t0)+–u1(t)+–'+uC(t)–i(t)RuOC(t)+–CuC(t0)+–u1(t)+–

t≥t0+uC(t)–i"(t)RuOC(t)+–Cu1(t)+–

t≥t0"7-

3（一）RC电路的零输入响应RCuRt=0ba+-U0iSuC零输入响应是指无电源激励，输入信号为零，由电容元件的初始状态uC(0+)

所产生的响应。分析RC电路的零输入响应，实际上就是分析它的放电过程。上图中，若原来开关S合于a，电容上电压已充电到U0，在t=0时将S由a合向b，

即uC(0–)=U0，根据KVL

uR

+

uC=0RCd

uC

dt+uC

=0——

§7-3零输入响应最终得代入初始条件uC(0)=

U0，

t≥

0uC(t)的零输入响应为一随时间衰减的指数函数。利用直接积分法故有积分得解的形式：uC(t)=KestRCsKest

+Kest

=0RCs

+1=0特征方程的根（固有频率）代入原方程—特征方程一阶线性常系数齐次微分方程RCt=0ba+-UiSucuRuC

=

Ae

pt上式的通解为指数函数，即由特征方程RCp

+1=0得特征根（固有频率）

p=–1/RC

通解uC

=

Ae

–t/RC

确定积分常数A，由换路定律uC(0+)=uC(0–)=U0

，得A=U0所以uC

=

U0e–t/RC

uR

=–uC

=–U0e–t/RC

e

–t/RCU0Ri=––—otU0–U0U0RuCuRi变化曲线RCd

uC

dt+uC

=0——在零输入响应电路中，各部分电压和电流都是由初始值按同一指数规律衰减到零。时间常数

=RC

称为RC电路的时间常数

FS单位时间常数

等于电压uC衰减到初始值U0的36.8%所需的时间。t

U0e

-t/

uC

2

3

4

5

6

e

–1

e

–2

e

–3

e

–4

e

–5

e

–60.3680.1350.050.0180.0070.002当t=

时uC(

)=0.368U0=

U0

e–t/

uCucotU00.368U0

1

2

3

3>

2>

1

从理论上讲,电路只有经过t=

的时间才能达到稳定。由上表可以看出t=5

时，uC已衰减到

0.7%U0，所以，工程上通常在t≥5

以后，即可认为电路已趋稳定。

电压uC衰减的快慢决定于电路的时间常数

,时间常数越大，uC衰减(电容器放电)越慢。uC随时间变化曲线0uU0t0.368U0

时间常数

=RC当t=

时，uC=36.8%U0零输入响应RCt=0ba+-iSucuRU0uR

=–uC

=–U0e–t/RC

e

–t/RCU0Ri=––—例7.4电路如图，已知uc(0)=15V,求uc(t),ic(t)和i(t),t≥0。iC(t)=C——=–3e-20tAduCdtt≥0解：uC(0)=15VRO=———+3=5Ω3×63+6

=ROC=5×0.01=0.05S

i(t)=–——(–3e-20t)=2e-20tA63+6t≥0=15e-20tVt≥03Ω3Ω6Ω0.01Fi(t)icuc+_uC(t)=uC(0)e-—

t15VuC–3AiCot

解法1：例7.4电路如图，已知uc(0)=15V,求uc(t),ic(t)和i(t),t≥0。解法2：应用置换定理

i(t)=–——(–3e-20t)=2e-20tA63+6t≥03Ω3Ω6Ωi(t)uC(t)+_iciC(t)=——=–3e-20tA-uCt≥0RO用电压源uC(t)置换电容CRO=———+3=5Ω3×63+6=15e-20tVt≥0uC(t)=uC(0)e-—

t解：3Ω3Ω6Ω0.01Fi(t)icuc+_例7.5求图示电路中i(t),t≥0,已知uC(0)=6V。解:提出电容，用外加电压法求ROi1

=———+————u2000u–2000i160008000i1=4uRO=—=2000Ωui1

=ROC=2×103s6K2K1Fuc(t)2000i(t)i(t)6K2K1Fu2000i1(t)i1(t)2K1Fuc(t)i(t)ROVuC(t)=6e-12×10-3tt≥0i(t)=–

