连续梁的矩阵位移法

关于连续梁的矩阵位移法

结构矩阵分析方法的广泛应用是近年来结构力学最重要的发展之一，这与计算机技术的迅速发展有直接的关系。它是以传统的结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表述形式，以电子计算机作为计算手段的三位一体的方法。

一、结构矩阵分析方法§

3.1概述

结构矩阵分析方法的基本思想是：把整个结构看作是由若干单个杆件(称为单元)所组成的集合体。

1）单元分析：在进行分析时，首先把结构拆散成有限数目的杆件单元（结构的离散化），写出各单元杆端的力与位移两者的关系式；

2）整体分析：即将这些单元再集合一起，使其满足平衡条件和位移连续条件也就是保证离散化了的杆件单元重新集合后仍恢复为原结构；

3）解方程组：求出结构的结点位移和内力。第2页,共30页，2024年2月25日，星期天二、结构矩阵分析方法的分类

矩阵位移法又分为刚度法和直接刚度法。两者的基本原理并无本质的区别，只是在形成所谓整体刚度矩阵时使用的方法不同。直接刚度法比较简便得多，因此得到广泛的应用。这里就只介绍矩阵位移法中的直接刚度法。

与传统的力法、位移法和混合法对应，也有矩阵力法、矩阵位移法和矩阵混合法。矩阵位移法具有易于实现计算过程程序化的优点而被广泛应用，我们主要介绍矩阵位移法。

三、矩阵位移法的基本思路

矩阵位移法的作法同上所述：是先把结构拆散成有限数目的杆件单元进行单元分析而后进行整体分析也就是将这些单元再集合一起，使其满足平衡条件和位移连续条件恢复为原结构。第3页,共30页，2024年2月25日，星期天基本思路及过程

矩阵位移法分析问题的过程是，首先进行离散化和单元分析，然后进行整体分析，考虑单元的集合得出基本方程组，通过解线性方程组求出结构的位移并求出结构的内力。分析过程：

1．对结构的结点和单元进行编号；

2．进行结构的离散化：将结构拆成两个杆件单元①和②；

3．进行单元分析：建立单元刚度矩阵；

4．进行整体分析：将离散化的各单元重新集合，满足原结构的平衡条件和位移连续条件，而得到整体刚度方程。我们利用已求得的各单元刚度矩阵形成整体刚度矩阵。形成整体刚度矩阵的方法，以直接刚度法最为常用。总结为：“化整为零，积零为整”第4页,共30页，2024年2月25日，星期天123①②i1i2xy1①i12②i23单元①：单元②:由位移连续条件得：§

3.2连续梁的单元刚度矩阵第5页,共30页，2024年2月25日，星期天由结点平衡条件：再将(d)式代入，得：即为位移法方程引入矩阵形式（式a、b)可写为：第6页,共30页，2024年2月25日，星期天其中：------称为单元刚度矩阵。矩阵中的各元素称为单元刚度影响系数。------称为单元杆端力列阵。简写为：------称为单元刚度方程------称为单元杆端位移列阵。第7页,共30页，2024年2月25日，星期天将方程组也用矩阵表示：简写为：------称为整体刚度方程------称为整体刚度矩阵------为结点位移列阵------为结点力（荷载）列阵§

3.3整体刚度矩阵第8页,共30页，2024年2月25日，星期天结构刚度矩阵的性质：1、对称性：结构刚度矩阵是一个对称矩阵，即位于主对角线两边对称位置的两个元素是相等的。3、结构刚度矩阵是一带状矩阵。2、由于连续梁结构为几何不变体系，因此其整体刚度矩阵为非奇异矩阵。第9页,共30页，2024年2月25日，星期天

综上所述，可将直接刚度法的解算步骤归纳如下：

(1)将结点和单元进行编号；选择结构坐标系和局部坐标系。

(2)把所有结点力沿结构坐标系分解；建立结点位移列向量和结点力列向量(两者的分量要一一对应)。

(3)计算结构坐标系中各单元刚度矩阵的四个子块。

(4)将各单元刚度矩阵的四个子块，按其两个下标在结构原始刚度矩阵中“对号入座”。

(5)根据边界条件修改结构原始刚度矩阵计算自由结点位移。

(6)计算在结构坐标系中由杆端位移产生的杆端力；再计算单元在局部坐标系中的杆端力。

(7)计算支座反力。

(8)校核。第10页,共30页，2024年2月25日，星期天§3.4非结点荷载的处理

以上关于矩阵位移法的讨论，是说结构的结点位移作为基本未知量。在讨论中，我们只考虑了作用结点荷载的情况。由此所得到的矩阵位移法基本方程，即整体刚度方程，表述了结点位移和给点荷裁的关系。而实际上，不论是恒载还是活载常常是作用在杆件单元上的均布荷载、分布荷载或集中荷载。对于这种非结点荷载的处理，一种方法是，不论均布或分布荷载都适当地改用若干集中荷载加以代替，并把集中荷载的作用点也看作结点。这样处理的结果是，加多了单元和结点位移，从而增加了计算工作量。另一种则是目前通用的处理方法，即采用所谓的等效结点荷载。举例说明如下：第11页,共30页，2024年2月25日，星期天1、在施加荷载之前先在结点处各加上一个刚臂用以限制结点角位移，这样，单元即成为固端梁，而后施加荷载。由于荷载作用，在各杆端将产生固端剪力和固端弯矩。2、在原结构的结点处分别施加与约束反力数值相等、方向相反的外力、，将两种情况进行叠加，就可得到原来的荷载作用情况。12=12+12=a)b)c)

