高三二轮复习专题15随机变量分布列

2024届高三二轮复习第15讲：随机变量分布列解析版2023年考情考题示例考点关联考点2023年新I卷，第21题概率，两点分布无2023年新Ⅱ卷，第12题概率无2023年新Ⅱ卷，第19题频率分布直方图、概率函数2023年天津卷，第13题概率无2023年北京卷，第18题概率无2023年甲卷文科，第4题古典型概率无2023年乙卷理科，第7题几何型概率圆2023年甲卷理科，第6题概率无2023年乙卷文科，第5题几何型概率圆题型一：古典型概率【典例例题】例1.（2023春·广东省佛山市高三一模）二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法中的二十四个节气而编成的小诗歌，体现着我国古代劳动人民的智慧.四句诗歌“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.若从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接由组合结合古典概型求解即可.【详解】由题意知：从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的概率为.故选：C.【变式训练】1.（2023春·广东省梅州市高三一模）若从0，1，2，3，…9这10个整数中同时取3个不同的数，则其和为偶数的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出基本事件总数，再求出满足条件的事件数，利用古典概型概率求解.【详解】10不同的数取3个不同的数的情况为：，其中3个之和为偶数的情况为：①三个为偶数：，②两奇数一偶数：，共60种情况，所以所求概率为：.故选：D.2.（2023春·广东省深圳市高三一模）安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人，根据排列组合得出各自有多少种，再得出甲、乙到同一家企业实习的情况有多少种，即可计算得出答案.【详解】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有种实习方案，当分为2,2,1人时，有种实习方案，即共有种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有种，故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为，故选：D.3.（2023春·广东省茂名市高三二模）从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用排列组合知识求出对应的方法种数，利用古典概型的概率公式直接求解.【详解】从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，有种；要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除，所以数字为1，2，3时，有种；数字为1，3，5时，有种；数字为2，3，4时，有种；数字为3，4，5时，有种；共24种.所以该三位数能被3整除的概率为.故选：D题型二：条件概率、事件相互独立【典例例题】例1.（2023春·广东省东莞市实验中学高三模拟）（多选）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（

）A． B．C．事件B与事件相互独立 D．，，两两互斥【答案】AD【分析】根据互斥事件的定义判断D，再根据条件概率及相互独立事件的概率公式计算即可判断其他选项．【详解】因为事件，和任意两个都不能同时发生，所以，，是两两互斥的事件，故D正确；因为，，，，故A正确；，，，因为，，所以，所以与不是相互独立事件，故B，C不正确．故选：AD．【变式训练】1.（2023春·广东省江门市高三一模）衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，求出，，根据条件概率公式求解即可．【详解】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则，又，则，即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为．故选：D．2.（2023春·广东省潮州市高三二模）（多选）对于一个事件E，用表示事件E中样本点的个数．在一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D中，，，则（）A.A与D不互斥 B.A与B互为对立 C.A与C相互独立 D.B与C相互独立【答案】BCD【解析】【分析】利用古典概型相关知识，以及互斥事件，对立事件概率计算公式即可求解.【详解】对于A：，，，与互斥，故A错误；对于B：A与B互为对立，故B正确；对于C：，，，，A与C相互独立，故C正确；对于D：,，，又，，，B与C相互独立，故D正确；故选：BCD.3.（2023春·广东省大湾区高三大联考）一堆苹果中大果与小果的比例为，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为．经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】记事件放入水果分选机的苹果为大果，事件放入水果分选机的苹果为小果，记事件水果分选机筛选的苹果为“大果”，利用全概率公式计算出的值，再利用贝叶斯公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件放入水果分选机的苹果为大果，事件放入水果分选机的苹果为小果，记事件水果分选机筛选的苹果为“大果”，则，，，，由全概率公式可得，，因此，.故选：A.4.（2023春·广东省惠州市高三一模）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；（2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为．（i）证明：为等比数列；（ii）证明：当时，．【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【解析】【分析】（1）设“第天选择米饭套餐”，“第天选择米饭套餐”，“第天不选择米饭套餐”．由全概率公式有，计算可得；（2）（i）设“第天选择米饭套餐”，则，依照（1）可得与的关系，然后根据等比数列定义证明；（ii）求出通项公式，然后分类讨论证明结论．【详解】解：（1）设“第天选择米饭套餐”，“第天选择米饭套餐”，则“第天不选择米饭套餐”．根据题意，，，．由全概率公式，得．（2）（i）设“第天选择米饭套餐”，则，，根据题意，．由全概率公式，得．因此．因为，所以是以为首项，为公比的等比数列．（ii）由（i）可得．当为大于奇数时，．当为正偶数时，．因此当时，5.（2023春·广东省深圳市高三一模）某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案．方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球．