备考2024年中考数学专题突破（全国通用）专题3-1 二次函数中的10类定值、定点问题（解析版）

资料整理资料整理资料整理专题3-1二次函数中的10类定值、定点问题二次函数背景下的定值与定点问题，解析法类似于高中，但并不超纲！因为解题方法比较特殊，同学们要专门学习和练习，才能在考场上应对自如，这些方法包括联立、转化等，对同学们的代数功底与几何功底都有较高的要求.TOC\o"1-4"\n\h\z\u知识点梳理一、定值问题二、定点问题题型一面积定值2022·山东淄博·中考真题2023·福建厦门三模题型二线段长为定值2024届湖北天门市九年级月考2024届福建龙岩市统考期中2020·西藏·中考真题题型二线段和定值2023广州市二中月考2022·四川巴中·中考真题2024届湖北黄石市·九年级统考2023·四川乐山·统考二模2023·海口华侨中学考模2023·江苏徐州·4月模拟2022·湖南张家界·中考真题题型三加权线段和定值2023·四川广元·中考真题2020·四川德阳·中考真题题型四线段乘积为定值2023·四川南充·中考真题2024届·武汉市东湖高新区统考2024届福建省福州屏东中学月考2024届福州市晋安区统考2023·福建福州·校考三模题型五比值为定值2023年广西钦州市一模2023福建厦门一中模拟2023年福州市屏东中学中考模拟武汉·中考真题题型六横（纵）坐标定值2023·湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田·中考真题2024届湖北潜江市初12校联考题型七角度为定值2023·成都武侯区西川中学三模四川乐山·统考中考真题题型八其它定值问题2023·浙江湖州·统考一模2024届福建省南平市统考2023年湖北省武汉市新观察中考四调题型九结合韦达定理求定点2023年湖北省武汉市外国语学校中考模拟2024届武汉市青山区九年级统考2024届武汉市新洲区12月统考2024届·福建厦门市第九中学期中2023·武汉光谷实验中学中考模拟2023广东省梅州市九年级下期中2024届福州市九校联盟期中2023年湖北省武汉市新观察中考四调题型十已知定值求定点2024届武汉市洪山区九年级统考2024届湖北省武汉市新洲区九年级上期中2023年广州市天河外国语学校中考三模知识点梳理一、定值问题一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用:1.参数计算法：即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)作为参数,将要求的定值用参数表示出，然后消去参数即得定值。2.韦达定理法：当涉及到直线(一次函数图象或x轴)与二次函数交点时，先联立方程消去y之后整理得到一元二次方程，借助韦达定理可得到交点横坐标与参数的关系，可以将要求的定值代数式用交点横坐标的和或积表示，往往会刚好抵消掉参数，则得到定值。简单的引例1如下：若线段AB＝x＋2，线段PQ＝－x＋7，那么AB＋PQ＝x＋2－x＋7＝9；即线段AB与线段PQ的和等于9，是一个定值．

简单的引例2如下：求证不论m取任何实数，二次函数y＝x²－2（m＋1）x＋m（m＋2）的图象与x轴的两个交点之间的距离d为定值。通过令y＝0，可以求得方程的两个实数根分别为x1＝m，x2＝m＋2，则两个交点之间的距离d＝x1－x2＝|m－m－2|＝2，是一个定值二、定点问题函数的解析式中除自变量外，还有待定的系数，此时函数的图象会随着待定的系数的变化而变化。图象变化过程中，有时始终会经过某个固定的点，定点问题是一个难点。方法：使待定的系数k失去影响力【例】证明：无论k取何值，抛物线都经同一定点.第一步：先找出所有含k的项，再提公因式k第二步：令与k相乘的因式为0，此时k就不起作用了令，此时在一个函数中，知x可求y，这个坐标就是定点，故无论k取何值，函数都经过定点总结：因为当x取某个值时，使含k项全部抵消了，即k不起作用了!【例2】（2022·山东日照真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；【思路点拨】将抛物线的解析式变形为：y=－x2+m（2x+3），进而根据2x+3=0，求得x的值．【详解】证明：∵y=-x2+m（2x+3），∴当2x+3=0时，即时，，∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是【例3】（2022·江苏连云港·真题）已知二次函数，其中．求证：二次函数的顶点在第三象限【思路点拨】先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于0即可；【详解】解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为．∵，∴，∴，∴．∵，∴二次函数的顶点在第三象限．题型一面积定值2022·山东淄博·中考真题如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．【答案】(1)y=x²+2x+3(2)定值16【思路点拨】（1）利用顶点式可得结论；（2）如图，设，求出直线AP，BP的解析式，可得点E，F的坐标，求出FG的长，可得结论．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为D（1，4），∴根据顶点式，抛物线的解析式为；（2）解：四边形AFBG的面积不变．理由：如图，设，

