2023年上海市嘉定区高二数学第二学期期末经典试题（含解析）

2022-2023高二下数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若对任意的x>(),不等式f-2mlnx21(加。0)恒成立，则加的取值范围是()

A.{1}B.[l,+oo)C.D.[e,+oo)

2.已知集合4={-2,-1,0,1,2},3={x[(x—l)(x+2)<0},则AB=()

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}

3.已知p(l,-1,2),《(3,1,0)、6(0,1,3),则向量耳g与R2的夹角是()

A.30B.45C.60D.90

4.已知函数/⑶与八幻的图象如图所示，则函数片等()

31

A.在区间(-1,2)上是减函数B.在区间(-工与上是减函数

22

C.在区间或,3)上减函数D.在区间(-1,1)上是减函数

5.在平面直角坐标系中，方程2+==1表示在x轴、y轴上的截距分别为的直线，类比到空间直角坐标系中，在x

ab

轴、轴、z轴上的截距分别为a,0,c(abcw0)的平面方程为()

xyzxyz

A.—I--1——1AB.----1----1---=1A

abcabbeca

C.—+—+—=1D.ax+by+cz=\

abbeca

6.已知空间向量。=（3』,0）,〃二（乂-3,1）,且则X=（）

A.-3B.-1C.1D.3

7.已知（/+工］的二项展开式的各项系数和为32,则二项展开式中式的系数为（）

Ix）

A.5B.10C.20D.40

8.从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、

女教师都要有，则不同的选派方案共有（）

A.210种B.420种C.630种D.840种

9.某学校为了调查高三年级的200名文科学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式:第一种由学生会的

同学随机抽取20名同学进行调查;第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号，从001到200,抽取学号最后一位为2

的同学进行调查,则这两种抽样的方法依次为（）

A.分层抽样,简单随机抽样B.简单随机抽样，分层抽样

C.分层抽样，系统抽样D.简单随机抽样，系统抽样

10.设机、〃是不同的直线，△是不同的平面，有以下四个命题：

①若a_1_/?,机//a,则②若，nl.a)贝!

③若m_La,mLn,则“//a④若〃_La,nL/3,则/7//a.

其中真命题的序号为（）

A.①③B.②③C.①④D.②④

11.如图，在菱形48CQ中，ZBAD=6O°,线段AO,BD,BC的中点分别为E,F,K,连接EF,FK.现将△ABD

绕对角线8。旋转，令二面角4一3。一C的平面角为a,则在旋转过程中有。

A.Z.EFK<aB.Z.EFK>aC.ZEDK<aD.Z.EDK>a

x,x<0

12.已知函数/(%)=，]j,若函数y=/⑴-5-。恰有三个零点，则()

-x--[a+l)x+ax,x>()

A.a<—l,Z?<0B.a<—i,b>0

C.a>-l,b<0D.a>-l,b>Q

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

sinA

13.在AABC中，内角A,B,C满足3sinA=2sin2A,且2sin6=sinC,则-.兀一玄的值为________.

sin(A+C)

14-」中x2•2x+1>c”的否定是-------------

15.圆锥的母线/长为10cm,母线与旋转轴的夹角为30°,则该圆锥的体积为cm3.

16.试写出(x-的展开式中系数最大的项.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)2017年10月18日上午9:00,中国共产党第十九次全国代表大会在人民大会堂开幕.代表第十八届中央

委员会向大会作了题为《决胜全面建成小康社会夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利》的报告.人们通过手机、电

视等方式关注十九大盛况.某调查网站从观看十九大的观众中随机选出200人,经统计这200人中通过传统的传媒方式

电视端口观看的人数与通过新型的传媒方式PC端口观看的人数之比为4:1.将这200人按年龄分组:第1组［15,25),

第2组［25,35),第3组［35,45),第4组［45,55),第5组［55,65),其中统计通过传统的传媒方式电视端口观看的观

众得到的频率分布直方图如图所示

(1)求a的值及通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄

(2)把年龄在第1,2,3组的观众称为青少年组,年龄在第4,5组的观众称为中老年组，若选出的200人中通过新型的传

媒方式PC端口观看的中老年人有12人，请完成下面2X2列联表，则能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为观看

十九大的方式与年龄有关？

通过PC端口观看十九大通过电视端口观看十九大合计

青少年

中老年

合计

附：-------”'-----(其中〃=a+8+c+d样本容量)

(a+/>Nc+d)(a+0助+4)

也

尸（Kb晶”0.1020.05a0.02570.01020.005r0.001。Q

自Q2.706^3.841r5.024r6.635d7.879d10.828rP

r1

18.（12分）大型综艺节目，《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住

后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的•根据调查显示,

是否喜欢盲拧魔方与性别有关•为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如

表（1）所示，并邀请其中20名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如表（2）所示.

