轴向拉伸和压缩

关于轴向拉伸和压缩§2-1轴向拉伸与压缩的概念和实例轴向拉压的受力特点作用于杆件上的外力或外力合力的作用线与杆件轴线重合。轴向拉压的变形特点杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。第2页,共83页，2024年2月25日，星期天第3页,共83页，2024年2月25日，星期天第4页,共83页，2024年2月25日，星期天第5页,共83页，2024年2月25日，星期天第6页,共83页，2024年2月25日，星期天拉绳第7页,共83页，2024年2月25日，星期天P第8页,共83页，2024年2月25日，星期天课堂练习：图示各杆BC段为轴向拉伸（压缩）的是（）第9页,共83页，2024年2月25日，星期天§2-2拉(压)杆的内力内力：指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合力。（附加内力）研究内力方法：截面法外力变形晶粒距离改变附加内力产生迫使产生1.内力的概念第10页,共83页，2024年2月25日，星期天FN

称为轴力2.轴力和轴力图取左：取右：xx得得轴力正负号规定：拉力压力以后用FN统一表示轴力第11页,共83页，2024年2月25日，星期天

上述求解拉（压）杆轴力的方法称为截面法，其基本步骤是：①截开：在需求内力的截面处，假想地用该截面将杆件一分为二。②代替：任取一部分，另一部分对其作用以内力代替。(假设为正）③平衡：建立该部分平衡方程，解出内力。x第12页,共83页，2024年2月25日，星期天第13页,共83页，2024年2月25日，星期天轴力图：为了清楚地看到轴力沿杆长的变化规律，可以用轴力图表示轴力的大小与横截面位置的关系。x轴表示横截面位置，FN轴表示对应该位置的轴力大小。例如前面例题的轴力图xFFNO第14页,共83页，2024年2月25日，星期天例2-1（书例2-1）一等直杆受四个轴向外力作用，如图所示。试作轴力图F1=10kNF2=25kNF3=55kNF4=20kNABCDF1=10kNF1=10kNF2=25kN第15页,共83页，2024年2月25日，星期天F1=10kNF2=25kNF3=55kNF4=20kNABCDF4=20kN几点说明：（1）一般需分段求算，段数=荷载数-1（2）轴力大小与截面面积无关（3）集中力作用处轴力图发生突变，突变值等于该集中力的大小第16页,共83页，2024年2月25日，星期天解：1-1截面2-2截面3-3截面例2-2试作轴力图第17页,共83页，2024年2月25日，星期天例2-3（书例2-2）一受力如图所示的阶梯形杆件，q为沿轴线均匀分布的荷载。试作轴力图。解：首先求出A端反力FR由截面法可得AB、CD段轴力：第18页,共83页，2024年2月25日，星期天课堂练习：1.若将图（a）中的F力由D截面移到C截面（图b），则有（）第19页,共83页，2024年2月25日，星期天2.横截面面积为A，长度为l，材料比重为的立柱受力如图所示。若考虑材料的自重，则立柱的轴力图是（）。ll/2l/23.作图示杆的轴力图第20页,共83页，2024年2月25日，星期天解：设坐标原点在自由端，x轴以向右为正。取左侧x段为研究对象，内力FN(x)为：思考题.图示杆长为l，受分布力q=kx

作用，方向如图，试画出杆的轴力图。lq(x)FN(x)xq(x)qq

lxOFNxO–第21页,共83页，2024年2月25日，星期天单凭轴力的大小还不足以判断杆件的受力程度，例如：两根材料相同但粗细不同的杆，在相同的拉力下，随着拉力的增加，则细杆一定先强度不足而破坏。1.应力的概念§2.3横截面上的正应力从工程实用的角度，把单位面积上内力的大小，作为衡量受力程度的尺度，并称为应力。这说明拉压杆的强度除了与轴力的大小有关外，还与横截面的尺寸有关。第22页,共83页，2024年2月25日，星期天