∵，，∴直线AP的解析式为，∴，∵E，G关于x轴对称，∴，∴直线PB的解析式为，∴，∴，∴四边形AFBG的面积，∴四边形AFBG的面积是定值．2023·福建厦门三模已知抛物线经过点．(1)求抛物线的解析式及其顶点的坐标．(2)将点向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点，若点为抛物线上的一个动点，则以线段为直径的圆与直线交于点，，的面积是否为定值？若是，求出它的值；若不是，请说明理由．【答案】(1)，；(2)是，．【思路点拨】（1）待定系数法求出函数解析式，转化为顶点式，求出点的坐标；（2）平移得到点的坐标，设，两点间的坐标公式得到，中点坐标公式，得到的中点的坐标为，进而求出点到直线的距离，利用垂径定理，得到，求出的长，再求出点到直线的距离，然后利用面积公式进行求解即可．【详解】（1）解：将点代入得，，∴，∴，∵，∴函数的顶点的坐标为．（2）由题意得，，设，则，∴，的中点坐标为，记为点，∴点到直线的距离为，由垂径定理得，，∴，∴，∴，∵点到直线的距离为，∴，∴的面积为定值．题型二线段长为定值2024届湖北天门市九年级月考如图，已知抛物线的顶点为A，且经过点．

(1)求顶点A的坐标；(2)如图，将原抛物线沿射线方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)，过程见解析【思路点拨】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；（2）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与的解析式，可得C、D点的横坐标，根据勾股定理，可得答案．【详解】（1）解：把代入得：，解得，∴，∴顶点A的坐标是；（2）在抛物线平移的过程中，线段的长度是定值，设直线的解析式为，把点A的坐标代入得，，∴直线的解析式为，∴可设新的抛物线解析式为，联立，∴，∴，∴，∴，∴，即C、D两点的横坐标的差是1，C、D两点间的纵坐标的差为1，∴，∴在抛物线平移的过程中，线段的长度是定值．2024届福建龙岩市统考期中已知，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点为A，顶点为．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图，设直线（k≠0）与抛物线交于两点，点关于直线的对称点为，直线与直线交于点，求证：的长为定值．【答案】(1)(2)点为定点，为定值2【思路点拨】（1）根据题意利用待定系数法求解即可；（2）根据题意联立两个函数得出，再由题意确定直线的解析式，即可求解．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，过原点，可得，；解得；即解析式为：．（2）为与抛物线的交点，；解得：或；，与关于直线对称，得：，设直线的解析式为：，；解得：；

即直线的解析式为：，当时，．点为定点，为定值2．2020·西藏·中考真题在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣2，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣4；（2）P(3，﹣)；（3）没有变化，2【思路点拨】（1）由二次函数的图象与轴交于，两点，可得二次函数的解析式为，由此即可解决问题．（2）结论：点在运动过程中线段的长是定值，．根据，根据方程求出，再利用中点坐标公式，求出点的纵坐标即可解决问题．【详解】解：（1）二次函数的图象与轴交于，两点，二次函数的解析式为，即．（2）结论：点在运动过程中线段的长是定值，．理由：如图乙中，连接，，，设，，，．由题意，，，解得，，，，，，点在运动过程中线段的长是定值，题型二线段和定值2023广州市二中月考已知抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为C，连接，点P在线段下方的抛物线上运动．

如图，直线，分别与y轴交于点E，F，当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】当点P运动时，为定值，定值为8．【思路点拨】当点P运动时，为定值．如图，过点P作，交于点I，同（1），令，则，可证，得，同理，，得，于是．【详解】解：当点P运动时，为定值．如图，过点P作，交于点I，同（1），令，则∵，∴∴∴同理，，得∴∴．

2022·四川巴中·中考真题如图1，抛物线，交轴于A、B两点，交轴于点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，当时，．(1)求抛物线的表达式；(2)点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点，如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)(2)①；②是，定值为，理由见解析【思路点拨】（1）由当时，，可知，是的两根，代入方程可得从而得解；（2）①把代入抛物线解析式可得D点坐标，再代入抛物线解析式可得C点坐标，从而得知线段轴，利用配方法可知点F坐标，从而利用求面积；②设，用待定系数法求出直线与直线的解析式，再令得，，从而得出，的长，从而得到是定值8．【详解】（1）解：∵当时，，∴，是的两根，，∴，解得：，抛物线的表达式为：；（2）①把代入得：，．又当，，，线段轴．，，；②设，直线，，因此可得：或，解得：或，直线，．令得，，，，．2024届湖北黄石市·九年级统考如图，抛物线过点，点，点，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．

