2023年福建省莆田市荔城区擢英中学中考数学模拟试卷（附答案详解）

2023年福建省莆田市荔城区擢英中学中考数学模拟试卷

1.下列各数中是正有理数的是()

A.—V2B.；C.0D.V3

2.下列数学曲线中，是中心对称图形的是()

3.纳米科技是新兴科技，1纳米=0.000000001米，则5纳米用科学记数法表示为()

A.5x10-8米B.5xIO-米C.5x1()T0米D.5x1()9米

4.如图，一个球体在长方体上沿虚线从左向右滚动，在滚动过程中，球体与Q

长方体的组合图形的视图始终不变的是()\

A.左视图B.主视图C.俯视图D,左视图和俯---------

视图

5.下列计算正确的是()

A.7ab-5a=2bB.(a+b)2=a2+b2

C.(—3a2b产=6a4b2D.3a2b+b=3a2

6.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出

九，盈十一；人出六，不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，

会多出11钱；每人出6钱，又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x,买鸡的

钱数为y,可列方程组为()

(9x+11=y(9x-11=yC9x+11-y(9x-11=y

A-(6x+16=y(6x-16=yC(6%-16=y(6%+16=y

7.如果关于x的一元二次方程a/+bx+1=0的一个解是x=1,则代数式2022—a-b的

值为()

A.-2022B,2021C.2022D,2023

-2—2—2—2

8.白老师在黑板上计算一组数据时，列式如下：S2=(3-x)+(4-x)+(4-x)+(5-x),由公式

4

提供的信息，下列关于这组数据的说法错误的是()

A.中位数是4B.众数是4C.平均数是4D.方差是:

4

9.如图，点C是线段AB的黄金分割点，即器=器，若Si表示以C4

为一边的正方形的面积，S2表示长为AB,宽为CB的矩形的面积，则

Si与S?的大小关系是（）B

A.S]>S?

B.Si<S2

C.S]—S2

D.无法确定

10.已知a是方程/-4x=1的实数根，则直线y=ax+2—a的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

11.如图，在已知的数轴上，表示一1.75的点可能是____,「4°C

iCdIDPl1r

-3-2-10

12.分解因式：2/-8=.

13.若双曲线y=：在第一、三象限，则上可以是（写出一个上的值即可）.

14.如图，用一个圆心角为150。的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为

2cm,则这个扇形的半径是cm.

15.如图，在4x4网格正方形中，每个小正方形的边长为1,顶点

为格点若44BC的顶点均是格点，贝UsinzBAC的值是.

16.如图，在平行四边形ABCO中，AC1BC,BC=6,AC=3,。是边AC上的一个动点,

OE1AC交C£＞于E,F是BE的中点，则OF的最小值______.

A

D

17.计算：|「一1|-6厂2一2sin60°.

18.如图，4ABe与4OCB中，AC与BO交于点E,且AB=DC,=4D.若乙AEB=50°,

求NEBC的度数.

19.先化简，再求值：（1一2）+穹，其中a

20.如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为

30°,然后沿AQ方向前行10H，到达B点，在8处测得树顶C的仰角高度为60°（月、B、D三

点在同一直线上）.请你根据他们测量数据计算这棵树C。的高度（结果精确到0.1m）.（参考数据

V-2工1.414,V-3*1.732)

21.从甲、乙两个企业随机抽取部分职工，对某个月月收入情况进行调查，并把调查结果分

别制成扇形统计图和条形统计图.

（1）在乙企业抽取的部分职工中，随机选择一名职工，求该职工月收入超过5千元的概率；

（2）若要比较甲、乙两家企业抽取的职工的平均工资，小明提出自己的看法：虽然不知道甲企

业抽取职工的人数，但是可以根据加权平均数计算甲企业抽取的职工的平均工资，因此可以

比较；小明的说法正确吗？若正确，请比较甲企业抽取的职工的平均工资与乙企业抽取的职

工的平均工资；若不正确，请说明理由.

甲企业部分职工月收入扇形统计图乙企业部分职工FJ收入条形统计图

卜人数/个

7千元、71吵/

20%

6千元

22.如图，AB为。。的直径，C、。在。0上，0CLAB.

(1)尺规作图：过点。作。。的切线，交AB的延长线于点E(要求：不写作法，保留作图痕迹

)；

(2)连接C。交AB于点尸，若。。的半径为4,cosC=I，求。E的长.

