2023年中考数学一轮复习模拟汇编 第五讲 图形的运动

第五讲图形的运动

一.关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题）

1.（2022•玄武区一模）在平面直角坐标系，中，作点P关于x轴的对称点，得到点尸1,

再将点P向右平移3个单位，得到点尸2（1,-1）,则点P的坐标为.

翻折变换（折叠问题）（共6小题）

2.（2022•建邺区二模）如图，矩形ABCO,点A、C在坐标轴上，点B的坐标为（-2,4）.将

△ABC沿AC翻折，得到△AQC,则点。的坐标是（）

3.（2022•南京一模）如图，E是菱形ABCD的边8C上的点，连接4E.将菱形48CZ）沿

AE翻折，点B恰好落在CZ）的中点F处，则tan/ABE的值是（）

4.（2022•南京二模）如图，在矩形A8CC中，E、F分别是A8、C。边的中点，G为边

上的一点，将矩形沿8G翻折使得点A落在EF上.若AB=4,则BG的长为.

5.（2022•秦淮区校级模拟）如图，将菱形ABC。沿直线EF翻折，点C落在边AB上的点

G处，若EG_LC£>,AB=5,BG=l,则CE的长为.

D

E

6.（2022•鼓楼区一模）如图，NC=NO=90°,AC^AD.

（1）求证/C4B=ND48；

（2）若将AAOB沿AB的垂直平分线翻折，则得到的三角形和aACB可以拼成一个

（写出图形的形状）；

（3）若将△AQB进行一次图形变化，得到的三角形和△ACB拼成一个等腰三角形，请

写出图形变化的过程.

7.（2022•雨花台区校级模拟）如图，矩形4BC力中，点E在边CO上，将ABCE沿BE折

叠，点C落在AZ）边上的点P处，过点尸作FG〃C£＞交BE于点G,连接CG.

（1）求证：四边形CE『G是菱形；

（2）若AB=6,AD^10,求四边形CEFG的面积.

三.旋转的性质（共1小题）

8.（2022•南京一模）如图，在RtZ\ABC中，NACB=90°,AC=6,BC=8.将△ABC绕

点A逆时针旋转得到△ABC,BC的延长线交8C于点D,若B'C//AB,则CD的长

为

四.坐标与图形变化-旋转（共2小题）

9.（2022•建邺区一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（-2,3）,将点A绕点C顺

时针旋转90°得到点8.若点8的坐标是（5,-1）,则点C的坐标是（）

A.（-0.5,-2.5）B.（-0.25,-2）

C.（0,-1.75）D.（0,-2.75）

10.（2022•建邺区二模）如图，把平面内一条数轴x绕点。逆时针旋转角。（0°<0<90°）

得到另一条数轴》x轴和y轴构成一个平面斜坐标系.规定：已知点P是平面斜坐标系

中任意一点，过点P作y轴的平行线交x轴于点4过点尸作x轴的平行线交y轴于点B,

若点A在x轴上对应的实数为a,点8在y轴上对应的实数为4则称有序实数对，（a,b）

为点尸的斜坐标.在平面斜坐标系中，若。=45°,点P的斜坐标为（1,2a）,点G

的斜坐标为（8,-3五），连接PG,则线段PG的长度是（）

11.（2022•鼓楼区二模）若4根=5〃（〃?孚0）,则下列等式成立的是（）

Ain—nDin—5「m=4nin—5

454nn5n4

六.黄金分割（共1小题）

12.（2022•建邺区二模）点P是线段AB的黄金分割点，若AB=5且PA>PB,则PA长最

接近的整数是

七.相似三角形的判定与性质（共10小题）

13.（2022•玄武区一模）如图，矩形纸片ABC。，AB=15cv»,BC=20cm,先沿对角线AC

将矩形纸片ABC。剪开，再将三角形纸片ABC沿着对角线AC向下适当平移，得到三角

形纸片48C,然后剪出如图所示的最大圆形纸片，则此时圆形纸片的半径为（）

7755

14.（2022•秦淮区二模）如图①，是形如"T”形的拼块，其每个拐角都是直角，各边长度

如图所示.如图②，用4个同样的拼块拼成的图案，恰好能放入一个边长为6的正方形

中，则“的值为.

