备考2024年中考数学专题突破（全国通用）专题1-4 一文搞定反比例函数7个模型13类题型（解析版）

专题1-4一文搞定反比例函数7个模型，13类题型知识点梳理 题型一|k|模型 题型二面积模型 题型三垂直模型 题型四比例端点模型 题型五矩形模型（平行，比例性质） 题型六等线段模型 题型七等角模型 题型八反比例函数中的设而不求法 题型九反比例函数与相似相似三角形结合 题型十反比例函数与一次函数综合 题型十一反比例函数中的探究类问题 题型十二反比例函数与与几何综合 题型十三反比例函数的找规律问题 知识点梳理【模型1】|k|模型结论1：S矩形＝|k|：结论2：S三角形＝|k|【模型2】面积模型（四类）类型一结论：证明：．类型二结论：①AO=BO，AB关于原点对称，②S△ABC=4|k|类型三结论：①ABCD为平行四边形，②S四边形ABCD=4S△AOB类型四结论：S四边形ABOC=k2－k1【模型3】垂直模型结论：证明：作BC⊥x轴，AD⊥x轴，则△BCO∽△ODA，∴【模型4】比例端点模型出现比例端点时可以考虑作垂线构造相似或设点坐标来转化结论：证明：过点D作DE⊥x轴，，，【模型5】矩形模型（平行性质和比例性质）一、比例性质如图,A,B是反比例函数y=图象上任意两点，过A、B作x轴、y轴垂线段线段比（共线的线段之比为定值）证明一：∵S矩形OADF＝S矩形OGEC，∴证明二：∵结论：二、平行性质如图1、图2、图3，点A、B是反比例函数y＝EQ\F(k,x)图象上的任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，过点B作x轴的垂线，垂足为点D，连接AB、CD，则AB∥CD．yyODBxAC图1yODAxBC图2图3OxABDCy下面以图1为例来证明（图2、图3证法类似）：法一：面积法（等积变形）如图，易知S△ACE＝S△ADE，因为两个三角形同底等高，故ED∥CA由平行关系还可以得出其它性质：，(平行线分线段成比例)补充简证简证证明一:由比例性质可知，,,根据相似可知AB∥CD∥GF证明二:∵∴∴，同理可证CD∥GF方法二：连接OA、OB，延长CA、DB交于点EyyODBxEAC则OC＝DE，OD＝CE由k的几何意义可知S△AOC＝S△BOD，，又∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△ECD∴∠EAB＝∠ECD，∴AB∥CD方法三：延长CA、DB交于点EyyODBxEAC设，，则又∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△ECD∴∠EAB＝∠ECD，∴AB∥CD补充拓展：矩形模型中的翻折如图，矩形OABC顶点A，C分别位于x轴，y轴正半轴，反比例函数在第一象限图象交矩形OABC两边于D，E点，将△BED沿ED翻折，若B点刚好落在x轴上的点F处，则EO=EF【模型六】等线段模型如图1、图2，点A、B是反比例函数y＝EQ\F(k,x)图象上的任意两点，直线AB交y轴于点C，交x轴于点D，则AC＝BD．xxyBACDO图1xyBACDO图2证明：作AE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F由平行性质可知AB∥EF∴四边形CEFB和四边形AEFD均为平行四边形∴BC＝EF＝AD，∴AC＝BDxyxyBACDOFExyBACDOFE【模型七】等角模型模型一：如图，点A、B是反比例函数图象上的任意两点，直线OB交反比例函数的图象于另一点C，直线AC交x轴于点D，交y轴于点E，直线AB交x轴于点F，交y轴于点G，则∠ADF＝∠AFD，∠AEG＝∠AGE，由此可得AD＝AF，CD＝AE＝AG＝BF，AB＝DE．AABOxCyDFEG证明：作CN∥x轴，AN∥y轴，BM⊥AN于MAABOxCyMNDFEG则∠ADF＝∠ACN，∠AFD＝∠ABM设A（a，EQ\F(k,a)），B（b，EQ\F(k,b)），则C（－b，－EQ\F(k,b)）∴CN＝a＋b，AN＝EQ\F(k,a)＋EQ\F(k,b)，BM＝b－a，AM＝EQ\F(k,a)－EQ\F(k,b)∴tan∠ACN＝EQ\F(AN,CN)＝EQ\F(EQ\F(k,a)＋EQ\F(k,b),a＋b)＝EQ\F(k,ab)，tan∠ABM＝EQ\F(AM,BM)＝EQ\F(EQ\F(k,a)－EQ\F(k,b),b－a)＝EQ\F(k,ab)∴tan∠ACN＝tan∠ABM，∴∠ACN＝∠ABM∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF，∠CEO＝∠FGO∵∠AEG＝∠CEO，∴∠FGO＝∠AEG∴AE＝AG∵AG＝BF，∴AE＝BF，∴AB＝DE∵CD＝AE，∴CD＝AE＝AG＝BF模型二：如图，平行四边形ABCD顶点A，B位于反比例函数在第一象限的图象上，C，D分别位于x轴正半轴和y轴正半轴上，则必然有∠1=∠2，∠3=∠4证明1：延长直线AB，分别交y轴、x轴于E，F。取AB中点G，连GO交DC于H。由反比例函数图象基本结论知，G也是EF中点。∴∠6=∠5=∠2，∴H为DC中点，∴GO∥BC∴∠1=∠6=∠2，进而可知∠3=∠7=∠4证明2：延长直线AB，分别交y轴、x轴于E，F。过C点作y轴平行线，交AB于I，构平行四边形EDCI∴EI=DC=AB，即EA=IB，又由基本结论知EA=BF∴IB=BF，∴∠2=∠5=∠1，同理可证∠3=∠4模型三：如图，平行四边形ABCD顶点A，B位于反比例函数在第一象限的图象上，C，D分别位于y轴负半轴和x轴负半轴上，则必然有∠1=∠2，∠3=∠4证明1：延长直线AB，分别交y轴、x轴于E，F。取AB中点G，连GO并延长交DC于H。由反比例函数图象基本结论知，G也是EF中点。∴∠1=∠5=∠7=∠6，∴H为DC中点，∴GH∥BC∴∠1=∠6=∠2，进而可推∠3=∠4证明2：延长直线AB，分别交y轴、x轴于E，F。过C作x轴垂线，交直线AB于I，构平行四边形DCIF∴FI=DC=AB,又由基本结论知AE=BF,∴BE=BI∴∠1=∠5=∠2，进而可推∠3=∠4题型一|k|模型如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于两点，若，则的值是（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】D【详解】解：如图是反比例函数和在第一象限的图象，∵直线轴，设点B（a，b），点A为（m，n），∴，，∵，∴，∴如图，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，点是轴上的任意一点，连接、，则的面积为（

）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【详解】解：如图，连接OA，OB，∵△AOB与△ACB同底等高，∴S△AOB=S△ACB，∵AB∥x轴，∴AB⊥y轴，∵A、B分别在反比例函数y=-（x＜0）和y=（x＞0）的图象上，∴S△AOP=3，S△BOP=1，∴S△ABC=S△AOB=S△AOP+S△BOP=3+1=42023年辽宁省丹东市中考数学真题如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则．【答案】【详解】解：如图，连结、，