应力的一般性定义(书26页）上的平均应力c点总应力正应力（normalstress)切应力(sheeringstress)应力分量

应力：分布内力在一点处的集度与强度密切相关应力单位：第23页,共83页，2024年2月25日，星期天2.横截面上的正应力为了确定拉（压）杆横截面上的应力，必须首先了解分布内力在横截面上的变化规律。这通常是根据实验观察到的拉（压）杆变形时的表面现象，对杆件内部的变形规律做出假设，再利用变形与分布内力间的物理关系，便可得到分布内力在横截面上的分布规律。平面假设：杆件变形后，原为平面的横截面仍然保持为平面，且仍垂直于轴线。根据平面假设，相邻两个横截面间的所有纵向纤维的伸长是相同的。再根据材料是均匀连续的假设，可以得出横截面上的分布内力是均匀分布的。结论：正应力σ为常量第24页,共83页，2024年2月25日，星期天第25页,共83页，2024年2月25日，星期天第26页,共83页，2024年2月25日，星期天根据静力学求合力的概念得（2-1）适用条件：（1）轴力过形心，即必须是轴向拉伸（压缩）（2）符合平面假设Saint-Venant原理：影响区当杆端以均匀分布的方式加力时，（2-1）式对任何横截面都是适用的。当采用集中力或其他非均布的加载方式时，在加力点附近区域的应力分布比较复杂，（2-1）式不再适用，然而影响区的长度不超过杆的横向尺寸。第27页,共83页，2024年2月25日，星期天例2-4（书例2-3）设例2-1中的等直杆为实心圆截面，直径d=20mm。试求此杆的最大工作应力。F1=10kNF2=25kNF3=55kNF4=20kNABCDFN，max=35kN（BC段）危险截面：在研究拉（压）杆的强度问题时，通常把最大工作正应力所在的横截面称为危险截面。第28页,共83页，2024年2月25日，星期天123120kN240kN360kN例2-5（书例2-4）一阶梯形立柱受力如图所示，F1＝120kN，F2＝60kN。柱的上、中、下三段的横截面面积分别是A1＝2×104mm2,A2＝2.4×104mm2,A3＝4×104mm2。试求立柱的最大工作正应力。（不计立柱的自重）解：首先作出立柱的轴力图，如右图所示由于立柱是变截面，必须求出各段的工作应力，经过比较才能确定最大正应力。（压应力）第29页,共83页，2024年2月25日，星期天123120kN240kN360kN结果表明，最大工作应力为10MPa的压应力（中段）例2-5（书例2-4）一阶梯形立柱受力如图所示，F1＝120kN，F2＝60kN。柱的上、中、下三段的横截面面积分别是A1＝2×104mm2,A2＝2.4×104mm2,A3＝4×104mm2。试求立柱的最大工作正应力。（不计立柱的自重）（压应力）（压应力）第30页,共83页，2024年2月25日，星期天课堂练习：已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q=42kN/m，屋架中的钢拉杆为NO.22a型工字钢，试求钢拉杆横截面的正应力。（不计钢拉杆的自重）①整体平衡求支反力解：2mqACB16m钢拉杆第31页,共83页，2024年2月25日，星期天③求应力②局部平衡求轴力

查书附录Ⅱ的型钢表：NO.22a工字钢A＝42cm22mAC8mq=42kN/m第32页,共83页，2024年2月25日，星期天§2-4斜截面上的应力规定：从横截面按逆时针转到斜截面的a角为正，反之为负。FFmma由平衡方程：Fa＝F则：Aa：斜截面面积p