(D

15.（2022•玄武区二模）如图，在aABC中，NC=2/8,BC的垂直平分线Z）E交4B于点

D,垂足为E,若A£>=4,BD=6,则DE的长为.

16.（2022•建邺区一模）如图，在△ABC中，ZB=30°,点。是AC上一点，过点。作

DE〃BC交AB于点E,。尸〃A8交BC于点E若AE=5,CF=4,则四边形BFDE的面

积为

A

17.（2022•鼓楼区二模）如图，在RtZiABC中，ZACfi=90°,E为线段A8上一动点，CF

LCE交AACE的外接圆于点尸，连接AF,其中AC=3,BC=4.

（1）求证：XCFksXCEB、

（2）当E从B运动到A时，尸运动路径的长为.

18.（2022•秦淮区二模）如图，已知△ABC,点。，E分别在BC,C4上，且满足AD=AB,

EB=EC.

（1）用直尺和圆规确定点。，E；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）连接A。，EB,AD与EB交于点F.

①求证：ABDFsACBA；

②若NBAC=90°,AB=3,AC=4,则。尸的长为.

19.（2022•建邺区二模）如图，在AABC中，AB=AC,N84C=120°,点。在BC上且

DALAC,垂足为A.

(1)求证：AB2=BI>BC；

(2)若BO=2,则AC的长是

20.(2022•南京一模)在△ABC中，AB=AC,NBAC=36°.

(1)用直尺与圆规作△ABC的角平分线8D；

(2)找出图中的相似三角形，并证明；

(3)直接写出区的值.

AB

21.(2022•玄武区一模)如图，在等边三角形A8C中，BD=CE,BE,A。相交于点F.

(1)求证

(2)求证4炉二后尸神.

BDC

22.(2022•秦淮区校级模拟)如图，在正方形ABCD中，E是BO上一点，过&C、E三

点的00与CO相交于点F,连接AE、BF.

(1)求证：AADEs/\BDF；

(2)当8E=A8时，求证：直线AE是。。的切线.

八.相似形综合题(共1小题)

23.(2022•南京一模)如图，在矩形ABC。中，AD=i2,AB=6,点G,E分别在边AB,

4。上，NEGF=90°,EG=FG,GF,EF分别交BC于点N、M,连接EM

(1)当GN平分NENB时，求证：EN=AE+BN；

(2)当MF2=MN・8M时，求AE的值.

(3)当点E是4。的中点，点。是EN的中点，当点G从点A运动到点8时，直接写

出点。运动的路径长.

九.解直角三角形的应用（共6小题）

24.（2022•鼓楼区校级二模）小淇同学在学习了“平面镜反射原理”后，用一个小平面镜

PQ做实验.他先将平面镜放在平面上，如图，用一束与平面成30°角的光线照射平面

镜上的A处，使光影正好落在对面墙面上一幅画的底边C点.他不改变光线的角度，原

地将平面镜转动了7.5°角，即/%P'=7.5°,使光影落在C点正上方的。点，测得

CD^lOcm.求平面镜放置点与墙面的距离AB.（参考数据：正心1.73）

25.（2022•建邺区二模）太阳能光伏发电因其清洁、安全、高效等特点，已成为世界各国重

点发展的新能源产业.图①是太阳能电板的实物图，其截面示意图如图②，A8为太阳能

电板，其一端A固定在水平面上且夹角/D4B=22°,另一端8与支撑钢架BC相连，

钢架底座CD和水平面垂直，且NBC£>=135°.若4。=3，〃，8=05",求48的长.（参

考数据：sin22°-0.37,cos220弋0.93,tan22°-0.40,结果精确到0.01，〃.）

26.（2022•秦淮区二模）如图，一条宽为0.5km的河的两岸PQ,MN互相平行，河上有两

座垂直于河岸的桥S,EF.测得公路AC的长为6h〃，公路AC,AE与河岸PQ的夹角

分别为45°,71.6°,公路B。，8尸与河岸MN的夹角分别为60°,30°.

（1）求两座桥CD,EF之间的距离（精确到0.1加）；

（2）比较路径①：A-C-D-B和路径②：A-E-F-B的长短，则较短路径为

（填序号），两路径相差加（精确到0.1加）.（参考数据：tan71.6°弋3.0,近产

1.41,愿仁1.73,75^2.24.）

27.（2022•秦淮区校级模拟）如图，某渔轮在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在A

处获悉后，测出该渔轮在海军舰艇的北偏东45°,距离为1”历海里的C处，并测得该

渔轮正沿南偏东53°的方向行进.海军舰艇立即沿北偏东67.4°的方向前去营救，与渔

轮在B处相遇，求渔轮的航程BC和海军舰艇的航程AB.