∵轴，∴．∴．∵，∵，∴，∵图象位于第一象限，则，∴．2022年湖南省郴州市中考数学真题如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连接OA，OB，则的面积是（

）A．3 B．5 C．6 D．10【答案】B【详解】解：如图，作AD⊥x轴，BC⊥x轴，∵，∴∵∴如图，直线与反比例函数、的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，的面积为3，则k的值为．【答案】5【详解】解：由题意得，点C的坐标（t，），点B的坐标（t，），∴，∵的面积为3，∴，解得2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题如图，点A在反比例函数图像的一支上，点B在反比例函数图像的一支上，点C，D在x轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数k的值为．

【答案】【详解】解：如图：

∵点A在反比例函数图像的一支上，点B在反比例函数图像的一支上，∴∵四边形是面积为9的正方形，∴，即，解得：题型二面积模型两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②四边形的面积不会发生变化；③与始终相等；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中，正确的结论有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】解：∵点均在反比例函数的图象上，且轴，轴，∴，，∴，结论①正确；∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴，∴，∴，即四边形的面积不会发生变化，结论②正确；设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，，，与的关系无法确定，结论③错误；如图，连接，点是的中点，，，，，即，，∴点一定是的中点，结论④正确；综上，正确的结论有3个2022年山东省日照市中考数学试卷如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（

）A．3 B．-3 C． D．【答案】B【详解】解：∵点M、N均是反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象上，∴，∵矩形OABC的顶点B在反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象上，∴S矩形OABC=k2，∴S四边形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3，∴k2-k1=3，∴k1-k2=-3如图，反比例函数在第一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是2，6，则△AOB的面积是．【答案】8【详解】解：根据题意可得A(2，3)，B(6，1)，过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，则AC=3，BD=1，OC=2，OD=6，DC=4∴=2×3÷2+(3+1)×4÷2－6×1÷2=3+8－3=82023·广西·统考中考真题如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【详解】设，则，，∵点A在的图象上则，同理∵B，D两点在的图象上，则故，又∵，即，故，∴2023年湖北省黄石市中考数学真题如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，则的面积为；若的面积为，则．

【答案】2【思路点拨】根据，得出，根据三角形面积公式，即可求出的面积；过点B作轴于点D，交于点E，根据，，得出，进而得出，根据梯形面积公式，列出方程，化简得，令，则，求出x的值，根据，得出，即，即可解答．【详解】解：∵，∴，∴，过点B作轴于点D，交于点E，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，整理得：，令，则，解得：（舍），，∵，∴，即，∴，故答案为：，2．

2023年湖南省湘西中考真题如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】解：延长交轴于点，

∵轴，∴轴，∵点A在函数的图象上，∴，∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上，∴，∴四边形的面积等于江苏省南京市2021年中考数学试卷如图，正比例函数与函数的图像交于A，B两点，轴，轴，则．【答案】12【详解】解：设A（t，）,∵正比例函数与函数的图像交于A，B两点，∴B（-t，-）,∵轴，轴，∴C（t，-）,∴题型三垂直模型 已知点A，B分别在反比例函数（x＞0），（x＞0）的图象上且OA⊥OB，则tanB为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：设点的坐标为，，点的坐标为，，设线段所在的直线的解析式为：，线段所在的直线的解析式为：，则，，，整理得：，如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转．若∠BOA的两边分别与函数、的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（

）A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变【答案】D【详解】解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，则△BEO∽△OFA，∴，设点B为（a，），A为（b，），则OE=-a，EB=，OF=b，AF=，可代入比例式求得，即，根据勾股定理可得：OB=，OA=，∴tan∠OAB===∴∠OAB大小是一个定值，因此∠OAB的大小保持不变．故选：D如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，cosA＝，则k的值为（

）A．－12 B．－16 C．－6 D．－18【答案】D【详解】解：过A作AN⊥x轴于N，过B作BM⊥x轴于M，∵cosA＝，∴，设，，，∴，∵OA⊥OB，∴∠BMO＝∠ANO＝∠AOB＝90°，∴∠MBO+∠BOM＝90°，∠MOB+∠AON＝90°，∴∠MBO＝∠AON，∴△MBO∽△NOA，∴，设A（x，），ON＝x，AN＝，∴OM＝，BM＝3x，即B的坐标是（﹣，3x），把B的坐标代入反比例函数y＝得，，解得，k＝﹣18，故选：D．如图，已知A是双曲线上一点，过点A作轴，交双曲线于点B，若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：点在双曲线上一点，设，，轴，在双曲线上，设，，，，，，，，，2023·福建·统考中考真题如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（）

A． B． C． D．3【答案】A【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在上，

∵，，∴．∴．∴．∵点在第二象限，∴2023·四川达州·统考中考真题如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，以为边作等边三角形，若反比例函数的图象过点，则的值为．

【答案】【详解】如图所示，过点A作轴交x轴于点D，过点C作轴于点E，连接，

∵一次函数与反比例函数的图象相交于两点，∴联立，即，∴解得，∴，，∴，，∴，∴，∵是等边三角形，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∴解得，，∴点C的坐标为如图，点A是双曲线y＝上的动点，连结AO并延长交双曲线于点B，将线段AB绕B顺时针旋转60°得到线段BC，点C在双曲线y＝上的运动，则k＝．

【答案】﹣9．【详解】解：∵双曲线y＝关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称．∴OA＝OB．连接OC，AC，如图所示．∵将线段AB绕B顺时针旋转60°得到线段BC，∴△ABC是等边三角形，OA＝OB，∴OC⊥AB，∠BAC＝60°，∴tan∠OAC＝＝，∴OC＝OA．过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，

∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，∴∠AEO＝∠OFC，∠AOE＝90°﹣∠FOC＝∠OCF，∴△AEO∽△OFC．∴．∵OC＝OA，∴OF＝AE，FC＝EO．设点A坐标为（a，b），∵点A在第一象限，∴AE＝a，OE＝b．∴OF＝AE＝a，FC＝EO＝b．∵点A在双曲线y＝上，∴ab＝3．∴FC•OF＝b•a＝3ab＝9，设点C坐标为（x，y），∵点C在第四象限，∴FC＝x，OF＝﹣y．∴FC•OF＝x•（﹣y）＝﹣xy＝9．∴xy＝﹣9．∵点C在双曲线y＝上，∴k＝xy＝﹣9如图，点A是双曲线在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一个分支于点B，以AB为底作等腰且，点C在第一象限，随着点A的运动，点C始终在双曲线上运动，则．【答案】【详解】解：如图所示，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，点C在第一象限，随着点A的运动，点C始终在双曲线上运动，连接并延长交另一分支于点，以为底作等腰，且，，，则，，，又，，，，点是双曲线在第二象限分支上的一个动点，，，即，如图，的顶点与坐标原点重合，，，当点在反比例函数的图象上移动时，点坐标满足的函数解析式为．【答案】【详解】如图，作轴于点C，轴于点D．∵，∴，∵，∴，且相似比为．∴．由反比例函数比例系数的几何意义可知．∴．∴B点坐标满足的函数解析式为反比例函数，设其解析式为．∴，∴．∵点B在第二象限，即，∴．∴B点坐标满足的函数解析式为．故答案为：题型四比例端点模型如图，在平面直角坐标系中，梯形OACB的顶点O是坐标原点，OA边在y轴正半轴上，OB边在x轴正半轴上，且OA∥BC，双曲线y=（x＞0）经过AC边的中点，若S梯形OACB=4，则双曲线y=的k值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【详解】过的中点作轴交轴于，交于，作轴于，如图，在和中，，（），，，，，，而，.2022·浙江衢州·统考中考真题如图，在中，边在轴上，边交轴于点．反比例函数的图象恰好经过点，与边交于点．若，，，则=．【答案】【思路点拨】过点作轴于点，过点作轴于点，设点的坐标为，则，先根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，又根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，，再根据反比例函数的解析式可得，从而可得，然后根据即可得出答案．【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设点的坐标为，则，，，，，轴，轴，，，，即，，又轴，轴，，，，即，解得，，将代入反比例函数得：，，，由得：，，，，解得，即广东深圳·统考中考真题如图，双曲线经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足，与BC交于点D，S△BOD=21，求k=．【答案】8【详解】试题思路点拨：解：过A作AE⊥x轴于点E．因为S△OAE=S△OCD，所以S四边形AECB=S△BOD=21，因为AE∥BC，所以△OAE∽△OBC，所以==（）2=，所以S△OAE=4，则k=8．如图，Rt△BOC的一条直角边在x轴正半轴上，双曲线过的斜边的中点，与另一直角边相交于点，若的面积是6，则k的值是．【答案】4【详解】解：设点C的坐标为，则，，，解得，，点是OB的中点，，即，又点在双曲线上，，如图，双曲线经过斜边上的点，且满足，与交于点，的面积为，则．【答案】/0.5【详解】解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，则∠AEO＝∠BCO＝90°，∵，∴，∵∠AOE＝∠BOC，∴△AOE∽△BOC，∴，∵点A，D分别在双曲线上，∴，∴，∵，∴，∴k＝，故答案为：．如图，已知三角形的顶点在反比例函数位于第一象限的图象上，顶点在轴的负半轴上，顶点在反比例函数位于第四象限的图象上，边与轴交于点，，边与轴交于点，，若面积为，则．

【答案】【详解】过作于，过作于点，如图示：

设，则，，，，，，，，，，，，，解得：如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，它的对角线与函数的图象相交于点，且，若矩形的面积为，则的值是．【答案】【详解】解：如图所示，过点作轴于点，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∵，∴∵矩形的面积为，∴∴∵函数过点，则又∵在第一象限，∴如图，Rt△BOC的一条直角边在x轴正半轴上，双曲线过的斜边的中点，与另一直角边相交于点，若的面积是6，则k的值是．【答案】4【详解】解：设点C的坐标为，则，，，解得，，点是OB的中点，，即，又点在双曲线上，，（2023·辽宁锦州·统考一模）如图，矩形的顶点A，C分别在轴，轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象交矩形的对角线于点，分别交，于点E，F，连接，．若，，则．

【答案】【详解】解：作于，连接、，

∵，∴，∴，∴，∵，∴，设，则：，∴，，∵点，E，F，在反比例函数的图象上，∴，∵，∴，∴，即：，∵，∴，∴，∴，∴如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于点D，且OD：DB＝1：2，若△OBC的面积等于6，则k的值为．【答案】【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，∵梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC//AO，AB⊥AO，∴四边形OABE是矩形，∴S△OBE=S△OAB，∵过点C的双曲线交OB于点D，∴S△OCE=S△ODF，∴S四边形ABDF=S△OBC=6，∵DF//AB，∴△ODF∽△OBA，∵OD：DB=1：2，∴OD：OB=1：3，∴S△ODF：S△OAB=1：9，∴S△ODF：S四边形ABDF=1：8，∴S△ODF=S四边形ABDF=×6=，∴k=题型五矩形模型（平行，比例性质）如图，已知双曲线经过矩形边的中点F，交于点E，且四边形的面积为3，则．【答案】【详解】解：设点，∵F是的中点，∴，∵四边形是矩形，∴，∵，，∴，∵四边形的面积为3，∴，∴，故答案为2023年黑龙江省绥化市中考数学真题在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数（）的图像经过点B，D，则k的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】C【详解】设，∵点B，C的横坐标都是3，，平行于x轴，点D在上，且其横坐标为1，∴，∴，解得，∴，∴2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考数学真题如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为．

【答案】6【详解】解：延长交x轴于点F，如图，由点D在反比例函数的图象上，则设，∵矩形的边平行于轴，，，∴轴，，则，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，即，∴，故答案为：6．

2023年浙江省绍兴市中考数学真题如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是．【答案】2【思路点拨】过点作轴于点，轴于点，于点，利用，，得到，结合梯形的面积公式解得，再由三角形面积公式计算，即可解答．【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点，于点，

