试验设计方法

关于试验设计方法2①例如：为了提高产量，提高某有效成分的收率，改善产品的质量而进行的改变原料配比和工程条件试验；②在试验农场，为了掌握作物取得最高产量和提高产品质量所需要的栽培条件而进行的品种对比试验，施肥对比试验、农药效果对比试验……等。这些试验的目的是一样的，都要弄清楚试验过程中自变量对于因变量的影响的大小和趋势，有时还要寻找其最佳条件。第2页,共193页，2024年2月25日，星期天35.1概述

在工业生产和科学研究的实践中，所需要考察的因素往往很多，而且因素的水平数也常常多于2个，若对每个因素的每个水平都相互搭配进行全面实验，试验次数是惊人的，如：对于3因素4水平的试验，若在每个因素的每个水平搭配上只作一次试验，就要做

次试验。第3页,共193页，2024年2月25日，星期天4对于4因素4水平的试验，全面实验次数至少为次，对于5因素4水平的全面实验次数至少为次。可见，因素的增加，试验次数增加很快。用正交试验，可以大大减少，而且统计分析的计算也将变得简单。正交试验设计简称正交设计，它是利用正交表科学地安排与分析多因素试验的方法，是最常用的试验设计方法之一。第4页,共193页，2024年2月25日，星期天51、试验设计方法常用的术语：试验指标：作为试验研究过程的因变量，常为试验结果特征的量（如收率、纯度等），见下图。因素：作为试验研究过程的自变量，常常是造成试验指标按某种规律发生变化的那些原因。如图所列的成分、温度等。常用C，T等符号表示。第5页,共193页，2024年2月25日，星期天6水平：试验中因素所处的具体状态或情况，又称为等级。举例

第6页,共193页，2024年2月25日，星期天75.2正交试验设计方法简介正交试验设计方法的优点和特点：用正交表安排多因素试验的方法，称为正交试验设计法。我国60年代开始使用，70年代得到推行。第7页,共193页，2024年2月25日，星期天8此方法的特点：完成试验要求所需的实验次数少。数据上的分布很均匀；可用相应的极差分析方法、方差分析方法、回归分析方法等对试验结果进行分析，引出许多有价值的结论。第8页,共193页，2024年2月25日，星期天9例5-1

某化工厂想提高某化工产品的质量和产量，对工艺中三个主要因素各按三个水平进行试验（见表5-1）。试验的目的是为提高合格产品的产量，寻求最适宜的操作条件。对此实例该如何进行试验方案的设计呢？第9页,共193页，2024年2月25日，星期天10很容易想到的是全面搭配法方案：第10页,共193页，2024年2月25日，星期天11很容易想到的是全面搭配法方案：第11页,共193页，2024年2月25日，星期天12此方案数据点分布的均匀性极好，因素和水平的搭配十分全面，唯一的缺点是实验次数多达

次（指数3代表3个因素，底数3代表每因素有3个水平）。因素、水平数愈多，则实验次数就愈多，例如，做一个6因素3水平的试验，就需

次实验，显然难以做到。因此需要寻找一种合适的试验设计方法。第12页,共193页，2024年2月25日，星期天13常用的试验设计方法有：正交试验设计法、均匀试验设计法、单纯形优化法、双水平单纯形优化法、回归正交设计法、序贯试验设计法等。可供选择的试验方法很多，各种试验设计方法都有其一定的特点。所面对的任务与要解决的问题不同，选择的试验设计方法也应有所不同。第13页,共193页，2024年2月25日，星期天145．3正交试验设计方法的优点和特点用正交表安排多因素试验的方法，称为正交试验设计法。其特点为：①完成试验要求所需的实验次数少。②数据点的分布很均匀。③可用相应的极差分析方法、方差分析方法、回归分析方法等对试验结果进行分析，引出许多有价值的结论。第14页,共193页，2024年2月25日，星期天15从例1可看出，采用全面搭配法方案，需做27次实验。那么采用简单比较法方案又如何呢？先固定T1和p1，只改变m，观察因素m不同水平的影响，做了三次实验，发现m＝m2时的实验效果最好，合格产品的产量最高，因此认为在后面的实验中因素m应取m2水平。固定T1和m2，改变p的三次实验，发现p＝p３时的实验效果最好，因此认为因素p应取p３水平。

固定p３和m2，改变T

的三次实验，发现因素T宜取T2水平。第15页,共193页，2024年2月25日，星期天16因此可以引出结论：为提高合格产品的产量，最适宜的操作条件为T2p３m2。与全面搭配法方案相比，简单比较法方案的优点是实验的次数少，只需做9次实验。但必须指出，简单比较法方案的试验结果是不可靠的。运用正交试验设计方法，不仅兼有上述两个方案的优点，而且实验次数少，数据点分布均匀，结论的可靠性较好。第16页,共193页，2024年2月25日，星期天17正交试验设计方法：正交试验设计方法是用正交表来安排试验的。对于例1适用的正交表是L9（34），其试验安排见表5-2。第17页,共193页，2024年2月25日，星期天18第18页,共193页，2024年2月25日，星期天19所有的正交表与L9（34）正交表一样，都具有以下两个特点：