（参考数据：sin53°=cos37°=0.80,cos53°=sin37°七0.60,tan67.4°-2.4）.

28.（2022•建邺区一模）图①是一只消毒液喷雾瓶的实物图，其示意图如图②，AB=6cm,

BC=4cm,ZABC=85°,ZBCD=U0°.求点A到CO的距离.（精确到三位小数，

参考数据：sin65°40.906,cos65°-0.423,tan65°七2.145,百七1.732）

①②

29.（2022•玄武区一模）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB,连杆BC,悬臂

CD和安装在O处的摄像头组成.如图②是该款设备放置在水平桌面/上的示意图.已知支

撑臂AB=\5cm,BC=30cm,测量得NABC=148°,ZBCD=28°,AE=9cm.求

摄像头到桌面/的距离。E的长（结果精确到0.1cm）.（参考数据：sin58°七0.85,cos58°

弋0.53,tan58°弋1.60,巡■1.73）

一十.解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）

30.（2022•建邺区二模）某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜

坡式自动扶梯，如图，已知原阶梯式自动扶梯A8的长为6&,小坡角/A8E=45°,改

造后的斜坡自动扶梯坡角NAC8=15°,求改造后的斜坡式自动扶梯AC的长.（精确到

一十一.解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共7小题）

31.（2022•玄武区二模）如图，山顶的正上方有一塔AB,为了测量塔48的高度，在距山

脚M-定距离的C处测得塔尖顶部A的仰角/ACM=37°,测得塔底部B的仰角/BCM

=31°,然后沿CM方向前进30机到达。处，此时测得塔尖仰角/A£>M=45°（C,D,

M三点在同一直线上），求塔AB的高度.

（参考数据：tan31°g0.60,tan37°*0.75）

32.（2022•南京二模）如图，宝塔底座BC的高度为〃？，小明在。处测得底座最高点C的

仰角为a,沿着OB方向前进”到达测量点E处，测得宝塔顶端A的仰角为。，求宝塔

A8的高度.（用含a,p,tn,〃的式子表示）

33.（2022•鼓楼区二模）如图①，某儿童医院门诊大厅收费处正上方的“蜘蛛侠”雕塑有效

缓解了就医小朋友的紧张情绪.为了测量图②中“蜘蛛侠”BE的长度，小莉在地面上F

处测得8处、E处的仰角分别为37°、56.31°.已知NABE=45°,产到收费处04的

水平距离FC约为16m,且F与8E确定的平面与地面垂直.求“蜘蛛侠”8E的长度.

（参考数据：sin37°g0.6,cos37°弋0.8,tan37°«=0.75,tan56.31°^1.50.）

图②

34.（2022•南京一模）如图，为了测量小河对岸大树BC的高度，小明在点A处测得大树顶

端B的仰角为37°,再从点A出发沿倾斜角为30°的斜坡AF走4,“到达斜坡上点。，

在此处测得树顶端B的仰角为26.7°.求大树BC的高度（精确到0.1,〃）.

（参考数据：tan37°-0.75,tan26.7°-0.5,6=1.73.）

35.（2022•鼓楼区一模）如图，AB是一条笔直的长为500,”的滑雪坡道，某运动员从坡顶A

滑出，沿直线滑向坡底B,她的滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）的部分

对应值如下表.

x01234-

y04.51428.548…

（1）用所学过的函数知识猜想y是x的什么函数，并求出y与x之间的函数表达式；

（2）一架无人机在AB上空距地面292册的P处悬停，此时在A处测得无人机的仰角为

53°.无人机和该运动员同时开始运动，无人机以6.3m/s的速度匀速水平飞行拍摄，离

A处越来越远.已知无人机（看成一个点）与A8（看成一条线段）所确定的平面始终垂

直于地面，AB与地面的夹角为26°.求该运动员滑行多久时，她恰在无人机的正下

方.

