逻辑函数的卡诺图化简

内容：逻辑函数的卡诺图化简法目的与要求：掌握卡诺图的填写方法；掌握最小项的卡诺图表示；熟练运用卡诺图化简逻辑函数。重点与难点：重点：用卡诺图表示逻辑函数；用卡诺图化简逻辑函数；具有无关项的逻辑函数的化简。难点：卡诺图填写；具有无关项的逻辑函数的化简。复习（提问）：逻辑函数的几种表示方法的相互转换。第2页,共22页，2024年2月25日，星期天逻辑函数卡诺图化简卡诺图适合于化简变量数小于5的逻辑函数。1卡诺图的结构

2变量逻辑函数的方格表示卡诺图：每个小方格表示了函数的一个最小项，每相邻小方格的变量组合之间只有一个变量不同。在画卡诺图时，通常将原变量用“1”表示，反变量用“0”表示，将变量组合标注在大方格的左上角，在大方格的左边和上边标注变量组合的取值，小方格中只需标出对应最小项的编号就行了。演示第3页,共22页，2024年2月25日，星期天1~5变量逻辑函数的卡诺图n变量的函数有2n个最小项，卡诺图上有2n个小方格，每个最小项有n个最小项与之相邻。由于两个相邻最小项只有一个变量不同且互为反变量，因而两个相邻最小项合并后可以消去一个变量。也就是说卡诺图上两个相邻的小方格合并可以消去一个变量；四个相邻的小方格合并可以消去二个变量；八个相邻的小方格合并可以消去三个变量；十六个相邻的小方格合并可以消去四个变量；……。这就是用卡诺图化简逻辑函数的原理。

第4页,共22页，2024年2月25日，星期天2.卡诺图上最小项的相邻性

1）几何相邻2）相对相邻3）重叠相邻3.卡诺图的填写方法

1.函数为最小项表达式因为构成函数的每一个最小项，其逻辑取值都是使函数值为1的最小项，所以填写卡诺图时，在构成函数的每个最小项相应的小方格中填上1，而其它方格填上0即可。也就是说，任何一个逻辑函数都等于它的卡诺图中填1的那些最小项之和。

演示第5页,共22页，2024年2月25日，星期天例1.作出逻辑函数F（A,B,C,D）=∑m（1,3,6,7）对应的卡诺图。

解：先作一个4变量的卡诺图，在编号为1、3、6、7的小方格中填写1，其余小方格中填写0，得到逻辑函数F（A,B,C,D）=∑m（1,3,6,7）的卡诺图如下。

第6页,共22页，2024年2月25日，星期天2.函数为最大项表达式因为相同编号的最小项和最大项之间存在互补关系，所以使函数值为0的那些最小项的编号与构成函数的最大项表达式中的那些最大项编号相同，按这些最大项的编号向卡诺图的相应小方格中填上0，其余方格上填上1即可。例2.作出函数F（A,B,C,D）=∏M（3,4,8,9,11,15）对应的卡诺图。

解：先作一个4变量的卡诺图，在编号为3、4、8、9、11、15的小方格中填写0，其余小方格中填写1，得到逻辑函数F（A,B,C,D）=∏M（3,4,8,9,11,15）的卡诺图如下。

第7页,共22页，2024年2月25日，星期天3.函数为任意与或表达式首先分别将每个与项的原变量用1表示，反变量用0表示，在卡诺图上找出交叉小方格并填写1，没有交叉点的小方格填写0即可。例3.作出函数F(A,B,C,D)=AB+BC+CD对应的卡诺图。

第8页,共22页，2024年2月25日，星期天4.函数为任意或与表达式对于任意的或与表达式，只要当任意一项的或项为0时，函数的取值就为0。要使或项为0，只须将组成该或项的原变量用0、反变量用1代入即可。故填写方法是：首先将每个或项的原变量用0、反变量用1代入，在卡诺图上找出交叉小方格并填写0；然后在其余小方格上填写1即可。

例4.作出函数对应的卡诺图。

第9页,共22页，2024年2月25日，星期天4.卡诺图化简逻辑函数一般规则：2n个相邻最小项构成的一个矩形框可合并为一项，该项仅含有这些最小项中的公共因子，其余n对以原变量和反变量形式出现的因子均可消去。卡诺圈包含值为1的最小项的数目必须是2n（n=1，2，3…）。