（1）在每一列中，各个不同的数字出现的次数相同。在表L9（34）中，每一列有三个水平，水平1、2、3都是各出现3次。

第19页,共193页，2024年2月25日，星期天20（2）表中任意两列并列在一起形成若干个数字对，不同数字对出现的次数也都相同。在表L9（34）中，任意两列并列在一起形成的数字对共有9个：（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2），（3,3），每一个数字对各出现一次。第20页,共193页，2024年2月25日，星期天21这两个特点称为正交性。正是由于正交表具有上述特点，就保证了用正交表安排的试验方案中因素水平是均衡搭配的，数据点的分布是均匀的。因素、水平数愈多，运用正交试验设计方法，愈发能显示出它的优越性，如上述提到的6因素3水平试验，用全面搭配方案需729次，若用正交表L27（313）来安排，则只需做27次试验。第21页,共193页，2024年2月25日，星期天22在化工生产中，因素之间常有交互作用。如果上述的因素T的数值和水平发生变化时，试验指标随因素p变化的规律也发生变化，或反过来，因素p的数值和水平发生变化时，试验指标随因素T变化的规律也发生变化。这种情况称为因素T、p间有交互作用，记为T×P。第22页,共193页，2024年2月25日，星期天235.4正交表使用正交设计方法进行试验方案的设计，就必须用到正交表.5.4.1各列水平数均相同的正交表各列水平数均相同的正交表，也称单一水平正交表。这类正交表名称的写法举例如下：第23页,共193页，2024年2月25日，星期天24什么是正交表？正交表本身只是数学的含义【整齐可比性】：每一列中所有数字出现的次数是相等的。【均衡分散性】：任意两列间横向组合的数字对搭配次数也是相等的。正交表是运用组合数学理论构造的一种规格化的表格。第24页,共193页，2024年2月25日，星期天25关于正交的直观印象数据点分布是均匀的；每一个面都有3个点；每一条线都有1个点；第25页,共193页，2024年2月25日，星期天26正交表的记号及含义正交表是一种特别的表格，是正交设计的基本工具。我们只介绍它的记号、特点和使用方法。第26页,共193页，2024年2月25日，星期天27

记号及含义正交表的列数（最多能安排的因素个数，包括交互作用、误差等）正交表的行数（需要做的试验次数）各因素的水平数（各因素的水平数相等）q正交表的代号第27页,共193页，2024年2月25日，星期天28如表示？表示各因素的水平数为2，做8次试验，最多考虑7个因素（含交互作用）的正交表。第28页,共193页，2024年2月25日，星期天29

正交表的特点1、正交表中任意一列中，不同的数字出现的次数相等；表示：在试验安排中，所挑选出来的水平组合是均匀分布的（每个因素的各水平出现的次数相同）

——整齐可比性2、正交表中任意两列，把同行的两个数字看成有序数对时，所有可能的数对出现的次数相同。表示：任意两因素的各种水平的搭配在所选试验中出现的次数相等

——均衡分散性这是设计正交试验表的基本准则

第29页,共193页，2024年2月25日，星期天30

正交试验设计的基本步骤

确定目标、选定因素（包括交互作用）、确定水平；2.选用合适的正交表；3.按选定的正交表设计表头，确定试验方案；4.组织实施试验；5.试验结果分析。第30页,共193页，2024年2月25日，星期天31一个例子某化工厂想提高某化工产品的质量和产量，对工艺中三个主要因素各按三个水平进行试验。试验的目的是为提高合格产品的产量，寻求最适宜的操作条件水平因素温度℃压力MPa加碱量kg符号Tpm123T1(80)T2(100)T3(120)P1(5.0)P2(6.0)P3(7.0)M1(2.0)M2(2.5)M3(3.0)第31页,共193页，2024年2月25日，星期天32如何安排试验？全组合方法T1T2T3P1P2P3m1m1m127组第32页,共193页，2024年2月25日，星期天33如何安排试验？正交试验设计－用正交表L9（34）序号列号1234ABC123456789111222333123123123123231312123312231第33页,共193页，2024年2月25日，星期天34正交表本身只是数学的含义【整齐可比性】：每一列中所有数字出现的次数是相等的【均衡分散性】：任意两列间横向组合的数字对搭配次数也是相等的正交表是运用组合数学理论构造的一种规格化的表格第34页,共193页，2024年2月25日，星期天35三因素三水平，选用正交表L9（34）T1T2T3P1P2P3m1m1m1？？第35页,共193页，2024年2月25日，星期天36用正交表安排试验正交试验设计－用正交表L9（34）试验号列号1234因素TPm（空缺）123456789T1T1T1T2T2T2T3T3T3P1P2P3P1P2P3P1P2P3m1m2m3m2m3m1m3m1m21233122319组第36页,共193页，2024年2月25日，星期天37列号