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴正半轴上，OA＝6，OC＝4，点P是BC边上一个动点，过点P的反比例函数y＝EQ\F(k,x)图象与AB边交于点Q，若将△BPQ沿PQ折叠，点B的对应点D恰好落在对角线AC上，则k的值是___________．OOACxyBDPQ【答案】12提示：由题意可得B（6，4），P（EQ\F(k,4)，4），Q（6，EQ\F(k,6)）则BP＝6－EQ\F(k,4)，BQ＝4－EQ\F(k,6)∴EQ\F(BP,BQ)＝EQ\F(3,2)＝EQ\F(BC,BA)，∴△BPQ∽△BCA∴∠BPQ＝∠BCA，∴PQ∥CA连接BD交PQ于点EOOACxyBDPQE则BE＝DE，∴BP＝CP，BQ＝AQ∴P（3，4），∴k＝12如图，直线y＝－3x＋4与双曲线y＝EQ\F(k,x)交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥y轴于D，连接CD，若四边形ACDB的面积为10，则k的值为___________．xxyOABCD【答案】－4提示：令－3x＋4＝EQ\F(k,x)，即3x2－4x＋k＝0设A（a，－3a＋4），点B的横坐标为b，则a＋b＝EQ\F(4,3)，∴b＝EQ\F(4,3)－a设AB交y轴于点E，则AC∥ED，AE∥CD∴四边形ACDB是平行四边形∴S四边形ACDB＝S□ACDE＋S△BDE＝－a(－3a＋4)＋EQ\F(1,2)(－a＋EQ\F(4,3))(－3a＋4)＝10解得a＝EQ\F(22,9)（舍去）或a＝－EQ\F(2,3)∴k＝a(－3a＋4)＝－4如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（8，4），反比例函数y＝EQ\F(k,x)的图象分别与边AB、BC交于点E、F，将△BEF沿EF翻折，点B恰好落在x轴上点D处，则△BEF的面积为___________．xxODABCEFy【答案】EQ\F(25,4)提示：连接AC、BDxxODABCEFy由性质知EF∥AC，BD⊥EF∴BD⊥AC，∴△ABD∽△BCA由B（8，4）可得AB＝4，BC＝8，AB＝EQ\F(1,2)BC∴AD＝EQ\F(1,2)AB＝2设BE＝DE＝a，则AE＝4－a在Rt△ADE中，22＋(4－a)2＝a2解得a＝EQ\F(5,2)，∴S△BEF＝EQ\F(BE2,AB2)S△BAC＝EQ\F(25,4)如图，在矩形中，，，分别以、所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，是边上的一个动点（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，将沿对折后，点恰好落在上的点处，则的值为．【答案】【详解】如图，过点作轴于点，∵四边形AOBC为矩形，OA=3，OB=4，∴BC=OA=3，AC=OB=4，，．∴，，，．∵点F在边BC上，点E在边AC上，∴，．又∵点E，F在反比例函数的图象上，∴，．∴，．∴，．∴，．∵沿EF对折后得到，∴，，．∴．∵轴，∴∴，．∴．∴．∴．∵四边形AOBC是矩形，∴．又∵轴，∴．∴四边形EAOM是矩形，∴．在中，满足，即，解得如图，矩形的顶点，分别在轴，轴正半轴上，反比例函数的图象分别与矩形两边，交于点，，沿直线将翻折得到，且点恰好落在直线上．下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的有．（仅填代号即可）【答案】②③④【详解】解：设，，点的纵坐标为，的横坐标为，分别代入，得，，，，，四边形是矩形，，，，，，，，故②正确；，，，，故①错误；过点作于点，，且，，，，，，，四边形是矩形，，，，在中，，，故③正确；，，且，，，，，，垂直平分，，故④正确题型六等线段模型如图，已知函数的图象与轴、轴分别交于点、，与双曲线交于点、，若，则的值为．【答案】【详解】解：已知函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、B，把x=0代入，y=2；y=0代入，x=2；∴B、C的坐标分别是、，则，设点A的坐标是，过点A作轴于E点，∵AE∥OB，∴，∴，函数的图象与函数的图象都关于直线对称，由对称性可知，又∵，∴，即，解得，∴点A的坐标是，∵点A在双曲线上，∴，故答案为：-3．2023年辽宁省锦州市中考数学真题如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值为．

