高中数学-20 科赫曲线（以科赫曲线为背景的高中数学考题题组训练）解析版

【高中数学数学文化鉴赏与学习】

专题20科赫曲线

（以科赫曲线为背景的高中数学考题题组训练）

一、单选题

1.科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图①，将线段AB等

分为AC,CD,DB,如图②，以CO为底向外作等边三角形CMZ）,并去掉线段CQ,

在图②的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成图③的曲线，设线段AB的

长度为1，则图③曲线的长度为（）

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，分别求得4=14,4=三16，进而求得4的值，即可求解.

【详解】

由题意可得，未进行操作时，曲线为AB,长度为4=1,

进行1次操作时，曲线的长度为4%=：4：

进行2次操作时，曲线的长度为为=4*（3a）=紧/，

所以曲线的长度构成一个等比数列｛为｝,公比为g,首项为1,故。4=：4=探，

64

所以当进行3次操作后形成图③的曲线时，曲线的长度%=

故选：C.

2.2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现

在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作

“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如

图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后

以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.已

知图①中正三角形的边长为6,则图③中OM.ON的值为（)

【答案】A

【解析】

【分析】

在图③中，以。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由向量的运算求得

。例,ON的坐标，再由数量积的坐标表示计算.

【详解】

在图③中，以。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，

|。昨4,OM=（2cos（,2sin§=（2,2®

..OQ

|MP|=|,即MP=q,0）,

|w|=|,由分形知PN〃QM,所以PN=（；与），

所以ON=OM+MP+PN=（5,苧），

所以OM-ON=2x5+2gx拽=24.

3

故选：A.

3.科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段AB等分

为AC,CD,DB,如图2以CD为底向外作等边三角形CM。，并去掉线段CD在图

2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成图3的曲线•设线段A8的长度为

1,则图3曲线的长度为（）

ACDB

图1

【答案】C

【解析】

【分析】

依据等比数列的通项公式可得曲线长度组成的数列｛4｝的前4项，最后可得结果.

【详解】

据题目提供的条件列出曲线长度组成的数列｛«„｝的前4项，

依题意得4=1,02g4吟,&嗤

所以当进行三次操作后形成图3的曲线时，曲线的长度为=考64.

故选：C.

4.2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现

在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作

“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如

图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后

以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.已

知图①中正三角形的边长为3,则图③中。".ON的值为（）

【答案】C

【解析】

【分析】

在图③中，以。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由向量的运算求得

OM,ON的坐标，再由数量积的坐标表示计算.

【详解】

在图③中，以。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，

\OM\=2,OM=(2cos—,2sin—)=(1,>/3),

33

4

M4,即MP=(§,O),

,由分形知PN//OM,所以PN=

所以ON=OM+MP+PN

所以OM-ON=lx*+Gx型=6.

26

故选：C.

5.北京2022年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运

共同体，，的理念.“雪花曲线，，也叫“科赫雪花，，，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线

组成的，是一种分形几何.图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部

分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2,这称为“一次

分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3,这称为“二次分

形”；L.依次进行，，〃次分形规定：一个分形图中所有线段的长度之和为

该分形图的长度.若要得到一个长度不小于40的分形图，则〃的最小值是（）

（参考数据lg3Mo.477,lg2®0.301）

图1图2图3

A.11B.12C.13D.14

【答案】C

【解析】

【分析】

分析可知""次分形''后线段的长度为（3）,可得出关于”的不等式，解出”的取值范

围即可得解.

【详解】

图1的线段长度为1,图2的线段长度为g,图3的线段长度为（gj,L,

“〃次分形”后线段的长度为（扑

所以要得到一个长度不小于40的分形图,

只需满足(g)>40,则"lgg*lg40=l+21g2,[!PM(21g2-lg3)>l+21g2,

解得在施希"盛篝/12.8‘所以至少需要13次分形.

故选：C.