试验号123试验指标yi1234112212121221Y1Y2Y3Y4K1j

K2j

nK1=K1j/

nK2=K2j/

n

极差Y1+Y2Y3+Y42K1/nK1/nmax{}-min{}Y1+Y3Y2+Y42K2/nK2/nmax{}-min{}Y1+Y4Y2+Y32K3/nK3/nmax{}-min{}第37页,共193页，2024年2月25日，星期天38各列水平均为2的常用正交表有：L4（23），L8（27），L12（211），L16（215），L20（219），L32（231）。各列水平数均为3的常用正交表有：L9（34），L27（313）。各列水平数均为4的常用正交表有：L16（45）各列水平数均为5的常用正交表有：L25（56）第38页,共193页，2024年2月25日，星期天395.5混合水平正交表各列水平数不相同的正交表，叫混合水平正交表，下面就是一个混合水平正交表名称的写法：

L8（41×24）常简写为L8（4×24）。此混合水平正交表含有1个4水平列，4个2水平列，共有1＋4＝5列。第39页,共193页，2024年2月25日，星期天405.6选择正交表的基本原则一般都是先确定试验的因素、水平和交互作用，后选择适用的L表。在确定因素的水平数时，主要因素宜多安排几个水平，次要因素可少安排几个水平。

（1）先看水平数。若各因素全是2水平，就选用L(2＊)表；若各因素全是3水平，就选L(3＊)表。若各因素的水平数不相同，就选择适用的混合水平表。第40页,共193页，2024年2月25日，星期天41

（2）每一个交互作用在正交表中应占一列或二列。要看所选的正交表是否足够大，能否容纳得下所考虑的因素和交互作用。为了对试验结果进行方差分析或回归分析，还必须至少留一个空白列，作为“误差”列，在极差分析中要作为“其他因素”列处理。

（3）要看试验精度的要求。若要求高，则宜取实验次数多的L表。第41页,共193页，2024年2月25日，星期天42

（4）若试验费用很昂贵，或试验的经费很有限，或人力和时间都比较紧张，则不宜选实验次数太多的L表。

（5）按原来考虑的因素、水平和交互作用去选择正交表，若无正好适用的正交表可选，简便且可行的办法是适当修改原定的水平数。第42页,共193页，2024年2月25日，星期天43（6）对某因素或某交互作用的影响是否确实存在没有把握的情况下，选择L表时常为该选大表还是选小表而犹豫。若条件许可，应尽量选用大表，让影响存在的可能性较大的因素和交互作用各占适当的列。某因素或某交互作用的影响是否真的存在，留到方差分析进行显著性检验时再做结论。这样既可以减少试验的工作量，又不致于漏掉重要的信息。第43页,共193页，2024年2月25日，星期天445．7正交试验的操作方法（1）分区组。对于一批试验，如果要使用几台不同的机器，或要使用几种原料来进行，为了防止机器或原料的不同而带来误差，从而干扰试验的分析，可在开始做实验之前，用L表中未排因素和交互作用的一个空白列来安排机器或原料。与此类似，若试验指标的检验需要几个人（或几台机器）来做，为了消除不同人（或仪器）检验的水平不同给试验分析带来干扰，也可采用在L表中用一空白列来安排的办法。这样一种作法叫做分区组法。第44页,共193页，2024年2月25日，星期天45

（2）因素水平表排列顺序的随机化。如在例5-1中，每个因素的水平序号从小到大时，因素的数值总是按由小到大或由大到小的顺序排列。按正交表做试验时，所有的1水平要碰在一起，而这种极端的情况有时是不希望出现的，有时也没有实际意义。因此在排列因素水平表时，最好不要简单地按因素数值由小到大或由大到小的顺序排列。从理论上讲，最好能使用一种叫做随机化的方法。所谓随机化就是采用抽签或查随机数值表的办法，来决定排列的。第45页,共193页，2024年2月25日，星期天46

（3）试验进行的次序没必要完全按照正交表上试验号码的顺序。为减少试验中由于先后实验操作熟练的程度不匀带来的误差干扰，理论上推荐用抽签的办法来决定试验的次序。

（4）在确定每一个实验的实验条件时，只需考虑所确定的几个因素和分区组该如何取值，而不要（其实也无法）考虑交互作用列和误差列怎么办的问题。交互作用列和误差列的取值问题由实验本身的客观规律来确定，它们对指标影响的大小在方差分析时给出。第46页,共193页，2024年2月25日，星期天47

（5）做实验时，要力求严格控制实验条件。这个问题在因素各水平下的数值差别不大时更为重要。例如，例5-1中的因素（加碱量）m的三个水平：m1＝2.0，m2=2.5，m3=3.0，在以m＝m2=2.5为条件的某一个实验中，就必须严格认真让m2=2.5。若因为粗心和不负责任，造成m2=2.2或造成m2=3.0，那就将使整个试验失去正交试验设计方法的特点，使极差和方差分析方法的应用丧失了必要的前提条件，因而得不到正确的试验结果。第47页,共193页，2024年2月25日，星期天485．8正交试验结果分析方法