CduCdtmA=3e-12×10-3tuC(0)=6V或：i(t)=——uC(t)ROt≥0例7.6下图所示电路中,开关S合在a点时,电路已处于稳态，

t=0时开关S由a点合向b点，试求:t≥0时uc、i1、

i2和

i3

随时间的变化规律,画出变化曲线。Ct=0ba+-SuC

4

2

4

8

10µF+-10Vi1i2i3解:uC(0+)=uC(0-)=10

4/(2+4+4)=4V,U0=4V换路后放电电路等效电阻R0=(8+4//4)=10

=R0

C=10

10

10–6F

=10–4s=

U0

e–t/

uC=4e–10000tVCducdti2=i1=

i3

=i2/2=–0.4e

–10000tA=–0.2e

–10000tAotuc4Viui2–0.4Ai1

i3–0.2AuC=4e–10000tVCba+-SuC

4

2

4

8

10µF+-10Vi1i2i3（二）

RL电路的零输入响应Rt=0baUiLSuLuR

S合在位置a时,电感中通有电流,t=0时,开关S由位置a合向位置b,RL电路被短路。若iL(0-)=I0，则iL(0+)=I0(若换路前电路已处于稳态,则I0=U/R)根据KVL

uL

+

uR=0+RiL=0

diL

dtL—+-

齐次常系数线性微分方程通解为iL=

Ae

pt

+-

+-特征方程是Lp

+R=0特征根(固有频率):p=–R/L

微分方程的通解为

iL(0+)=I0,故A=I0在t=0+时,所以iL

=

I0

e–—t

RL

=

I0

e–—

t

时间常数

=L

/R=GL单位秒亨欧姆=

Ae

–—t

RLiL=

Ae

pt

变化曲线iLI0t0iL0.368I0

+RiL=0

diL

dtL—通解为iL=

Ae

pt

Rt=0baUiLSuLuR+-+-+-

iL

=

I0

e–—t

RL

=

I0

e–—

t

uR=R

iL

=

R

I0

e–—

t

diL

dtuL=L—=–R

I0

e–—

t

RI0uR–RI0uLotuRt=0baUiLSuLuR+-+-+-

iLiLI0t00.368I0

根据KVL

uL

+

uR=00.368RI0

t=0SRLuViLV+–2

4V例7.7已知电压表的内阻RV=1000,求uV(0+)。解:iL(0+)=iL(0-)=4/2=2AuV(0+)=iL(0+)RV=2

1000=2000V因电压表的内阻很大，在S断开之前，应先将电压表取下!以免引起过电压而损坏电压表。一阶电路的零输入响应代表了电路的固有性质，又称为固有响应，特征根s=－1/

又称为固有频率。

一阶电路的零输入响应是按指数规律衰减的，衰减的快慢由时间常数τ决定，τ越小，衰减越快。求出uC(t)或iL(t)再根据置换定理，用电压为uC(t)的电压源置换电容，用电流值为iL(t)的电流源置换电感，在置换后的电路中求其他电压电流。线性一阶电路的零输入响应是初始状态的线性函数，即初始状态增大

k倍，零输入响应也增大k

倍。零输入响应小结

1.一阶电路的零输入响应RC电路：t≥0

=RCuC(t)=uC(0)e-—

tRL电路：t≥0

=—=GLLRiL(t)=iL(0)e-—

t（一）RC电路的零状态响应零状态响应是指换路前电容元件未储有能量,uC(0–)=0,由电源激励在电路中所产生的响应。分析RC电路的零状态响应，实际上就是分析它的充电过程。下图中，t=0时开关S由b点合向a点，相当于输入一个阶跃电压u，其表示式为u(t)=0t<0Ut>0oUut阶跃电压

§7-4零状态响应

RCuRt=0ba+-UiSuC+-

+-根据KVL，列出t≥

0时电路的一阶线性非齐次常微分方程Ri+uC

=URCduC

dt+uC

=U设特解uC´=K代入上式

RCdKdt+K

=U得K=U，

即uC´=U

uC″=Ae

pt=

Ae

–t/RC

补函数uC″是齐次微分方程RCduC

dt+uC

=0的解式(7.1)的通解为uC

=uC´+uC″=U+Ae

–t/RC

上式的通解有两个部分：一个是特解uC´，一个是补函数uC″(7.1)RCuRt≥

0ba+-UiSuC+-+-uC

=uC´+uC″=U+Ae

–t/RC

根据uC(0+)=uC(0–)=0，可确定积分常数A=–UuC

=U–Ue

–t/RC

=U(1–e–t/

)时间常数

=RC当t=

时，uC

=63.2%UtuCuOUuC´–UuC″暂态过程中uC可视为由两个分量相加而得:

uC´是到达稳定状态时的电压,称为稳态分量;uC″仅存于暂态过程中,称为暂态分量,它总是按指数规律衰减。63.2%U

uC的变化曲线e

-t/RCUR=

uR

=Ri

=Ue

-t/RCotUuCuRui

iURi

=CduC

dtuC

=U(1–e–t/

)uC

、

uR及i的变化曲线RCuRt≥

0ba+-UiSuC+-+-uC

=U(1–e–t/

)t

U

1–

e–t/

uC

2

3

4

5

1–e–1

1–e–2

1–e–3

1–e–4

1–e–5

0.6320.8650.950.9820.993

同样可认为t≥(4~5)

以后暂态过程已经结束。tuCu0U63.2%U

RCuRt≥

0ba+-UiSuC+-+-上述暂态过程的分析方法称为经典法。当电路比较复杂时，可以用戴维宁定理将换路后的电路化简为一个单回路电路，（将电路中除储能元件以外的部分化简为戴维宁等效电源，再将储能元件接上），然后利用经典法所得出的公式。例7.8下图所示电路中，已知：R1=3k，R2=6k，

C1=40

µF，C2=C3=20

µF，U=12V,开关S闭合前,电路已处于稳态，试求:

t≥

0时的电压uC

。t=0+-USR1R2C1C2C3+uC–解：C2和C3并联后再与C1串联，其等效电容为C=——————=20µF

C1(C2+C3)C1+(C2+C3)将t≥

0的电路除C以外的部分化为戴维宁等效电源,E=———=8VUR2(R1+R2)等效电源的内阻为R0=———=2k

R1R2(R1+R2)R0C+uC–+-Et≥

0+-USR2C+uC–R1等效电源的电动势为R0C+uC–+-E由等效电路可得出电路的时间常数

=R0

C=2

103

2010–6=40

10–3suC=E(1–e-t/

)=8(1–e

–25t)V输出电压为tuC

/V8O（二）RL电路的零状态响应Rt=0UiLSuLuR在换路前电感元件未储有能量，即电路处于零稳态。+–在t=0时，将开关S合上，电路即与一恒定电压为U的电压源接通。根据KVL

uL

+

uR=U+RiL=U

diL

dtL—特解iL´就是稳态分量

(7.2)iL´=—UR补函数iL″=

Ae

–—t

RL式(7.2)的通解为iL

=iL´+

iL″=—UR+

Ae

–—t

RL在t=0时，iL(0+)=iL(0-)=0—+

A=0

UR

A=–

—URiL

=—(1–UR

e–—)

t

uRuLU

diL

dtuL=L—=

Ue

–—

t

uR=R

iL

=

U(1–

e–—)

t

iLotuiL″–

—URiL´—URotiL变化曲线4.一阶电路的零状态响应是输入的线性函数。输入扩大k倍，零状态响应也扩大k倍，如有多个电压源作用，也可用叠加定理来求零状态响应。

2.uC(t)、iC(t)的零状态响应由零向稳态值按指数规律上升，τ越小，上升越快。3.求出uC(t)、iL(t)，根据置换定理，电容用电压值为uC(t)的电压源置换，电感用电流值为iL(t)的电流源置换，在置换后的电路中求其它电压和电流。5.如果是非直流激励电路，则需列微分方程求解。

1.恒定输入（直流激励）下一阶电路的零状态响应RC电路

=RCuC(t)=uC(∞)

(1-e)t≥0

-—tRL电路iL(t)=iL(∞)

(1-e)t≥0t-—

=—=GLLR零状态响应小结

例7.9下图所示电路中,已知：R1=R2=1k，L1=15mH，

L2=L3=10mH，(设线圈间无互感,)电流源I=10mA,开关S闭合前,各电感均未储有能量,试求:

t≥

0时的电流

i。t=0SiIR1R2L1L2L3解:等效电感L=

L1+———L2L3L2+L3=10mH将电流源与R1并联的电路进行等效变换E=R1I=10VR0=R1=1k

t=0SiR0R2L+–E由等效电路可得出电路的时间常数

=

———LR0+R2=10

si

=———(1–

e–—)

t

ER0+R2=5(1–

e

-10t

)

mA5ti5oi/mA等效电路（一）RC电路的全响应

全响应是指电源激励和电容元件的初始状态uC(0+)均不为零时电路的响应，也就是零输入响应和零状态响应的叠加。下图中，若开关S合于b时，电路已处于稳态,则uC(0–)=U0，t=0时将S由b合向a，t≥