6.瑞典人科赫提出了著名的“雪花”曲线，这是一种分形曲线，它的分形过程是：从一

个正三角形（如图①）开始，把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分

别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段，这样就得到一个六角形（如图②），所得六角形

共有12条边.再把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作

正三角形后，抹掉“底边”线段.反复进行这一分形，就会得到一个“雪花”样子的曲线，

这样的曲线叫作科赫曲线或“雪花”曲线.已知点。是六角形的对称中心，4B是六角

UUUULIULU

形的两个顶点，动点P在六角形上（内部以及边界）.若OP=xOA+yO3,则x+y的取值

范围是（）

C.[-5,51D.f-6,61

【答案】c

【解析】

【分析】

设OA=a，OB=b，求x+y的最大值，只需考虑图中以。为起点，6个顶点分别为

终点的向量即可，再根据对称可得最小值.

【详解】

如图，设OA=a，OB=b，求x+y的最大值，只需考虑图中以。为起点，6个顶点

分别为终点的向量即可，讨论如下:

,y=0,故x+y=l；

当点P在8处时,x=0,y=i,故x+y=i；

当点P在C处时,OC=OA+AC=a+2b，故x+y=3；

当点P在〃处时,OD=OC+CD=OC+BC=2OC-OB=2a+3b，故x+)'=5：

当点P在E处时,OE=OA+AE=a+b^故x+y=2；

当点P在F处时,OF=OA+AF=a+3>b<故x+y=4.

于是x+y的最大值为5.

根据其对称性可知x+y的最小值为-5,故x+y的取值范围是[-5,5].

故选：C.

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键是根据题意得出只需考虑图中以。为起点，6个顶点分别

为终点的向量即可.

7.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法

是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别

向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设

原正三角形（图①）的边长为1,把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为

C1,C2,C3,C4,则C4=()

【答案】B

【解析】

【分析】

观察图形可得出｛。｝为首项为G=3,公比为：的等比数列，即可求出.

【详解】

观察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一•个的周长的基础上多

了其周长的：，即G=c,i+gc“T=§Gi，

所以｛。｝为首项为G=3,公比为g的等比数列，

故选：B.

8.分形几何是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，科赫曲线是比较典型的分

形图形，1904年瑞典数学家科赫第一次描述了这种曲线，因此将这种曲线称为科赫曲

线.其生成方法是：(D将正三角形(图(D)的每边三等分，以每边三等分后的中间

的那一条线段为一边，向形外作等边三角形，并将这“中间一段”去掉，得到图(2)；

(II)将图(2)的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图(3)；(III)再按上述方

法继续做下去....设图(1)中的等边三角形的边长为1,并且分别将图(1)、图

(2)、图(3)....图(")、…中的图形依次记作M,,设

M”的周长为则人为

（1）（2）（3）

32n16-64n256

AA.—B.—C.—D•

93927

【答案】c

【解析】

【分析】

由题意可知，每个三角形的都是正三角形，且边长变为原来三角形的（，从而边长见

l,rt=l

的递推公式为4,=1,故可求出的周长为。

铲5〃22

【详解】

解：由题意可知，每个三角形的都是正三角形，且边长变为原来三角形的;，从而边

长见的递推公式为4=1,

［铲5让2

所以4=3.《「，

=3364

用「以4二3・

27~9

故选：C

【点睛】

此题考查以实际问题为载体，考查数列模型的构建，属于中档题

9.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造

得到：任画…条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把

中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线，称为“一次

构造“；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由16条更小的线段构成的

折线，称为“二次构造”；…：如此进行“〃次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在

构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，则至少需要构造的次数是

()(取lg3aO4771,lg2»0.3010)

A.16B.17C.24D.25

【答案】B

【解析】

4

由题知，每一次构造即可将折线长度变成上一次长度的§倍，故折线长度构成一个以

g为公比的等比数列，写出其通项公式4=〃・§)",则要在构造过程中使得到的折线

的长度大于初始线段的100倍，只需求解不等式9=§)">100,即可得解.

【详解】

设初始长度为。，各次构造后的折线长度构成一个数列伍“｝，

44

由题知,则｛%｝为等比数列，

假设构造〃次后，折线的长度大于初始线段的100倍,

即生=(g)">100,

■■■n>log100=，

34Ig4-lg3

IglOO2〃

Ig4-lg32x0.3010-0.4771

【点睛】

本题考查了图形的归纳推理，等比数列的实际应用，指数不等式的求解，考查了数形

结合的思想.其中对图形进行归纳推理，构造等比数列是关键.属于中档题.