正交试验方法之所以能得到科技工作者的重视并在实践中得到广泛的应用，其原因不仅在于能使试验的次数减少，而且能够用相应的方法对试验结果进行分析并引出许多有价值的结论。因此，有正交试验法进行实验，如果不对试验结果进行认真的分析，并引出应该引出的结论，那就失去用正交试验法的意义和价值。第48页,共193页，2024年2月25日，星期天495.9极差分析方法正交试验结果的极差分析方法，极差指的是各列中各水平对应的试验指标平均值的最大值与最小值之差。用极差法分析正交试验结果可引出以下几个结论：第49页,共193页，2024年2月25日，星期天50（1）在试验范围内，各列对试验指标的影响从大到小的排队。某列的极差最大，表示该列的数值在试验范围内变化时，使试验指标数值的变化最大。所以各列对试验指标的影响从大到小的排队，就是各列极差D的数值从大到小的排队。

第50页,共193页，2024年2月25日，星期天51（2）试验指标随各因素的变化趋势。为了能更直观地看到变化趋势，常将计算结果绘制成图。（3）使试验指标最好的适宜的操作条件（适宜的因素水平搭配）。（4）可对所得结论和进一步的研究方向进行讨论。第51页,共193页，2024年2月25日，星期天52用正交表安排试验正交试验设计－用正交表L9（34）试验号列号1234因素TPm（空缺）123456789T1T1T1T2T2T2T3T3T3P1P2P3P1P2P3P1P2P3m1m2m3m2m3m1m3m1m21233122319组第52页,共193页，2024年2月25日，星期天53第53页,共193页，2024年2月25日，星期天54第54页,共193页，2024年2月25日，星期天55正交试验结果分析极差分析法极差指的是各列中各水平对应的试验指标平均值的最大值与最小值之差

列号

试验号123试验指标yi1234112212121221Y1Y2Y3Y4以L4（23）为例第55页,共193页，2024年2月25日，星期天56列号

试验号123试验指标yi1234112212121221Y1Y2Y3Y4Kj1

Kj2

nKj1/

nKj2/

n

极差Y1+Y2Y3+Y42I1/KII1/Kmax{}-min{}Y1+Y3Y2+Y42I2/KII2/Kmax{}-min{}Y1+Y4Y2+Y32I3/KII3/Kmax{}-min{}第56页,共193页，2024年2月25日，星期天57极差分析法:某列的极差最大，表示该列的数值在试验范围内变化时，使试验指标数值的变化最大。所以各列对试验指标的影响从大到小的排队，就是各列极差D的数值从大到小的排队试验指标随各因素的变化趋势。为了能更直观地看到变化趋势，常将计算结果绘制成图。第57页,共193页，2024年2月25日，星期天58一个实例项目：研究某种钢质工件的热处理工艺.任务：提高钢材硬度.水平因素淬火温度℃回火温度℃回火时间min符号T1T2t123840850860410430450406080第58页,共193页，2024年2月25日，星期天59正交表安排试验试验号列号1234硬度因素T1T2tyj123456789840840840850850850860860860123123123410430450430450410450410430406080804060608040190200175165183212196178187第59页,共193页，2024年2月25日，星期天60正交试验结果分析直观分析：第6组淬火温度850℃，回火温度410℃，回火时间60min的效果最好，指标硬度最高.第60页,共193页，2024年2月25日，星期天61正交试验结果分析K1K2K3nK1=K1/

nK2=K2/

n

k3=K3/

n极差D5655605613188.333186.6671871.6665515615743183.667187191.3337.6665805525543193.333184184.6679.3335606085183186.667202.667172.66730回火时间t2>回火温度T21>淬火温度T11

60min410℃

840℃

第61页,共193页，2024年2月25日，星期天621、单试验指标正交实验[例1]某炼铁厂为了提高铁水的温度，需要通过试验选择最好的生产方案。经初步分析，主要有3个因素影响铁水的温度，它们是焦比、风压和底焦高度，每个因素都考虑3个水平，具体见下表。问对这3个水平如何安排，才能获得最高的铁水温度？第62页,共193页，2024年2月25日，星期天63第63页,共193页，2024年2月25日，星期天64第64页,共193页，2024年2月25日，星期天65第65页,共193页，2024年2月25日，星期天66第66页,共193页，2024年2月25日，星期天67第67页,共193页，2024年2月25日，星期天68第68页,共193页，2024年2月25日，星期天692、正交试验多指标分析法综合分析法：[例2]：为了提高某产品质量，要对生产该产品的原料进行配方试验，要检验3项指标；抗压强度、落下强度和裂纹度。前两个指标越大越好，第3个指标越小越好，根据以往的经验，配方中有3个重要因素；水份，粒度和碱度。它们各有3个水平，试进行试验分析，找出最好的配方方案。第69页,共193页，2024年2月25日，星期天70第70页,共193页，2024年2月25日，星期天71第71页,共193页，2024年2月25日，星期天72第72页,共193页，2024年2月25日，星期天73第73页,共193页，2024年2月25日，星期天74第74页,共193页，2024年2月25日，星期天75抗压强度：B3C1A2落下强度：B3C2A3裂纹度：A2C1B3这个方案不完全相同，对一个指标是好方案，而对另一个指标却不一定是好方案，如何找出对各个指标都较好的一个共同方案呢？这正是我们要解决的，第75页,共193页，2024年2月25日，星期天76通过各因素对各指标影响的综合分析，得出较好的试验方案是：