(1)求抛物线的解析式；(2)若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)是定值，值为8【思路点拨】（1）待定系数法求解析式即可；（2）设，直线的解析式为，将代入得，，解得，，则的解析式为，当时，，则，即，同理可得，，然后求解作答即可．【详解】（1）解：将，点，点代入得，，解得，，∴；（2）解：由题意知，抛物线对称轴直线，如图1，连接交于，由翻折的性质可知，，为的中点，设，则，，，由勾股定理得，，即，解得，或（舍去），∴，则，设直线的解析式为，将，代入得，，解得，，∴；（3）解：设，直线的解析式为，

将代入得，，解得，，∴的解析式为，当时，，则，即，同理可得，直线的解析式为，当时，，则，即，∴，∴的值为定值，定值为8．2023·四川乐山·统考二模如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，点是轴上方抛物线上的一个动点，过作轴于，交直线于．(1)求二次函数表达式及顶点的坐标；(2)设抛物线对称轴与轴交于点，连接交对称轴于，连接并延长交对称轴于，证明的值为定值，并求出这个定值．【答案】(1)二次函数的表达式为，顶点D的坐标为；(2)见解析，这个定值为9【思路点拨】（1）将A，B点代入二次函数表达式中求得a、b的值即可确定函数解析式，然后再化成顶点式即可确定顶点D坐标；（2）如图，过点P作轴于点G，设点P的坐标为，再说明可得、，即，；进而得到，；然后分当点G在上和上两种情况，分别的值即可解答．【详解】（1）解：∵，在二次函数的图像上，∴将A，B点代入二次函数表达式中，得，解得∴二次函数的表达式为，将其化为顶点式为，∴顶点D的坐标为．（2）解：如图，过点P作轴于点G，设点P的坐标为∵轴于点H，∴，∴，，∴，，∴，，当点G在上时，∵，，，，∴=9；同理：当点G在上，由抛物线对称性可知，结果相同．综上可知，的结果为定值，且这个定值为9．2023·海口华侨中学考模如图1，抛物线交x轴于点和点，交于y轴点C，F为抛抛物线顶点，点在抛物线上．

(1)求该抛物线所对应的函数解析式(2)直线EF垂直于x轴于点E，点P是线段BE上的动点（除B、E外）过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，连接DA、DQ,如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问：是否为定值？如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)(2)是为定值，定值为8【思路点拨】分或两种情况结合一次函数图象的性质分析求解；【详解】（1）∵抛物线经过点，，∴，解得∴该抛物线的函数表达式为：；（2）设，由A、D的坐标得，直线的表达式为：，当时，；由点B、D的坐标得，直线的表达式为：，当时，则是为定值，定值为8．2023·江苏徐州·4月模拟如图，已知抛物线经过点和点，其对称轴交x轴于点H，点C是抛物线在直线上方的一个动点（不含A，B两点）

(1)求a，m的值；(2)若直线、分别交该抛物线的对称轴于点E、F，试问是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)，(2)是定值，8【思路点拨】（1）用待定系数法求出抛物线表达式，进而求解；（2）求出直线的表达式为：，直线的表达式为：，即可求解．【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，即抛物线的表达式为：，当时，，即点，即，故，；（2）是定值，理由：设点，由点、的坐标得：直线的表达式为：，当时，，即点，则，由点的坐标得，直线的表达式为：，当时，，即点，则，则，为定值．2022·湖南张家界·中考真题如图，已知抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点．