23.为了迎接疫情彻底结束后的购物高峰，某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋.

其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表.

运动鞋价格H1乙

进价(元/双)mm-20

售价(元/双)240160

已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.

(1)求机的值：

(2)现专卖店欲购进甲、乙两种运动鞋共200双，准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定

对甲种运动鞋每双优惠。元(60<a<70)出售，乙种运动鞋价格不变.若要使总成本不高于

18000元，且甲种运动鞋的数量不少于95双，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？

24.己知菱形ABC。，E是BC边上一点，连接AE交BO于点尸

(/)如图1,当E是BC中点时，求证：AF=2EF；

(团)如图2,连接CF,若力B=5,BD=8,当△CE尸为直角三角形时，求BE的长；

(/〃)如图3,当乙4BC=90。时，过点C作CG，AE交AE的延长线于点G,连接。G,若BE=BF,

求tan/BDG的值.

25.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=：/+以.

(1)求抛物线顶点。的坐标；(用含b的代数式表示)

(2)抛物线与x轴只有一个公共点，经过点(0,2)的直线与抛物线交于点A,B,与x轴交于点K.

①判断△力。B的形状，并说明理由；

②已知E(-2,0),F(0,4),设AAOB的外心为M,当点K在线段EF上时，求点M的纵坐标机

的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4一，至，是无理数，不合题意；

3』是正的有理数，符合题意，

C.0,是有理数，不是正有理数，不合题意，

是无理数，不合题意，

故选：B.

根据实数的分类逐项分析判断即可求解.

本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键.

2.【答案】D

【解析】解：选项A、&C的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕这一点旋转180。后与原来

的图形重合，所以不是中心对称图形，

选项。的图形能找到这样的一个点，使图形绕这一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中心

对称图形，

故选：D.

根据中心对称图形的概念判断.把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的

图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

3.【答案】B

【解析】解：5纳米=0.000000005米=5x10-9米.

故选：B.

绝对值小于I的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO-n,与较大数的科学记数法

不同的是其所使用的是负整数指数基，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所

决定.

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axIO",其中i<⑷<10,〃为由原数左边

起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

4.【答案】A

【解析】解：在滚动过程中主视图会发生变化;

在滚动过程俯视图会发生变化；

在滚动过程左视图不会发生变化；

故选：A.

分别根据左视图、主视图和俯视图进行判断即可.

本题考查三视图，解题的关进是掌握三视图的相关知识.

5.【答案】D

【解析】解：A、7岫与5a不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；

B、原式=a2+2ab+%2,故此选项不符合题意；

C、原式=9a4b2,故此选项不符合题意；

。、原式=3a2,故此选项符合题意；

故选：D.

根据合并同类项的运算法则判断A，根据完全平方公式判断B,根据积的乘方与累的乘方运算法

则判断C,根据单项式除以单项式的运算法则判断D.

本题考查整式的混合运算，掌握嘉的乘方(am)n=amn,积的乘方(就尸=心/运算法则，完全

平方公式(a±b)2=a2+2ab+炉是解题关键.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键.利用每人出

九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案.

【解答】

解：设人数为x,买鸡的钱数为》

可列方程组为：

故选D.

7.【答案】D

【解析】解：把x=1代入方程ax?+bx+1=0得a+b+1=0,

所以a+b=-1,

所以2022-a-b=2022-(a+b)=2022+1=2023.

故选：D.

利用一元二次方程解的定义得到a+b=-l,然后把2022-a-b变形为2022-(a+b),再利用

整体代入的方法计算.

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的

解.

8.【答案】D

【解析】解：这组数据按照从小到大排列是：3、4、4、5,

中位数是4,众数是4,平均数是3+4:+5=%

二答案A、B、C均正确，$2=(1)2虫七)，(112”3)2=工

42

•••答案。错误，

故选：D.

根据方差公式得出这组数据，中位数是第二位数和第三位数的平均数；众数是出现次数最多的4；

四个数相加之和再除以4求其平均数；每个数据与平均数的差的平方之和，再除以四求出方差.

本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差、众数、中位数及平均数的定义.

9.【答案】C

【解析】解：•.4=*,

ACAB

Si_靖_

同=BC-AB=L

即：Si=S2.

故选：C.

根据黄金分割的概念知能=言，变形后求解.

此题主要是考查了线段的黄金分割点的概念，根据概念表示出比例式，再结合正方形的面积进行

分析计算.