B3粒度第3水平8C1碱度第1水平1.1

A2水份第2水平9第76页,共193页，2024年2月25日，星期天77综合平衡法：分析多指标的分析方法是：先分别考察每个因素对各指标的影响，然后进行分析比较，确定出最好的水平从而得出最好的试验方案，这种方法叫综合平衡法。对多指标的问题，要做到真正好的综合平衡，有时是很困难的，这是综合平衡法的缺点。综合评分法，在某种意义上可以克服这个缺点。第77页,共193页，2024年2月25日，星期天78综合评分法综合评分法：就是根据各个指标的重要性的不同，给每一个试验评出一个分数，作为这个试验的总指标（一个指标！），根据这个总指标（分数），利用上例（直观分析法）作进一步的分析，从而选出较好的试验方案。第78页,共193页，2024年2月25日，星期天79举例说明：[例3]：某厂生产一种化工产品，需要检验两个指标：核酸纯度和回收率，这两个指标都是越大越好，有影响的因素有4个，各有3个水平，具体情况见下表，试通过试验找出较好方案，使产品的核酸含量和回收率都有所提高。第79页,共193页，2024年2月25日，星期天80第80页,共193页，2024年2月25日，星期天81这个方法的关键是如何评分，下面着重介绍评分的方法。在这个试验中，两个指标的重要性是不同的，根据实验经验知道，纯度的重要性要比回收重要性大，如果化成数量来看，可认为纯度是回收率的4倍，也就是说若将回收率看成1，纯度就4，这个4和1分别叫两个指标的权，按这个权给出每个试验的总分为：总分＝4×纯度+1×回收率算出每个试验的分数，列在表的最右边，再根据这个分数，用直观分析第81页,共193页，2024年2月25日，星期天82第82页,共193页，2024年2月25日，星期天83第83页,共193页，2024年2月25日，星期天845.10混合水平的正交试验设计实际问题中，有时各因素的水平数是不相同的，这就是混合水平的多因素试验问题，解决这类问题一般比较复杂，有两种方法：（1）直接利用混合水平的正交表；（2）拟水平法，把水平不同的问题化成水平数相同的问题来处理。第84页,共193页，2024年2月25日，星期天85混合水平正交表及其用法混合水平正交表就是各因素的水平数不完全相等的正交表。例如：L8（4×24）表示做8次试验，最多可安排5个因素，其中1个是4水平的（第1例），4个是2水平的（第2列到第5列）。第85页,共193页，2024年2月25日，星期天86第86页,共193页，2024年2月25日，星期天87L8（4×24）表有两个重要特点：（1）每一列中不同数字出现的次数是相同的。例如：第1列中有4个数字，1,

2，3,

4，它们各出现2次，第2列到第5列中，都只有两个数字1,2，它们各出现4次。第87页,共193页，2024年2月25日，星期天88（2）每两列各种不同的水平搭配出现的次数是相同的。但要注意，每两列不同水平的搭配的个数是不完全相同的。例如：第1列是4水平的列，它和其它任何一个水平的列数在一起，由行组成的不同的数对一共有8个：（1,1），（1,2），（2,1），（2,2），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2）它们各出现一次；2列到第5列都是2水平列，它们之间任何两列的不同水平的搭配共有4个：（1,1），（1,2），（2,1），（2,2）它们各出现两次。第88页,共193页，2024年2月25日，星期天89由以上两点看出，每个因素的各水平之间的搭配也是均衡的。其它常用的混合水平正交表还有：L12（31×24），L16（41×212），L16（43×28），L18（21×37）第89页,共193页，2024年2月25日，星期天90例4：某农科站进行品种试验，共有4个因素：A（品种）、B（氮肥量）、C（氮、磷、钾肥比例），D（规格）。因素A是4水平的，另外3个因素都是2水平的，具体数值见下表，试验指标是产量，数值越大越好，试用混合正交表安排试验，找出最好的试验方案。第90页,共193页，2024年2月25日，星期天91第91页,共193页，2024年2月25日，星期天92第92页,共193页，2024年2月25日，星期天93第93页,共193页，2024年2月25日，星期天945.11拟水平法[例5]今有某一试验，试验指标只有一个，它的数值越小越好，这个试验有4个因素A，B，C，D，其中C是2水平的，其余3个因素都是3水平的，见下表，试安排试验，并对试验结果进行分析，找出最好的方案。第94页,共193页，2024年2月25日，星期天95第95页,共193页，2024年2月25日，星期天第96页,共193页，2024年2月25日，星期天97拟水平法实际是将水平少的因素归入水平数多的正交表中的一种处理问题的方法。在没有合适的混合水平正交表可用时，拟水平法是一种比较好的处理多因素混合水平试验的方法，可以对一个因素虚拟水平，也可以对多个因素虚拟水平。第97页,共193页，2024年2月25日，星期天98第98页,共193页，2024年2月25日，星期天99第99页,共193页，2024年2月25日，星期天小结极差分析法单试验指标正交试验设计多试验指标正交试验设计综合分析:综合平衡法;

