人教版九年级数学下册同步讲义 第10课 锐角三角函数（原卷版+解析）

第10课锐角三角函数目标导航目标导航课程标准1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；

2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；

3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.知识精讲知识精讲知识点01锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的，也叫做∠B的，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的，也是∠A的，直角C所对的边AB记为c，叫做．

锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作，即EMBEDEquation.DSMT4；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作，即EMBEDEquation.DSMT4；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作，即EMBEDEquation.DSMT4.同理EMBEDEquation.DSMT4；EMBEDEquation.DSMT4；EMBEDEquation.DSMT4．

要点诠释：

(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值，角的度数变化时，比值也随之．

(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，

，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成

“tanAEF”；另外，、、常写成、、．

(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．

(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，．知识点02特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°45°60°要点诠释：

(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．

(2)仔细研究表中数值的规律会发现：

、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：

①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而；

②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而．

知识点02锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)互余关系：，；

(2)平方关系：；

(3)倒数关系：或；

(4)商数关系：．

要点诠释：

锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．

能力拓展能力拓展考法01锐角三角函数值的求解策略【典例1】如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是()A．2 B． C． D．【即学即练1】在中，，若，，则，，，，．考法02特殊角的三角函数值的计算【典例2】求下列各式的值：(1)6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°；(3)+tan60°﹣．【即学即练2】在中，，若∠A=45°，则，，，，．考法03锐角三角函数之间的关系【典例3】已知△ABC中的∠A与∠B满足(1﹣tanA)2+|sinB﹣|=0(1)试判断△ABC的形状．(2)求(1+sinA)2﹣2﹣(3+tanC)0的值．考法04锐角三角函数的拓展探究与应用【典例4】如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，若弦CD＝6，试求cos∠APC的值．【典例5】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．分层提分分层提分题组A基础过关练1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是()A． B． C． D．2.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是() A．2 B． C． D． 3.已知锐角α满足sin25°＝cosα，则α＝()A．25°B．55°C．65°D．75°4．如图所示，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为()A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是()A．B．C．D．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值()A．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．不变7．如图所示是教学用具直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，则边BC的长为()A．cmB．cmC．cmD．cm8.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为()A．B．C．D．题组B能力提升练9．如图，点A(3，t)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是．10.用不等号连接下面的式子．(1)cos50°________cos20°(2)tan18°________tan21°11．在△ABC中，若，∠A、∠B都是锐角，则∠C的度数为.12．如图所示，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝________．13．已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP＝1，则tan∠BPC的值是________．第12题第15题14．如果方程的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC的最小角为A，那么tanA的值为________．15．如图所示，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为(2，0)，点B的坐标是(0，2)，直线AC的解析式为，则tanA的值是________．16.若α为锐角，且，则m的取值范围是．题组C培优拔尖练17．如图所示，△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值．18.计算下列各式的值．(1)；(2)sin45°+tan45°﹣2cos60°．(3)﹣cos60°．19．如图所示，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．(1)求证：AB＝DF；(2)若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF的值．20.如图所示，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B、C两点除外)．(1)求∠BAC的度数；(2)求△ABC面积的最大值．(参考数据：，，．第10课锐角三角函数目标导航目标导航课程标准1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；

2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；

3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.知识精讲知识精讲知识点01锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．

锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.同理；；．

要点诠释：

(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．

(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，

，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成

“tanAEF”；另外，、、常写成、、．

(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．

(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0．知识点02特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°45°160°要点诠释：