(1)求抛物线的函数表达式及点的坐标；(2)抛物线的对称轴与轴交于点，点是点关于点的对称点，点是轴下方抛物线图像上的动点．若过点的直线与抛物线只有一个公共点，且分别与线段、相交于点、，求证：为定值．【答案】(1)；顶点为(2)见解析【思路点拨】（1）设二次函数表达式为：，将、代入，进行计算即可得，根据二次函数的性质即可得；（2）根据对称的性质得，根据直线与抛物线图像只有一个公共点，即可得，利用待定系数法可得直线的解析式为：，直线的解析式为：，联立，结合已知，解得：，同理可得：，运用三角函数求出GH，GK即可得．【详解】（1）解：设二次函数表达式为：，将、代入得：，解得，，抛物线的函数表达式为：，又，，顶点为；（2）解：点关于点的对称点为点，，直线与抛物线图像只有一个公共点，只有一个实数解，△，即：，解得：，利用待定系数法可得直线的解析式为：，直线的解析式为：，联立，结合已知，解得：，同理可得：，则：，，，的值为．题型三加权线段和定值2023·四川广元·中考真题如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析【思路点拨】（1）待定系数法求解析式即可；（2）先求得抛物线的对称轴为直线，设与交于点，过点作于点，证明，设，则，，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值，同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当点与点重合时，求得另一个解，进而即可求解；【详解】（1）解：将点，，代入得，解得：，∴抛物线解析式为；（2）设，直线的解析式为，的解析式为，∵点，，，∴，解得：，∴直线的解析式为，的解析式为，对于，当时，，即，对于，当时，，即，∵在抛物线上，则∴∴为定值．2020·四川德阳·中考真题如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N（2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）是，3NE+NF为定值4【思路点拨】（1）先将抛物线解析式变形，可得A和B的坐标，从而得AB=1+3=4，根据三角形ABC的面积为2可得OC的长，确定点C的坐标，根据点C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）设点D（n，﹣n2+n+1），利用待定系数法求直线AD和BD的解析式，表示FN和OK的长，直接代入计算可得结论．【详解】（1）如图1，y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x2﹣2x﹣3）=a（x﹣3）（x+1），∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4，∵△ABC的面积为2，即，∴OC=1，∴C（0，1），将C（0，1）代入y=ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a=1，∴a=﹣，∴该二次函数的解析式为y=﹣x2+x+1；（2）如图3，设点D（n，﹣n2+n+1），延长BD交y轴于K，∵A（﹣1，0），设AD的解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴AD的解析式为：y=（﹣）x﹣，当x=2时，y=﹣n+2﹣n+1=﹣n+3，∴F（2，3﹣n），∴FN=3﹣n，同理得直线BD的解析式为：y=（﹣）x+n+1，∴K（0，n+1），∴OK=n+1，∵N（2，0），B（3，0），∴，∵EN∥OK，∴，∴OK=3EN，∴3EN+FN=OK+FN=n+1+3﹣n=4，∴在点D运动过程中，3NE+NF为定值4．题型四线段乘积为定值2023·四川南充·中考真题如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】(1)(2)定值，理由见详解【思路点拨】（1）将两点代入抛物线的解析式即可求解；（2）可设直线的解析式为，，，可求，再求直线的解析式为，从而可求，同理可求，即可求解．【详解】（1）解：抛物线与x轴交于两点，，解得，故抛物线的解析式为．（2）解：是定值，理由：如图，直线经过，可设直线的解析式为，、在抛物线上，可设，，，整理得：，，，，当时，，，设直线的解析式为，则有，解得，直线的解析式为，当时，，解得：，，，同理可求：，；当与对调位置后，同理可求；故的定值为．2024届·武汉市东湖高新区统考如图1，抛物线与x轴于交，两点，交y轴于点C，连接，点D为上方抛物线上的一个动点，过点D作于点E．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，将抛物线沿y轴翻折得到抛物线，抛物线的顶点为F，对称轴与x轴交于点G，过点的直线（直线除外）与抛物线交于J，I两点，直线分别交x轴于点M，N.试探究是否为定值，若是，求出该定值：若不是，说明理由．【答案】(1)(2)8【思路点拨】（1）利用待定系数法求解析式；（2）由翻折得抛物线的解析式为，可设直线JI的解析式为，直线FJ的解析式为，当时，，得，，同理可求：，故的定值为8【详解】（1）解：抛物线经过点，,抛物线的解析式为（2）是定值，理由如下：将抛物线沿y轴翻折得到抛物线的解析式为直线JI经过，可设直线JI的解析式为、I在抛物线上，可设，，，整理得：，，，，

设直线FJ的解析式为，则有解得，直线FJ的解析式为，当时，，解得：，，，同理可求：，；故的定值为82024届福建省福州屏东中学月考如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中），交轴于两点（点在点的左侧），交轴负半轴于点．

(1)求点的坐标；(2)如图，平面上一点，过点作任意一条直线交抛物线于两点，连接，分别交轴于两点，则与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)与的积是定值2【思路点拨】（1）由题意即可求解；（2）设直线的解析式为：，，联立抛物线解析式可得，作轴，轴，可得即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线（其中），交轴于两点（点在点的左侧），∴点的坐标为；（2）解：∵，当，解得或，∴，∵过点作任意一条直线交抛物线于两点，设直线的解析式为：，，，则，∴直线的解析式为：，联立，整理得：，，作轴，轴，如图，

∴，，即，，同理，，为定值2024届福州市晋安区统考如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C．

(1)求二次函数解析式；(2)如图，平面上一点，过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接、，分别交y轴于M、N两点，则与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)是定值，为2，理由见解析【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设直线的解析式为，，，由直线过点，可得其解析式为，与抛物线联立得到，，作轴于点，作轴于点，证明，可得，，代入计算，即可得出是一个定值．【详解】（1）∵抛物线交x轴于，两点，∴，解得∴；（2）是定值，为2，理由：过点作一直线交抛物线于、两点，设直线的解析式为，，，，得，直线的解析式为①，∵抛物线②，∴联立①②得：，，，如图，作轴于点，作轴于点，