【答案】4【详解】解：过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，

∴，∴，∴，设B点坐标为，则，∵点B为的中点，∴，∴，∴C点坐标为，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，当时，，∴A点坐标为，根据题意得，解得如图，直线y＝2x与双曲线y＝EQ\F(k,x)交于A、B两点，AC⊥AB交双曲线于点C，连接BC，则sin∠ABC的值是___________．OOxyABC【答案】EQ\F(3,5)提示：设AC分别交y轴、x轴于点D、EOOxyABCDE由直线y＝2x可得OE＝2OD设AD＝CE＝a，则OA＝OB＝2a，AB＝AE＝4a，AC＝3aBC＝5a，sin∠ABC＝EQ\F(AC,BC)＝EQ\F(3a,5a)＝EQ\F(3,5)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝EQ\F(3,2)x与双曲线y＝EQ\F(6,x)相交于A，B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP，BC．若△PBC的面积是20，则点C的坐标为___________．OOxACPyB【答案】（EQ\F(14,3)，EQ\F(9,7)）提示：连接OC，延长PC交x轴于点DOOxACPyDB由对称性可知OA＝OB，∴S△POC＝EQ\F(1,2)S△PBC＝10由等线段性质可知AP＝CD，∴PC＝AD，∴S△AOD＝S△POC＝10令EQ\F(3,2)x＝EQ\F(6,x)，解得x＝±2，∴A（2，3）∴EQ\F(1,2)OD·yA＝10，∴OD＝EQ\F(20,3)，即xD＝EQ\F(20,3)由xD－xC＝xA－xP得：EQ\F(20,3)－xC＝2－0解得xC＝EQ\F(14,3)，∴C（EQ\F(14,3)，EQ\F(9,7)）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝mx与双曲线y＝EQ\F(k,x)（k＞0）相交于A、B两点，直线y＝EQ\F(1,2)mx＋n经过点B，与双曲线交于另一点C，若△ABC的面积为6，则k的值为___________．yyxOABC【答案】4提示：设直线BC交x轴于点D，交y轴于点E，则CD＝BE作BF⊥y轴于点F，CG⊥x轴于点GyyxOABCFDGEH设A（a，b），则B（－a，－b），BF＝a，OF＝bma＝b，－EQ\F(1,2)ma＋n＝－b∴－EQ\F(1,2)b＋n＝－b，∴OE＝－n＝EQ\F(1,2)b＝EQ\F(1,2)OF，∴EF＝EQ\F(1,2)OF∵BE＝CD，∴CG＝EF＝EQ\F(1,2)OF＝EQ\F(1,2)yA，OG＝2a连接OC，延长AC交x轴于点H则AC＝CH，OG＝2GH，∴OH＝3a∵S△ABC＝6，∴S△COH＝S△AOC＝3∴EQ\F(1,2)OH·CG＝3，∴3a·CG＝6∴a·CG＝2，∴k＝OG·CG＝2a·CG＝4如图，直线l与反比例函数y＝EQ\F(k,x)的图象在第二象限交于B，C两点，与x轴交于点A，连接OC，∠ACO的角平分线交x轴于点D．若AB∶BC∶CO＝1∶2∶2，△COD的面积为6，则k的值为_________．yylxODABC【答案】－7.5提示：由AB∶BC∶CO＝1∶2∶2，可设C（5a，3c），则B（15a，c），A（20a，0）yylxODABCE由CD平分∠ACO可得：EQ\F(AD,DO)＝EQ\F(AC,CO)＝EQ\F(3,2)（可通过作DE∥AC交OC于E转化角平分线定理）∴D（8a，0）∵S△COD＝6，∴EQ\F(1,2)×(－8a)×3c＝6，∴ac＝－EQ\F(1,2)∴k＝15ac＝－7.5如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝EQ\F(m,x)的图象相交于A、B两点，与x轴交于点C（－eq\r(,3)，0），连接BO并延长交反比例函数y＝EQ\F(m,x)的图象于点D，若∠BAD＝120°，△ABD的面积为2eq\r(,3)，则点A的坐标为___________．xxOyDACB【答案】（EQ\F(eq\r(,3),2)，EQ\F(3,2)）提示：设AB交y轴于点E，取CE中点F，连接OA、OFxxOyDACBFE则OF＝CF＝EF由等线段性质可知BC＝AE，∴BF＝AF由对称性可知BO＝OD，∴OF是△ABD的中位线∴OF∥AD，∴∠CFO＝∠BAD＝120°∴∠FCO＝∠FOC＝30°∵C（－eq\r(,3)，0），∴OC＝eq\r(,3)，OE＝1∴S△OCE＝EQ\F(1,2)OC·OE＝EQ\F(eq\r(,3),2)，∴S△OCF＝EQ\F(1,2)S△OCE＝EQ\F(eq\r(,3),4)∵S△ABD＝2eq\r(,3)，∴S△ABO＝eq\r(,3)，S△FBO＝EQ\F(eq\r(,3),2)∴S△FBO＝2S△OCF，∴BC＝CF＝EQ\F(1,2)CE，∴AE＝EQ\F(1,2)CE∵C（－eq\r(,3)，0），∴xA＝EQ\F(eq\r(,3),2)，yA＝1＋EQ\F(1,2)＝EQ\F(3,2)∴A（EQ\F(eq\r(,3),2)，EQ\F(3,2)）湖北随州·统考中考真题如图，直线与双曲线在第一象限内交于、两点，与轴交于点，点为线段的中点，连接，若的面积为3，则的值为．【答案】2【思路点拨】设A点坐标为，C点坐标为，求出B点坐标为，根据B点在上可得，整理得，再根据三角形面积公式得可得k的值．【详解】解：设A点坐标为，C点坐标为，恰为的中点，点的坐标为，点在的图象上，2021·贵州毕节·统考中考真题如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且，连接OA．已知的面积为12，则k的值为．【答案】8.【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥x轴交x轴于E，过点B作BF⊥x轴交x轴于F∵AE⊥x轴，BF⊥x轴，AB=BC∴EF=FC，AE=2BF（中位线定理）设A点坐标为（，），则B点坐标为（，）∵OC=OE+EF+FC∴OC=OE+EF+FC=3a∴解得故答案为：8.如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y＝（x＞0）交于C、D两点，且∠AOC＝∠ADO，则k的值为．【答案】【详解】解：由已知得OA＝2，OB＝4，根据勾股定理得出，AB＝2，如图，过点C作CE⊥x轴于E，作CG⊥y轴G，过点D作DH⊥x轴于H，作DF⊥y轴于F，连接GH，GD，CH，∵点C，D是反比例图象上的点，∴S矩形FDHO＝S矩形GCEO，∴S矩形FDHO＝S矩形GDEO．∴S△DGH＝S△GHC．∴点C，D到GH的距离相等．∴CD∥GH．∴四边形BDHG和四边形GHAC都是平行四边形．∴BD＝GH，GH＝CA．即BD＝AC；设AC＝BD＝m，∵∠AOC＝∠ADO，CAO＝∠DAO，∴△AOC∽△ADO，∴，∴AO2＝AC•AD，∴22＝m（2﹣m），∴m＝±1（舍去+1），过点C作CE⊥x轴于点E，∴△ACE∽△ABO，∴，∴，∴AE＝，CE＝，∴OE＝OA﹣AE＝2﹣＝•OE＝＝，故答案为：．江苏省宿迁市2021年中考数学真题如图，点A、B在反比例函数的图像上，延长AB交轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则=．【答案】8【详解】解：作，设，的面积为12B点是AC中点B点坐标B点在反比例图像上又故答案是：8．如图，A，B是反比例函数(k≠0)图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且B为线段AC的中点，过点A作AD⊥x轴于点D，E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE，BE．若S△ABE＝7，则k的值为．【答案】-12【详解】解：设A(m，)，C(0，n)，则D(m，0)，E(m，0)，∵B为AC的中点，∴AB＝BC，∴B(，)，∵点B在反比例函数(k≠0)的图象上，∴∴k＋mn＝4k，∴mn＝3k，如图，连接EC，OA，∵AB＝BC，∴S△AEC＝2S△AEB＝14，∵S△AEC＝S△AEO＋S△ACO－S△ECO，∴14＝，∴14＝，∴k＝－12．题型七等角模型如图，直线y＝kx与反比例函数y＝EQ\F(m,x)的图象交于A、B两点，过点A作AD∥x轴，交y轴于点D，直线BD交反比例函数y＝EQ\F(m,x)的图象于另一点C，则EQ\F(CA,CB)的值为___________．xxyOBCAD【答案】EQ\F(1,3)提示：设BC交x轴于点ExxyOBCADE由对称性知OA＝OB∵AD∥x轴，∴DE＝BE由等线段性质知BE＝CD∴DE＝BE＝CD由等角性质知∠CAD＝∠CDA∴CA＝CD，∴EQ\F(CA,CB)＝EQ\F(1,3)如图，直线y＝2x与双曲线y＝eq\f(k,x)交于A、B两点，过点A作AC⊥AB交y轴于点C，连接BC并延长交双曲线于点D，连接AD，则EQ\F(AD,BD)的值为__________．xxyOBACD【答案】EQ\F(5,13)提示：作AF∥x轴交y轴于点E，交BD于点FxxyOBACDFE设B（a，2a），则A（－a，－2a），双曲线为y＝eq\f(2a2,x)AE＝a，OE＝2a，CE＝EQ\F(1,2)a，OC＝EQ\F(5,2)a，C（0，－EQ\F(5,2)a）直线BC：y＝EQ\F(9,2)x－EQ\F(5,2)a，则F（EQ\F(1,9)a，－2a）由等角性质可得AD＝FD，点D在线段AF的垂直平分线上∴D（－EQ\F(4,9)a，－EQ\F(9,2)a）∴EQ\F(AD,BD)＝EQ\F(FD,BD)＝EQ\F(xF－xD,xB－xD)＝EQ\F(EQ\F(1,9)a＋EQ\F(4,9)a,a＋EQ\F(4,9)a)＝EQ\F(5,13)如图，在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，顶点C、D在反比例函数y＝EQ\F(k,x)的图象上，若AB＝2AD，OA＝2，□ABCD的面积为8，则点D的坐标为___________．xxOByACD【答案】（2，3）提示：连接AC，作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于FxxOByACDEF由等角性质可知∠ABO＝∠CBE，∴△ABO∽△CBE∵AB＝2AD，∴AB＝2BC∴CE＝EQ\F(1,2)AO＝1，BO＝2BE，∴C（k，1）∴OE＝k，OB＝EQ\F(2,3)k，BE＝EQ\F(1,3)k∴S△ABC＝S梯形AOEC－S△AOB－S△CBE＝EQ\F(1,2)(1＋2)k－EQ\F(1,2)×EQ\F(2,3)k×2－EQ\F(1,2)×EQ\F(1,3)k×1＝EQ\F(2,3)k∵S□ABCD＝8，∴S△ABC＝4，∴EQ\F(2,3)k＝4∴k＝6，∴BE＝EQ\F(1,3)k＝2易证△ADF≌△CBE，∴DF＝BE＝2，AF＝CE＝1∴FO＝1＋2＝3，∴D（2，3）湖北武汉·中考真题如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是(-1，0)，(0，2)，C，D两点在反比例函数的图象上，则k的值等于．【答案】-12【详解】设C（a，），∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC与BD的中点坐标相同，∴（，）=（，），解得：，，即D（，），∴=，即，∵BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（-1，0），（0，2），∴AB=，BC=，∴BC2=（0-a）2+=，∴，∴，解得：，∵,∴，∴如图，在直角坐标系中，平行四边形的顶点、在y轴、x轴上，另两个顶点C、D在第一象限内，且；若反比例函数的图象经过C，D两点，则k的值是．【答案】24【思路点拨】设，根据平行四边形的对边平行得到；然后由勾股定理和反比例函数图象上点的横纵坐标的乘积等于k列出方程组，通过解方程组可以求得k的值．【详解】解：如图，在直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点、，，，又，．设，则，则，解得．故答案是：24．如图，平行四边形的顶点，的坐标分别是，，顶点，在双曲线上，边交轴于点，且四边形的面积是面积的5倍，则．【答案】12【详解】如图，过、两点作轴的垂线，垂足为、．交于点，