喜欢盲拧不喜欢盲拧总计

男2330

女11

总计50

表⑴

成功完成时间（分钟）[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)

人数10442

表(2)

（I）将表（I）补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关?

（n）现从表（2）中成功完成时间在［20,30）和［30,40］这两组内的6名男生中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视

频记录，求2人成功完成时间恰好在同一组内的概率.

n^ad-bey

附参考公式及数据：K2其中〃=a+〃+.

(Q+b)(c+d)(Q+c)(〃+d)

2

P(K>k0)().1()0.050.0250.01()0.005O.(M)1

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.（12分）《基础教育课程改革纲要（试行）》将“具有良好的心理素质”列入新课程的培养目标.为加强心理健康教育

工作的开展，不断提高学生的心理素质，九江市某校高二年级开设了《心理健康》选修课，学分为2分.学校根据学

生平时上课表现给出“合格”与“不合格”两种评价，获得“合格”评价的学生给予41分的平时分，获得“不合格，，评价的学

生给予31分的平时分，另外还将进行一次测验.学生将以“平时分x41%+测验分*81%”作为“最终得分”，“最终得分”

不少于51分者获得学分.

该校高二（1）班选修《心理健康》课的学生的平时分及测验分结果如下：

测验分[31,41)[41,41)[41,51)[51,61)[61,81)[81,91)[91,111)

平时分

41分

人数1113442

平时分

31分

人数1111111

（1）根据表中数据完成如下2x2列联表，并分析是否有94%的把握认为这些学生“测验分是否达到51分”与“平时分”

有关联？

测验分测验分

选修人数合计

达到51分未达到51分

平时分41分

平时分31分

合计

（2）用样本估计总体，若从所有选修《心理健康》课的学生中随机抽取4人，设获得学分人数为求占的期望.

n(ad-be)2,

附：力9=(。+欧c+d)(a+c)3+d)'其中〃=a+"c+d

2

P(K>k)1.11.141.1241.111.1141.Ill

k2.6153.8414.1245.5346.86911.828

20.(12分)“过桥米线”是云南滇南地区特有的一种小吃.在云南某地区“过桥米线”有A,8,C三种品牌的店，其中A品

牌店50家，3品牌店30家，。品牌店20家.

(I)为了加强对食品卫生的监督管理工作，该地区的食品安全管理局决定按品牌对这100家“过桥米线”专营店采用

分层抽样的方式进行抽样调查，被调查的店共有2()家，则&C品牌的店各应抽取多少家？

(H)为了吸引顾客，所有品牌店举办优惠活动：在一个盒子中装有形状、大小相同的4个白球和6个红球.顾客可以

一次性从盒中抽取3个球，若是3个红球则打六折(按原价的60%付费)，2个红球1个白球打八折，1个红球2个白

球则打九折，3个白球则打九六折.小张在该店点了价值100元的食品，并参与了抽奖活动，设他实际需要支付的费用

为X,求X的分布列与数学期望.

21.(12分)已知数列｛4｝满足4=1,4川=4a“+3〃-1,hn=an+n.

(D证明：数列｛〃,｝为等比数列；

(2)求数列｛%｝的前〃项和.

22.(10分)如图所示，在以4B为直径的半圆周上，有异于A3的六个点6,。2，C，直径AB上有异于AB的

四个点•则：

(1)以这12个点(包括A,B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？

(2)以这10个点(不包括A,3)中的3个点为顶点，可作出多少个三角形?