(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．

(2)仔细研究表中数值的规律会发现：

、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：

①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；

②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．

知识点02锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)互余关系：，；

(2)平方关系：；

(3)倒数关系：或；

(4)商数关系：．

要点诠释：

锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．

能力拓展能力拓展考法01锐角三角函数值的求解策略【典例1】如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是()A．2 B． C． D．【思路点拨】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【答案】D．【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．【即学即练1】在中，，若，，则，，，，．【答案】5，，，，．考法02特殊角的三角函数值的计算【典例2】求下列各式的值：(1)6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°；(3)+tan60°﹣．【答案与解析】解：(1)原式==．(2)原式=×﹣4×()2+×=﹣3+=；(3)原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．【即学即练2】在中，，若∠A=45°，则，，，，．【答案】45°，，，，．考法03锐角三角函数之间的关系【典例3】已知△ABC中的∠A与∠B满足(1﹣tanA)2+|sinB﹣|=0(1)试判断△ABC的形状．(2)求(1+sinA)2﹣2﹣(3+tanC)0的值．【答案与解析】解：(1)∵|1﹣tanA)2+|sinB﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC是锐角三角形；(2)∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=(1+)2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．考法04锐角三角函数的拓展探究与应用【典例4】如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，若弦CD＝6，试求cos∠APC的值．【答案与解析】连结AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACP＝90°，又∵∠B＝∠D，∠PAB＝∠PCD，∴△PCD∽△PAB，∴．又∵CD＝6，AB＝10，∴在Rt△PAC中，．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC，由AB是⊙O的直径得∠ACB＝90°，，PC、PA均为未知，而已知CD＝6，AB＝10，可考虑利用△PCD∽△PAB得．【典例5】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．【答案与解析】(1)1；(2)0＜sadA＜2；(3)如图2所示，延长AC到D，使AD＝AB，连接BD．设AD＝AB＝5a，由得BC＝3a，∴，∴CD＝5a-4a＝a，，∴．【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA＝1；(2)在图①中设想AB＝AC的长固定，并固定AB让AC绕点A旋转，当∠A接近0°时，BC接近0，则sadA接近0但永远不会等于0，故sadA＞0，当∠A接近180°时，BC接近2AB，则sadA接近2但小于2，故sadA＜2；(3)将∠A放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．分层提分分层提分题组A基础过关练1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是()A． B． C． D．【答案】C.【解析】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，sinB=，∵AD⊥BC，∴sinB=，sinB=sin∠DAC=，综上，只有C不正确故选：C．2.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是() A．2 B． C． D． 【答案】D；【解析】如图：由勾股定理得，AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．3.已知锐角α满足sin25°＝cosα，则α＝()A．25°B．55°C．65°D．75°【答案】C；【解析】由互余角的三角函数关系，，∴sin25°-sin(90°-α)，即90°-α＝25°，∴α＝65°．4．如图所示，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为()A．B．C．D．【答案】C；【解析】设⊙A交x轴于另一点D，连接CD，根据已知可以得到OC＝5，CD＝10，∴，∵∠OBC＝∠ODC，∴．5．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是()A．B．C．D．【答案】D；【解析】如图所示，过点C作CD⊥AB于D，∵∠BAC＝120°，∴∠CAD＝60°，又∵AC＝2，∴AD＝1，CD＝，∴BD＝BA+AD＝5，在Rt△BCD中，，∴．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值()A．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．不变【答案】D；【解析】根据锐角三角函数的定义，锐角三角函数值等于相应边的比，与边的长度无关，而只与边的比值或角的大小有关．7．如图所示是教学用具直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，则边BC的长为()A．cmB．cmC．cmD．cm【答案】C；【解析】由，∴8.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为()A．B．C．D．【答案】A；【解析】∵，∴题组B能力提升练9．如图，点A(3，t)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是．【答案】．【解析】过点A作AB⊥x轴于B，∵点A(3，t)在第一象限，∴AB=t，OB=3，又∵tanα===，∴t=．故答案为：．10.用不等号连接下面的式子．(1)cos50°________cos20°(2)tan18°________tan21°【答案】(1)＜；(2)＜；【解析】当α为锐角时，其余弦值随角度的增大而减小，∴cos50°＜cos20°；当α为锐角时，其正切值随角度的增大而增大，∴tan18°＜tan21°．11．在△ABC中，若，∠A、∠B都是锐角，则∠C的度数为.【答案】105°；【解析】∵，∴，即，．又∵∠A、∠B均为锐角，∴∠A＝45°，∠B＝30°，在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝105°．12．如图所示，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝________．【答案】；【解析】假设每一个小正方形的边长为1，利用网格，从C点向AB所在直线作垂线CH．垂足为H，则∠A在直角△ACH中，利用勾股定理得，∴．13．已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP＝1，则tan∠BPC的值是________．第12题第15题【答案】2或【解析】此题为无图题，应根据题意画出图形，如图所示，由于点P是直线CD上一点，所以点P既可以在边CD上，也可以在CD的延长线上，当P在边CD上时，；当P在CD延长线上时，．14．如果方程的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC的最小角为A，那么tanA的值为________．【答案】或；【解析】由得，，①当3为直角边时，最小角A的正切值为；②当3为斜边时，另一直角边为，∴最小角A的正切值为.故应填或．15．如图所示，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为(2，0)，点B的坐标是(0，2)，直线AC的解析式为，则tanA的值是________．【答案】；【解析】由△ABC的内心在y轴上可知OB是∠ABC的角平分线，则∠OBA＝45°，易求AB与x轴的交点为(-2，0)，所以直线AB的解析式为：，联立可求A点的坐标为(-6，-4)，∴，又OC＝OB＝2，∴BC＝．在Rt△ABC中，．16.若α为锐角，且，则m的取值范围是．【答案】；【解析】∵0＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得.题组C培优拔尖练17．如图所示，△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，求∠CDA的正弦值、余弦值和正切