则，，即，，同理，，，为定值．2023·福建福州·校考三模如图，直线：交轴于点，交轴于点，点在轴上，，经过点，的抛物线：交直线于另一点．

(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线与轴的另一个交点为，过点的任意直线（不与轴平行）与抛物线交于点、，直线、分别交轴于点、，是否存在的值使得与的积为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)存在，【思路点拨】（1）在中，可得，，，即知，用待定系数法得抛物线的解析式为；（2）由得，设，，直线的解析式为，可得，，同理得，可得，从而，设直线的解析式为，有，根据韦达定理得，，可求得，故当时，．【详解】（1）解：在中，令得，令得，，，，，，，，抛物线经过，，，解得，抛物线的解析式为；（2）存在的值使得与的积为定值，理由如下：

在中，令得，解得或，，设，，设直线的解析式为，将点代入，得，直线的解析式为，令，则，，，设直线的解析式为，点代入，得，直线的解析式为，令，则，，，，设直线的解析式为，联立方程组，，，，，当时，为定值2，当时，．题型五比值为定值2023年广西钦州市一模定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线与抛物线组成一个开口向下的“月牙线”，抛物线与抛物线与x轴有相同的交点M，N（点M在点N左侧），与y轴的交点分别为点，．

(1)求出点M，N的坐标和抛物线的解析式；(2)点P是x轴上方抛物线上的点，过点P作轴于点E，交抛物线于点Q，试证明：的值为定值，并求出该定值；【答案】(1)，；(2)证明见解析，该定值为2【思路点拨】（1）先由求得，，可得点M，N的坐标，将点，代入抛物线，利用待定系数法即可求抛物线的解析式；（2）设，则，可得，，进而可得，即可证得结论；（3）由抛物线：可得点，两条抛物线的对称轴均为直线，进而求得，连接，由于等腰直角三角形可知，分两种情况讨论：当时，，当时，，分别进行讨论即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点M、N，且当时，解得，，∴，；将点，代入抛物线，得，解得∴抛物线的解析式为；

3分（2）证明：设，则，∴，，∴∴的值为定值，该定值为22023福建厦门一中模拟如图，抛物线经过两点，与轴交于两点．(1)求抛物线的解析式：(2)点为第四象限抛物线上一动点，点横坐标为，直线与交于点，连接．如图，直线与抛物线交于点，连接．问：是否为定值？若是，请求出这个定值：若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)是定值，定值为，理由见解析【思路点拨】（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）利用待定系数法依次求出直线和的解析式，将直线的解析式与抛物线的解析式联立，求出点E的坐标，再根据，即可证明是否为定值．【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为．（2）是定值，定值为，理由如下：设直线的解析式为,将代入,可得，解得，∴直线的解析式为，令，则，∴．设直线的解析式为,将代入,可得，解得，∴直线的解析式为，联立，解得或，∴点E的横坐标为，∴点E的纵坐标为：，∴，，∴．2023年福州市屏东中学中考模拟已知抛物线与直线有且只有一个公共点．(1)求这条抛物线的解析式；(2)将该抛物线沿直线沿左上方平移个单位后得到抛物线C，点A是抛物线C上的的任意一点，且点A在第一象限的抛物线上，点A的横坐标为m，A和B两点关于原点对称，过点A作轴，垂足为点D，连接交抛物线于M、N两点（点M在点N的右侧）．①用含m的式子表示直线的解析式；②设直线与直线与x轴分别交于P、Q两点，求证：为定值．【答案】(1)(2)①直线的解析式为，②证明见解析【思路点拨】（1）联立抛物线与直线：，根据求出，即可得到抛物线的解析式；（2）①根据抛物线解析式求出顶点坐标为，得到点的坐标满足解析式，由此得到将该抛物线沿直线左上方平移个单位后得到抛物线C解析式为：，可设点A的坐标为，，得到点D坐标为，点B坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式；②由，得，求解方程得，得到当时点M与点N的坐标，分别求出直线的解析式，直线的解析式，由此得到点P、Q的坐标，由此计算即可得为定值．【详解】（1）联立抛物线与直线：，∵，即，解得，这条抛物线的解析式为；（2），该抛线的对称轴为直线，顶点坐标为，点的坐标满足解析式，抛物线的顶点E在直线上，，直线过原点，将该抛物线沿直线向左上方平移个单位后得到抛物线C解析式为：，点A在第一象限的抛物线C上，可设点A的坐标为，，轴，垂足为点D，点D坐标为，，A、B关于坐标原点对称，点B坐标为，①设直线的解析式为，代入B、D坐标得，得，故直线的解析式为；②证明：由，得，化简整理得，，点在N点的右侧，∵时，，，设直线的解析式为，，解得，，；同理可得直线的解析式为，，，，，∴为定值．武汉·中考真题抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方．（1）如图1，若P（1，－3）、B（4，0），求该抛物线的解析式；（2）如图2，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）y＝x2-；（2）是定值，等于2.【详解】（1）将P（1，－3）、B（4，0）代入y＝ax2＋c得，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）设B（b，0），则A（-b，0）有ab2＋c＝0，∴b2＝，过点P（x0，y0）作PH⊥AB，有，易证：△PAH∽△EAO，则即，∴，同理得∴，∴，则OE＋OF＝∴，又OC＝－c，∴.∴是定值，等于2．题型六横（纵）坐标定值2023·湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田·中考真题如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接．