10.【答案】B

【解析】解：设yi=/—4x,y2=i,

抛物线yi=产一4x,与双曲线为=:的图象如图所示：

方程/一4%==的实数根，实际就是抛物线yi=x2-4%,与双曲线

及=；交点的横坐标，

抛物线力=/-4X，与x轴的交点为。(0,0),4(4,0),

由两个图象可得，交点B的横坐标一定要大于4,g|J：a>4,

当a>4时，2-aVO,直线y=QX+2-a的图象过一、三、四象限，

故选：B.

方程/一4%=：的实数根，实际就是抛物线乃=/-4x,与双曲线=§交点的横坐标，通过画

两个函数的图象，确定a的取值范围，再根据。的取值范围确定直线所经过的象限，从而确定位

置，做出选择.

考查一次函数的图象和性质，利用图象法比较直观的得出结论，是函数中常用的方法.

11.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了数轴，熟练掌握根据点在数轴上的位置判断数的大小是解题的关键.

根据一2<-1.75<-lfi.-l.75-(-2)=0.25,-1-(-1.75)=0.75,可判断点在数轴上的位置.

【解答】

解：因为一2<一1.75<—1,且一1.75-(—2)=0.25,-1-(-1.75)=0.75,

所以表示-1.75的点在一2和-1之间且距离-2较近，

所以在已知的数轴上，表示-1.75的点可能是：B,

故答案为：B.

12.【答案】2(x+2)(x-2)

【解析】解：2/一8

=2(尤2-4)

=2(x+2)(x-2)；

故答案为:2(x+2)(x-2).

先提取公因数2,然后再运用平方差公式因式分解即可.

本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式和公式法因式分解是解答本题的关键.

13.【答案】1(答案不唯一，只要k>0即可)

【解析】解：••・双曲线y的图象在第一、三象限，

..k>0,

则上的值可以是1,

故答案为：1(答案不唯一，只要k>0即可).

根据双曲线的图象的性质可知k>0,由此解答即可.

本题主要考查了反比例函数的图象和性质，当k>0时，图象的两个分支位于第一、三象限；当k<0

时，图象的两个分支位于第二、四象限.

14.【答案】当

【解析】解：设这个扇形的半径为Rc，〃,

根据题意得2兀x2=竺察”，

1OU

解得R=y,

即这个扇形的半径为署cm.

故答案为：y.

设这个扇形的半径为Rem,由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周

长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到2兀x2=1*丁,

lou

然后解方程即可.

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇

形的半径等于圆锥的母线长.

15.【答案】?

【解析】解：•••在4x4网格正方形中，每个小正方形的边长为1,如图:

•••BD=VI2+22=V-5>AD=V22+42=2V_5>/IB=V32+42=5>

BD2+AD2=AB2,

：.△ABO为直角三角形，即〃。8=90°,

在RtABD中，BD=底，AB=5,

BDV-5

•'«sin.z.BAC=4.=——.

故答案为：等.

先根据网格的特征，利用勾股定理计算出BD,AD,AB,然后利用勾股定理的逆定理判定△ABC为

直角三角形，最后再根据正弦函数的定义进而得出sintBAC的值.

此题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的逆定理，解答此题的关键是熟练掌握锐角三角

函数定义，难点是利用勾股定理计算出BQ,AD,45的长，再利用勾股定理的逆定理判定△AB。

为直角三角形.

16.【答案】?

・・・Z.ACB=Z-EOC=90°,

・・・OE//BC,

:.Z-EOF=乙BGO,Z-OEF=乙GBF,

又・・・点厂是3E的中点，

・・・EF=BF,

・,△EOF山BGF(AAS),

.・.OE—BG,OF=GF,

•・,四边形ABCD是平行四边形，

・・・AD//BCfBC=AD=6,

•♦・OE//BC,

・・・OE//AD,

:.Z.COE=Z.CAD,乙CEO=4CDA,

•••△OCEs〉ACD,

O£_^4£_3_1

'"OE=AD=6=2

设OC=%,贝l」OE=BG=2x,

CG=6-2xf

在RMOCG中，OG2=OC2+CG2=x24-(6-2x)2=5x2-24%4-36,10.