综合评分法;混合水平正交试验设计:直接利用混合水平的正交试验设计表;拟水平法.有交互作用正交试验设计方差分析法第100页,共193页，2024年2月25日，星期天1015.12有交互作用的正交试验设计

在多因素试验中，各因素不仅各自独立地在起作用，而且各因素还经常联合起来作用。即，不仅各个因素的水平改变时对试验指标有影响，而且各因素的联合搭配对指标也有影响，这就是交互作用。第101页,共193页，2024年2月25日，星期天102[例6]

有4块试验田，土质情况基本一样，种植同样的作物，现将氮肥，磷肥采用不同的方式分别加在4块地里，收获后算出平均亩产，记在下表中。第102页,共193页，2024年2月25日，星期天103第103页,共193页，2024年2月25日，星期天104从表中可以看出（1）不加化肥时，平均亩产仅有200㎏，只加2㎏磷肥时，平均为225㎏，增加25㎏/亩。（2）只加3㎏氮肥时，平均亩产215㎏，增加15㎏/亩这两种情况下的总增产值合计为40㎏。（3）但是同时加2㎏磷肥，3㎏氮肥时，平均为亩产280㎏增加80㎏/亩，比前两种情况的总增产量又增加40㎏。第104页,共193页，2024年2月25日，星期天105（4）显然这后一个40㎏，就是2㎏磷肥，3㎏氮肥联合起来所起的作用，叫做磷肥，氮肥这两个因素的交互作用。有下式：氮肥磷肥交互作用的效果＝氮肥、磷肥的总效果－（只加氮肥的效果＋只加磷肥的效果）交互作用是多因素试验中经常遇到的问题。第105页,共193页，2024年2月25日，星期天106交互作用表安排有交互作用的多因素试验，必须使用交互作用表。第106页,共193页，2024年2月25日，星期天107第107页,共193页，2024年2月25日，星期天108在安排试验时，交互作用占一列，称为交互作用列。表的使用：第1列号是（）的，从左向右看，第2个列号是不带括号的。比如要查第2列和第4列交互作用列，先找到（2），从左往右查，再从表的最上端的列号中找到4从上往下查看，两者交叉处的数字是6，它表示第2列和第4列的交互作用就是第6列。第108页,共193页，2024年2月25日，星期天109第二步表头设计——查交互作用表

表示位于第二、第四列的两因素的交互作用要放于第六列。如L8（27）的交互作用表列号12345671（1）3254762（2）167453（3）76544（4）1235（5）326（6）1

注意：主效应因素尽量不放交互列。如A、B因素已放C1、C2列，则C因素就不放C3列。第109页,共193页，2024年2月25日，星期天110水平数相同的有交互作用的正交试验[例7]一个3因素2水平的有交互作用某产品的产量取决于3个因素A、B、C，每个因素都有2个水平，数值见下图。每两个因素之间都有交互作用，必须考虑。试验指标为产量，越高越好。试安排试验，并分析试验结果。第110页,共193页，2024年2月25日，星期天111第111页,共193页，2024年2月25日，星期天112解：3因素2水平的试验，3个因素A、B、C要占3列，它们之间的交互作用A×B，B×C，A×C占3列，共占6列，可用正交表L8（27），来安排实验，若A、B分别放在第1、2列，从表中查出A×B就在第3列，因此C就不能放在第3列。现将C放在第4列，由正交表A×C应放在第5列，B×C应在第6列。第112页,共193页，2024年2月25日，星期天113第113页,共193页，2024年2月25日，星期天114第114页,共193页，2024年2月25日，星期天115从极差大小看出，影响最大的因素是C，以2水平为好；其次是A×B，以2水平为好，第三是因素A，以1水平为好，第四是因素B，以1水平为好。由于因素B影响较小，1水平和2水平差别不大，但考虑到A×B是2水平为好，它影响比B大，所以因素B取2水平为好。（A×C），（B×C）的极差很小，对试验的影响很小，忽略不计。

第115页,共193页，2024年2月25日，星期天116综合分析考虑，最好的方案应当是C2A1B2，从试验结果看出，这个方案确实是8个试验中最好的一个试验。［C2→（A×B）2→A1→B1，结果C2A1B2］［注：4号实验，产量为75kg］小结：用直观分析法对试验结果进行了必要的分析，直观分析法的优点：简单、直观、易做、计算量少。

第116页,共193页，2024年2月25日，星期天1175.13正交试验设计的方差分析上一章介绍了单因素，双因素方差分析，对于更多因素方差分析把上面实验结果推广就行了。5.13.1方差分析的步骤和格式设用正交表安排m个因素的试验，试验总数为n，试验结果分别为x1，x2，……，xn，假定每个因素有na个水平，每个水平做a次试验，则n=ana。第117页,共193页，2024年2月25日，星期天1181、计算离差的平方和（1）总离差的平方和ST记：第118页,共193页，2024年2月25日，星期天119记为：ST＝QT－P第119页,共193页，2024年2月25日，星期天120ST反映了试验结果的差异，它越大，说明各次试验结果之间的差异越大，试验的结果之所以会有差异，一是因素水平的变化所引起的，二是因为有试验误差，因此差异是不可避免的。第120页,共193页，2024年2月25日，星期天121（2）各因素离差的平方和下面以计算因素A的离差的平方和SA为例来说明，设因素A安排在正交表的某列，可看作单因素试验。用Xij表示因素A的第i个水平的第j个试验的结果（i=1,2,…na;j=1,2,…a）,则有：第121页,共193页，2024年2月25日，星期天122则有：第122页,共193页，2024年2月25日，星期天123记为：SA＝QA－P其中:Ki表示因素的第i个水平a次试验结果的和.