为斜截面上任一点的总（全）应力FmmpaFaa}仿照横截面上正应力为均匀分布的推理过程，可得到

斜截面上的应力也是均匀分布的，用p

表示σ为横截面上的正应力第33页,共83页，2024年2月25日，星期天斜截面上总应力：将p

沿着斜截面的法线和切线分解：切应力符号规定如下：它绕截面内侧某点有顺时针转动趋势者为正；反之为负。Fmmpaatasaapa正应力:切应力:（2-2）第34页,共83页，2024年2月25日，星期天§2.5拉(压)的变形和位移第35页,共83页，2024年2月25日，星期天一、轴向变形轴向伸长：引入比例常数E，并注意到FN=F，得到实验表明，当拉杆横截面上的正应力不超过材料的比例极限时，不仅变形是弹性的，而且伸长量Δl与拉力F和杆长l成正比，与横截面面积成A反比，即（2-3）E称为弹性模量，表示材料在拉压时抵抗弹性变形的能力，因而它是材料的一种力学性能，单位为Pa，工程中常用GPa。1GPa＝109Pa。其值与材料有关，由实验测定。例如Q235钢：E=200~210GPa。EA称为杆件的拉伸（压缩）刚度。胡克定律第36页,共83页，2024年2月25日，星期天纵向线应变：上式通常称为单向应力状态下的胡克定律。胡克定律成立条件：正应力不超过材料的比例极限无量纲(胡克定律的另一表达式)(2-4)第37页,共83页，2024年2月25日，星期天二、横向变形、泊松比横向线应变：横向尺寸缩短量：故与符号相反实验表明,在材料正应力没有超过比例极限时，横向线应变与纵向线应变之比为常数，用绝对值表示为或写成（2-5）称为横向变形因数或泊松比无量纲，由实验测定第38页,共83页，2024年2月25日，星期天例2-6（书例2-5）已知：AB段:A1

＝400mm2BC段:A2=250mm2,E=210GPa求：(1)AB、BC段的伸长量及杆的总伸长量；(2)C截面相对B截面的位移和C截面的绝对位移。（1）变形：物体受力以后发生尺寸和形状的改变。解：杆的总伸长量l1＝300l2＝200ABCF＝40kNl1＝300l2＝200AB′C′（伸长）（伸长）（伸长）第39页,共83页，2024年2月25日，星期天显然，两个截面的相对位移，在数值上等于两个截面之间的那段杆件的伸长（或缩短）。因此，C截面与B

截面的相对位移是因A截面固定，所以C截面的位移就等于AC杆的伸长例2-6（书例2-5）已知：AB段:A1

＝400mm2BC段:A2=250mm2,E=210GPal1＝300l2＝200ABCF＝40kNl1＝300l2＝200AB′C′求：(1)AB、BC段的伸长量及杆的总伸长量；(2)C截面相对B截面的位移(相对位移）和C截面的绝对位移。（2）位移：指物体上的一些点、线、面在空间位置上的改变。解：第40页,共83页，2024年2月25日，星期天课堂练习1.

已知：AAB=500mm2ABC=200mm2,E=210GPa求：杆的总变形量。解：（1）作轴力图（2）计算变形计算结果为负，说明整根杆发生了缩短（缩短）第41页,共83页，2024年2月25日，星期天2.

求AB杆的伸长量ΔlAB略去所以：普遍式（适合均匀、非均匀）第42页,共83页，2024年2月25日，星期天已知：AB杆为圆截面钢杆，d1=30mmE1=200GPa，l1=1m

；BC为正方形木杆a=150mm，E2=10GPa，F=30kN。求：B节点的位移。解：取节点B为研究对象例2-7（书例2-6）（1）受力分析并求1、2杆轴力解得：第43页,共83页，2024年2月25日，星期天例2-7（书例2-6）已知：AB杆为圆截面钢杆，d1=30mmE1=200GPa，l1=1m

；BC为正方形木杆a=150mm，E2=10GPa，F=30kN。求：B节点的位移。（2）求1、2杆变形第44页,共83页，2024年2月25日，星期天（3）求B节点位移作位移图第45页,共83页，2024年2月25日，星期天课堂练习3.

已知AB杆为刚性杆，P1=5kN，P2=10kN，l=1mm。CD杆的E=72GPa，A=440mm2，求A端铅垂位移。P1P2llP1P2解（1）取AB杆，求CD杆的轴力（压）（2）计算CD杆的缩短量（缩短）第46页,共83页，2024年2月25日，星期天（3）作位移图几何关系：第47页,共83页，2024年2月25日，星期天例2-8