(1)抛物线的解析式为__________________；（直接写出结果）(2)如图2，若动直线与抛物线交于两点（直线与不重合），连接，直线与交于点．当时，点的横坐标是否为定值，请说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析【思路点拨】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）设点的坐标为，点的坐标为．由点，点，可得到直线的解析式为：．得出点的坐标可以表示为．由点，点，得直线的解析式为：．同理可得可得到直线的解析式为：．联立可得，则点的横坐标为定值3．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，∴，解得：，∴抛物线解析式为；（2）设点的坐标为，点的坐标为．∵直线与不重合，∴且且．如图3，由点，点，

可得到直线的解析式为：．∵，∴可设直线的解析式为：．将代入，得．∴．∴点的坐标可以表示为．设直线的解析式为：，由点，点，得，解得．∴直线的解析式为：．同上，由点，点，可得到直线的解析式为：．∴．∴．∴．∴点的横坐标为定值3．2024届湖北潜江市初12校联考如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线．点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．

(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点M在线段上运动（点M与点A、点C不重合），点D是射线上一动点，连接、，直线、分别交抛物线于E、F，连接，当平分时，点D的横坐标是否为定值，请说明理由．【答案】(1)(2)点D的横坐标是定值，【思路点拨】（1）根据二次函数的对称性求出点B的坐标，从而用两点式求出函数解析式；（2）设点E的坐标为，则点F的坐标为，求出，，由平分，列出式子求出答案．【详解】（1）解：点A的坐标为，对称轴为直线，点B的坐标为，；（2）解：点D的横坐标是定值，，设点E的坐标为，则点F的坐标为，点A的坐标为，点C的坐标为，，，，平分，，，，，，，即D点的横坐标是定值．题型七角度为定值2023·成都武侯区西川中学三模如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其顶点为．直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）．

(1)求抛物线的函数表达式和点的坐标；(2)当线段被抛物线的对称轴分成长度比为的两部分时，求的值；(3)连接，，试探究的大小是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)，(2)或(3)定值，，理由见详解【思路点拨】（1）将、代入解析式即可求解；（2）可求直线过定点，设，则有，，可求或，①当时，过作交于，过作交于，可求，从而可求，求得，接可求解；②当时，由①同理可求，即可求解；（3）分别过、作轴的平行线交过作轴的平行线于、，可求，从而可得，从而可求，可得，由和可证，从而可得，即可求证．【详解】（1）解：由题意得，解得：，，当时，，，故抛物线的函数表达式为，的坐标为．（2）解：由得，当时，，直线过定点，设，，则有，，线段被抛物线的对称轴分成长度比为的两部分，或，①当时，如图，过作交于，过作交于，

，，，或，或，，整理得：，解得：或，此时，（舍去），故，当时，，，当时，解得：；②当时，如图，

由①同理可求，当时，，，当时，，解得：；综上所述：的值为或．（3）解：定值，；理由：如图，分别过、作轴的平行线交过作轴的平行线于、，

，，由（2）得：，整理得：，，，，，，在中，，在中，，，，，，．四川乐山·统考中考真题如图1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．若tan∠ABC＝3，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点．如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；【答案】（1）y＝x2＋x﹣6；（2）①；②∠EPF的大小不会改变，理由见解析．【思路点拨】（1）由与轴分别交于A、B两点，且一元二次方程的两根为－8、2，可得点A、点B的坐标，即可得到OB的长，又由tan∠ABC＝3，得到点C（0，－6），将A、B、C的坐标代入二次函数中，即可得到二次函数解析式；（2）∠EPF的大小不会改变．由于，P为Rt△AED斜边AD的中点，故PE＝AD＝PA，从而∠PAE＝∠PEA＝∠EPD，同理有∠PAF＝∠PFA＝∠DPF，即可得到∠EPF＝2∠EAF，故∠EPF的大小不会改变．【详解】解：（1）∵函数的图象与轴分别交于A、B两点，且一元二次方程的两根为－8、2，∴A（－8，0）、B（2，0），即OB＝2，又∵tan∠ABC＝3，∴OC＝6，即C（0，－6），将A（－8，0）、B（2，0）代入中，，解得：，∴二次函数解析式为：；（2）∠EPF的大小不会改变．理由如下：∵DE⊥AB，∴在Rt△AED中，P为斜边AD的中点，∴PE＝AD＝PA，∴∠PAE＝∠PEA＝∠EPD，同理可得：∠PAF＝∠PFA＝∠DPF，∴∠EPF＝∠EPD＋∠FPD＝2（∠PAE＋∠PAF），即∠EPF＝2∠EAF，又∵∠EAF大小不变，∴∠EPF的大小不会改变题型八其它定值问题2023·浙江湖州·统考一模如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中，连结．(1)求点C的坐标及此抛物线的表达式；(2)当时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出n的取值范围．【答案】(1)点；(2)【思路点拨】（1）根据题意，用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据函数的性质和函数图象以及函数的最大值与最小值的差是一个定值得出结论；【详解】（1）∵对称轴为直线，∴，，∵抛物线与y轴交于C点，代入得：，∴抛物线的解析式为，由抛物线的表达式知，点；（2）当和在对称轴两侧时，此时，抛物线在时，取得最小值，当和关于对称时，最大值相等且为定值，即时，y的值为最大值，此时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，此时，即，函数的最大值与最小值的差是一个定值．2024届福建省南平市统考抛物线与轴相交于两点，且，点为抛物线在第一象限上的点，顶点为为坐标原点．(1)若点时，求的值；(2)直线：交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值．【答案】(1)6(2)见解析【思路点拨】（1）把代入，得，即可求出的值；（2）设直线：与抛物线交于、两点，联立得出，设直线为：，联立，得出，再由得出，最后再根据即可得到答案．【详解】（1）解：把代入，得，解得：；（2）解：设直线：与抛物线交于、两点，联立，解得：，①，