、称为单元的等效结点荷载(这里所识“等效”，是指图c与图a两种情况的结点位移是相等的，因为图b情况的结点位移为零)。第12页,共30页，2024年2月25日，星期天

结构全部荷载的处理方法与刚度矩阵类似：首先，针对每一单元的非结点荷载建立单元等效结点荷载列矩阵；然后，遵循对号入座的方式，建立结构整体等效结点荷载列矩阵；最后，将结构直接作用在结点上的结点荷载矩阵与结构等效结点荷载矩阵相加，得到整个结构全部的荷载矩阵。

有非结点荷载作用时的单元杆端力，可以由两部分叠加而得：一部分是结点受有约束、各杆件为固端梁情况下的杆端力(固端力)，另部分是综合结点荷载作用下的杆端力，即第13页,共30页，2024年2月25日，星期天§3.5

直接刚度法的解题步骤和算例直接刚度法中后处理作法的解题步骤：

1．对各单元和结点进行编号

2．计算整体坐标系的单元刚度矩阵。

3．将各单元刚度矩阵的子块“对号入座”形成整体刚度矩阵。

4．计算总的荷载列阵，建立整体刚度方程。

5．引入支承条件，修改整体刚度矩阵和整体刚度方程。

6．解整体刚度方程求各结点位移。

7．计算各单元的杆端力，并进一步求各单元的其它内力。。

8．校核。第14页,共30页，2024年2月25日，星期天例1:计算图示梁,作弯矩图解:1.离散化12123(1)(2)(3)2.计算总刚,总荷3.解方程,求位移4.求杆端力67/21/23M第15页,共30页，2024年2月25日，星期天M063

五.(零位移)边界条件处理方法:先处理法后处理法12123(1)(2)(3)后处理法:置0置1法乘大数法(1)置0置1法00010作弯矩图练习:第16页,共30页，2024年2月25日，星期天作弯矩图练习:123(1)(2)(3)12M1/2121第17页,共30页，2024年2月25日，星期天12123(1)(2)(3)

五.(零位移)边界条件处理方法:先处理法后处理法后处理法:置0置1法乘大数法(1)置0置1法(2)乘大数法若,则将总刚主对角元素乘以大数N.第三个方程变为:第18页,共30页，2024年2月25日，星期天EI作业:1.作图示结构弯矩图2.推导图示单元的单刚l3.计算图示梁总刚中元素l2l3l2llEI2EI3EI4EI5EI4.思考题

(1).连续梁的总刚为何应是一个三对角矩阵?(2).荷载不作用于结点上时怎么办?(3).连续梁单刚和总刚是奇异还是非奇异矩阵?第19页,共30页，2024年2月25日，星期天例题2矩阵位移法解图示梁,作M图.解:1.离散化1234123(1)(2)(3)(4)2.求总刚第20页,共30页，2024年2月25日，星期天1234123(1)(2)(3)(4)例题2矩位移法解图示梁,作M图.解:1.离散化2.求总刚3.求总荷21第21页,共30页，2024年2月25日，星期天例题2矩位移法解图示梁,作M图.1234123(1)(2)(3)(4)解:1.离散化2.求总刚3.求总荷4.边界条件处理第22页,共30页，2024年2月25日，星期天1234123(1)(2)(3)(4)例题2矩位移法解图示梁,作M图.解:1.离散化2.求总刚3.求总荷4.边界条件处理5.解方程6.求杆端力第23页,共30页，2024年2月25日，星期天例题2矩位移法解图示梁,作M图.1234123(1)(2)(3)(4)解:1.离散化2.求总刚3.求总荷4.边界条件处理5.解方程6.求杆端力7.作M图1.2927.4319.439.71第24页,共30页，2024年2月25日，星期天边界条件的先处理法解:1.离散化1234123(1)(2)(3)(4)2.求总刚1234123(0)(1)(2)(0)3+8448+34.解方程先处理法后处理法其它过程同后处理法3.求总荷第25页,共30页，2024年2月25日，星期天九.

无结点线位移的刚架计算1(0)2(1)3(2)4(0)123解:1.离散化2.求总刚3.求总荷2312第26页,共30页，2024年2月25日，星期天1(0)2(1)3(2)4(0)123九.

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