企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球．约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式Ⅰ回答问卷，否则按方式Ⅱ回答问卷”．方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；方式Ⅱ：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”．当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例．用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值．其中满意度．（1）若该企业某部门有9名员工，用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数，求X的数学期望；（2）若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为4：5，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度．【答案】（1）4（2）40%．【解析】【分析】（1）根据题意分析可得方式Ⅰ回答问卷的人数，利用二项分布的期望的公式运算求解；（2）根据题意结合条件概率公式和全概率公式运算求解【小问1详解】每次摸到白球的概率，摸到黑球的概率为，每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率，由题意可得：该部门9名员工中按方式Ⅰ回答问卷的人数，所以X的数学期望．【小问2详解】记事件A为“按方式Ⅰ回答问卷”，事件B为“按方式Ⅱ回答问卷”，事件C为“在问卷中画○”．由（1）知，，．∵，由全概率公式，则，解得，故根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为40%．题型三：随机变量分布列【典例例题】例1.（2023春·广东省东莞市实验中学高三模拟）2022年全国羽毛球锦标赛于12月16日在厦门举办，受此鼓舞，由一名羽毛球专业运动员甲组成的专业队，与羽毛球业余爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛，约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场，则专业队获胜；若甲连续输两场，则业余队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，甲赢的概率为；甲与丙比赛，甲赢的概率为，其中.(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：第一场业余队应该安排乙还是丙与甲进行比赛？(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金13万元，负队获奖金3万元；若平局，两队各获奖金4万元，在比赛前，已知业余队采用了(1)中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望E(X)的取值范围．解：(1)第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，则业余队获胜的概率为；第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，则业余队获胜的概率为.当时，，即，所以第一场业余队应该安排乙与甲进行比赛．(2)由题意知X的可能取值为8或16．由(1)知第一场业余队应该安排乙与甲进行比赛，此时业余队获胜的概率专业队获胜的概率，所以非平局的概率平局的概率，所以.因为，所以，即的数学期望的取值范围是. 【变式训练】1.（2023春·广东省广州市高三一模）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.（1）求甲前3次答题得分之和为40分的概率；（2）记甲第i次答题所得分数的数学期望为.①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：②若，求i的最小值.【答案】（1）；（2）①，，且；②5.【解析】【分析】（1）甲甲前3次答题得分之和为40分的事件是甲前3次答题中恰答对一次的事件，再利用相互独立事件概率的乘法公式计算作答.（2）①求出，再分析、写出与满足的等量关系式作答；②利用构造法求出的通项，列出不等式并结合单调性作答.【小问1详解】甲前3次答题得分之和为40分的事件是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件，所以甲前3次答题得分之和为40分的概率.【小问2详解】①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为，则，甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为，则，显然，，甲第次答题所得分数的数学期望为，因此第次答对题所得分数为，答错题所得分数为10分，其概率分别为，于是甲第i次答题所得分数的数学期望为，所以与满足等量关系式是：，，且；②由①知，，当时，，而，因此数列以为首项，为公比的等比数列，，于是，由得：，显然数列是递增数列，而，则有正整数，所以i的最小值是5.2.（2023春·广东省高三二模）甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立．（1）若，，，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；（2）当时，（i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E（X）的最大值；（ii）若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用α，β表示），无需写出过程．【答案】（1）（2）（i）分布列见解析，期望最大值为；（ii）.【解析】【分析】（1）根据题意结合独立事件的概率乘法公式分析运算；（2）（i）根据题意求分布列，进而可得期望；（ii）根据题意结合条件概率分析运算.【小问1详解】用事件A，B，C分别表示每局比赛“甲获胜”“乙获胜”或“平局”，则，，，记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N，则事件N包括事件ABAA，BAAA，ACCA，CACA，CCAA共5种，所以．【小问2详解】（i）因为，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即，由题意得X的所有可能取值为2，4，5，则，，．所以X的分布列为X245P所以X的期望，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以，故的最大值为．（ii）记“甲学员赢得比赛”为事件M，则．