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

由已知可得/一261nx-1>0对任意的x>()恒成立，

^/(x)=x2-2mlnx-l,则尸(x)=2x-冽=—叫,

XX

当机<()时/'(6>0在(0,+8)上恒成立，/(X)在(0,+8)上单调递增,

又〃1)=0,.•.在(0,1)上〃x)<0,不合题意；

当机>0时，可知/(X)在(o,而)单调递减，在(血间单调递增，要使/(x)2(),

在(0,+8)上恒成立，只要/(五)？0,

令g(，w)=j=m-mln/w-l,(m>=-Inm,

可知g(m)在(0,1)上单调递增，在(1,位)上单调递减，

又g(i)=o,；.g(〃?)wo,

.•.g(m)=0,，m=l,故选A.

2、A

【解析】

由已知得3={x|-2<x<l},

因为A={—2—1,01,2},

所以Ac3={-l,0},故选A.

3、D

【解析】

UUUUUU

UUUUUULUUUUtlUULA1八《舄•《公

设向量片鸟与66的夹角为。，计算出向量与々A的坐标，然后由cos6=/卸耦计算出cos。的值，可得

出。的值.

【详解】

ULVIUUUL11

设向量片鸟与66的夹角为。，

UUUUUU

Q4什=(3,1,0)—(1,-1,2)=(2,2,—2),=(0,1,3)-(1,-1,2)=(-1,2,1),

UllUuuu

则cos"端节落=0,所以，。=90,故选D.

《岗产£

【点睛】

本题考查空间向量的坐标运算，考查利用向量的坐标计算向量的夹角，考查计算能力，属于中等题.

4、B

【解析】

分析：求出函数y的导数，结合图象求出函数的递增区间即可.

详解：y，=/'(x)：〃x),

e

由图象得：一］3VxV］1时，/z(x)-/(x)>0,

班/(x).r3IY

故y=—在|递增，

故选：B.

点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查数形结合思想，考查导数的应用，是一道中档题.

5、A

【解析】

平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是-+^+--1.

【详解】

由类比推理得：若平面在X轴、轴、Z轴上的截距分别为兄氏C,则该平面的方程为：-+^+-=1,故选A.

abc

【点睛】

平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体

积•类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令x=0,y=0,看z是否为c.

6、C

【解析】

根据空间向量的数量积等于0,列出方程，即可求解.

【详解】

由空间向量a=(3,1,0),b=(x,—3,1),

又由即a/=3x+lx(-3)+()xl=3x-3=O,解得x=l,故选C.

【点睛】

本题主要考查了空间向量中垂直关系的应用，其中解答中根据,利用向量的数量积等于0,列出方程即可求解,

着重考查了推理与运算能力.

7、B

【解析】

n

首先根据二项展开式的各项系数和g°+C[+C“2+Cn=2"=32,求得〃=5,再根据二项展开式的通项为

(+1=。；(炉)「(_1广,，求得r=2,再求二项展开式中X的系数.

x

【详解】

因为二项展开式的各项系数和c„°+C„'+C„2+=2"=32,所以“=5,

又二项展开式的通项为7；+l=C；(x2)rd)"T=C；x3r,3—5=1,r=2

X

所以二项展开式中x的系数为G?=10.答案选择B.

【点睛】

本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题.

8、B

【解析】

依题意可得，3位实习教师中可能是一男两女或两男一女.若是一男两女，则有种选派方案，若是两男一

女，则有点・。卜4；种选派方案.所以总共有•制+CjC：•看=420种不同选派方案，故选B

9、D

【解析】

第一种抽样是简单随机抽样，简单随机抽样是指从样本中随机抽取一个，其特点是容量不要太多.第二种是系统抽样,

系统抽样就是指像机器一样的抽取物品，每隔一段时间或距离抽取一个.而分层抽样，必需是有明显的分段性，然后

按等比例进行抽取.故选D

10、D

【解析】

由题意结合立体几何的结论逐一考查所给的说法是否正确即可.

【详解】

逐一考查所给的命题：

①如图所示，正方体ABC。—AgG"中，取平面为平面ABCD,平面AOZ^A，直线加为4C，满足

aLp,ma,但是不满足加上尸，题中所给的命题错误;

②由面面垂直的性质定理可知若小_L。，nVa,则/川n,题中所给的命题正确；

③如图所示,正方体ABCD-A与中，取平面a为ABCD,直线加为AA,，直线〃为AC,满足〃?_La,加_L〃,

但是“三2,不满足〃a,题中所给的命题错误；

④由面面垂直的性质定理可知若〃_L。，则用«,题中所给的命题正确.