，设直线为：，联立，解得：，②，为抛物线与轴的交点，抛物线的对称轴为，，得：，解得：，，直线：交轴于点，直线：交轴于点，，，，为抛物线在第一象限上的点，在轴上方，在轴下方，，，，即为定值．2023年湖北省武汉市新观察中考四调已知抛物线与轴交于、两点点在左侧．

(1)，、分别交抛物线于、两点，的解析式为点在第一象限，的解析式为，直接写出的值点在第三象限；(2)在（1）的条件下，若，求证：一定与定直线平行【思路点拨】（1）令，得，可得，，设交轴于点，交轴于点，可证得，得出，由一次函数图象与轴的交点坐标为，，即可求得答案；（2）联立方程组得，则，同理可得：，结合（1）的结论可得，进而可得，设的解析式为，可得，再由，可求得，即直线与直线平行．【详解】（1）解：，令，得，解得：，，，，，设交轴于点，交轴于点，如图，

，，又，，，的解析式为点在第一象限，的解析式为点在第三象限，，，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，且，；（2）证明：的解析式为，与抛物线的解析式联立得：，，则，同理可得：，，由（1）知：，，，，，，设的解析式为，则，，，，即，，，解得：，又，，即直线与直线平行，一定与定直线平行题型九结合韦达定理求定点2023年湖北省武汉市外国语学校中考模拟抛物线，（）交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是抛物线的顶点．

(1)当时，直接写出A，B，C三点的坐标；(2)如图，将抛物线平移使其顶点为（0，1），点P为直线上的一点，过点P的直线，与抛物线只有一个公共点，问直线是否过定点，请说明理由．【答案】(1)，，(2)直线一定结果定点，理由见解析【思路点拨】（1）把代入函数解析式，令，求出x的值，可求A、B的坐标，把解析式化为顶点式可求C的坐标；（2）由题意知，设过点P的直线为，与抛物线解析式联立方程组，利用过点P的直线，与抛物线只有一个公共点，得出a与p的关系式，则直线解析式为，直线解析式为，分别与抛物线解析式联立，设点E的横坐标为，则是的根，利用根与系数的关系可求，同理可求，则，是方程的两个实数根，方程变形为，于是得到，点E、F是抛物线与直线的交点，则结论可得．【详解】（1）解：当时，函数解析式为，当时，，解得，，∴，，∵，∴，（2）解：由题意知：平移后抛物线解析式为，∵点P为直线上的一点，∴设，设过点P的直线为，∴，∴，∴，联立方程组，∴，∵过点P的直线，与抛物线只有一个公共点，∴，即，∴，，则直线解析式为，直线解析式为，联立方程组，∴，设点E的横坐标为，则是的根，∵过点P的直线与抛物线只有一个公共点，∴有两个相等的实根，∴，∴，同理设点F的横坐标为，，∴，，∴，是方程的两个实数根，∴，∴，即点E，F的坐标满足方程组，∴点E、F是抛物线与直线的交点，∵，∴直线一定结果定点．2024届武汉市青山区九年级统考已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)如图，M、N是抛物线上异于B、C的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上．求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标．【答案】(1)，点，点；(2)直线恒过定点．【思路点拨】（1）令和，解方程可求解；（2）设点，直线，直线，直线，将点C、B的坐标代入可得：，联立直线与抛物线的解析式可得出，，同理：，，进而可得：，，根据直线与直线的交点始终在直线上，可得，，即直线，故直线恒过定点．【详解】（1）对于，令，则，∴，∴点，点，令，则，∴点；（2）证明：如图2，设点，直线，直线，直线，整理得：，则，，同理：，，