当"一G#)=当时，0G2最小值为4X5X36-(-24)2=36

'2x5，54x55

vOG>0,

OG最小值为「理=卑，

755

OF的最小值为当三

故答案为：2^5

延长OF交8c于点G,根据全等的判定得到△EOFgABGF,根据全等三角形的性质得出OE=BG,

OF=GF,由^OCESRAC可得会=空==设0C=%,则OE=2x,可得BG=2x,CG=6-2x,

。OEAD2

在RtaOCG中，利用勾股定理得到OG2=/+仁-2x)2,10根据二次函数的性质可求得。。2的

最小值，从而即可得解.

此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、二次函数的性质以及全等三角形的判定及性质，熟记

平行四边形的性质并作出合适的辅助线是解题的关键.

17.【答案】解：|，3-l|-G)-2-2sin60。

=>A^-1-4-2X—

=V3—1—4—V--3

=—5.

【解析】本题涉及负整数指数暴、绝对值、特殊角的三角函数值3个知识点.在计算时，需要针

对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.

本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是

熟练掌握负整数指数塞、特殊角的三角函数值、绝对值等知识点的运算.

18.【答案】解：在A/BE和中,

乙4=Z.D

Z-AEB=乙DEC,

AB=DC

:OCEQ44S),

・•・BE=EC,

:.Z-EBC=Z-ECB,

，Z-AEB=2/-EBC,

v(AEB=50°,

【解析】根据全等三角形的判定与性质得到BE=EC,再利用等腰三角形的等边对等角及外角的

性质即可解答.

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，外角的性质，掌握全等三角形的判定

与性质是解题的关键.

19.【答案】解：(1_2)+£

'Q+2，a+2

a—1a2—1

a+2+a+2

a2+a—2

a+2

=Q—1,

当a=1时，

原式=<^-1-1=7-3-2.

【解析】根据分式的加法法则把原式化简，代入计算即可.

本题考查了分式的化简求值以及二次根式的化简，掌握分式的运算法则是解题的关键.

20.【答案】解：•:乙CBD=NA+〃CB,

^ACB=4CBD-^A=60°-30°=30°,

・•・Z.A=Z.ACB,

・•・BC=AB=10（m）.

在直角△BCD中，CD=BC•sin^CBD=10x?=5025x1.732#8.7（m）.

答：这棵树CD的高度为8.7m.

【解析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并

解直角三角形.

首先利用三角形的外角的性质求得NACB的度数，得到BC的长度，然后在直角ABDC中，利用三

角函数即可求解.

21.【答案】解：（I）、•乙企业工资超过5千元的人数为3人，抽样总人数为10人,

・P——.

•,y（超五干）一io，

（2）小明的说法正确，理由如下：

设甲企业的人数为加人，

8xl0%m+4xl0%7n+7x20%m+5x20%m+6x40%Tn

・,・甲的加权平均数为-6（千元）；

10%7n+10%m4-20%7n+20%m+40%m

5x4+2x5+2x9+1x12

乙平均数为:6（千元）;

10

甲企业抽取的职工的平均工资与乙企业抽取的职工的平均工资相同;

【解析】（1）根据乙企业工资超过5千元的人数为3人，抽样总人数为10人即可解答；

（2）根据图形可知小明的说法正确，再根据题意计算甲企业的加权平均数及乙企业的算术平均数即

可解答.

本题考查了条形统计图和扇形统计图，概率公式，求加权平均数与算术平均数，读懂条形统计图

和扇形统计图是解题的关键.

22.【答案】解：（1）如图，直线。E为所求作的图形,

•・•。0的半径为4,CG是。。的直径，

CG=8,“DG=90",

4

vcosC=0C1AB

432rn°C4-

/.CD=CG-cosC=8x^=^,"=应=耳=5,

555

327

：・DF=CD-CF一5=g,

-DHLAB,OCLAB,

・・・乙CHF=乙DHF=90°,

:.OC//DH,

・・・(HDF=ZC,

・•・cosZ-HDF=—=cosC=二，

DF5

DH=DF-cosZ-HDF==||,

OH=VOD2-DH2=J42-(1|)2=II，

•••DE切。。于点D,

•••OD1DE,DHLAB

tan^DOH=tan/E。。即空=空，

解得OE=Z

o

【解析】(1)连接OD，过点。作DEJ.0D交AB的延长线于点E即可；

(2)延长CO交O。于点G,连接。G,过点。作DH14B于，，利用三角函数求得CC="CF=5,

进而得DF=CD-CF=1，再由cos/HDF=器=cosC=求得DH=,，然后利用勾股定理及

5DF525

三角函数即可求解.