（参考数据：tan53°2匹，sin26°七0.44,cos26°弋0.90,tan26°弋0.49.）

3

P,----------

36.（2022•南京一模）如图是一个亭子的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是亭子

的高AB所在的直线.为了测量亭子的高度，在地面上C点测得亭子顶端4的仰角为35°,

此时地面上C点、亭檐上E点、亭顶上A点三点恰好共线，继续向亭子方向走到达

点。时，又测得亭檐E点的仰角为60°,亭子的顶层横梁EF=12%,EF//CB,A8交

E尸于点G（点C,D,B在同一水平线上）.求亭子的高4B（结果精确到0.1利）.

（参考数据：sin35°弋0.6,cos35°=«0.8,tan35°弋0.7,北%1.7）

37.（2022•雨花台区校级模拟）如图，有两座建筑物48与C。，从A测得建筑物顶部。的

仰角为16°,在8c上有一点E,点E到8的距离为24米，从E测得建筑物的顶部A、

。的仰角分别为37°、45°.求建筑物8的高度.（参考数据：tan16°«0.30,tan37°

«=0.75)

一十二.简单几何体的三视图（共2小题）

38.（2022•建邺区二模）下列几何体中，主视图、左视图和俯视图完全相同的是（）

A.球体B.圆柱C.三棱锥D.三棱柱

39.（2022•玄武区二模）下面四个几何体中，主视图是四边形的几何体共有（）

a厨柱A扇锥©球正o方体

A.1个B.2个C.3个D.4个

第五讲图形的运动

参考答案与试题解析

一.关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题）

1.（2022•玄武区一模）在平面直角坐标系xOy中，作点P关于x轴的对称点，得到点Pi,

再将点Pi向右平移3个单位，得到点尸2（1,-1）,则点尸的坐标为（-2,1）.

【分析】直接利用平移的性质得出a坐标，再利用关于x轴对称图形的性质得出答案.

【解答】解：•••将点Pl向右平移3个单位，得到点P2（l,-1）,

：.P\（-2,-I）,

•••点P关于X轴的对称点，得到点P\,

...点尸的坐标为（-2,1）.

故答案为：（-2,1）.

二.翻折变换（折叠问题）（共6小题）

2.（2022•建邺区二模）如图，矩形ABCO,点A、C在坐标轴上，点8的坐标为（-2,4）.将

△48C沿4c翻折，得到△AOC,则点。的坐标是（)

y

B——kC

>

A|o

A.（旦，丝）B.（旦，$）C.（旦，工0D.（旦，5）

55522522

【分析】如图，过。作。F_LA尸于F,根据折叠可以证明△€1£>£丝△AOE,然后利用全

等三角形的性质得到OE=Z）E,OA=CD=\,设OE=x,那么CE=4-x,DE=x,利用

勾股定理即可求出0E的长度，而利用已知条件可以证明△AEOS/^ADF,而AO=AB=

4,接着利用相似三角形的性质即可求出力F、AF的长度，也就求出了。的坐标.

【解答】解：如图，过。作。FLAF于F,

•.•点8的坐标为（-2,4）,

.•・AO=2,A8=4,

根据折叠可知：CD^OA,

而ND=/AOE=90°,ZDEC=ZAEO,

：.ACDE^/\AOE,

：.OE=DE,04=8=2,

设OE=x,那么CE=4-x,DE^x,

：.在RtADCE中，CF=

£>£2+CD2,

（4-x）2=7+22,

•r_3

2

又DF1AF,

J.DF//EO,

：./\AEO^/\ADF,

而AD—AB—4,

.ME=CE=4-g=5,

22

5_3_

•AEEOAOsnT~22

••=---二,，囚」--=---=---，

ADDFAF4DFAF

AF=^-.

55

，OF=AF-0A=^--2=2，

55

...点。的坐标为（旦，丝）.

55

故选：A.

B

A

AOFX

3.（2022•南京一模）如图，E是菱形ABC。的边8C上的点，连接4E.将菱形48CZ）沿

AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tanNABE的值是（）

【分析】利用折叠性质和菱形的性质得出△AOF为等腰三角形，过点A作AGLOF,由

等腰三角形的性质可得点G为。尸中点，由点尸为CD中点可得。G=LC£»=L。，即

44

可求解.