10.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构

造得到.任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，

并把“中间一段，，去掉，这样，原来的条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一

次构造“；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到了16条更小的线段构成

的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“〃次构造”，就可以得到一条科曲线.若要科

赫曲线的长度达到原来的100倍，至少需要通过构造的次数是().(取

1g2=0.3010,1g3=0.4771)

A.15B.16C.17D.18

【答案】c

【解析】

【分析】

由折线长度变化规律得到”次构造后，曲线的长度为。，建立不

等式“2100a,利用对数运算求解.

【详解】

设原线段长为。，经过〃次构造后，曲线的长度为乙，

则经过1次构造后，曲线的长度为4=]X4=F，

经过2次构造后，曲线的长度为/2=0x』x4x4=13Ya，

-33⑶

经过3次构造后，曲线的长度为=^xlxlx4x4x4=f-la,

・333⑶

依次类推，

经过"次构造后,曲线的长度为

若要科赫曲线的长度达到原来的100倍,

则事

a>100a，

«>log100^^^2_______2

4=16.013

所以21g2-lg32x0.3010-0.4771

lg5

所以至少需要通过构造的次数是17.

故选：C

【点睛】

本题主要考查数列新定义运算问题涉及到对数运算，还考查了推理论证的能力，属于

中档题.

11.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构

造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，

并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一

次构造“；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折

线，称为“二次构造”，…，如此进行“〃次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构

造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是

D.25

【答案】D

【解析】

由折线长度变化规律可知"〃次构造''后的折线长度为（gja，由此得到（gJwlOOO，

3

利用运算法则可知"J由此计算得到结果.

2xlg2-lg3

【详解】

记初始线段长度为。，则“一次构造''后的折线长度为三4明"二次构造''后的折线长度为

以此类推,“〃次构造''后的折线长度为

a>1000a,即(g)

若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则8>10(X),

r.=/21g-^=n(lg4-lg3)=/?(21g2-lg3)>lgl000=3,

SPn>---------------b24.02,••.至少需要25次构造.

2x0.3010-0.4771

故选：D.

【点睛】

本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造

原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.

12.雪花曲线是在1906年由瑞典数学家科赫第一次作出.如图所示，由等边三角形

A8C开始，然后把三角形的每条边三等分，并在每条边三等分后的中段向外作新的等

边三角形（并去掉与原三角形叠合的边）；接着对新图形的每条边再继续上述操作，即

在每条边三等分后的中段，向外画新的尖形.不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线.

雪花曲线的周长可以无限长，然而围成的面积却是有限的.设初始三角形ABC的边长为

a,不断重复上述操作，雪花曲线围成的面积趋于定值为（)

H

A.|a2B.*D.3

C.会2

【答案】A

【解析】

【分析】

依次计算得到第n次操作后面积

S=—42+3x+3x4x+3x4"-'x

“4

按照等比数列求和得到S“=#/1-|-^,再由〃一用时，得到结果

即可.

【详解】

由题意知，初始三角形的面积品=3。2,第一次操作后，增加了3个边长为;的等边

三角形，此时面积工=曰/+3*'（三）-；

第二次操作后，增加了3x4个边长为右的等边三角形，此时面积

第〃次操作后，增加了3X4”T个边长为最的等边三角形，此时面积

"一小时‘自f°'s「小三当4

故选:A.

13.2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世

界，数学中也有一朵美丽的雪花一“科赫雪花它可以这样画，任意画一个正三角形

A，并把每一边三等分：取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中

间一段“擦掉，形成雪花曲线8；重复上述两步，画出更小的三角形.一直重复，直到

无穷，形成雪花曲线,&办…，&….

设雪花曲线匕的边长为，边数为2,周长为/“，面积为S”，若4=3,则下列说法

正确的是（）

Q

B.5)<S3<-S]

C.｛4｝,也｝，乩｝,6｝均构成等比数列

【答案】B

【解析】

【分析】

［乎片），应用累加法求

根据已知写出2、/〃的通项公式且"22时

S,,通项，进而判断各选项的正误.