过点作．垂足为．∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴，∴≌，∴，，设，，则，解得，∴．设直线解析式为，将，两点代入得，由①得：，代入②得：，即，解得，∴，∴．，，，∵，∵，即，解得：，∴，∴．故答案为12题型八反比例函数中的设而不求法（2023·深圳市一模）如图，A、B是函数y＝上两点，P为一动点，作轴，轴．若，则S△ABP＝（）A．3.6 B．4.8 C．5.4 D．6【答案】C【思路点拨】延长BP，交x轴于点C，由题意可设点，则有，然后由S△BOP＝3.6可进行求解问题．【详解】解：延长BP，交x轴于点C，如图所示：∵PB∥y轴，PA∥x轴，∴，轴，由题意可设点，则有，∵S△BOP＝3.6，∴，即，解得：，∴；湖北武汉·中考真题如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为．【答案】.【详解】如图，连接DC，∵AE=3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1.∴△ADC的面积为4.∵点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，∴设A点坐标为(x,).∵OC＝2AB，∴OC=2x.∵点D为OB的中点，∴△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半，∴梯形BOCA的面积为8.∴梯形BOCA的面积=，解得.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，的面积为1，则k的值为（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【详解】解：设D点坐标为，∵四边形ABCD是矩形，则A点坐标为，C点纵坐标为，∵点E为AC的中点，则E点纵坐标为，∵点E在反比例函数图象上，代入解析式得，解得，，∴E点坐标为，同理可得C点坐标为，∵点F在反比例函数图象上，同理可得F点坐标为，∵点E为AC的中点，的面积为1，∴，即，可得，，解得，故选：D．2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点．在中，，边在轴上，点是边上一点，且，反比例函数的图象经过点交于点，连接．若，则的值为．【答案】1【详解】解：∵反比例函数的图象经过点D，∠OAB＝90°，∴D（m，），∵OD：DB＝1：2，∴B（3m，），∴AB＝3m，OA＝，∴反比例函数的图象经过点D交AB于点C，∠OAB＝90°，∴，∵，∴，即，解得k＝1，故答案为：1．（2022·浙江温州·统考一模）如图，位于平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A及的中点D在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，则k的值为．【答案】2【详解】如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，四边形是平行四边形，即轴，在上，，即设，则是的中点，在上，即得故答案为：2（2022上·四川成都·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在函数的图象上，顶点B在x轴正半轴上，边，分别交的数，的图象于点M，N．连接，若轴，则的面积为．【答案】6【详解】∵轴，∴，点M，N的纵坐标相同，设M点的坐标为，N点的坐标为，∴，如图，过点M作轴，点A作轴，∴，根据反比例函数与三角形的面积关系可得：，，∴，∵相似三角形中面积比等于相似比的平方，∴，∴，∵，∴，即，∴，∵M点的坐标为，∴，∴，∴题型九反比例函数与相似相似三角形结合江苏宿迁·统考中考真题如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若＝，△AOB的面积为6，则k的值为．【答案】6【思路点拨】过点作轴于，则，由线段的比例关系求得和的面积，再根据反比例函数的的几何意义得结果．【详解】解：过点作轴于，则，，，的面积为6，，，的面积，根据反比例函数的几何意义得，，，，．故答案为：6．深圳统考真题如图，已知点A在反比例函数y＝（x＜0）上，作RtABC，点D是斜边AC的中点，连接DB并延长交y轴于点E，若BCE的面积为7，则k的值为．【答案】14【思路点拨】根据反比例函数系数k的几何意义，证明△ABC∽△EOB，根据相似比求出BA•BO的值，从而求出△AOB的面积．【详解】解：连接OA．∵△BCE的面积为7，∴BC•OE＝7，∴BC•OE＝14，∵点D为斜边AC的中点，∴BD＝DC＝AD，∴∠DBC＝∠DCB＝∠EBO，又∠EOB＝∠ABC＝90°，∴△EOB∽△ABC，∴，∴AB•OB•＝BC•OE，∵•OB•AB＝，∴k＝AB•BO＝BC•OE＝14，故答案为14．徐州·统考真题如图，平面直角坐标系中，为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数的图像上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．若，，则k的值为．【答案】7.5【思路点拨】作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H，连接OP，利用角平分线的性质得到PM=PN，设点P（m，m），则k=m2，通过证明△COP∽△POD，得到OP2=OC·OD=15，即可得到k值.【详解】过P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H，连接OP，∵PA，PB分别平分△OAB的两个外角，∴PM=PH，PH=PN，∴PM=PN，设点P（m,m），则有k=m2，∴∠POA=∠POB=∠CPD=45°，∴∠COP=∠POD=135°，∵∠POB=∠PCO+∠OPC=45°，∠APO+∠OPD=45°，∴∠PCO=∠OPD，∴△COP∽△POD，∴OP2=OC·OD=15,∴OP=，根据勾股定理，得m2+m2=15,解得k=m2=7.5如图，已知双曲线y＝（x＜0）和y＝（x＞0），与直线交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y＝，与y轴分别交于点，与双曲线y＝交于点，S△ABC＝6，BP：CP＝2：1，则k的值为．【答案】﹣3．【思路点拨】如图连接OB、OC，作于点E，于点F．根据OA//BC，得到，根据已知条件得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：如图连接OB，OC，CF⊥y轴于F，过作轴于∵OA∥BC，∴S△OBC＝S△ABC＝6，∵，∴S△OPB＝4，S△OPC＝2，∵S△OBE＝∴轴，轴，∵△BEP∽△CFP，∴∴S△OCF＝，∴．2023·江苏盐城·统考中考真题如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为.