0时电路的微分方程为RCuRt=0ba+-UiSuC+-U0t≥

0RCduC

dt+uC

=U其通解有两个部分:一个是特解uC´，

一个是补函数uC″通解uC

=uC´+uC″

§7-5线性动态电路的叠加定理RCuRt=0ba+-UiSuC+-U0t≥

0RCduC

dt+uC

=U通解uC

=uC´+uC″

=U+Ae

–t/RC

uC(0+)=uC(0–)=U0积分常数A=U0–Ut=0+时,

U0=U+A

e0

uC

=

U+

(U0–U)

e

-t/

全响应=稳态分量+暂态分量uC

=

U0

e

-t/

+U(1–e

-t/

)

或者写成全响应

=

零输入响应+

零状态响应一阶线性非齐次常微分方程(三要素法)全响应曲线otUuU0稳态分量UuC(全响应)uC

=

U+

(U0–U)

e

-t/

设U>U0U0–U暂态分量(U0–U)

e

-t/

otUuU0uC

=

U0

e

-t/

+U(1–e

-t/

)

uC(全响应)零状态响应零输入响应或全响应曲线otUuiU–U0RU0稳态分量UuC(全响应)uC

=

U+

(U0–U)

e

-t/

设U>U0U0–U暂态分量(U0–U)

e

-t/

求出uC后,可用和uR=Ri得i

=CduC

dtU–

U0R

i=e

-t/

uR=(U–

U0)e

-t/

uR+-URCt=0baiSuC+-U0t=

0uCuC随时间变化曲线0uU0tU（2）当U0＞U时，tuCU0uuC随时间变化曲线U0（1）当U0＜U时，SCRt=0–

+U21–

+uR–

+uCi–

+U0这种由外加激励和初始储能共同作用引起的响应,称为RC电路的全响应。放电过程充电过程若U=0，在t=0时将开关S由1合到2的位置，如右图。这时电路中外加激励为零，电路的响应是由电容的初始储能引起的，故称为RC电路的零输入响应。电容两端的电压uc由初始值U0向稳态值零衰减，这是电容的放电过程，其随时间变化表达式为SCRt=0–

+U21–

+uR–

+uCi–

+U0全响应uC

=

U0

e

-t/

+U(1–e

-t/

)

或若换路前电容元件没有储能，即uC(0+)=U0=0，则上式变为这种初始储能为零，由外加电源激励产生的响应，常称为RC电路的零状态响应，这是电容的充电过程。SCRt=0–

+U21–

+uR–

+uCi–

+U0全响应uC

=

U0

e

-t/

+U(1–e

-t/

)

或uC随时间变化曲线0uU0t0.368U0

时间常数

=RC当t=

时，uC=36.8%U0零输入响应tuCU0u时间常数

=RC当t=

时，uC=63.2%U0.632U

随时间变化曲线零状态响应（二）RL电路的全响应Rt=0UiLSuLuR+–R0如图所示电路中，iL(0-)=I0在t=0时，将开关S合上，则t≥

0时电路的微分方程为+RiL=U

diL

dtL—通解也为iL

=iL´+

iL″=—UR+

Ae

–—t

RL但积分常数A与零状态时不同,在t=0时，iL(0+)=iL(0-)=I0，

A=I0–

—UR所以全响应为iL

=—+(I0–—)UR

e–—

t

UR(6.5.3)iL

=—+(I0–—)UR

e–—

t

UR全响应=稳态分量+暂态分量全响应

=

零输入响应+

零状态响应上式可改写为

+—(1–UR

e–—)

t

iL

=

I0

e–—

t

otU/RI0iL(全响应)零状态响应零输入响应式(6.5.3)中,将电感电流的稳态分量U/R用iL(

)表示得iL(t)=

iL

(

)+[iL(0+)–

iL(

)]

e

-t/

稳态值初始值

时间常数(三要素法)§7-6三要素法全响应=瞬态响应+稳态响应—数学方法分解y

(t)