由（1）得前两局比赛结果可能有AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲学员赢得比赛”，事件BB表示“乙学员赢得比赛”，事件AB，BA表示“甲、乙两名学员各得1分”，当甲、乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同．所以所以，即，因为，所以．3.（2023春·广东省高州市高三二模）春节过后，文化和旅游业逐渐复苏，有意跨省游、出境游的旅客逐渐增多.某旅游景区为吸引更多游客，计划在社交媒体平台和短视频平台同时投放宣传广告并进行线上售票，通过近些年的广告数据分析知，一轮广告后，在短视频平台宣传推广后，目标用户购买门票的概率为，在社交媒体平台宣传推广后，目标用户购买门票的概率为；二轮广告精准投放后，目标用户在短视频平台进行复购的概率为，在社交媒体平台复购的概率为.（1）记在短视频平台购票的4人中，复购的人数为，若，试求的分布列和期望；（2）记在社交媒体平台的3名目标用户中，恰有1名用户购票并复购的概率为，当取得最大值时，为何值？（3）为优化成本，该景区决定综合渠道投放效果的优劣，进行广告投放战略的调整.已知景区门票100元/人，在短视频平台和社交媒体平台的目标用户分别在90万人和17万人左右，短视频平台和社交媒体平台上的广告投放费用分别为4元/100人和5元/100人，不计宣传成本的景区门票利润率分别是2%和5%，在第（2）问所得值的基础上，试分析第一次广告投放后，景区在两个平台上的目标用户身上可获得的净利润总额.【答案】（1）分布列见解析；当时，期望为1；当时，期望为3；（2）（3）805500元【解析】【分析】（1）复购的人数满足，故通过可求得或，然后分两种情况进行求分布列和期望即可；（2）设在社交媒体平台的目标用户购票并复购的概率为，由题得,，故可计算得，通过导数研究其单调性即可求得最大值，求得此时的值；（3）根据题意，分两个平台进行计算净利润，最后进行求和即可【小问1详解】由题意得,在短视频平台购票的人中,复购概率为，复购的人数满足二项分布，即，故,故或.又知所有可能取值为0，1，2，3，4，①当时,的分布列为01234此时期望为，②时,，所以的分布列为01234此时期望为【小问2详解】设在社交媒体平台的目标用户购票并复购的概率为，由题得,.,,令,得或1，所以时,，函数单调递增,当时,，函数单调递减.故当取得最大值.由可得，此时.【小问3详解】短视频平台:(元),社交媒体平台:(元),净利润总额:(元).故景区在两个平台上的目标用户身上可获得的净利润总额为805500元.题型四：二项分布【典例例题】例1.（2023春·广东省大湾区高三联考）某工厂车间有台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是，且一台机器的故障能由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责台机器；方案二：由甲乙两人共同维护台机器．（1）对于方案一，设为甲维护的机器同一时刻发生故障的台数，求的分布列与数学期望；（2）在两种方案下，分别计算机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高?【答案】（1）分布列答案见解析，（2）方案二，理由见解析【解析】【分析】（1）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；（2）计算出两种方案下故障机器得到维修的概率，比较大小后可得出结论.【小问1详解】解：由题意可知，，则，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：所以，.【小问2详解】解：对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人负责的台机器同时发生故障”，考查反面处理这个问题.其概率为.对于方案二：机器发生故障时不能及时维修的概率为，所以，，即方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高.【变式训练】1.（2024春·广东省东莞市高三模拟）某运动员进行射击训练､射中10环的概率为，射不中10环的概率为，每次射击相互独立.射中10环得2分，射不中10环得分.运动员进行了三次射击训练，用随机变量表示3次所得分数之和，求：（1）3次射击全部射中10环的概率；（2）随机变量的分布列及数学期望.【答案】（1）（2）分布列见详解，【解析】【分析】（1）根据独立事件改了乘法公式运算求解；（2）设三次射击射中10环次数为，则，可得，利用二项分布求分布列，进而可得期望.【小问1详解】由题意可知：3次射击全部射中10环的概率.【小问2详解】设三次射击射中10环的次数为，则，可得，可知的可能取值有，则，，，，所以随机变量的分布列为036P可得.2.（2024春·广东省佛山市高三模拟）2025年四川省将实行3＋1＋2的高考模式，其中，“3”为语文、数学，外语3门参加全国统一考试，选择性考试科目为政治、历史、地理、物理、化学，生物6门，由考生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际，首先在物理，历史中2选1，再从政治、地理、化学、生物中4选2，形成自己的高考选考组合.（1）若某小组共6名同学根据方案进行随机选科，求恰好选到“物化生”组合的人数的期望；（2）由于物理和历史两科必须选择1科，某校想了解高一新生选科的需求.随机选取100名高一新生进行调查，得到如下统计数据，写出下列联表中a，d的值，并判断是否有95％的把握认为“选科与性别有关”？选择物理选择历史合计男生a10女生30d合计30附：.0.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）（2）40，20，有95％的把握认为“选科与性别有关【解析】【分析】（1）根据列举法求出一个学生恰好选到“物化生”组合的概率，确定6名同学根据方案进行随机选科，符合二项分布，即可求得答案；（2）由题意确定的值，计算的值，与临界值表比较，即得结论.【小问1详解】设物理、历史2门科目为，政治、地理、化学、生物科目为，则根据高考选考组合要求共有组合为，，共12种，所以一个学生恰好选到“物化生”组合的概率为，则6名同学根据方案进行随机选科，符合二项分布，故恰好选到“物化生”组合的人数的期望为；【小问2详解】由题意可得；则，所以有95％的把握认为“选科与性别有关”.3.（2024春·广东省广州市高三模拟）“大地”渔业公司从、两不同设备生产厂商处共购买了80台同类型的设备.（1）若这80台设备的购买渠道和一段时间后故障的记录如下表：从处购买（台）从处购买（台）运行良好（台）4614出现故障（台）146试根据小概率值的独立性检验，分析设备故障情况是否与购买渠道有关；（2）若每台设备发生故障的概率都是0.01，且发生故障时由一个人独立完成维修.现有两种配备维修工人的方案，甲方案是由4个人维修，每个人各自独立负责20台；乙方案是由3个人共同维护这80台.请判断在这两种方案下设备发生故障时不能及时维修的概率的大小关系？并从公司经营者的角度给出方案选择的建议.附：0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.879【答案】（1）否（2）甲方案下设备发生故障时不能及时维修的概率大，选择乙方案【解析】【分析】（1）根据计算公式运算，对比临界值即可求解；（2）根据题意，分别求得甲方案和乙方案，结合对立事件和独立重复试验的概率计算公式，分别求得设备发生故障时不能及时维修的概率，根据大小关系，即可得到结论.