辽宁省协作校2023-2024学年高三下学期第一次模拟考试数学试题（含答案）

-2024学年度下学期高三第一次模拟考试试题数学时间：120分钟 试卷满分：150分注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，且，则集合可以是（）A． B． C． D．2．已知，（为虚数单位），则（）A．， B．，C．， D．，3．已知．则“且”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知双曲线的下焦点和上焦点分别为，，直线与交于，两点，若面积是面积的4倍，则（）A．3 B． C． D．5．猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜．若他们每人必能猜对自己写的灯谜，并有的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（）A． B． C． D．6．若函数使得数列，为递减数列，则称函数为“数列保减函数”，已知函数为“数列保减函数”，则的取值范围（）A． B． C． D．7．若，则（）A．或2 B．或 C．2 D．8．已知函数，若成立，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（）A．样本乙的极差一定大于样本甲的极差 B．样本乙的众数一定大于样本甲的众数C．样本甲的方差一定大于样本乙的方差 D．样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数10．已知函数，则在区间上为减函数的充分条件是（）A． B．的图象关于直线对称C．是奇函数 D．的图象关于点对称11．已知不相等的实数，满足，则下列四个数，，，经过适当排序后（）A．可能是等差数列 B．不可能是等差数列C．可能是等比数列 D．不可能是等比数列12．设直线系（其中，，均为参数，，），则下列命题中是真命题的是（）A．当，时，存在一个圆与直线系中所有直线都相切B．存在，，使直线系中所有直线恒过定点，且不过第三象限C．当时，坐标原点到直线系中所有直线的距离最大值为1，最小值为D．当，时，若存在一点，使其到直线系中所有直线的距离不小于1，则三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．抛物线上的一点到其准线的距离为______．14．已知函数在处有极值8，则等于______．15．杭州第19届亚运会是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会徽宝由上下两方玉玺组成（如图一），上方以杭州城市文化代表（钱塘潮和杭州奥体中心体育场）为主体元素（如图二），若将徽宝上方看成一个圆台与两个圆柱的组合体，其轴截面如图三所示，其中两个圆柱的底面直径均为10，高分别为2和6；圆台的上、下底面直径分别为8和10，高为2．则该组合体的体积为______．16．已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，都有（其中），则______．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在中，内角，，所对的边分别为，，，满足．（1）求证：；（2）若为锐角三角形，求的最大值．18．（12分）已知为数列的前项和，满足，且，，，，成等比数列，当时，．（1）求证：当时，成等差数列；（2）求的前项和．19．（12分）某教育教研机构为了研究学生理科思维和文科思维的差异情况，对某班级35名同学的数学成绩和语文成绩进行了统计并整理成如下列联表（单位：人）：数学成绩良好数学成绩不够良好语文成绩良好1210语文成绩不够良好85（1）能否有的把握认为该班数学成绩与语文成绩有关？（计算结果精确到0.001）（2）从该班的学生中任选一人，表示事件“选到的学生数学成绩良好”，表示事件“选到的学生语文成绩良好”，与的比值是文、理科思维差异化的一项度量指标，记该指标为．（i）证明：；（ii）利用该表中数据，给出，的估计值，并利用（i）的结果给出的估计值．附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82820．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面侧面，为中点，是上的点，，．（1）求证：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，求到平面的距离．21．（12分）已知圆和椭圆，椭圆的四个顶点为，，，，如图．（1）圆与平行四边形内切，求的最小值；（2）已知椭圆的内接平行四边形的中心与椭圆的中心重合．当，满足什么条件时，对上任意一点，均存在以为顶点与外切，与内接的平行四边形？并证明你的结论．22．（12分）已知函数，（其中，为实数，且）（1）当时，恒成立，求；（2）当时，函数有两个不同的零点，求的最大整数值．（参考数据：）2023-2024学年度下学期高三第一次模拟考试试题数学参考答案一、1．D2．A3．A4．D5．C6．B7．C8．C二、9．CD10．BD11．AD12．ABD三、13．514．15．16．四、17．解：（1）据余弦定理得由正弦定理：或（舍）（2）为锐角三角形由（1），，原式令则原式，当时，所求式子的最大值为．18．解析（1），①，当时，，②①②得．又当时，，所以，所以当时，成等差数列．（2）由，解得或，又，，，，成等比数列，所以由（1）得，进而，而，所以，从而，所以，所以19．解：（1）由已知，又，而，所以没有的把握认为该班数学成绩与语文成绩有关．（2）（i）因为．所以，所以，（ii）由已知，，又，，所以．20．解：（1）侧面侧面于，于，平面平面又是正方形，，平面，又平面平面平面（2）法1：作垂直于，作，连接，取中点，连接，，，，，侧面底面于，底面，，，为二面角的平面角，设，则，在中，在中，得，，得，是的中点设是的中点，由（1）可知平面．平面平面于到平面的距离为到直线的距离在中，，到的距离为，是的中点，到平面的距离即是到平面距离的到平面距离为法2：以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，．，，，设，得，，设平面的一个法向量为，则，取得，，则．平面的一个法向量为设二面角的大小为，则，解得，所以设平面的一个法向量为，则，取则．到平面距离为．21．解：（1）直线的方程为，由条件得，原点到直线的距离为，即，所以，当，时取“”（1）证明：由平面几何可知，若平行四边形有内切圆，则平行四边形是菱形，设菱形为，设直线，则直线联立，消得，，同理有，设原点到直线的距离为，又则，又．即同理可得到直线，，的距离均为1，所以该平行四边形与相切．22．解：（1）设，则其定义域为，当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，对于恒成立，即恒成立，所以合理．当时，令，即，解得（舍），当时，单调递增；又有，所以当时，，不合题意．当时，令，即，解得（舍），当时，，单调递减；又有，所以当时，，不合题意．综上所述，．（2）由题意，方程有两个不