6.1平面向量的概念（5大题型）（原卷版）

6.1平面向量的概念1、通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际北京，理解平面向量的概念；2、理解平面向量的几何表示和基本要素；3、掌握向量的模、零向量、单位向量、相等向量、共线向量等概念。一、向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2、数量：只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等)，称为数量．【注意】（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移；（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素；（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．二、向量的表示法1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．2、向量的表示方法：（1）字母表示法：如等.（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.【注意】（1）用字母表示向量便于向量运算；（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．三、向量的有关概念1、向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).【注意】（1）向量的模．（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位的向量.【注意】（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．4、相等向量：长度相等且方向相同的向量.【注意】在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．四、向量的共线或平行方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定：与任一向量共线.【注意】1、零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．题型一平面向量的基本概念理解【例1】（2023·全国·高一课时练习）下列量中是向量的为（）A．频率B．拉力C．体积D．距离【变式11】（2022·湖北鄂州·高一校联考期中）下列关于零向量的说法正确的是（）A．零向量没有大小B．零向量没有方向C．两个反方向向量之和为零向量D．零向量与任何向量都共线【变式12】（2023·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末）（多选）下列命题中正确的是（）A．单位向量的模都相等B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同【变式13】（2023·陕西咸阳·高一校考期中）（多选）下列命题中，错误的是（）A．若，则与方向相同或相反B．若，，则C．若，，则D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等【变式15】（2023·宁夏银川·高一校考阶段练习）（多选）在下列结论中，正确的结论为（）A．且是的必要不充分条件B．且是的既不充分也不必要条件C．与方向相同且是的充要条件D．与方向相反或是的充分不必要条件题型二平面向量的几何表示方法【例2】（2023·山东菏泽·高一东明县第一中学校考阶段练习）对下面图形的表示恰当的是（）．A．B．C．D．【变式21】（2023·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（）A．也可以用表示B．方向是由M指向NC．起点是MD．终点是M【变式22】（2023·全国·高一随堂练习）画图表示小船的下列位移（用的比例尺）：（1）由A地向东北方向航行15km到达B地；（2）由A地向北偏西30°方向航行20km到达C地；（3）由C地向正南方向航行20km到达D地．【变式23】（2022·高一课时练习）如图，以方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？题型三相等向量与共线向量判断【例3】（2023·高一课时练习）设是正方形ABCD的中心，则（）A．向量，，，是相等的向量B．向量，，，是平行的向量C．向量，，，是模不全相等的向量D．，【变式31】（2023·全国·高一随堂练习）在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：①共线向量：；②方向相反的向量：；③模相等的向量：.【变式32】（2022·高一校考课时练习）如图，EF，CH将正方形ABCD分成四个单位正方形(边长为1个单位长度).在以图中各点为端点的所有向量中，除向量外，与平行的向量有哪些?与平行且是单位向量的有哪些?【变式33】（2022·全国·高一专题练习）如图，是正六边形的中心，且，，．在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：（1）与相等的向量有哪些？（2）的相反向量有哪些？（3）与的模相等的向量有哪些？题型四平面向量在几何中的应用【例4】（2023·河北邯郸·高一校考阶段练习）已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（）A．正方形B．平行四边形C．菱形D．梯形【变式41】（2023·全国·高一课时练习）已知四边形，下列说法正确的是（）A．若，则四边形为平行四边形B．若，则四边形为矩形C．若，且，则四边形为矩形D．若，且，则四边形为梯形【变式42】（2023·高一课时练习）如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：.【变式43】（2022·全国·高一专题练习）在平行四边形中，，分别为边、的中点，如图．（1）写出与向量共线的向量；（2）求证：．题型五平面向量在实际问题中的应用【例5】（2023·山东菏泽·高一东明县第一中学校考阶段练习）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（）．A．B．C．D．与不能比较大小【变式51】（2022·高一课时练习）某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和．【变式52】（2023·高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东