=

y'

(t)+y"(t)

=y(0+)e-t/

+y(

)(1–e-t/

)y

(t)

=y(

)+[y(0+)-y(

)]e-t/

稳态瞬态由三个参数(三要素)：初始值

y(0+)、稳态值y(

)和时间常数

来决定一阶电路、直流激励下的全响应y(t)

。三要素法：对于恒定输入下的一阶电路，只要求出这三个要素，即可写出全响应的表示式，并可画出其波形。整理，得全响应的一般表示式利用三要素法求得的全响应表示式，适应于状态变量和非状态变量。7-

6三要素法直流激励下一阶电路的响应都是按指数规律变化的，它们的变化无非四种情况。0tf(t)f(∞)0tf(t)f(0+)f(t)=f(∞)

(1-

e)t≥0

-—tf(t)=f(0+)

et≥0

-—t0tf(t)f(∞

)f(0+)f(0+)0tf(t)f(∞)对于一阶电路，若求恒定输入下的响应，只需求出这三个要素，就可画出它的波形并写出表示式，这就是三要素法。三个参数（三要素）f(0+)、f(∞)、

f(t)=f(0+)

+

[f(∞)

-

f(0+)]

(1-e)t≥0

-—tf(t)=f(∞)

+

[f(0+)-

f(∞)]

et≥0

-—t

只含有一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路,称为一阶线性电路，其微分方程都是一阶常系数线性微分方程。

上述的RC电路是一阶线性电路，电路的响应是由稳态分量(包括零值)和暂态分量两部分相加而得,写成一般式子,则为f(t)=f´(t)+f″(t)

=

f

(

)

+Ae

–t/

式中f(t)是电压或电流，f

(

)是稳态分量(即稳态值),Ae

–t/

是暂态分量,若

f(0+)为初始值,则得A=f(0+)–f

(

)

于是f

(t)=

f

(

)+[f(0+)–

f(

)]

e

-t/

稳态值初始值

时间常数§7-6分解方法和叠加方法的综合运用——三要素法全响应波形直流激励下一阶电路的响应均按指数规律变化，它们的波形有以下四种情况。零输入响应y(t)=y(0+)

e

-t/

t≥

0

零状态响应y(t)

=

y(

)(1–e

-t/

)t≥

0全响应y(

)

>

y(0+)

y(t)

=

y(0+)

+[y(

)

y(0+)

]

(1–e

-t/

)t≥

0全响应y(

)

<

y(0+)

y(t)

=

y(

)

+[y(0+)

y(

)]

e

-t/

t≥

00ty(t)y(

)y(0+)0ty(t)y(

)y(0+)0ty(t)y(

)y(0+)0ty(t)[例7.10]在下图中，已知U1=3V，U2=6V，R1=1k

R2=2k，C=3F，t<0时电路已处于稳态。用三要素法求t≥0时的uC(t),并画出变化曲线。

[解]先确定uC(0+)uC(

)和时间常数

R2R1–

U1C–

+1+uCU2–

+

t<0时电路已处于稳态，意味着电容相当于开路。2t=0S[例7.10]在下图中，已知U1=3V，U2=6V，R1=1k

R2=2k，C=3F，t<0时电路已处于稳态。用三要素法求t≥0时的uC(t),并画出变化曲线。

[解]先确定uC(0+)

uC(

)和时间常数

R2–

U1C–

+1+uCU2–

+2t=0SR1

uc=4+(2–4)

e-t/(2×10-3)(t≥0)=4–2e-500t

VuC(t)的变化曲线t(s)uC

/V402[例7.11]图中，如在稳定状态下R1被短路，试问短路后经过多少时间电流才达到15A？（1）确定i(0+)

[解]先应用三要素法求电流i（3）确定时间常数

（2）确定i(

)t=0–

+UiLR1R212

8

220V0.6H[解]根据三要素法公式当电流到达15A时所经过的时间为t=0.039St=0–

+UiLR1R212

8

220V0.6H[例7.11]图中，如在稳定状态下R1被短路，试问短路后经过多少时间电流才达到15A？1.求初始值y(0+)（1）画出t=0–时的等效电路：求uC(0–)、iL(0–)；（2）画出t=0+时的等效电路：

C—用电压值等于uC(0+)的电压源置换

L—用电流值等于iL(0+)