【小问1详解】假设设备故障情况与购买渠道无关联，由题意，，依据小概率值的独立性检验，可推断假设成立，即认为设备故障情况与购买渠道无关联.【小问2详解】对于甲方案：以X记“第1人维护的20台设备中同一时刻发生故障的台数”，以表示事件“第人维护的20台设备发生故障时不能及时维修”，则知80台设备发生故障时不能及时维修的概率为：，而，故有，所以；对于乙方案：以Y记“80台设备中同一时刻发生故障的台数”，此时，则80台设备发生故障时不能及时维修的概率为，可得，故选择乙方案能让故障设备更大概率得到及时维修，使得公司的生产效率更高.题型五：超几何分布【典例例题】例1.（2024春·广东省惠州市高三联考）为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，如图所示，已知，.（1）若从苹果园中随机采摘个苹果，求该苹果的重量在内的概率；（2）从这个苹果中随机挑出个，这个苹果的重量情况如下.重量范围（单位：）个数为进一步了解苹果的甜度，从这个苹果中随机选出个，记随机选出的个苹果中重量在内的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望为.【解析】【分析】（1）利用正态密度曲线的对称性结合已知条件可求得的值；（2）分析可知，随机变量的所有可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值.【小问1详解】解：已知苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，由正态分布的对称性可知，，所以从苹果园中随机采摘个苹果，该苹果的重量在内的概率为.【小问2详解】解：由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、，，；，所以，随机变量的分布列为：所以.【变式训练】1.（2024春·广东省佛山市高三联考）2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：性别科目男生女生合计物理300历史150合计400800（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望.附：0.0500.0100.001k3.8416.63510828【答案】（1）表格答案见解析，有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：.【解析】分析】（1）补全列联表，计算出后可得结论；（2）由分层抽样得抽取男生2人，女生3人，随机变量X的所有可能取值为0，1，2.，计算出概率的分布列，由分布列计算期望．【详解】（1）性别科目男生女生合计物理300250550历史100150250合计400400800因为，所以有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关.（2）按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人.随机变量X的所有可能取值为0，1，2.所以，，.所以X的分布列为X012P所以.答：x的数学期望为.2.（2024春·广东省中山市高三联考）多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积极化的联想”.小李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽小球”的方式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任取4个小球，若取出的红球比白球多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择了红色，再选连衣裙的可能性为0.6，而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5.（1）写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望；（2）求小李同学当天穿连衣裙的概率.【答案】（1）分布列见解析，（2）.【解析】【分析】（1）根据超几何分布求出的概率，列出分布列，求出数学期望即可；（2）设A表示穿红色衣物，则表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则表示穿套装.求出，结合条件概率和计算即可求解.【小问1详解】设抽到红球的个数为X，则X的取值可能为4，3，2，，，，所以X的分布列为：X432P故.【小问2详解】设A表示穿红色衣物，则表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则表示穿套装.因为穿红色衣物的概率为，则穿蓝色衣物的概率为，穿红色连衣裙的概率为，穿蓝色连衣裙的概率为，则当天穿连衣裙的概率为.所以小李同学当天穿连衣裙的概率为.题型六：正态分布【典例例题】例1.（2023春·广东省佛山市高三二模）佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外．某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标，且，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记表示的瓷砖片数，则______．【答案】1【解析】【分析】利用正态分布的对称性可得，结合条件可得，然后利用二项分布的期望公式即得.【详解】因为，均值为，且，所以，由题可得，所以．故答案为：1．【变式训练】1.（2023春·广东省广州市高三二模）某班有48名学生，一次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为____________.【答案】8【解析】【分析】根据正态分布的对称性即可求解.【详解】由X（单位：分）服从正态分布，知正态密度曲线的对称轴为，成绩在上的学生人数为16，由对称性知成绩在80分上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为.故答案为：82.（2023春·广东省揭阳市高三二模）某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩，且，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是______．【答案】120【解析】【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性得，乘以总人数即可得出答案．【详解】由，得正态分布曲线的对称轴为，因为，所以，则数学成绩为优秀的人数是，故答案为：．1.