【答案】6【思路点拨】过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则，证明，则，得到，根据，进一步列式即可求出k的值.【详解】解：过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则，∵，∴，

∵轴于点，∴，∴，∴，∴，∴，∵，的面积是，∴，∴，∴，则，即，解得（2023·江苏泰州·统考一模）如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，则的值为．【答案】【思路点拨】通过作垂线构造直角三角形，根据直角三角形的两锐角的平分线的夹角为，求出，在中根据特殊锐角三角函数值可求出、，在中，根据勾股定理求出，再根据，得出，进而求出，最后根据反比例函数系数的几何意义求出结果即可．【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点，过点作，垂足为，平分，平分，，，在中，，，，在中，，，，在和中，，，，，，，，，，，又，，负值舍去诺贝尔物理学奖是有关于“复杂系统的理解”，我们可以用动力系统的方法来研究复杂系统．已知直线，双曲线，点A1（1，－1），我们从A1点出发构造无穷点列A2（x2，y2），A3（x3，y3）…构造规则为：若点An（xn，yn）在直线上，那么下一个点An＋1（xn＋1，yn＋1）就在双曲线上，且xn＋1＝xn；若点An（xn，yn）在双曲线上，那么下一个点An＋1（xn＋1，yn＋1）就在直线上，且yn＋1＝yn，根据规则，点A3的坐标为．无限进行下去，无限接近的点的坐标．【答案】（5，3）（3，1）【思路点拨】先根据题意求出从而可以求出的坐标，从而求出，，，的坐标，可以发现结合函数图象可知此时这个点列慢慢的向一次函数与反比例函数的交点靠近，则无限进行下去，无限接近的点的坐标即为一次函数与反比例函数的交点，由此求解即可．【详解】解：∵点A1（1，－1）满足一次函数解析式，即点A1在直线上，∴点的横坐标为1且点在反比例函数上，∴点的纵坐标为，∴点的纵坐标为3，且点在直线上，∴点的横坐标为5，∴点的坐标为（5，3），同理点的坐标为，，，，结合函数图象可知此时这个点列慢慢的向一次函数与反比例函数的交点靠近，∴无限进行下去，无限接近的点的坐标即为一次函数与反比例函数的交点，联立，解得或（舍去），故答案为：（5，3），（3，1）．2022·江苏镇江·统考中考真题如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与轴交于点．(1)_________，_________；(2)连接并延长，与反比例函数的图像交于点，点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．【答案】(1)4，2(2)点的坐标为、【思路点拨】对于（1），将点A的坐标代入两个关系式，即可得出答案；对于（2），先求出AO，BO，CO，再确定点D的位置，然后分两种情况和，再根据相似三角形的对应边成比例求出答案即可．【详解】（1）将点A（1，4）代入一次函数y=2x+b，得，解得，一次函数的关系式为；将点A（1，4）代入反比例函数，得，反比例函数的关系式为．故答案为：4，2；（2）点A与点C关于原点对称，可知点C的坐标是（-1，-4）．当x=0时，y=2，∴点B（0，2），∴OB=2．根据勾股定理可知．当点落在轴的正半轴上，则，∴与不可能相似．当点落在轴的负半轴上，若，则.∵，∴，∴；若，则．∵，，∴，∴．综上所述：点的坐标为、．2023·江苏镇江·统考中考真题如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，．

(1)______，______，点C的坐标为______．(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．【答案】(1)，，(2)点P的坐标为或【思路点拨】（1）点B是两函数图象的交点，利用待定系数法求出m，k的值；根据“A，B两点关于原点对称”求出点A的坐标，过点A作x轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质，结合图形，求出点C的坐标．（2）根据点P在x轴上，结合图形，排除点P在x轴负半轴上的情形，当点P在x轴正半轴上时，两个三角形中已有一对角相等，而夹角的两边的对应关系不确定，故分类讨论：①；②．分别求出两种情况下的长，从而得出点P的坐标．【详解】（1）（1）将代入，得，∴．将代入，得，∴．如图，过点A作轴于点D，则．

∵点A，B关于原点O对称，∴，∴．又∵，∴，∴，∴．故答案为：，，；（2）由（1）可知，，．当点P在x轴的负半轴上时，，∴．又∵，∴与不可能相似．当点P在x轴的正半轴上时，．①若，则，∵，∴，∴；②若，则，又∵，，∴，∴．综上所述，点P的坐标为或．2023·山东泰安·统考中考真题如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，作轴，垂足为点，．

(1)求反比例函数的表达式；(2)在第二象限内，当时，直接写出的取值范围；(3)点在轴负半轴上，连接，且，求点坐标．【答案】(1)；(2)；(3)．【思路点拨】（1）求出点坐标，即可求出反比例函数解析式；（2）观察图象特点，即可得出取值范围；（3）先证明三角形相似，再根据相似三角形的性质求出线段长，最后由线段和差即可求出的长．【详解】（1）∵，轴，∴，点的纵坐标为，∵点在图象上，∴当时，，解得：，∴点坐标为，∵反比例函数的图象过点，∴，∴反比例函数的表达式为：；（2）如图，在第二象限内，当时，，

（3）如图，过作轴于点，

∵轴，∴，∴四边形是矩形，∴，，∵，∴，即：，∵，∴，∴，∴，∴，由得：时，，解得：，∴点，∴，，∴，∴，∴点2023·四川成都·统考中考真题如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．

(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．【答案】(1)点A的坐标为，反比例函数的表达式为；(2)点C的坐标为或(3)点P的坐标为；m的值为3【思路点拨】（1）利用直线解析式可的点C的坐标，将点代入可得a的值，再将点代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解；（2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式，C点坐标为，根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解；（3）位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到，由得到，继而得到直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：，将代入求得的解析式是：，再将直线与双曲线的解析式联立求得，再用待定系数法求出的解析式是，利用直线的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为，再用两点间的距离公式得到，从而求得．【详解】（1）解：令，则∴点A的坐标为，将点代入得：解得：∴将点代入得：解得：∴反比例函数的表达式为；（2）解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N，

令解得：∴，∴，又∵，∴∵，∴又∵直线l是的垂线即，，∴，∴设直线l的解析式是：，将点，点代入得：解得：∴直线l的解析式是：，设点C的坐标是∵，(分别代表点B与点C的横坐标)解得：或6，当时，；当时，，∴点C的坐标为或（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，∴点E是直线l与双曲线的另一个交点，将直线l与双曲线的解析式联立得：解得：或∴画出图形如下：

又∵∴∴∴直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：将点代入得：解得：∴直线的解析式是：∵点D也在双曲线上，∴点D是直线与双曲线的另一个交点，将直线与双曲线的解析式联立得：解得：或∴设直线的解析式是：将点，代入得：解得：∴直线的解析式是：，又将直线的解析式与直线l的解析式联立得：解得：∴点P的坐标为∴∴题型十反比例函数与一次函数综合【题型梳理】1、比大小，2、由交点个数求参数的值或范围，3、一次函数平移后相关问题；4、与几何结合定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两条坐标轴的距离之积等于的点，叫做该函数图象的“n阶积点”．例如，点为一次函数图象的“阶积点”．若y关于x的一次函数图象的“n阶积点”恰好有3个，则n的值为．【答案】1或3【思路点拨】设点是一次函数图象上的“n阶积点”，得出，则，推出，一次函数经过一、三象限，易得经过一、三象限，一次函数经过一、三象限，则函数图象与函数图象有2个交点；根据y关于x的一次函数图象的“n阶积点”恰好有3个，得出函数图象与函数图象有1个交点，则方程，有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵，∴，当时，，即一次函数经过点，∵y关于x的一次函数图象上存在“n阶积点”，设点是一次函数图象上的“n阶积点”，∴，则，∴，一次函数经过一、三象限，∴或，∵经过一、三象限，一次函数经过一、三象限，∴函数图象与函数图象有2个交点；∵y关于x的一次函数图象的“n阶积点”恰好有3个，∴函数图象与函数图象有1个交点，联立得：，则，整理得：，∴，解得：或3（2023·江西吉安·校考三模）如图，一次函数的图象与反比例函数于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点D，C为反比例函数的图象上的点，且于点A