【详解】

〃一In-2z.、〃一1

据题意知：%=卬］£|也=々.41=34”=〃也=9{3，

•••。5=工；4=学，A错误;

279

c_12.°。_96

Si=­xci.,sin60=-----,

'2'4

-3下)(4n-2

当〃22时，S-e片=34-2.I，D错误;

4949

•*-Sn=51+(52-5l)+(53-52)++(S"-S“_J=^'+苧•1+[++,一+(1)

186276

,⑶

,9618627石(4丫山田口口―mnc1862773MY

由5r=」-=-----------也满足上式，则s“=--------------—•-,

'4520(9)520(然

所以⑸｝不构成等比数列，C错误；

由上，53=-^,-5,=—.则51453＜：工，B正确.

335'551

故选:B.

二、多选题

14.1904年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线.如图，取一个边长为1的正三角形，在

每个边上以中间的;为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的;擦

掉，得到第2个图形，重复上面的步骤，得到第3个图形.这样无限地作下去，得到的

图形的轮廓线称为科赫曲线.云层的边缘，山脉的轮廓，海岸线等自然界里的不规则曲

线都可用“科赫曲线''的方式来研究，这门学科叫“分形几何学下列说法正确的是

)

A.第4个图形的边长为工

81

B.记第”个图形的边数为4,则一4«

C.记第〃个图形的周长为我，则

D.记第〃个图形的面积为S“，则对任意的〃eN+,存在正实数M,使得S,,<M

【答案】BCD

【解析】

【分析】

由各个图形的边长构成等比数列，可判定A错误；由各个图形的边数也成等比数列且

4=4,可判定B正确；由第〃个图形的周长为久，得到周长为2=4%,可判定C正

确：结合极限的思想，可得判定。正确.

【详解】

由题意，各个图形的边长成首项为1,且q的等比数列，

可得可设边长为c，V，则所以A错误；

由各个图形的边数也成等比数列目4=4,所以a“=3-4"T,所以8正确；

当〃时，图形无限接近于圆，可得S“<与i=M,所以。正确.

故选：BCD.

三、填空题

15.分形几何号称“大自然的几何”，是研究和处理自然与工程中不规则图形的强有力

的理论工具，其应用已涉及自然科学、社会科学、美学等众多领域.图1展示了“科赫

雪花”的分形过程.

现在向图2的“科赫雪花”中随机撒1000粒豆子（豆子的大小忽略不计），有340粒豆

子落在内部的黑色正六边形中，已知正六边形的面积约为1.7cm?,根据你所学的概率

统计知识，估计图2中“科赫雪花”的面积为cm2.

【答案】5

【解析】

【分析】

根据几何概型的意义，计算即可得出结果.

【详解】

正六边形的面积约为1.7cm2,设“科赫雪花''的面积为Scm2

向图2的“科赫雪花''中随机撒1000粒豆子，有340粒豆子落在内部的黑色正六边形

中，

••・由几何概型的概率公式进行估计得：

故答案为：5

【点睛】

本题考查模拟方法估计概率，考查几何概型的概率计算，属于基础题.

16.2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈

现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作

“雪花曲线"，又称'‘科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图

是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以

各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.

若第1个图形中的三角形的边长为2,则第4个图形的周长为

・不128

【答案】—

【解析】

【分析】

由图形之间的边长的关系，得到周长是等比数列，再按照等比数列通项公式可得解.