（新课标全国Ⅱ卷）（多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【答案】ABD【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，B正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误；对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率，单次传输发送0，则译码为0的概率，而，因此，即，D正确.故选：ABD2.（全国乙卷数学(理)（文））设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为区域表示以圆心，外圆半径，内圆半径的圆环，则直线的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角，结合对称性可得所求概率.故选：C.3.（全国乙卷数学（文））某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有种，若甲、乙抽到的主题不同，则共有种，则其概率为，故选：A.4.（全国甲卷数学（文））某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，所以这2名学生来自不同年级的概率为.故选：D.5.（全国甲卷数学（理））有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（

）A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1【答案】A【详解】报名两个俱乐部的人数为，记“某人报足球俱乐部”为事件,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件，则，所以.故选:.6.（新高考天津卷）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．【答案】【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为，所以甲盒中黑球个数为，白球个数为；甲盒中黑球个数为，白球个数为；甲盒中黑球个数为，白球个数为；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以，；记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件，黑球总共有个，白球共有个，所以，．故答案为：；．7.（新课标全国Ⅱ卷）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率；(2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．【答案】(1)，；(2)，最小值为．【详解】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以，所以，解得：，．（2）当时，；当时，,故，所以在区间的最小值为．8.（新课标全国Ⅰ卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，所以，.（2）设，依题可知，，则，即，构造等比数列，设，解得，则，又，所以是首项为，公比为的等比数列，即．（3）因为，，所以当时，，故．1.（2023春·广东省高州市高三二模）（多选）2023年2月28日，国家统计局发布中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报，如图是该公报中关于2018年~2022年国内生产总值及其增长速度的统计图，下列说法正确的是（）A.近五年的国内生产总值逐年递增，近三年均已超过1000000亿元B.2017年的国内生产总值低于800000亿元C.近五年的国内生产总值增长速度的平均数为5.26%D.近五年的国内生产总值的极差为290926亿元【答案】ACD【解析】【分析】根据统计图进行分析计算即可【详解】由统计图可得2018年~2022年国内生产总值分别为919281,986515,1013567,1149237,1210207，增长速度为6.7%，6.0%，2.2%，8.4%，3.0%，对于A，通过数据可得近五年的国内生产总值逐年递增，且近三年均已超过1000000亿元，故正确；对于B，2017年的国内生产总值为亿元，故不正确；对于C，近五年的国内生产总值增长速度的平均数为，故正确；对于D，近五年的国内生产总值的极差为亿元，故正确；故选：ACD2.（2023春·广东省深圳市高三二模）从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先列基本事件，再列满足条件的基本事件，最后根据古典概型求解.

【详解】从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数可得基本事件为，10种情况，若这三个数之积为偶数有，9种情况，它们之和大于8共有，5种情况，从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为.故选:D.3.（2024春·广东省惠州市高三模拟）“仁义礼智信”为儒家“五常”，由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”，将“仁义礼智信”排成一排，“仁”排在第一位，且“智信”相邻的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用特殊元素及捆绑法得“仁”排在第一位，且“智信”相邻的排法有种排法，然后利用古典概型求解即可.【详解】“仁义礼智信”排成一排，任意排有种排法，其中“仁”排在第一位，且“智信”相邻的排法有种排法，故概率故选：A4.（2024春·广东省佛山市顺德区高三模拟）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，如30=7+23，在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定不超过25的素数，再确定中位数，最后根据古典概型概率公式求概率．【详解】因为不超过25的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23共9个，这组数的中位数为11，所以所求概率．故选：C5.（2024春·广东省佛山市高三模拟）若随机事件A，B满足，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由题意计算出，再根据条件概率求出即可.【详解】由题意知：，可得，故.故选：D.6.（2023春·广东省中山市高三二模）某班学生的一次的数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：，且，，（）A.0.14 B.0.18 C.0.23 D.0.26【答案】C【解析】【分析】根据正态分布的对称性计算即可.【详解】因为，，所以，又，所以.故选：C.7.