本题主要考查了尺规作垂线，三角函数的应用，勾股定理，平行线的性质及判定，切线的性质以

及直径所对的圆周角是直角，熟练掌握尺规作垂线及三角函数是解题的关键.

23.【答案】解：(1)依题意得，

30002400

-----=------,

mm—20

整理得，3000(机一20)=240(hn,解得m=100,

经检验，m=100是原分式方程的解,

・•・m=100；

(2)设购进甲种运动鞋〃双，则乙种运动鞋(200-a)双，根据题意得,

100n+80(200-n)<18000

n>95

解得95<n<100,

设总利润为W,则W=(240-100-a)n+(160-80)(200-n)=(60-a)n+16000(95<n<

100),

60<a<70,

60—a<0,

W随n的增大而减小，

二当n=95时，W有最大值，即该专卖店要获得最大利润，此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙

种运动鞋200-95=105双.

【解析】(1)用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解即可；

(2)设购进甲种运动鞋〃双，表示出乙种运动鞋(200-n)双，然后根据总成本及鞋的数量列出一元

一次不等式组，求出不等式组的解集后，设总利润为W,根据总利润等于两种鞋的利润之和列式

整理，然后根据一次函数的增减性求解即可.

本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是

读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系.

24.【答案】（/）证明：如图1,・・・E是8C的中点，

:.BC=2BE,

•・,四边形A8CO菱形，

•.AD=BC=2BE,AD]IBC,

・•・乙FAD=乙FEB,Z-FDA=乙FBE,

图1

・•・△EFB,

.AF_AD

EFEB

AF2BEc

•辛=正=2,

.­•AF=2EF；

（〃）解：如图2,连接AC交BQ于O,

•・•四边形A3CO菱形，BD=8,

图2

・・・4C、5。互相平分，

11

・・・04=”C,OB=^BD=4,

•・•F在BD上,

・・・FC=FA,

在RKB。中，Z.AOB=90°,AB=5,

・・・OA=VAB2-OB2=3，

:.AC=6,

-AD//BC,

Z.EAD=乙FEB,Z-FDA=乙FBE,

・•.△FDi40°AFBE,

①当NFEC=90。时，如图2,

在△ABC中，ShABC=^BC-AE=\AC-OB,

厂AC-OB6x424

-A'-AE=-^=—=^

在RtAAEB中，AAEB=90",

BE=VAB2—AE2=J52—（第？=|；

②当NEFC=90。时，如图3,

在RtAAFC中，ZXFC=90°,点。是AC的中点,

OF=^AC=3,图3

.-.DF=4+3=7,BF=1,

•・•△FBEs〉FDA,

BEBFnnBE1

ADDF57

BE=*

③•.•点E在8c边上,

•••点F在线段上,

故NECF<Z.ECA<90°,

故NECF=90。这情况不存在,

综上所述，当ACEF为直角三角形时，BE的长为(或余

(/〃)解：如图4,连接AC交3。于。，连接GO,

•••四边形ABC。是菱形，AABC=90°,

二菱形A8CD是正方形，

.••点A、B、C、。在以O为圆心，以OA为半径的圆上,

v/.AGC=90°,0A=OC,

：.OG=\AC=OA,

•••G在。。上，

・•・Z-BDG=Z.BAE,

图4

由(〃)得：AFBEs^FDA,

.BE_BF

••,

ADDF

•・•BE=BF,

:.AD=DF,

在RtA/lBD中，BD=\T1.AD=yT1.DF,

•••BE=BD-DF=(<7-1)DF,

...BEBE(吃-1)DFr-x，

・zD4C=

••tanz^DG=tanZ-BAE=—BA=—AD----D--F-----=V2—1.

【解析】(/)如图1,证明△?!尸Os^EFB,得熊=喘，由4。=2BE,代入可得：AF=2EF；

(〃)如图2,连接AC交8。于。，先求OA,并证明△FDAs国FBE,分三种情况讨论：①当"EC=

90。时，如图2,根据面积法求4E,再由勾股定理得：BE的长；

②当4EFC=90。时，如图3,根据△FBESAF£M,列比例式可得8E的长;

③根据图形说明NECF<Z.ECA<90。；

(/〃)如图4,作辅助线，根据正方形的判定可得：菱形A8CO是正