【详解】

记第〃个图形为匕，三角形边长为4,边数"，周长为则

耳有仇条边，边长4；鸟有仿=4々条边，边长。2=g《；6有&=4为条边，边长

分析可知%=**，即勺/e）：b,=4b,i，即d=¥4"，

当笫1个图形中的三角形的边长为2,时，即4=2,々=3,

则第4个图形的周长为&=6x（g128

V

故答案为：■

四、解答题

17.分形儿何号称“大自然的儿何”，是研究和处理自然与工程中不规则图形的强有力

的理论工具，其应用已涉及自然科学、社会科学、美学等众多领域.图1展示了“科赫雪

花曲线”的分形过程.其生成方法是：（i）将正三角形（图①）的每边三等分，并以中间

的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图②；（ii）将图②

的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图③；（出）再按上述方法继续做下去，就

得到了“科赫雪花曲线''.设图①的等边三角形的边长为1,并且分别将图①、②、③…中

的图形依次记作必、知2、姓,、…%，、…请解决如下问题：

（1）设M中的边数为N“，M“中每条边的长度为刀,，写出数列｛乂｝和｛北｝的递推公

式与通项公式；

（2）设M”的周长为L“，求数列也J的通项公式.

【答案】（1）乂,=4此_|（〃22）且乂=3,7；=：7；1（〃22）且7；=1,N-

【解析】

【分析】

（1）结合图形特征和等比数列公式推导即可;

（2）由周长等于边长乘以边数推导即可求解.

【详解】

（1）由题意，可得数列｛N,,｝的递推关系为M=4N,I（〃N2）［：LM=3,所以数列

｛N,,｝构成首项为N1=3,公比为4的等比数列，所以N,,=N//I=34"T；

又由每个图形的边长都相等，且长度变为原来的;，所以边长T,满足递推关系式

7；,=!?；,.,（»>2）R7；=l,即数列｛1｝构成首项为1,公比为;的等比数列，所以

认于

（2）由周长等于边长乘以边数可得L,,=MZ=3-4"T.CJ'=3｛gJ',所以数列｛4｝

构成首项为3,公比为g的等比数列，Z,„=3-^J'

18.2022北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属的“小雪花”，最终融合成

一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奥主火炬，惊艳了全世界！（如图一），如图二是

瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是从一个正三

角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角

形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案.设原正三角形

（图①）的边长为3,把图二中的①，②，③，④……图形的周长依次记为6，4，

%，小，…，得到数列｛q｝.

图一

①②③④

图二

(1)求数列｛为｝的通项公式；

(2)设数列｛q｝的前般项和为5“，若S”>3a",求”的最小值.

【答案】(1)%=9匕产

⑵5

【解析】

【分析】

(1)先求出第"个图形的边数为3・4”1,第〃个图形的边长为3<；)"T,从而求出数列

｛q｝的通项公式；

(2)求出S“，列出不等式，化筒得到g)"T>3,求出〃的最小值.

(1)

由图形的作法可知：

①后一个图形的边数是前一个图形的边数的4倍，所以，从一个正三角形开始，“雪

花''图案的作法所得图形的边数是以3为首项，4为公比的等比数列，所以，第〃个图

形的边数为

②后一个图形的边长是前一个图形的边长的(倍，所以，从一个正三角形开始，“雪

花''图案的作法所得图形的边长是以3为首项，；为公比的等比数列，所以，第"个图

形的边长为3•(｝"-'；

14

所以，"“=3.4”-\3.(1)7=9.(§)”，

⑵

4

9x[l-(-)n]4

由(l)得：S“=--------=27X[(-)"-1],所以27x[(，-l]＞3x[9xq)"T],

1-3

化简得：(。严＞3,因为(方=售＜3,(今=答＞3,又因为函数y=《严在N*上为增

函数，所以〃-124,即八25,所以〃的最小值为5.

19.2022北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属的“小雪花”，最终融合成

一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奥主火炬，惊艳了全世界！(如图一)，如图二是

瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是从一个正三

角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角

形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案.设原正三角形

(图①)的边长为3,把图二中的①，②，③，④，……图形的周长依次记为4,

a2,%，4，…，得到数列｛4｝.

图一图二

(1)直接写出的,%的值;

(2)求数列｛4｝的通项公式.

【答案】(1)4=12,%=16；

4

⑵。“=9・(3广,.

【解析】

【分析】

(I)由图形直接可得.

(2)先求出第八个图形的边数为第"个图形的边长为3・《广,，从而求出数列

｛《,｝的通项公式.

(1)

%=12,%=16.