【解答】解：如图，过点A作AGLCQ,

•.•四边形ABC。为菱形，菱形ABC。沿AE翻折,

：.AB=AD,AB=AF,ZABE=ZD,

：.AD=AF,

三角形AOF为等腰三角形,

VAG1DF,

.•.点G为。尸中点，

•.•点F为CZ）中点，

:・AD=CD=4DG,

设QG=m则AQ=4〃，

在RtZVIDG中，AD!-=AG1+DG1,

(4a)2=AG1+a2,

:♦AG=。］5〃,

tanZ/1BE=tanD=Al=</15>

DG

故选：D.

4.(2022•南京二模)如图，在矩形A8CQ中，E、F分别是A8、C。边的中点，G为A。边

上的一点，将矩形沿BG翻折使得点A落在E尸上.若AB=4,则BG的长为近一

【分析】连接AA',根据翻折的性质，可得到△A8A'是等边三角形，可得到/ABG=2

2

AABA'=30°,根据含30°角的直角三角形的性质即可求解.

【解答】解：如图，连接A4',

在矩形A8CD中，E、尸分别是AB、C。边的中点,

：.EF1AB,AE=BE,

/垂直平分A8,

；.A'A=A'B,

由折叠可得，AB=A'B,ZABG^ZA'BG,

：.AB=BA'=AA',

：./\ABA'是等边三角形，

AAABA'=60°,

AZABC^l.ZABA'=30°,

2

：.AG=1.BG,

2

"：AB=4,

：.BG2=AB1+AG2,

.*.BG2=42+Aj?G2,

4

:.BG=&m.

3

故答案为：为巨.

3

5.（2022•秦淮区校级模拟）如图，将菱形A3CD沿直线EF翻折，点C落在边42上的点

G处，若EG_LCD,AB=5,BG=l,则CE的长为4.

（分析］延长AB,作CH1AB,垂足为，，根据菱形的性质和翻折的性质证明四边形ECHG

是正方形，设EC=GH=EG=CH=x,根据勾股定理列方程即可解决问题.

【解答】解：如图，延长A3,作C//LAB,垂足为H,

•.•四边形4BC。是菱形，

：.AB=BC,DC//AB,

:EGLCD,

：.EG-LAB,

:.NEGH=NGEC=NECH=90°,

...四边形EC”G是矩形，

：.EC=GH,EG=CH,

由翻折可知：EC=EG,

四边形EC”G是正方形，

：.EC=GH=EG=CH,

设EC=GH=EG=CH=x,

"：AB=BC=5,BG=\,

:.BH=GH-BG=x-1,

在Rtz^CB”中，根据勾股定理得：

BH2+CH2=BC2,

22

(JC-1)+^=5,

解得x=4或工=-3(舍去)，

：.CE=4.

故答案为：4.

6.(2022•鼓楼区一模)如图，NC=NO=90°,AC^AD.

(1)求证NCA8=/D4B；

(2)若将△AOB沿48的垂直平分线翻折，则得到的三角形和△ACB可以拼成一个_Jg

形(写出图形的形状)；

(3)若将△AOB进行一次图形变化，得到的三角形和△ACB拼成一个等腰三角形，请

写出图形变化的过程.

C

【分析】(1)由/C=N£>=90°可得△AC8和△AOB为直角三角形，由AC=A£>,AB

=AB可用"乙证明两三角形全等，从而证明NCA8=ND4B；

(2)作出线段A3的垂直平分线MM再根据轴对称变换将△AOB沿MN翻折，即可得

出图形的形状；

(3)将△AOB以点B为旋转中心，旋转至8。与BC重合时，所形成的的三角形为等腰

三角形，或者将△408以点A为旋转中心，旋转至AD与AC重合时，所形成的三角形

为等腰三角形.