（书例2-7）三杆的横截面面积均为A＝1000mm2，弹性模量均为E＝200GPa，l=1m；AB为刚性杆。求A、B两点的位移。F＝60kNBAl123F＝60kNBA解：（1）受力分析：取AB为研究对象（拉力）（伸长）（2）变形计算第48页,共83页，2024年2月25日，星期天BAl123A’B’A2F＝60kNBA作位移图（3）求A、B点位移第49页,共83页，2024年2月25日，星期天§2.6材料在拉伸、压缩时的力学性能杆件在外力作用下是否会破坏，除计算工作应力外，还需知道所用材料的强度，才能作出判断；前面提到的E、ν、σp等都是材料受力时在强度和变形方面所表现出来的性能，均属于材料的力学性能。材料的力学性能取决于材料的内部条件和外部条件。内部条件指的是材料组成的化学成分、组织结构等。外部条件则包括构件的受力状态、环境温度、周围介质和加载方式。材料不同，环境不同，材料的力学性能也就不同。材料的力学性能必须用实验的方法测定。本节主要介绍：低碳钢和铸铁在室温(20。C)、静载下，通过轴向拉伸和压缩得到的力学性能。（材料最基本的力学性能）第50页,共83页，2024年2月25日，星期天一、低碳钢材料拉伸时的力学性能碳钢的分类低碳钢：含碳量<0.25%的碳素钢中碳钢:含碳量0.25~0.55%的碳素钢高碳钢:含碳量0.55~2.0%的碳素钢实验条件：室温(20℃左右)、静载(载荷从零开始缓慢增加到力F)第51页,共83页，2024年2月25日，星期天标准试件第52页,共83页，2024年2月25日，星期天万能试验机电子试验机试验设备第53页,共83页，2024年2月25日，星期天(1)弹性阶段Ob整个拉伸过程分为四个阶段：比例极限弹性极限拉伸图

应力—应变曲线

Oa段为直线，应力与应变成正比(Oa直线的斜率)工程中a点:b点:第54页,共83页，2024年2月25日，星期天(2)屈服阶段bc屈服极限(3)强化阶段cd强度极限是低碳钢的重要强度指标是低碳钢的重要强度指标(4)颈缩阶段de伸长率：断面收缩率：是低碳钢的塑性指标卸载后，重新加载，加载路线基本沿卸载路线，这样，材料的比例极限有所提高，但塑性降低。这种现象叫做冷作硬化第55页,共83页，2024年2月25日，星期天第56页,共83页，2024年2月25日，星期天二、其它材料拉伸时的力学性能名义屈服极限45钢Q235钢合金铝黄铜灰口铸铁灰口铸铁拉伸时的特点：1.应力-应变曲线是一微弯的线段，无屈服和颈缩现象。2.变形很小时，试件就断了，伸长率很小，是典型的脆性材料。只有一个强度指标。沿横截面拉断，断口平齐。第57页,共83页，2024年2月25日，星期天三、材料在压缩时的力学性能2.低碳钢压缩时的E、σp、ss与拉伸时基本相同。3.屈服以后，试件逐渐被压成鼓状，其横截面面积不断增大。4.由于试件压缩时不会发生断裂，因此无法测定其强度极限。故像低碳钢一类塑性材料的力学性能通常由拉伸实验测定。1.低碳钢压缩试样采用圆柱体，且h=1~3d。dh低碳钢压缩实验第58页,共83页，2024年2月25日，星期天第59页,共83页，2024年2月25日，星期天铸铁压缩实验2.应力-应变曲线直线段很短，近似符合胡克定律。3.压缩时强度极限比拉伸时强度极限大得多，即σb,c=(3.5~5)σb,t4.材料逐渐被压成鼓状,后来沿与轴线大约350方向断裂,主要是被剪断的。1.铸铁压缩试样也采用圆柱体，且h=2d。第60页,共83页，2024年2月25日，星期天第61页,共83页，2024年2月25日，星期天第62页,共83页，2024年2月25日，星期天第63页,共83页，2024年2月25日，星期天第64页,共83页，2024年2月25日，星期天第65页,共83页，2024年2月25日，星期天§2.7应力集中由前面可知，受轴向拉伸（压缩）的等直杆，其横截面上的正应力是均匀分布的。但是工程上有些拉压杆，由于实际的需要而有切口，切槽、螺纹、圆孔等，以致这些部位的横截面尺寸发生突然的改变。光弹性实验和弹性理论的分析都表明，在横截面尺寸急剧变化的区域，横截面上的正应力已不再均匀分布。1、应力集中的概念应力集中：由于截面尺寸突然改变而使应力局部急剧增大的现象2、理论应力集中因数其中smax