（2023春·广东省深圳市龙岗区高三联考）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，设事件为第一次取出的球为i号，事件为第二次取出的球为i号，则下列说法错误的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用条件概率及全概率公式即可对每个选项进行分析【详解】由题意可得，故B正确；对于A，表示在第一次取出的球为3号的前提下，第二次取出的球为3号的概率，所以，故A正确；对于C，表示在第一次取出的球为1号的前提下，第二次取出的球为3号的概率，所以表示在第一次取出的球为2号的前提下，第二次取出的球为3号的概率，所以，应用全概率公式,有，故C错误；对于D，利用条件概率可得，解得，故D正确故选：C8.（2024春·广东省广州市高三模拟）（多选）对自然人群进行普查，发现患某病的概率.为简化确诊手段，研究人员设计了一个简化方案，并进行了初步试验研究，该试验具有以下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被确诊为患病”，则有.根据以上信息，下列判断正确的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据对立事件概率公式判断AC，根据条件概率和全概率公式判断BD.【详解】因为，所以，因为，所以，故选项A错误，C正确；因为，故选项B正确；由全概率公式可得，则由条件概率公式知，故选项D错误.故选：BC9.（2024春·广东省广州市高三联考）现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（）A.事件A与B相互独立 B.事件A与C为互斥事件C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件求出，由互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公式进行逐一判断即可【详解】对于A，每项比赛至少一位同学参加，则有不同的安排方法，事件“甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有种方法；若跳高比赛安排1人，则有种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有种，则，同理，若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有种不同的安排方法，所以，因为，事件A与B不相互独立故A错误；对于B，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同时发生，故事件A与C不是互斥事件，故B错误；对于C，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有种，所以，所以，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C10.（2023春·广东省广州市高三二模）（多选）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（）A.该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08B.该零件是次品的概率为0.03C.如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98D.如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为【答案】BC【解析】【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率即可判断A，B；利用条件概率公式、对立事件即可判断C，D．【详解】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，则，，，，，，对于，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，故A错误；对于，任取一个零件是次品的概率为，故B正确；对于，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为，故C正确；对于，如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为，故D错误．故选：BC．11.（2023春·广东省揭阳市高三二模）（多选）设A，B为两个随机事件，若，，则下列结论中正确的是（）A.若，则 B.若，则A，B相互独立C.若A与B相互独立，则 D.若A与B相互独立，则【答案】BD【解析】【分析】根据并事件的概率的计算公式即可判断A；根据相互独立事件及对立事件的交事件的概率公式即可判断BD；根据相互独立事件的并事件的概率公式即可判断C.【详解】对于A，若，则，故A错误；对于B，因为，，所以，所以A，B相互独立，故B正确；对于C，A与B相互独立，则也相互独立，则，故C错误；对于D，A与B相互独立，则也相互独立，所以，故D正确.故选：BD.12.（2023春·广东省汕头市潮阳区高三联考）（多选）已知，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据条件概率公式、全概率公式、和事件公式可以判断答案.【详解】B选项：，对；C选项：,C对；A选项：由全概率公式得：,,A错；D选项：D对；故选：BCD13.（2023春·广东省韶关市高三二模）（多选）下列命题中，正确的是（）A.已知随机变量X服从二项分布，若，则B.已知随机变量X服从正态分布，若，则C.已知，，，则D.已知，，，则【答案】ACD【解析】【分析】利用二项分布期望公式及性质计算判断A；利用正态分布的对称性计算判断B；利用条件概率公式推理判断C；利用全概率公式计算判断D作答.【详解】对于，由二项分布的期望公式，，由期望的性质得，则，正确；对于，由正态分布曲线的性质知，，根据对称性知，，于是，B错误；对于C，由，得，所以，C正确；对于D，由，得，又，由全概率公式得，，D正确.故选：ACD14.（2024春·广东省东莞市东莞中学高三模拟）长郡中学体育节中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组（每组4个人），则3个种子选手恰好被分在同一组的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用均匀分组的原理，再结合古典概型的概率公式求解即可.【详解】由已知条件得将12人任意分成3组，不同的分组方法有种，3个种子选手分在同一组的方法有种，故3个种子选手恰好被分在同一组的概率为，故选：.15.（2024春·广东省汕头市高三模拟）（多选）设为两个互斥的事件，且，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据互斥事件的含义及概率计算公式逐项判定即可.【详解】因为为两个互斥的事件，且，所以,即，故A正确，B错误；因为为两个互斥的事件，所以，故C正确；因为为两个互斥的事件，所以，故D正确，故选：ACD.16.（2024春·广东省韶关市高三模拟）在长郡中学文体活动时间，举办高三年级绳子打结计时赛，现有根绳子，共有10个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这5根绳子恰好能围成一个圈的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用分步计数原理，结合数列的累乘法与古典概型的概率公式即可得解.