【解答】(1)证明：；/C=NO=90°,

在RtAACfi和RtZXAOB中，

fAC=AD；

lAB=AB，

ARt/\ACB^Rt/\ADB(HL),

：.ZCAB^ZDAB；

(2)解：如图，作出线段AB的垂直平分线MN,再根据轴对称变换将△AQB沿MN翻

折，变换后的图形为四边形ACS。’，

由折叠性质可得：

AD'=NO=90°,ZC=90°,NDAB=ND'BA,

.•.NCAB+NCBA=90°,

"：ZCAB^ZDAB,

：.ZCBA+ZD'8A=90°,

：.NCBD'=90°,

四边形AC8。'为矩形，

故答案为：矩形；

（3）方法一：如图，将△AO8以点B为旋转中心，旋转至8力与BC重合时,

此时A,C,4三点共线，

；A8=A1B,

.•.△A84为等腰三角形；

方法二：如图，将△4OB以点4为旋转中心，旋转至AO与4c重合时,

VZC=ZD=90°,

,此时B,C,82三点共线，

"：AB=A2B,

...△ABB2为等腰三角形；

B：

综上，方法一：将△AOB以点B为旋转中心，旋转至BD与3c重合时，所形成的的三

角形为等腰三角形；

方法二：将△AQB以点A为旋转中心，旋转至A。与AC重合时，所形成的三角形为等

腰三角形.

7.(2022•雨花台区校级模拟)如图，矩形A8CQ中，点E在边CC上，将△8CE沿BE折

叠，点C落在A。边上的点f■处，过点尸作FG〃C£＞交BE于点G,连接CG.

(1)求证：四边形CErG是菱形；

(2)若AB=6,AO=10,求四边形CEFG的面积.

【分析】(1)根据题意和翻折的性质，可以得到aBCE丝△8FE,再根据全等三角形的性

质和菱形的判定方法即可证明结论成立；

(2)根据题意和勾股定理，可以求得AF的长，进而求得EF和。尸的值，从而可以得

到四边形CEFG的面积.

【解答】(1)证明：由题意可得，

△BCE必BFE,

：.NBEC=NBEF,FE=CE,

'：FG//CE,

：.NFGE=NCEB,

：.NFGE=/FEG,

：.FG=FE,

：.FG=EC,

...四边形CEFG是平行四边形，

又,：CE=FE,

二四边形CEFG是菱形；

(2)..•矩形ABCQ中，AB=6,AD=10,BC=BF,

：.ZBAF=90°,AD=BC=BF=\Of

尸=8,

：.DF=2,

设EF=x,则CE=x,DE=6-x,

•：NFDE=90°,

A22+（6-x）2=/,

解得，尸也，

3

；.C£=卫，

3

四边形CEFG的面积是：CE*DF=-12.X2=.52.

33

三.旋转的性质（共1小题）

8.（2022•南京一模）如图，在RtZ^ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8.将△ABC绕

点A逆时针旋转得到△AB'C,BC的延长线交B'C于点D,若B'C//AB,则CD的长为

2.

【分析】设CE=x,由B'C//AB,可推得NBAE=/8',由旋转的性质得：2B=

NB',于是得到AC=AC=4,AE=BE=8-x,由勾股定理可求得x,

进而求得。E,便可求得结果.

【解答】解：设CE=x,

':B'C'//AB,

:./BAB=/B',

ZBAE^ZB,

•»AE=BE=S~Xf

(8-x)2=X2+62,

..♦人r=7,

4

:.CE=L

4

；.AE=BE=8-2

44

'：AB=AB'=VAC2+BC2=10）

:.B'E=AB'-AE=4

4

■:B'C//AB,

:.NEB'D=NBAE=NABE=/EDB',

：.DE=B'E=至，

4

：.CD=DE-CE=2,

故答案为：2.

四.坐标与图形变化-旋转（共2小题）

9.（2022•建邺区一模）在平面直角坐标系中，点4的坐标是（-2,3）,将点A绕点C顺

时针旋转90°得到点B.若点8的坐标是（5,-1）,则点C的坐标是（）

A.（-0.5,-2.5）B.（-0.25,-2）

C.（0,-1.75）D.（0,-2.75）

【分析】如图，设A8的中点为Q,过点Z作ANLx轴于点M过点。作QKLAN于点

K,过点C作CTLQK于T,利用全等三角形的性质求解即可.

【解答】解：如图，设A8的中点为Q,

(-2,3),B(5,-1),

：.Q(1.5,1),

过点Z作AN，x轴于点M过点。作QKLAN于点K,过点C作CTLQK于7,

则K（-2,1）AK=2,QK=35,

•.,/AKQ=/CTQ=/AQC=90°,

：.ZAQK+ZCQT=90°,ZCQT+ZTCQ=90°,

ZAQK=NTCQ,

在△4K。和△QTC中，

'/AKQ=/CTQ

<ZAQK=ZTCQ-

QA=CQ

.♦.△AKQ丝△QTC（A45）,

：.QT=AK=2,CT=QK=3.5,

AC（-0.5,-2.5）

故选：A.