综上可得：真命题的序号为②④.

本题选择O选项.

【点睛】

本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：

（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；

（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.

11、B

【解析】

首先根据旋转前后的几何体，表示NEEK和a,转化为在两个有公共底边的等腰三角形比较顶角的问题，还需考虑

a=180"和a=0°两种特殊情况.

【详解】

如图，

B

△DEE绕3。旋转形成以圆。为底面的两个圆锥，(0为圆心，OE为半径，。为。尸的中点)，AE'FK=7i-AEFE',

a=7i—Z.EOE,

当a#180且a/0时，AOEE'与等腰△/形石,中，EE为公共边，FE=FE>OE=OE'

:.ZEFE'<ZEOE',

:.ZE'FK>a.

当a=180"时，ZE'FK=a,

当a=0"时，ZE'FK>a,

综上，ZE'FK>a.

C.D选项比较ZEDK与a的大小关系，如图即比较NE'DK与a的大小关系，根据特殊值验证:

又当a=00时，ZE'DK>a,

当a=180°时，AE'DK<a,

・•.C,。都不正确.

故选B.

【点睛】

本题考查了二面角的相关知识，考查空间想象能力，难度较大，本题的难点是在动态的旋转过程中，如何转化NEFK

和a,从而达到比较的目的，或考查a=180"和。=0"两种特殊情况，可快速排除选项.

12、C

【解析】

当x<0时，y=/(x)-av—人=x-ar-8=(l-a)x-b最多一个零点；当x.O时,

y=f(x)-ax-b--^xi-^aJrl)x2+ax-ax-b=^xi+-b,利用导数研究函数的单调性，根据单调

性画函数草图，根据草图可得.

【详解】

当x<()时，y=f(x)-ax-b=x-ax-b=(1-a)x-b=O,得x=-^—；y=/(幻一以一人最多一个零点;

\-a

1,1,1al,

当X..0时，y=f(x)-ax-b=—x3(a+l)x2+ax-ar-Z>=—x3-—(a+l)x--b,

y'=x2-(a+l)x,

当a+L,O,即为-1时，y..O,y=fM-ax-b^[O,+8)上递增，y=/(尤)一④一〃最多一个零点.不合题意;

当。+1>0,即a>—1时，令y'>0得xw[a+l,+吟，函数递增，令了<0得xe[O,a+Y),函数递减；函数最

多有2个零点；

根据题意函数y=/(x)-办一匕恰有3个零点=函数y=/(x)-办-6在(-8,0)上有一个零点，在[0,e)上有2

个零点，

如图：

(~b>0

•••—<o且h,1,

\-a-(a+l)3--(a+l)(a+l)2-^<0

.,1a

解得Z?v0,1—tz>0,0>Z?>—(a+1)-a>—1♦

遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及。力两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程

中有可能分类不全面、不彻底.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、V2

【解析】

利用二倍角公式得出cosA=3,再利用正弦定理转化2sin8=sinC,后用余弦定理求得£=正，再利用正弦定理

4b

即可

【详解】

3

由3sinA=2sin2A得，3sinA=2(2sin4cosA),二cosA=[

2sin3=sinC,根据正弦定理可得，2b=c,

7,22_2b2+(2bf-a2_3

根据余弦定理cosA=

2hc2b(2b)--4

b

sinAsinA

【点睛】

本题考查解三角形中正弦定理进行边角转化，余弦定理求角，以及三角形中两角和正弦与第三角正弦的关系

出孙）WR，使得云+2%+100

【解析】

直接利用全称命题的否定得解.

【详解】

/+2%+1＞。"的否定是：“*eR，使得-20+1.三o"

【点睛】

本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题.

【解析】

根据题意画出圆锥的轴截面图形，结合图形求出圆锥的底面圆半径和高，再计算圆锥的体积.

【详解】

如图所示,

圆锥的母线/=10an,母线与旋转轴的夹角为30。，

圆锥的底面圆半径为r=/sin30°=10xl=5cm

2

高为〃=/cos30°=10x

二・该圆锥的体积为V=—/rr2h=--zr-52・56=125心兀(病.