第123页,共193页，2024年2月25日，星期天124SA反映了因素A的水平变化时所引起的试验结果的差异，即因素A对试验结果的影响。用同样的方法可以计算其它因素的离差的平方和。对于两因素的交互作用，我们把它当成一个新的因素看待，如果交互作用占两列，则交互作用的离差的平方和等于这两列的离差的平方和之和。比如：SA×B＝S（A×B）1+S（A×B）2第124页,共193页，2024年2月25日，星期天125（3）试验误差的离差的平方和SE设S(因+交)为所有因素以及要考虑的交互作用的离差的平方和，因为：ST＝S(因+交)+SE

SE为试验误差的离差平方和所以：SE＝ST－S(因+交)第125页,共193页，2024年2月25日，星期天1262、计算自由度试验的总自由度：f总＝试验总次数－1＝n－1各因素的自由度：f因＝因素的水平数－1两因素交互作用的自由度等于两因素的自由度之积如：f（A×B）=fA×fB记fE为试验误差的自由度，因为：f总＝f（因+交）+fE所以：fE＝f总－f（因+交）第126页,共193页，2024年2月25日，星期天1273.计算平均离差平方和（均方）有：第127页,共193页，2024年2月25日，星期天1284.求F比将各因素的平均离差的平方和与误差的平方和相比，得出F值，这个比值的大小反映了各因素对试验结果影响程度的大小。第128页,共193页，2024年2月25日，星期天1295.对因素进行显著性检验对给出的检验水平α，从F颁布表中查出Fα（f因，fE）（通常叫临界值）F＞Fα（f因，fE），说明该因素对试验结果的影响显著，两数差别越大，说明该因素的显著性越大；若F＜Fα（f因，fE），说明该因素对试验结果的影响不显著。第129页,共193页，2024年2月25日，星期天1305.13.2

3水平的方差分析3水平正交设计是最一般的正交设计，它的方差分析方法最具有代表性。[例8]为提高某产品的产量，需要考虑3个因素：反应温度，反应压力和溶液浓度，每个因素都取3个水平，见下表，考虑因素之间的所有一级交互作用，试找出较好的工艺条件。第130页,共193页，2024年2月25日，星期天131第131页,共193页，2024年2月25日，星期天132解：3因素3水平的试验，每两个因素的交互作用要占的两列，3个因素的所有一级交互作用共有3个，共占6列，连同3个因素A，B，C，在正交表中共占9列，先L27（313），按该表安排3因素的表头设计，见下表进行试验第132页,共193页，2024年2月25日，星期天133第133页,共193页，2024年2月25日，星期天134第134页,共193页，2024年2月25日，星期天135第135页,共193页，2024年2月25日，星期天136第136页,共193页，2024年2月25日，星期天137首先

第137页,共193页，2024年2月25日，星期天138第138页,共193页，2024年2月25日，星期天139第139页,共193页，2024年2月25日，星期天140由此得出：SA＝QA－P＝2.04SB＝QB－P＝1.16SC＝QC－P＝155.87S（A×B）＝S（A×B）1+S（A×B）2＝Q（A×B）1－P+Q（A×B）2－P＝Q（A×B）1+Q（A×B）2－2P＝1.32第140页,共193页，2024年2月25日，星期天141

S（A×C）＝Q（A×C）1+Q（A×C）2－2P＝0.28S（B×C）＝Q（B×C）1+Q（B×C）2－2P＝0.18最后计算实验误差的差离平方和，有：SE＝ST－S因+交＝ST－（SA+SB+SC+SA×B+SB×C+SA×C）＝0.34第141页,共193页，2024年2月25日，星期天142自由度：fA=fB=fC=3-1=2F（A×B）=f（A×C）=f（B×C）=2×2=4f总＝n-1=27-1=26fE=f总－f因+交＝26－18＝8（2×3+4×3）=18第142页,共193页，2024年2月25日，星期天143计算平均离差的平方和（均方），然后求F。取α＝0.01，通常：①F>F0.01（f因，fE）该因素的影响是最显著的“**”②F<F0.01（f因，fE），但F>F0.05（f因，fE）则称该因素的影响是显著的“*”②F<F0.05（f因，fE），则该因素的影响是不显著的。第143页,共193页，2024年2月25日，星期天144第144页,共193页，2024年2月25日，星期天145可以看出，因素A，B，C和交互作用A×B对试验结果的影响是显著的，从大小看，因素C最显著，依次A，B，A×B，试验的指标为产品的产量，越大越好，所以最优方案应取各因素中K的最大值所对应的水平。从表看出：A1，B3，C3为最好，交互作用A×B也是显著的。但A×B占两列，直观分析法有困难。有必要把A和B的各种组合的试验结果对照分析。第145页,共193页，2024年2月25日，星期天146第146页,共193页，2024年2月25日，星期天147从表中，可以看出当A取第1水平B取3水平时，结果为13.17是所有结果的最大值，于是最优方案可取A1B3C3而A1B1的试验结果为13.16与13.17相差不多，也可取A1B1C3结果为7.23，A1B3C3结果为7.07.∴A1B1C3比A1B3C3还要好。是因为我们分析计算本身是有误差的，真正的最优方案要经实践检验后确定。第147页,共193页，2024年2月25日，星期天1485.13.3