10.（2022•建邺区二模）如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角0（0°<e<90°）

得到另一条数轴y,X轴和y轴构成一个平面斜坐标系.规定：已知点P是平面斜坐标系

中任意一点，过点P作y轴的平行线交x轴于点A,过点P作x轴的平行线交y轴于点B,

若点4在x轴上对应的实数为“，点8在y轴上对应的实数为4则称有序实数对（a,b）

为点尸的斜坐标.在平面斜坐标系中，若6=45°,点P的斜坐标为（1,2亚），点G

的斜坐标为（8,-3五），连接PG,则线段PG的长度是（）

【分析】如图，作匕1〃），轴交x轴于A,轴于从GM〃y轴交x轴于M,连接尸G

交x轴于N.利用相似三角形的性质求解即可.

【解答】解：如图，作物〃y轴交x轴于A,于”.GM〃y轴交x轴于连

接PG交x轴于N.

y

,:P（1,2V2），G（8.-3&）,

：.OA=\,PA=2近,MG=3近,0M=8,AM=7,

'.'PA//GM,

:.NPAN=NGMN,

:NANP=NMNG,

：.丛ANPs^MNG,

•幽=空=里=2

♦•而MGNG3"

;.AN=24M=H,

55

,JPA//OY,

：.ZPAH=G=450,

：.PH=AH=2,

.,.”N=21-2=生

55

W=7pH2+HN2=^22+（A）2=2^9_）

NG=3PN=^^~,

25

PG=PN+NG=V^,

故选：A.

五.比例的性质（共1小题）

11.（2022•鼓楼区二模）若4机=5〃（加20）,则下列等式成立的是（）

Ain.—npin—5「m=4.in一5

454nn5n4

【分析】根据比例的基本性质，把每一个选项中的比例式转化成等积式即可解答.

【解答】解：A.因为蚂=工，所以5根=4〃，故此选项不符合题意；

45

B.因为&=旦，所以,"”=20,故此选项不符合题意；

4n

C.因为旦=匡，所以5,〃=4〃，故此选项不符合题意；

n5

D.因为皿=5,所以4〃?=5",故此选项符合题意.

n4

故选：D.

六.黄金分割（共1小题）

12.（2022•建邺区二模）点尸是线段A8的黄金分割点，若A8=5且布>尸8,则心长最

接近的整数是3.

【分析】根据黄金比为0.618进行计算即可得到答案.

【解答】解：•••点P是线段AB的黄金分割点，

.".fi4=0.618AB=0.618X5«3.

故答案为：3.

七.相似三角形的判定与性质（共10小题）

13.（2022•玄武区一模）如图，矩形纸片A8C£>,AB^\5cm,BC=20cm,先沿对角线AC

将矩形纸片ABC。剪开，再将三角形纸片4BC沿着对角线4c向下适当平移，得到三角

形纸片ABC,然后剪出如图所示的最大圆形纸片，则此时圆形纸片的半径为（）

D.皆〃

【分析】过点4作A,PLAD于点P,iSAP—xcm,A'P—ycm,圆的直径为dc〃?，利用对

边之间的关系可得x与y的关系，再利用A字型相似也可求出尤与y的关系，进而可求

出x,d,从而得出结论.

【解答】解：过点4作于点P,设A,P=ycm,圆的直径为den,

由题意可得：d+x—2Q,d-y=15,

.,.20-x=15+y,即x+y=5,

：NA=/A,ZAPA'^ZADC,

△,“△AOC,

.•.理=A，P,即工上

ADCD2015

••v•—y3——

-4

•r=20月=120

77

••.半径为：更1<:〃7.

7

故选：A.

14.（2022•秦淮区二模）如图①，是形如“r’形的拼块，其每个拐角都是直角，各边长度

如图所示.如图②，用4个同样的拼块拼成的图案，恰好能放入一个边长为6的正方形

中，则。的值为①.

—3—

①②

【分析】根据题意可得BC=EF=2a,CD=a,DE=3a,NDEF=NBCD=NCDE=9O：

从而在RtADCE中，利用勾股定理求出CE的长，根据正方形的性质可得NA=/G=

90°,然后利用同角的余角相等可得NABC=NZ）CE,从而可证△ABCSAQCE,进而

利用相似三角形的性质可得AC=3A8,再在RtzMBC中，利用勾股定理求出

5

最后证明△ABC四△GEF,从而可得EG=H〃进而根据正方形的边

55

长AG=6,进行计算即可解答.