的电流源置换2.求稳态值y(∞)（3）在t=0+

的等效电路中求各初始值

y(0+)；（1）画出t

∞

时的等效电路：C

—

开路、L

—

短路（2）求稳态值y(∞)；3.求时间常数

(注意：一定要在换路后的电路中求

）（1）求动态元件两端看进去戴维南等效电阻R0；（2）RC电路：

=R0C；RL电路：

=L/R0。利用三要素法求解一阶动态电路的步骤元件的等效电路汇总电路元件t=0+

t

RR+U0–iC+–uC(0)

=

0iC+–uC(0)

=

U0iR+u–iL(0)

=

0+uL–LiL(0)

=

I0

+uL–LI0LLLCCC

解：(1)求

i(0+)例7.13图示电路中t=0时开关S1闭合，S2打开。已知开关动作前电路处于稳态，求i(t),t≥0及开关动作后瞬间4

电阻上吸收的功率。（15分）10V4

t=0i1(t)0.1FuC(t)10V2

6

2

i(t)S1S2uC

(0+)=uC(0-)=———×10V=5V2+42+4+6i(0+)t=0+时的电路10Vi1(0+)i2(0+)2

2

4

uc(0+)i(0+)+i2(0+)=i1(0+)2i(0+)+4i1(0+)=102i2(0+)+4i1(0+)=uc(0+)

解方程得i(0+)=2A,i1(0+)=1.5A开关动作后瞬间4

电阻上吸收的功率p=4i12(0+)=4×1.52=9W例7.13图示电路中t=0时开关S1闭合，S2打开。已知开关动作前电路处于稳态，求i(t),t≥0及开关动作后瞬间4

电阻上吸收的功率。（15分）10V4

t=0i1(t)0.1FuC(t)10V2

6

2

i(t)S1S2（2）求i(∞)（3）求

i(t)=i(∞)

+

[i(0+)-

i(∞)]

e

-—t

解：(1)

i(0+)=2Ai(∞)=————=—A10V2+4

53R0=

2+2//4=—310

=R0C=—S

31i(t)=—

+(2–—)e–3t=—+—e–3tAt

≥0

33335551

解：(1)求iL(0+)、i

(0+)iL(0+)

=

iL(0–)

=

10/2

=5mA例1

求图示电路中t≥0时1k电阻的电流。10V–+10mA0.5k1HiL(t)0.5k1kt

=

0i

(t)t=

0+10V–+10mA0.5k0.5k1ki

(0+)5mA根据换路定律用

5mA

电流源置换电感，得

t=

0+时的等效电路如图。利用叠加原理，得10mA0.5kiL(0−)0.5kt=

0−(2)求i(

)(3)求

i

(

)=10/103=10mAR0

=1//1=

0.5kΩt

10V–+10mA0.5k0.5k1ki

(

)1k0.5k0.5kR0i

(t)=i

(

)

+

[

i

(0+)

i(

)

]e

–t

/

t≥0(4)求全响应0t/msi/mA10510V–+10mA0.5k1HiL(t)0.5k1kt

=

0i

(t)

(1)求i

(0+)解：iL(0+)=5mA，R0=0.5kΩ=5

e

–500t+15

(1–e

–500t)mA=15–10

e

–500tmAt≥0(5)用叠加定理求iL(t)t

≥010V–+10mA0.5k0.5k1ki

(t)iL(t)iL(t)=5

e

−500t

mAt≥0'

iL(t)

=

15

(

1

–e–500

t)mAt≥0"t≥0由KVL10V–+10mA0.5k1HiL(t)0.5k1kt

=

0i

(t)零输入零状态例7.14图示电路中,开关S合在a点时,电路已处于稳态，

t=0时开关S由a点合向b点，试用三要素法求:t≥0

时uc、i1、i2和

i3

的变化规律,画出变化曲线。Ct=0ba+-SuC

4

2

4

8

10µF+-10Vi1i2i3解:uC(0+)=uC(0-)=10

4/(2+4+4)=4V,uC(

)=0换路后放电电路等效电阻R0=(8+4//4)=10

=R0

C=10

10

10–6F

=10–4s=4e–10000tVuC(t)=uC(

)+[uC(0+)