主要项：把2n个为1的相邻最小项进行合并，若卡诺圈不能再扩大，则圈得的合并与项称为主要项。

必要项：若主要项圈中至少有一个为1的“特定”最小项没有被其它主要项所覆盖，则称此主要项为必要项或实质主要项。最简逻辑函数中的与项都是必要项。

冗余项：若主要项圈中不包含有为1的“特定”最小项，或者说它所包含为1的最小项均已被其它的主要项圈所覆盖，则称其为冗余项或多余项。

第10页,共22页，2024年2月25日，星期天卡诺图化简逻辑函数的步骤用卡诺图化简逻辑函数可按下列步骤进行：①将逻辑函数用卡诺图表示出来。②首先圈出没有相邻最小项的孤立的值为1的最小项方格，这是一个主要项。③找出只有一种合并可能的值为1的最小项方格，从它出发将所有为1的相邻最小项按2的整数次幂为一组构成卡诺圈，所有圈中必须至少有一个为1的最小项方格没有被圈过，并使所有的圈尽可能大。④写出最简的函数表达式。

演示1演示2第11页,共22页，2024年2月25日，星期天基本步骤图示逻辑表达式或真值表卡诺图110011011011110000ABCD0001111000011011Y(A,B,C,D)=(3,5,7,8,11,12,13,15)第12页,共22页，2024年2月25日，星期天合并最小项①圈越大越好，但每个圈中标１的方格数目必须为个。②同一个方格可同时画在几个圈内，但每个圈都要有新的方格，否则它就是多余的。③不能漏掉任何一个标１的方格。最简与或表达式ＢＤＣＤＡＣＤ冗余项2233将代表每个圈的乘积项相加Y(A,B,C,D)=BD+CD+ACD0011011011110000ABCD0001111000011011第13页,共22页，2024年2月25日，星期天两点说明：①在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。ＡＣＤ＋ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ不是最简ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ最简0011011011110000ABCD00011110000110110011011011110000ABCD0001111000011011第14页,共22页，2024年2月25日，星期天②在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＢＣＤＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＡＢＤ0011011011110000ABCD00011110000110110011011011110000ABCD0001111000011011第15页,共22页，2024年2月25日，星期天用卡诺图化简逻辑函数举例

例1.化简函数F(A,B,C,D)=∑m(3,4,5,7,9,13,14,15)。

解：首先作出逻辑函数F的卡诺图如下：第16页,共22页，2024年2月25日，星期天例2.化简函数F(A,B,C,D)=∑m(2,3,5,7,8,10,12,13)。

解：首先作出逻辑函数F的卡诺图如下：可见，函数的化简结果不具有唯一性，函数表示的唯一性仅在最大项表达式或最小表达式中才具有。

第17页,共22页，2024年2月25日，星期天5.具有任意项的逻辑函数的化简

任意项（无关最小项）：不决定函数的值的最小项。从定义可以看出，与任意项对应的逻辑函数值既可以看成1，也可以看成0。因此在卡诺图或真值表中，任意项常用φ或d或×来表示；在函数表达式中常用φ或d来表示任意项。如：F(A,B,C)=∑m(0,1,5,7)+∑d(4,6)化简具有任意项的逻辑函数的步骤是：①画出函数对应的卡诺图，任意项对应的小方格填上φ或d或×。②按2的整数次幂为一组构成卡诺圈，如果任意项方格为1时可以圈得更大，则将任意项当作1来处理，否则当0处理。未被圈过的任意项一律当作0处理。

③写出化简的表达式。演示第18页,共22页，2024年2月25日，星期天例1化简函数F(A,B,C,D)=∑m(5,6,7,8,9)+∑φ(10,11,12,13,14,15)解：作出逻辑函数F(A,B,C,D)的卡诺图如下。若将任意项全部看作为1来处理，卡诺圈构成如图a）所示，函数化简为：

a）b）若将任意项全部看作为0来处理，卡诺圈构成如图b）所示，函数化简为：第19页,共22页，2024年2月25日，星期天6.多输出逻辑函数的化简

关键：充分利用各函数间可供共享的部分。

衡量多输出逻辑函数最简的标准：逻辑表达式中包含的不同的“与项”总数最少。在“与项”总数最少的前提下，各不同“与项”中所包含的变量总数最少。例1.化简下列两输出的逻辑函数

解：①若按单个函数分别化简，则：第20页,共22页，