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文档简介
-2024学年度下学期高三第一次模拟考试试题数学时间:120分钟 试卷满分:150分注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上。2.答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合,且,则集合可以是()A. B. C. D.2.已知,(为虚数单位),则()A., B.,C., D.,3.已知.则“且”是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知双曲线的下焦点和上焦点分别为,,直线与交于,两点,若面积是面积的4倍,则()A.3 B. C. D.5.猜灯谜是中国元宵节特色活动之一.已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜,分别放入三个完全相同的小球,三人约定每人随机选一个球(不放回),猜出自己所选球内的灯谜者获胜.若他们每人必能猜对自己写的灯谜,并有的概率猜对其他人写的灯谜,则甲独自获胜的概率为()A. B. C. D.6.若函数使得数列,为递减数列,则称函数为“数列保减函数”,已知函数为“数列保减函数”,则的取值范围()A. B. C. D.7.若,则()A.或2 B.或 C.2 D.8.已知函数,若成立,则实数的取值范围为()A. B.C. D.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求,全部选对得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)9.下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图,下列说法判断正确的是()A.样本乙的极差一定大于样本甲的极差 B.样本乙的众数一定大于样本甲的众数C.样本甲的方差一定大于样本乙的方差 D.样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数10.已知函数,则在区间上为减函数的充分条件是()A. B.的图象关于直线对称C.是奇函数 D.的图象关于点对称11.已知不相等的实数,满足,则下列四个数,,,经过适当排序后()A.可能是等差数列 B.不可能是等差数列C.可能是等比数列 D.不可能是等比数列12.设直线系(其中,,均为参数,,),则下列命题中是真命题的是()A.当,时,存在一个圆与直线系中所有直线都相切B.存在,,使直线系中所有直线恒过定点,且不过第三象限C.当时,坐标原点到直线系中所有直线的距离最大值为1,最小值为D.当,时,若存在一点,使其到直线系中所有直线的距离不小于1,则三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.抛物线上的一点到其准线的距离为______.14.已知函数在处有极值8,则等于______.15.杭州第19届亚运会是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后,中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.本届亚运会徽宝由上下两方玉玺组成(如图一),上方以杭州城市文化代表(钱塘潮和杭州奥体中心体育场)为主体元素(如图二),若将徽宝上方看成一个圆台与两个圆柱的组合体,其轴截面如图三所示,其中两个圆柱的底面直径均为10,高分别为2和6;圆台的上、下底面直径分别为8和10,高为2.则该组合体的体积为______.16.已知,是空间单位向量,,若空间向量满足,,且对于任意,都有(其中),则______.四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在中,内角,,所对的边分别为,,,满足.(1)求证:;(2)若为锐角三角形,求的最大值.18.(12分)已知为数列的前项和,满足,且,,,,成等比数列,当时,.(1)求证:当时,成等差数列;(2)求的前项和.19.(12分)某教育教研机构为了研究学生理科思维和文科思维的差异情况,对某班级35名同学的数学成绩和语文成绩进行了统计并整理成如下列联表(单位:人):数学成绩良好数学成绩不够良好语文成绩良好1210语文成绩不够良好85(1)能否有的把握认为该班数学成绩与语文成绩有关?(计算结果精确到0.001)(2)从该班的学生中任选一人,表示事件“选到的学生数学成绩良好”,表示事件“选到的学生语文成绩良好”,与的比值是文、理科思维差异化的一项度量指标,记该指标为.(i)证明:;(ii)利用该表中数据,给出,的估计值,并利用(i)的结果给出的估计值.附:,0.0500.0100.0013.8416.63510.82820.(12分)如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧面侧面,为中点,是上的点,,.(1)求证:平面平面;(2)若二面角的余弦值为,求到平面的距离.21.(12分)已知圆和椭圆,椭圆的四个顶点为,,,,如图.(1)圆与平行四边形内切,求的最小值;(2)已知椭圆的内接平行四边形的中心与椭圆的中心重合.当,满足什么条件时,对上任意一点,均存在以为顶点与外切,与内接的平行四边形?并证明你的结论.22.(12分)已知函数,(其中,为实数,且)(1)当时,恒成立,求;(2)当时,函数有两个不同的零点,求的最大整数值.(参考数据:)2023-2024学年度下学期高三第一次模拟考试试题数学参考答案一、1.D2.A3.A4.D5.C6.B7.C8.C二、9.CD10.BD11.AD12.ABD三、13.514.15.16.四、17.解:(1)据余弦定理得由正弦定理:或(舍)(2)为锐角三角形由(1),,原式令则原式,当时,所求式子的最大值为.18.解析(1),①,当时,,②①②得.又当时,,所以,所以当时,成等差数列.(2)由,解得或,又,,,,成等比数列,所以由(1)得,进而,而,所以,从而,所以,所以19.解:(1)由已知,又,而,所以没有的把握认为该班数学成绩与语文成绩有关.(2)(i)因为.所以,所以,(ii)由已知,,又,,所以.20.解:(1)侧面侧面于,于,平面平面又是正方形,,平面,又平面平面平面(2)法1:作垂直于,作,连接,取中点,连接,,,,,侧面底面于,底面,,,为二面角的平面角,设,则,在中,在中,得,,得,是的中点设是的中点,由(1)可知平面.平面平面于到平面的距离为到直线的距离在中,,到的距离为,是的中点,到平面的距离即是到平面距离的到平面距离为法2:以为原点,,,分别为,,轴建立空间直角坐标系,则,,,,,.,,,设,得,,设平面的一个法向量为,则,取得,,则.平面的一个法向量为设二面角的大小为,则,解得,所以设平面的一个法向量为,则,取则.到平面距离为.21.解:(1)直线的方程为,由条件得,原点到直线的距离为,即,所以,当,时取“”(1)证明:由平面几何可知,若平行四边形有内切圆,则平行四边形是菱形,设菱形为,设直线,则直线联立,消得,,同理有,设原点到直线的距离为,又则,又.即同理可得到直线,,的距离均为1,所以该平行四边形与相切.22.解:(1)设,则其定义域为,当时,,当时,,单调递增;当时,,单调递减,所以,对于恒成立,即恒成立,所以合理.当时,令,即,解得(舍),当时,单调递增;又有,所以当时,,不合题意.当时,令,即,解得(舍),当时,,单调递减;又有,所以当时,,不合题意.综上所述,.(2)由题意,方程有两个不
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