⑵

由图形的作法可知;

从边数看，后一个图形的边数是前一个图形的边数的4倍，所以，从一个正三角形开

始，“雪花”图案的作法所得图形的边数是

以3为首项，4为公比的等比数列，所以，第〃个图形的边数为3・4”T,

从边长看，后一个图形的边长是前一个图形的边长的;倍，所以，从一个正三角形开

始，“雪花”图案的作法所得图形的边长是

以3为首项，g为公比的等比数列，所以，第n个图形的边长为

所以,.

五、双空题

20.1904年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线.如图①，取一个边长为1的正三角

形，在每个边上以中间的;为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间

的g擦掉，得到第2个图形（如图②），重复上面的步骤，得到第3个图形（如图③）.这

样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线.云层的边缘，山脉的轮廓，海

岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线''的方式来研究，这门学科叫“分形几何

学入则第5个心图形的边长为一_________；第色〃个图形的周一长为_________.

①②③

14

【答案】—3

813

【解析】

【分析】

根据题中给出的图形，先分析边长之间的变换规律，再分析边数的变化规律，最后分

析周长的变化规律即可.

【详解】

第1个图形的边长为1，第2个图形的边长为笫1个图形边长的以次类推，…，则

第5个图形的边长为1义卜卜卜＜=占；

3333o1

以一条边为例，原本的一条也被分成了3份，擦去一份，在擦掉的那条边上又衍生出

2条，即原本的1条边变成现在的（3-1）+2=4条，翻了4倍，所以周长之间的关系为

八景1也一广会4…所以｛，｝是公比为q4的等比数列，而首项4=3,

所以"=3-(?1.

故答案为：—;3-(§产

21.雪花曲线是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的

一种形成过程：从图①的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一

段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边得到图②，重复进行这一过程可依次得到

图③、图④等一系列“雪花曲线

若第①个图中的三角形的边长为1，则第②个图形的面积为；第，7个图中

“雪花曲线”的周长Cn为.

【答案】与3x仲广

【解析】

【分析】

根据题中图形的规律，分别从边长与边数上找规律，从而得到通过公式即可求解.

【详解】

第一个三角形面积S[=—x1x1xsin—=,

,264

第二个图形在第一个基础上多了三个小正三角形，

痂0111石石

或，=——+3x—x-x—x——=——.

2423323

记第〃个图形为匕，三角形边长为对,边数或，周长C“，

《有々条边，边长4;区有瓦=4仄条边,边长的二3^；々有&=424条边，

即"=4%,勿=3X4”T

周长C.=ab4»-'=3x^j".

nn=QJ'X3X

故答案为：丁?；3x（g）

22.如图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图案的作法

是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别

向外作正三角形，再去掉底边，这样的过程称为一次操作.反复进行这种操作过程，就

得到一条“雪花”状的曲线，并记〃次操作后的曲线为（，周长为C,,.设原正三角形7；的

边长为1,G>=3即对应图1,则进行二次操作后，曲线7；（对应图3）的顶点数为

;若进行〃次操作后，则之£=.

1=0

图I图2图3

【答案】48；,

【解析】

【分析】

观察所给的图形，得到图2的顶点数和图1的顶点数和边数的关系，以及图3的顶点

数与图2的顶点数和边数的关系，判断图2的顶点数，再由图形之间边长的关系，得

到数列｛G_J是首项为3,公差为：的等比数列，再按照等比数列求和.

【详解】

4有3个顶点，3条边，工的顶点数是3+3x3=12个，有4x3=12条边，

T2的顶点数是12+12x3=48个,

444,、

由图形观察可知，G=]G，C2=-C）,……c„=-c^f所以数列｛a*是首项为

3,公差为g的等比数列，豆⑶.

,=（）1_£

3

故答案为：48：7

23.如图（1）,画一个边长为1的正三角形，并把每一边三等分，在每个边上以中间

一段为一边，向外侧凸出作正三角形，再把原来边上中间一段擦掉，得到第（2）个图

形，重复上面的步骤，得到第（3）个图形，这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线

称为科赫曲线.云层的边缘、山脉的轮廓、海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科

赫曲线”的方式来研究，这门学科叫“分形几何学”.

(1)(2)(3)

设