:应力集中的截面上的最大应力snom:同一截面上按净面积（考虑截面削弱后的横截面面积）算出的平均应力第66页,共83页，2024年2月25日，星期天3、生活中的例子包装袋上的小口、边缘做成锯齿状等维维豆奶奶糖4、在静荷载作用下，由塑性材料制成的杆件可以不考虑应力集中的影响；质地均匀的脆性材料要考虑应力集中的影响；铸铁可以不考虑由于外形改变而引起的应力集中的影响。在动荷载作用下，不论是塑性材料还是脆性材料均应考虑应力集中的影响。（十四章）Kts:理论应力集中系数,反映了应力集中的程度，大于1。第67页,共83页，2024年2月25日，星期天§2.8强度计算由前面的分析可知，由塑性材料制成的拉（压）杆的工作正应力达到材料的屈服极限σs时，杆件将出现显著的塑性变形；由脆性材料制成的拉（压）杆的工作正应力达到材料的强度极限σb时，杆件将发生断裂破坏。因此，把屈服极限σs

和强度极限σb分别作为塑性材料和脆性材料的强度指标，统称为材料的极限应力，以σu

表示，即一.安全因数和许用应力为了保证构件能够正常工作并具有必要的安全储备，不能用极限应力作为拉（压）杆最大工作正应力的限值，一般将极限应力除以大于1的因数n，作为工作正应力的最大许用值，称为材料的许用应力，以[σ]表示，即第68页,共83页，2024年2月25日，星期天（2-12）式中：n称为安全因数[σ]称为许用应力二.强度条件为了保证拉（压）杆具有足够的强度，必须使杆件的最大工作正应力不超过材料拉伸（压缩）时的许用应力，即（2-15）上式称为拉（压）杆的强度条件。第69页,共83页，2024年2月25日，星期天1.强度校核已知荷载、杆件的截面尺寸和材料的许用应力，即可计算杆件的最大工作正应力，并检查是否满足强度条件的要求。这称为强度校核。对于等直杆，（2-15）式可改写成（2-16）应用强度条件可以进行三类计算：考虑到许用应力是概率统计的数值，为了经济起见，最大工作正应力也可略大于材料的许用应力，一般认为以不超过许用应力的5%为宜。?工程中5%原则第70页,共83页，2024年2月25日，星期天3.确定结构的许用载荷已知结构承受的荷载和材料的许用应力，即可算出杆件的最大轴力，并由此确定杆件的横截面面积。已知杆件的横截面尺寸和材料的许用应力，可根据强度条件计算出该杆所能承受的最大轴力，亦称许用轴力2.选择杆件的横截面尺寸然后根据静力平衡条件，确定结构所许用的荷载。第71页,共83页，2024年2月25日，星期天例2-10（书例2-9）阶梯形杆如图所示。AB、BC和CD段的横截面面积分别为A1=1500mm2、A2=625mm2、A3=900mm2。杆的材料为Q235钢，[σ]=170MPa。试校核该杆的强度。解：（1）作轴力图（2）校核强度①③②由轴力图和各段杆的横截面面积可知，危险截面可能在BC段或CD段。（压应力）BC段：CD段：（拉应力）第72页,共83页，2024年2月25日，星期天故该杆满足强度条件。结果表明，杆的最大正应力发生在CD段①③②相对误差：第73页,共83页，2024年2月25日，星期天例2-11（书例2-10）已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q=4.2kN/m，屋架中的钢拉杆材料为Q235钢，[σ]=170MPa，试选择钢拉杆的直径。（不计钢拉杆的自重）①整体平衡求支反力解：1.42mqACB8.5m钢拉杆0.4m0.4m第74页,共83页，2024年2月25日，星期天②局部平衡求轴力

1.42mAC4.25mq=4.2kN/m0.4m③

由强度条件求直径

为了经济起见，选用钢拉杆的直径为14mm。其值略小于计算结果，但是其工作正应力超过许用应力不到5%。第75页,共83页，2024年2月25日，星期天例2-12（书例2-11）如图所示的简易起重设备，AB杆用两根70mm×70mm×4mm等边角钢组成，BC杆用两根10号槽钢焊成一整体。材料均为Q235钢，[σ]=170MPa。试求设备所许用的起重量［W］。1.2m①②=W解：(1)分别取滑轮和B节点为研究对象，求出两杆的轴力。解得：第76页,共83页，2024年2月25日，星期天(2)求两杆的许用轴力例2-12（书例2-11）如图所示的简易起重设备，AB杆用两根70mm×70mm×4mm等边角钢组