333

125信

故答案为:

3

【点睛】

本题考查圆锥的体积计算及圆锥侧展图，考查空间想象能力和运算求解能力.

“35

16、—

x

【解析】

T^=(-1)rCy-2r,r必须为偶数，分别令r=0,2,4,6,经过比较即可得出

【详解】

配尸=(-iy/2,,

r必须为偶数，分别令r=0,2,4,6,

其系数分别为：LC-

经过比较可得：r=4时满足条件，T=C^X''=—

5x

35

故答案为：—.

x

【点睛】

卫35本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

x

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、见解析；(2)见解析

【解析】

分析：(1)由频率分布直方图的性质，可得”=().035,进而可求得通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均

年龄；

(2)由题意得2x2列联表，利用公式计算K?的值，即可作出判断.

详解：(1)由频率分布直方图可得：10x(0.01+0.015+4+0.03+0.01)=1,解得。=0.035

所以通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄为：

20x10x0.01+30x10x0.015+40x10x0.035+50x10x0.03+60x10x0.01=41.5

(2)由题意得2X2列联表：

通过PC端口观看十九大通过电视端口观看十九大合计

青少年2896124

中老年126476

合计40160200

计算得K的观测值为&=200x(28*64-12x96尸至j3582<2.706,

40x160x124x76

所以不能在犯错误的概率不超过().1的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关.

点睛：本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及独立性检验的应用问题，其中熟记频率发布直方图的性质和准确

计算K2的值是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

7

18.(I)详见解析；(II)—.

【解析】

(I)根据总人数和表格中的数据可以完成，计算卡方观测值，结合卡方观测值所在区间判定；

(n)根据古典概型的求解方法求解.

【详解】

解：(I)依题意，补充完整的表1如下：

喜欢盲拧不喜欢盲拧总计

男23730

女91120

总计321850

由表中数据计算K-的观测值为K2=50x(23x11—7x9)-2^侬,5,024

30x20x32x18

所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关.

(II)从成功完成时间在［20,30)和［30,40］这两组内的6名男生中任意抽取2人，基本事件总数为=以种)，

这2人恰好在同一组内的基本事件为=6+1=7(种)，

7

故所求的概率为「=百.

【点睛】

本题主要考查独立性检验和古典概率的求解，侧重考查数据分析，数学建模和数学运算的核心素养.

19、（1）有94%的把握认为学生”测验分是否达到51分”与“平时分”有关联；（2）4

【解析】

（1）根据数据填表，然后计算力。可得结果.

（2）根据计算，可得未获得分数的人数，然后可知获得分数的概率，依据二项分布数学期望的计算方法，可得结果.

【详解】

解：（1）根据表中数据统计，可得2x2列联表

测验分

选修人数达到51分未达到51分合计

平时分41分13214

平时分31分234

合计14421

220x(13x3-2x2)2

r=----------------»4.356

15x5x15x5

Q4.356>3.841,

.•.有94%的把握认为学生“测验分是否达到51分”与“平时分”有关联

（2）分析学生得分，50x40%+50x80%=60,

30x40%+60x80%=60,

平时分41分的学生中测验分只需达到41分，

而平时分31分的学生中测验分必须达到51分，才能获得学分

平时分41分的学生测验分未达到41分的只有1人，

平时分31分的学生测验分未达到51分的有3人

•••从这些学生中随机抽取1人，

44

该生获得学分的概率为1-万=1

Q…（50，...Eg=5x[=4.

【点睛】

本题考查统计量/的计算以及二项分布，第（2）问中在于理解理解题意，细心计算，属基础题.

20、(I)B品牌店6家，应抽查C品牌店4家；(U)分布列见解析，£(X)=80.2

【解析】

(1)根据分层抽样每层按比例分配，即可求解；

(2)求出随机变量X的可能取值，并求出相应的概率，即可得到分布列，进而根据期望公式求解.

【详解】

30

(I)由题意得，应抽查3品牌店一x20=6家,

100

20

应抽查C品牌店面x20=4家;

(n)离散型随机变量X的可能取值为60,80,90,96.

_2°p（x=80）_4xl5_1

于是P(X=60)