【解答】解：如图：

由题意得：

BC=EF=2a,CD=a,DE=3a,NDEF=/BCD=/CDE=9O°,

'CE=VCD2+DE2=Va2+（3a）2=F^a,

；四边形是正方形，

/.ZA=ZG=90o,

AZABC+ZACB=90°,

VZACB+ZDC£=90°,

/A8C=NDCE,

：.XABCsl\DCE,

•AB=DC=a=1

*'ACDE3?T

：.AC=3AB,

在RtAABC中，AB2+AC2=BC2,

：.AB2+9AB2=(2a)2,

5

：.AC=3AB=^--flQa,

5

ZDEF=ZCDE=90°,

C.DC//EF,

；・NDCE=NFEG,

：.NABC=NFEG,

A/XABC^^GEF(A45),

：.EG=AB=^^-a,

5

・・・AC+CE+EG=6,

55

•“•u—行■>

3

故答案为：叵.

3

15.（2022•玄武区二模）如图，在△ABC中，NC=2N2,BC的垂直平分线。E交AB于点

D,垂足为E,若A£>=4,80=6,则DE的长为丑叵.

一2一

A

【分析】连接。C,根据线段垂直平分线的性质得到。8=OC,证明△ACOs/viBC,根

据相似三角形的性质求出3C,根据勾股定理计算，得到答案.

【解答】解：连接。C

・・・。七是3c的垂直平分线,

：.DB=DC=6t

：./DCB=/B,

*.*/ACB=2/B,

：.NACO=/8,

*：ZA=ZA,

:.AACDs^ABC,

.AD_AC_CDPD4_AC_6

ACABBCAC10BC

解得：BC=3y/10,

2

由勾股定理得：DE=VBD2-BE2==^^-'

故答案为：M员.

2

DE〃BC交AB于点、E,DF〃AB交BC于点、F.若AE=5,CF=4,则四边形BFQE的面

积为10.

【分析】已知。E〃8C,DF//AB,得到△AEDSAOFC,从而得到比例式，继而得到四

边形的面积.

【解答】解：；DE〃BC,

/.ZAED^ZB,ZADE^ZC,

,JDF//AB,

：.ZB=ZDFC,

：.ZAED=ZDFC,

：.XAEDs丛DFC,

•••A-E=,E"D,

DFFC

/.DE・DF=AE・FC=5X4=20,

*：DE〃BC,DF//AB,

・・・四边形5EOF是平行四边形，

过点E作

ScBEDF=DE*EM,EM—BE*sinZB,

；BE=DF,sin/B=sin3O°=1,

2

・'・S。BEDF=DE，EM

=DE・BE・sinNB

=DE・DF・sinNB

=20x1

2

=10.

故答案为：10.

17.(2022•鼓楼区二模)如图，在RtZ\A8C中，ZACfi=90°,E为线段AB上一动点，CF

LCE交△4CE的外接圆于点凡连接AF,其中AC=3,BC=4.

(1)求证：IXCFAsXCEB：

（2）当E从B运动到A时，月运动路径的长为生.

-4一

【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；

（2）判断出点F的运动轨迹，再利用相似三角形的性质解决问题即可.

【解答】（1）证明：,.•CE_LCF,

AZECF=ZACB=90°,

NACF=/BCE,

VZAFC+ZAEC=ISOQ,ZC£B+ZA£C=180°,

NAFC=NCEB,

:.XCFAsXCEB；

（2）解：在RtZiACB中，4c=3,BC=4,ZACB=900,

二AB=A/AC2+BC2=V32+42=5'

■:△CFksXCEB,

AAF=AC；/CAF=NB,

BEBC

r.AF^^-BE,

4

...点F的运动轨迹是射线AF,

...当E从B运动到A时，尸运动路径的长为旦X5=」»,

44

故答案为：15.

4

18.（2022•秦淮区二模）如图，己知△ABC,点。，E分别在BC,CA±,且满足AD=AB,

EB=EC.

（i）用直尺和圆规确定点nE；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）连接A。，EB,AD与EB交于点F.

①求证：△B