(1)求的面积．(2)若，求k的值．【答案】(1)9(2)【思路点拨】（1）由一次函数的解析式求得A、D的坐标，然后利用三角形面积公式即可求解；（2）作轴于E，轴于F，设，则，，，通过证得，求得，，，即可得出，由反比例函数的图象经过B、C点，得出，根据一次函数的图象经过点B，即可得出，即可得出，代入得到关于n的方程，解方程求得n的值，进一步求得m的值，由即可求得k的值．【详解】（1）解：令，则，令，则，解得，∴，，∴，，∴的面积；（2）解：作轴于E，轴于F，如图所示：

设，则，，∵，∴，∵于点A，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，，∴，∴，∵反比例函数的图象经过B、C点，∴，∵，∴，∴，解得，（舍去），∴，∴．2023·山东淄博·统考中考真题如图，直线与双曲线相交于点，．

(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；(2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积；(3)请直接写出关于的不等式的解集．【答案】(1)，(2)(3)【思路点拨】将代入双曲线，求出的值，从而确定双曲线的解析式，再将点代入，确定点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可；由平行求出直线的解析式为过点作交于，设直线与轴的交点为，与轴的交点为,可推导出,再由，求出则的面积数形结合求出x的范围即可.【详解】（1）将代入双曲线，∴,∴双曲线的解析式为，将点代入，∴,∴,将代入,，解得，∴直线解析式为；（2）∵直线向下平移至,

∴,设直线的解析式为将点代入∴解得∴直线的解析式为∴过点作交于,设直线与轴的交点为，与轴的交点为,∴,∵,∴,∵,，，∵，，，∴的面积（3）由图可知时,2022·江苏徐州·统考中考真题如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点．(1)点是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；(2)连接、，若四边形为正方形．①求、的值；②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．

【答案】(1)点在这个反比例函数的图像上，理由见解析(2)①，；②点的坐标为【思路点拨】（1）设点的坐标为，根据轴对称的性质得到，平分，如图，连接交于，得到，再结合等腰三角形三线合一得到为边上的中线，即，求出，进而求得，于是得到点在这个反比例函数的图像上；（2）①根据正方形的性质得到，垂直平分，求得，设点的坐标为，得到（负值舍去），求得，，把，代入得，解方程组即可得到结论；②延长交轴于，根据已知条件得到点与点关于轴对称，求得，则点即为符合条件的点，求得直线的解析式为，于是得到结论．【详解】（1）解：点在这个反比例函数的图像上．理由如下：一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，设点的坐标为，点关于直线的对称点为点，，平分，连接交于，如图所示：

，轴于，轴，，，，，在Rt中，，，为边上的中线，即，，，，点在这个反比例函数的图像上；（2）解：①四边形为正方形，，垂直平分，，设点的坐标为，，，，（负值舍去），，，把，代入得，；②延长交轴于，如图所示：

，，点与点关于轴对称，，则点即为符合条件的点，由①知，，，，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，当时，，即，故当最大时，点的坐标为．2022·四川绵阳·统考中考真题如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直x轴于点，为坐标原点，四边形的面积为38．(1)求反比例函数及一次函数的解析式；(2)点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和面积的最小值．【答案】(1)，；(2)，．【思路点拨】（1）利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，再利用四边形的面积为38．求出，进一步利用待定系数法即可求出一次函数解析式；（2）平移一次函数与在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短，的面积最小，设平移后的一次函数解析式为：，联立，解得：，进一步求出：，即，连接PM，PN，过点P作的延长线交于点B，作交于点C，根据以及点的坐标即可求出的面积．【详解】（1）解：∵在上，∴，即反比例函数解析式为：，设，∵四边形的面积为38．∴，整理得：，解得：（舍去），，∴，将和代入可得：解得：，∴一次函数解析式为：．（2）解：平移一次函数到第三象限，与在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短，的面积最小，设平移后的一次函数解析式为：，联立可得：，整理得：，∵有唯一交点P，∴，解得：或（舍去），将代入得：，解得：经检验：是分式方程的根，∴，连接PM，PN，过点P作的延长线交于点B，作交于点C，则：，∵，，，∴，，，∴．2022·四川资阳·中考真题如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．(1)求一次函数的表达式；(2)结合图象，写出当时，满足的x的取值范围；(3)将一次函数的图像平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，使它的图像与平移后的一次函数图像无交点．【答案】(1)一次函数的表达式为(2)(3)【思路点拨】（1）将、两点的坐标解出来，然后利用待定系数法求一次函数的解析式；（2）当，求得一次函数的图像在反比例函数的图像上方对应的即可；（3）将一次函数平移后即可得到新的一次函数的解析式，根据一次函数图像即可判断反比例函数的系数，进而得到反比例函数的解析式．【详解】（1）解：由题意得：，，∴，∴，由题意得，解得：，∴一次函数的表达式为：；（2）解：由图像可知，当时，一次函数的图像在反比例函数的图像上方对应的值为，当时，满足的x的取值范围为；（3）解：一次函数的图像平移后为，函数图像经过第一、三象限，要使正比例函数与反比例函数没有交点，则反比例的函数图像经过第二、四象限，则反比例函数的，当时，满足条件，反比例函数的解析式为．2023·黑龙江大庆·统考中考真题一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求的面积；(3)过动点作轴的垂线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于，两点，当在的上方时，请直接写出的取值范围．【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为(2)(3)或【思路点拨】（1）把分别代入一次函数和反比例函数求出的值即可得到答案；（2）联立求出点的坐标，令直线与交于点，由直线求出点的坐标，最后由，进行计算即可得到答案；（3）直接由函数图象即可得到答案．【详解】（1）解：把代入一次函数，得，解得：，一次函数的解析式为：，把代入反比例函数，得，解得：，反比例函数的解析式为：；（2）解：联立，解得：或，，令直线与交于点，如图，

，当时，，解得：，，（3）解：由图象可得：

，当在的上方时，的取值范围为：或．2023·湖北黄冈·统考中考真题如图，一次函数与函数为的图象交于两点．

(1)求这两个函数的解析式；(2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围；(3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标．【答案】(1)，(2)(3)点P的坐标为或【思路点拨】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式；（2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求；（3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可．【详解】（1）解：将代入，可得，解得，反比例函数解析式为；在图象上，，，将，代入，得：，解得，一次函数解析式为；（2）解：，理由如下：由（1）可知，当时，，此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为，即满足时，x的取值范围为；（3）解：设点P的横坐标为，将代入，可得，．将代入，可得，．，，整理得，解得，，当时，，当时，，点P的坐标为或．题型十一反比例函数中的探究类问题2023·山东济南·统考中考真题综合与实践如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．

【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地