【详解】不妨令绳头编号为，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外有种可能，假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下根绳子进行打结，令根绳子打结后可成圆的种数为，那么经过一次打结后，剩下根绳子打结后可成圆的种数为，由此可得，，所以，所以，显然，故；另一方面，对个绳头进行任意2个绳头打结，总共有；所以，所以当时，.故选：.17.（2023春·广东省韶关市高三二模）已知甲、乙、丙、丁四位高三学生拍毕业照，这四位同学排在同一行，则甲、乙两位学生相邻的概率为______.【答案】【解析】【分析】利用捆绑法，先将甲、乙两位学生看成一个整体，再与剩余学生排列，结合古典概型运算求解.【详解】四位同学排列，共用种不同排法，若甲、乙两位学生相邻，共用种不同排法，所以甲、乙两位学生相邻的概率.故答案为：.18.（2023春·广东省深圳市高三二模）若，则__________(精确到0.01).参考数据：若，则，.【答案】0.82【解析】【分析】根据正态分布的均值和标准差计算概率.【详解】因为，根据参考数据，.故答案为：.19.（2024春·广东省中山市高三模拟）1889年7月由恩格斯领导的第二国际在巴黎举行代表大会，会议上宣布将五月一日定为国际劳动节.五一劳动节某单位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一假期期间值班2天，则甲连续值班的概率是________.【答案】【解析】【分析】根据条件概率公式可求出结果.【详解】记“甲在五一假期期间值班2天”为事件，“甲连续值班”为事件，则种，种，所以，所以已知甲在五一假期期间值班2天，则甲连续值班的概率为.故答案为：.20.（2023春·广东省汕头市高三二模）某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.按照这种化验方法，平均每个人需要化验______次.（结果保留四位有效数字）（，，）.【答案】0.4262【解析】【分析】设每个人需要的化验次数为X，结合独立重复试验概率计算公式、对立事件概率计算公式求得，从而确定正确答案.【详解】设每个人需要的化验次数为X，若混合血样呈阴性，则；若混合血样呈阳性，则；因此，X的分布列为，，，说明每5个人一组，平均每个人需要化验0.4262次.故答案为：0.4262.21.（2023春·广东省高州市高三二模）阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力.某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有20%的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有30%的学生每天阅读时间超过1小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占60%.现从每天阅读时间不超过1小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为__________.【答案】【解析】【分析】利用全概率公式可构造方程求得所求概率.【详解】设写作能力被评为优秀等级为事件A，每天阅读时间超过小时为事件，则，，；，，即从每天阅读时间不超过小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为.故答案为：22.（2023春·广东省梅州市高三二模）有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分别生产3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%、5%、5%，现从这批产品中任取一件，则（1）取到次品的概率为____________；（2）若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为____________．【答案】①.②.【解析】【分析】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，根据题意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求出从中任取一件，取到次品的概率，利用条件概率公式可求出取得零件是次品，则它是来自甲厂生产的概率.【详解】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，则彼此互斥，且,，，，设任取一件产品，取到的是次品为事件，则如果取得零件是次品，那么它是来自甲厂生产的概率为,故答案为：，23.（2023春·广东省佛山市高三二模）有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______．【答案】①.②.【解析】【分析】记事件表示从第i个盒子里取出白球，利用全概率公式可得，进而可得，然后构造等比数列，求通项公式即得.【详解】记事件表示从第个盒子里取出白球，则，，所以，，，进而可得，，又，，，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即，故答案为：；.24.（2024春·广东省潮州市高三联考）甲乙两人进行象棋比赛，先胜三局的人晋级，假设甲每局获胜的概率为（不考虑平局），（1）若比赛三局后结束，求甲晋级的概率；（2）若已知晋级的是甲，求比赛三局后结束的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式求解,（2）利用条件概率公式求解.【小问1详解】比赛三局后结束，甲晋级，表示三局甲全获胜，设比赛三局后甲晋级为事件,则甲晋级的概率为;【小问2详解】设甲晋级为事件,有三种情况，可能比赛三场且这三场比赛甲都获胜，其概率为，可能比赛四场前三场甲胜两场第四场比赛甲获胜，其概率,可能比赛五场前四场比赛甲胜两场，第五场比赛甲获胜，其概率为，所以,设比赛三局后结束为事件,则,由条件概率公式可知.25.（2023春·广东省潮州市高三二模）新冠病毒引发的肺炎疫情在全球发生，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图.潜伏期不高于天的患者，称“短潜伏者”，潜伏期高于天的患者，称“长潜伏者”.（1）求这名患者中“长潜伏者”的人数，并估计样本的分位数（精确到）；（2）研究发现，有种药物对新冠病毒有一定的抑制作用，其中有种特别有效，现在要通过逐一试验直到把这种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是元，设所需要的试验费用为，求的分布列与数学期望.【答案】（1）这名患者中“长潜伏者”的人数为人，样本的分位数为（2）分布列答案见解析，【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图可计算出“长潜伏者”的人数，然后利用百分位数的概率可求得样本的分位数；（2）分析可知所有可能的取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.