–

uC(

)]

e

-t/

Cducdti2=i1=

i3

=i2/2=–0.4e

–10000tA=–0.2e

–10000tAotuc4Viui2–0.4Ai1

i3–0.2AuC=4e–10000tVCba+-SuC

4

2

4

8

10µF+-10Vi1i2i3f

(t)=

f

(

)+[f(0+)–

f(

)]

e

-t/

§7-7阶跃响应及分段常量信号响应一.阶跃函数１.单位阶跃函数2.延时单位阶跃函数0tt0

(t–t0)1

0t1

(t)

0t<0

1t>0

(t)=

0t<t0

(t–t0)=

1t>t0二、用单位阶跃函数表示电源接入若电源在t=t0时接入电路，可表示为：uS(t)

=

US

(t

-

t0)iS(t)

=

IS

(t

-

t0)若任一变化的信号f

(t)在t=0时接入电路，可表示为：uS(t)=f

(t)

(t)若在

t=0

时，开关K由位置b

a，可表示为阶跃函数与电源的乘积

uS(t)=

US

(t)

uS(t)=

US

(t)abUSN+–

t

=

0KN+–uS(t)三、阶跃信号和阶跃响应1.阶跃信号

2.阶跃响应单位阶跃信号作用下的零状态响应称为阶跃响应S(t)，依据时不变性质，延时单位阶跃信号作用下的阶跃响应为S(t-t0)。uS(t)=US

(t)阶跃信号uS(t)=US

(

t–t0

)延时阶跃信号US0tuS(t)t00tUSuS(t)f

(t)

=

f1(t)

f3(t)

=

(t)

(t

1

)=–01

tf

(t)1

0t1f1

(t)10t1f3

(t)10t

1f2

(t)0t1f1

(t)+f

(t)

=

f1(t)

+

f2(t)

=

(t)

(t

1

)或表示为四、分段常量信号作用下一阶电路的求解

可将分段常量信号表示为一系列阶跃信号之和，例如：=f(t)=f1(t)+f2(t)+f3(t)+f4(t)

f(t)=

(t)

2

(t

1

)

+

3

(

t

2)

2

(t

3)=0t1f1

(t)0tf(t)1

2

3

1

1

2

可将分段常量信号表示为一系列阶跃信号之和，再例如：10t

2f2

(t)+203f3

(t)t30

2f4

(t)t++方法1.

把分段常量信号分解为若干个阶跃信号之和，各阶跃信号分量单独作用于电路，由叠加定理求出电路的零状态响应。如果初始状态不为零，再加上零输入响应。方法2.

把分段常量信号作用于电路的时间分为若干个子区间，每一区间内输入信号为一常量。用三要素法求每一子区间的响应，即按时间分段求解。在求解过程中，注意每一子区间初始值的计算。四、分段常量信号作用下一阶电路的求解

例7.16已知：iS(t)作用于电路，uC(0)=0,求：uC(t),

t≥0解法1：把iS(t)分解成两项，分别求零状态响应iS(t)

=i'S(t)+i''S(t)=IS

(t)

–

IS

(t–t0)IS0tiS(t)t0CRis(t)uC(t)+–i'S(t)作用：u'C(t)

=

RIS(1–e

)

(t)RC-—ti''S(t)作用：u''C(t)

=

–

RIS[1–e

]

(t

-

t0)RC-—1(t-t0)iS(t)作用，应用叠加原理，得到uC(t)

=

u'C(t)

+u''C(t)

–

RIS[1–e

]

(t

-

t0)RC-—1(t-t0)

=

RIS(1–e

)

(t)RC-—t0ti'S(t)IS阶跃信号0tt0i''S(t)–IS延时阶跃信号例7.16已知：iS(t)作用于电路，uC(0)=0,求：uC(t),

t≥0IS0tiS(t)t00ti'S(t)IS阶跃信号0tt0i''S(t)–IS延时阶跃信号CRis(t)uC(t)+–0tt0RISu'C(t)0tt0–RISu''C(t)0tt0RISuC(t)IS0tiS(t)t0解法2：应用三要素法分段求解0

≤

t

≤

t0

零状态响应t

>

t0

时

零输入响应例7.16已知：iS(t)作用于电路，uC(0)=0,求：uC(t),

t≥0IS0tiS(t)t0CRis(t)uC(t)+–0tt0RISuC(t)0

≤

t

≤

t0

uC

(t)

=

RIS(1–e

)RC-—t0tt0RISuC(t)

uC

(t0)

=

RIS(1–e

)RC-—t0

uC

(t)

=