数值计算方法 第4版 课件 第4章4-03,04埃特金,牛顿插值_第1页
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文档简介

4.3逐次线性插值

逐次线性插值解决拉格朗日插值为提高精度增加插值节点时，要重新计算全部基函数，整个插值多项式的结构都会改变的问题。4.3.1三个节点的情形已知f(x)在三个互异节点x0,x1,x2的函数值y0,y1,y2

用（x0,y0),(x1,y1)做插值xx0x1x2yy0y1y2用（x0,y0),(x2,y2)做插值用（x1,P01),(x2,P02)做插值

上式即是拉格朗日二次插值多项式。两个线性插值的结果再进行线性插值，得到抛物线性插值。三个节点的情形写成表格的形式

函数值一阶插值二阶插值∴的近似值为1.5。已知f(x)在三个互异点

0,1,2的函数值1,3,9用（0,1

),(1,3

)作插值用（0,1

),(2,9

)作插值用（1,P01),(2

,P02

)作插值函数值一阶插值二阶插值三阶插值4.3.2埃特金插值函数值一阶插值二阶插值三阶插值4.3.3内维尔插值4.4牛顿插值

牛顿插值解决拉格朗日插值为提高精度增加插值节点时，要重新计算全部基函数，整个插值多项式的结构都会改变的问题。差商及其性质,牛顿插值多项式。零阶差商定义为函数值本身，即

4.4.1差商（均差）及其性质1差商的定义差商是函数增量与其自变量的增量的比(商)。函数f关于点xi,xj的一阶差商一阶差商是函数f在区间[xi,xj]的平均变化率。二阶差商

是一阶差商在区间的平均变化率例如设则

函数f的n阶差商

高阶差商是由比它低一阶的两个差商的差商组成。例如零阶差商一阶差商二阶差商三阶差商差商表（1）n

阶差商是函数值的线性组合，即（2）差商具有对称性：任意改变节点的次序差商值不变。例如

f[0,2,4]=f[2,0,4]=f[4,2,0]等。2差商的性质按差商的定义4.3.2牛顿插值公式1。牛顿插值公式的建立牛顿插值多项式(f(x)的前n+1项）牛顿插值余项(f(x)的最后一项）牛顿插值多项式的构成零阶差商一阶差商二阶差商乘积因子1…….2。牛顿插值的特点

(1)P(x)次数不超过n次，项数不超过n+1项。各项系数是差商表上对角线的各阶差商值。

(2)

P(x)满足插值条件，在节点上f(xi)=P(xi)

.(3)

增加一个节点，只需增加一项。n次牛顿插值多项式

计算牛顿插值多项式的步骤(1)作差商表.(2)写出牛顿插值多项式（表中对角线上各差商值就是P(x)的各项系数）。(3)计算插值点的近似值。余项公式又证:牛顿插值多项式根据线性插值的点斜式可得牛顿差商型线性插值多项式：设由可得

牛顿差商型二次插值多项式：

解先作差商表

xif(xi)1阶2阶3阶4阶0.400.550.650.800.901.11601.18601.27571.38410.410750.578150.696750.888111.026520.28000.35880.43360.1910.2140.034由Newton公式得四次插值多项式

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