【小问1详解】解：这名患者中“长潜伏者”的频率为，所以，“长潜伏者”的人数为人，由频率分布直方图可知，潜伏期不高于天的患者所占的比例为，潜伏期不高于天的患者所占的比例为，因此，分位数一定位于内，由，所以可估计样本的分位数约为.【小问2详解】解：所有可能的取值为、、，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：所以，.26.（2024春·广东省河源市高三联考）为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.第一个比赛项目A采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）；第二个比赛项目B采取领先3局者获胜。每局不存在平局.假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为，在项目B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响.（1）求甲班在项目A中获胜的概率；（2）若第二个比赛项目B进行了7局，仍然没有人领先3局，比赛结束，领先者也获胜.现比赛已经进行了2局，甲班2局全输.设甲班在第二个比赛项目B中参加总局数为X、求随机变量X的分布列及期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据甲班在项目A中获胜对应的事件，利用互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式计算即可；（2）由总局数X可能的取值，计算相应的概率，列出分布列，计算期望.【小问1详解】记“甲班在项目A中获胜”为事件A，比分有，，三种情况，则，所以甲班在项目A中获胜的概率为.【小问2详解】甲班在第二个比赛项目B中参加比赛总局数，表示乙班获胜，表示乙班获胜，表示甲班获胜或乙班获胜或没有人领先3局，，，，所以X的分布列如下：X357所以.27.（2024春·广东省惠州市高三联考）某中学的风筝兴趣小组决定举行一次盲盒风筝比赛，比赛采取得分制度评选优胜者，可选择的风筝为硬翅风筝､软翅风筝､串式风筝､板式风筝､立体风筝，共有5种风筝，将风筝装入盲盒中摸取风筝，每位参赛选手摸取硬翅风筝或软翅风筝均得1分并放飞风筝，摸取串式风筝､板式风筝､立体风筝均得2分并放飞风筝，每次摸取风筝的结果相互独立，且每次只能摸取1只风筝，每位选手每次摸取硬翅风筝或软翅风筝的概率为，摸取其余3种风筝的概率为.（1）若选手甲连续摸了2次盲盒，其总得分为分，求的分布列与期望；（2）假设选手乙可持续摸取盲盒，即摸取盲盒的次数可以为中的任意一个数，记乙累计得分的概率为，当时，求.【答案】（1）分布列见解析，（2）【解析】【分析】（1）根据相互独立事件乘法公式求得分布列并求得数学期望.（2）根据已知条件列出递推关系，利用构造等比数列、累加法等知识求得.【小问1详解】的可能取值为，则：，则的分布列为234故.【小问2详解】当时，得分累计分，即在得到分后再得1分，或在得到分后再得2分，所以，则.因为，所以，所以为等比数列，且首项为，公比为，则，则，故当时，.28.（2024春·广东省佛山市高三模拟）某梯级共20级，某人上梯级（从0级梯级开始向上走）每步可跨一级或两级，每步上一级的概率为，上两级的概率为，设他上到第n级的概率为．（1）求他上到第10级概率（结果用指数形式表示）；（2）若他上到第5级时，求他所用的步数X的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析；期望为【解析】【分析】（1）求出，且（），从而变形后得到通项公式，求出答案；（2）先在（1）的基础上求出此人上到第5级的概率，再求出X的可能取值及相应的概率，得到分布列，求出数学期望.【小问1详解】由条件知，，且（）．所以，设，故，令，解得，所以，又，∴，∴．∴．【小问2详解】由（1）知此人上到第5级的概率为，X的可能取值为3，4，5，其中时，此人1次选择跨一级，2次选择跨两级，由条件概率可得，，时，此人1次选择跨两级，3次选择跨一级，由条件概率可得，，时，此人5次选择跨一级，由条件概率可得，，所以X的分布列为X345P所以．29.（2024春·广东省东莞市高三模拟）某种疾病历史资料显示，这种疾病的自然痊愈率为.为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给10个病人服用，试验方案为：若这10个病人中至少有5人痊愈，则认为这种药有效，提高了治愈率；否则认为这种药无效.假设每个病人是否痊愈是相互独立的.（1）如果新药有效，把治愈率提高到了，求经试验认定该药无效的概率；（精确到0.001，参考数据：）（2）根据（1）中值的大小解释试验方案是否合理.【答案】20.试验方案合理【解析】【分析】（1）先分析新药无效的情况：10中0人或1人或2人或3人或4人痊愈，由此求解出无效的概率；（2）结合（1）该药无效的概率分析试验方案的合理性得解.【小问1详解】设通过试验痊愈的人数为变量，则，所以经试验认定该药无效的概率为：.【小问2详解】由题意，新药是有效的，由（1）得经试验认定该药无效的概率为，概率很小是小概率事件，故试验方案合理.30.（2023春·广东省深圳市龙岗区高三联考）某人玩一项有奖游戏活动，其规则是：有一个质地均匀的正四面体（每个面均为全等的正三角形的三棱锥），四个面上分别刻着1，2，3，4，抛掷该正四面体5次，记录下每次与地面接触的面上的数字.（1）求接触面上5个数的乘积能被4整除的概率；（2）若每次抛掷到接触地面的数字为3时奖励200元，否则倒罚100元，①设甲出门带了1000元来参加该游戏，记游戏后甲身上的钱为X元，求；②若在游戏过程中，甲决定当自己赢了钱一旦不低于300元时立即结束游戏，求甲不超过三次就结束游戏的概率.【答案】（1）（2）①②【解析】【分析】（1）正难则反，采用间接法，先求不能被4整除的概率，再根据对立事件求解；（2）①先记为地面接触的面上的数字为3的次数，找出与的关系，根据二项分布求解期望；②先明确甲不超过三次就结束游戏的情况，再求解概率.【小问1详解】设事件A=“接触面上的5个数的乘积能被4整除”，不能被4整除的有两种情况：（i）5个数均为奇数（1或者3），概率为，（ii）5个数中4个为奇数，另一个为2，概率为，所以.【小问2详解】①可能的取值为500,800,1100,1400,1700,2000.记为地面接触的面上的数字为3的次数，则，且，，，故.②设事件B=“甲不超过三次就结束游戏”，分为两种情况：两次结束游戏和三次结束游戏..31.（2023春·广东省揭阳市高三二模）已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．（1）如果小明不知道单项选择题的正确答案，就作随机猜测．已知小明知道单项选择题的正确答案和随机概率都是，在他做完单项选择题后，从卷面上看，在题答对的情况下，求他知道单项选择题正确答案的概率；（2）假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求：（i）；（ii）的分布列及数学期望．【答案】（1）（2）（i）；（ii）答案见解析【解析】【分析】（1）根据已