∵，

∴，∴，，联立直线与直线的解析式得：，解得：，∵直线与直线的交点始终在直线上，∴，化简得：，∴，∴直线，∴不论为何值，均有时，，即：直线恒过定点．2024届武汉市新洲区12月统考抛物线：与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．

(1)直接写出点A，B，C的坐标；(2)如图，将抛物线平移得到抛物线，使其顶点为原点，过点的直线交抛物线于E，F两点（点E在点F的上方），过点E作直线的平行线交抛物线于另一点M，连接，求证：直线必过一定点．【答案】(1)点A，B，C的坐标分别是，；(2)见解析．【思路点拨】（1）令和，分别解方程即可求解；（2）由平移得：，求得直线和的解析式，据此求解即可．【详解】（1）解：令得，解得，，令得，∴点A，B，C的坐标分别是，，；（2）解：由平移得：，设点，，，的解析式为，联立，得，∴，，∴．①∵与直线平行，∴设直线的解析式为，联立，得，∴，②联立①②得．设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，当时，，故直线经过定点．2024届·福建厦门市第九中学期中已知抛物线关于直线对称，且过点．(1)求抛物线的解析式；(2)过的直线和直线均与抛物线有且只有一个交点．①求的值；②平移直线，，使平移后的两条直线都经过点，且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为，的中点，证明直线经过定点【答案】(1)(2)①；②见解析【思路点拨】（1）根据抛物线的对称轴得出，求出b的值，再将点代入求出c的值，即可得出抛物线解析式；（2）①把分别代入两个解析式，得出，则直线和直线，根据直线和直线均与抛物线有且只有一个交点，得出方程有两个相等实数根，求出，，即可推出是方程的两根，根据一元二次方程根于系数的关系即可求解；②根据，且都经过，可以设直线的解析式为，直线的解析式为，结合，推出直线的解析式为，联立方程，得出P、Q、G、H的横坐标，再根据中点坐标公式得出点M和点N的横坐标，进而得出点M和点N的坐标，最后用待定系数法求出直线的解析式，即可求证．【详解】（1）解：∵抛物线关于直线对称，∴，∴，将点代入得：∴，∴抛物线的解析式为；（2）①解：∵直线和直线过，∴，∴，∴直线和直线，∵直线和直线均与抛物线有且只有一个交点，∴，∴，∴，，∴是方程的两根，∴；②证明：∵，且都经过，∴设直线的解析式为，直线的解析式为，∵，则∴直线的解析式为，联立方程组，整理得，，设点G横坐标为，点H横坐标为，∴，∵点M为中点，∴点M横坐标为，则点M纵坐标为，∴，同理可求，即，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，当时，，∴直线经过定点．2024届·武汉市武珞路中学期中）已知过点的直线：与抛物线：的图象交于点，，点在轴上，抛物线与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线平移使得其顶点和原点重合，得到新抛物线，过点的直线交抛物线于、两点，过点的直线交抛物线于、两点．求证：直线过定点，并求出定点的坐标．【答案】(1)(2)直线过定点，且定点的坐标为．【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可；（2）由平移得：．利用二次函数与一元二次方程的关系求得，，据此进一步计算即可求解．【详解】（1）解：由得，为，将为，代入得：，解得，抛物线的解析式为；（2）解：平移得：．设，设直线为，将代入，，，直线为，由得，，是两根，则①②，②①得，，解得，设直线为，将代入，，，直线为，由得，，是两根，则③，④，④③得，，解得．，设直线为，由得，是的两根，，，直线为，直线过定点，且定点的坐标为．2023·武汉光谷实验中学中考模拟已知抛物线经过点，与轴交于，两点，与轴交于点(1)求抛物线的解析式；(2)如图，将抛物线沿轴平移得，使的顶点落在轴上，若过定点的直线交抛物线于、两点，过点的直线与抛物线交于点，求证：直线必过定点【答案】(1)(2)见解析【思路点拨】（1）利用待定系数法即可求得答案；（2）先求得平移后的抛物线的解析式为：，设，，则直线的解析式为，由直线经过定点，可得，再由直线经过点，可得直线的解析式为，进而求得，再运用待定系数法求得直线的解析式为，当时，，即直线必过定点，．【详解】（1）解：抛物线经过点，，，解得：，抛物线的解析式为；（2）证明：如图2，抛物线，将抛物线沿轴平移得，使的顶点落在轴上，抛物线的解析式为：，

设，，则直线的解析式为，直线经过定点，，，直线经过点，，解得：，直线的解析式为，由，解得：或，，设直线的解析式为，把，代入，