2水平的方差分析一般分析法2水平正交设计，各因素离差平方和为因为:n=2a

,第148页,共193页，2024年2月25日，星期天149所以上式可简化为:这里2水平设计计算平方和的一般公式，同样适用于有交互作用的情况。第149页,共193页，2024年2月25日，星期天150例9：某农药厂生产某种农药，指标是农药的收率，显然是越大越好，根据经验知，影响农药收率的因素有4个；具体情况如下：第150页,共193页，2024年2月25日，星期天151第151页,共193页，2024年2月25日，星期天1522水平4因素，并考虑A、B的交互作用，选用L8（27）安排实验。按试验逐次进行试验，得出试验结果分别为（%）86,95,91,94,91,96,83,88试进行方差分析（α＝0.05）解：列正交表L8（27）和试验结果，第152页,共193页，2024年2月25日，星期天153第153页,共193页，2024年2月25日，星期天154计算离差平方和：类似地：

第154页,共193页，2024年2月25日，星期天155误差平方和：

SE＝ST－（S因+S交）＝146－（8+18+50+60.5+4.5）＝5还可以另一种方法算出SESE＝S空列＝S5列+S6列

第155页,共193页，2024年2月25日，星期天156计算自由度总自由度fT＝8－1＝7因素的自由度fA＝fB＝fC＝fD＝2－1＝1交互作用的自由度f(A×B)=fA×fB=1误差自由度fE＝fT－（f因+f交）＝7－5＝2第156页,共193页，2024年2月25日，星期天157计算均值：由于各因素和交互作用A×B的自由度都是1，因此它们的均方值与它们的各自平方和相等，只有误差的均方值为MSE＝SE/2=5/2=2.5计算F值比：

FA＝MSA/MSE=8/2.5=3.2

FB＝18/2.5＝7.2，FA×B＝50/2.5＝20

FC＝60.5/2.5＝24.2，FD＝4.5/2.5＝1.8第157页,共193页，2024年2月25日，星期天158第158页,共193页，2024年2月25日，星期天159从F值的大小可以看出，各因素对试验影响大小的顺序为C→A×B→B→A→D最优条件：C2，B1，A1，D2，但考虑到交互作用A×B的影响较大，且它的第2水平为好，从正交表看出在C2，（A×B）2的情况下，有A1，B2和A2，B1，考虑到B的影响比A大，而B选B1为好，A只能先A2，这最优方案为：A2B1C2D2。9个试验中，6号试验A2B1C2D1（接近）为好。第159页,共193页，2024年2月25日，星期天1605.13.4混合水平的方差分析混合水平正交设计的方差分析，本质上与水平数相等正交设计的方差分析相同，只要在计算时注意各列水平数的差别就行了。以：L8（4×24）混合型正交表为例加以说明，总离差平方和仍为：第160页,共193页，2024年2月25日，星期天161因素偏差平方和有两种情况：2水平因素：

4水平因素：第161页,共193页，2024年2月25日，星期天162例10

某钢厂生产一种合金，为了校直冷拉，需要进行一次退火热处理，以降低合金的硬度，根据冷加工变形量，在该合金技术要求范围内，硬度越低越好，试验的目的是寻求降低硬度的退火工艺参数。考察的指标是洛氏硬度（HRc）,经分析研究，要考虑的因素有3个：第162页,共193页，2024年2月25日，星期天163退火温度（A），取4水平：A1：730℃，A2：760℃，A3：790℃，A4：820℃，保温时间（B）：2水平，B1：1h,B2:2h;冷却介质（C），2水平，C1空气，C2水，选用混合正交表L8（4*24），A，B，C放在1,2，3列。第163页,共193页，2024年2月25日，星期天164第164页,共193页，2024年2月25日，星期天165第165页,共193页，2024年2月25日，星期天166第166页,共193页，2024年2月25日，星期天167这里：ST＝QT－P＝7829.90－7825.01＝4.89第167页,共193页，2024年2月25日，星期天168

SE＝S空列＝S4列+S5列＝1.63第168页,共193页，2024年2月25日，星期天169第169页,共193页，2024年2月25日，星期天170F0.05（3,2）＝19.16，F0.10（3,2）＝9.16F0.05（1,2）＝18.51，F0.10（1,2）＝8.53从F值和临界值比较看出，即使取α＝0.10，各因素都无显著影响，相对来说B的影响大些，用（*）表示，如果只考虑因素B，把因素A，C都并入误差，这样一来，新的误差E有：SE’＝SA+SC+S空列＝0.44+0.18+1