高等数学期末试卷及答案

高等数学测试题一

一、单项选择题（每小题4分，满分20分）

1.曲面/+〉2+22=14在点（1,2,3）处的切平面方程是（）

A.以==B.x+2y+3z-14=0

123

C.以=D.2x+y+3z-4=0

213

2.设函数/（〃,）具有二阶连续偏导数，z=/（孙,y）,则生=（）

oxoy

A.f.'+xyf；B,f；+yf；2'

C.yfn+^fuD.f.'+xyr+yfn

3.设空间区域

2222222

Q,:x+y+z</?,z>O;Q2:x+/+z<7?,x>O,y>O,z>O,则下列等

式（）成立.

A・mxdu=40kduB.刈=4j"ydv

Q2

C.jjjzdv=4jjjzdvD.xyzdv=xyzdv

Q2

4.下列级数中，绝对收敛的级数是（）

A.S（-Dn-B.£（一1）”』

w=lH〃=1"73

c.£（-iy-D.J（-irin（i+-）

n=i„=in

5.已知嘉级数1）"在x=-2处收敛，在x=4处发散，则暴

«=0

级数的收敛域为（）

n=O

A.[-4,2）B.[-3,3）C.[-2,4）D.[-1,5）

二、填空题（每小题4分，满分20分）

6.通过曲线1£+二+49=i且母线平行于z轴的柱面方程

22

x-/-z=0

为.

7.设函数/(x,y,z)=e*yz2,其中z=z(x,y)是由x+y+z+孙z=0确定

的隐函数，则/；(0,1,-1)=.

8.微分方程＜+2了-3y=0的通解为.

9.交换积分次序J；dxj；"(x,y)dy=.

10.级数£2匚的收敛半径R=_____.

“=|几

三、计算题(每小题6分，满分30分)

11.求函数/(x,y)=/+2盯+2y?+4x+2y-5的极值.

12.求曲面z=/+y2介于两平面z=i与z=4之间的部分的面积.

13.求微分方程初包=f+，满足条件儿『Ze的特解.

dx

14.求过点和弧（。，1，-1）且垂直于平面x+y-z=O的平面方程.

15.求得级数8£匚214〃的和函数.

四、理论及其应用题(每题满分8分，共24分)

16.求二阶线性非齐次微分方程＜-2：/+丁=》满足条件y(0)=2,：/(0)=0

的特解.

17.已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕z轴旋

转一周所成的旋转曲面为S.求由S及两平面z=0,z=l所围成的立体

体积.

18.将函数/(x)=L展开成(X-3)的募级数，并求的和.

X〃=03

五、证明题(本题满分6分)

19.设z是的函数，且肛=4(z)+yg(z),^'(z)+yg'(z)#0,

求证：［x-g(z)仔=［y_/(z)佟.

dxdy

《高等数学(下)》测试题一参考答案

一、1.B；2.D；3.C；4.C；5.A.

-3

二、6.5》2一3y2=］；7.1;8.y=Cje'+C2e'';9.j'dy£/(x,y)dx;

10.1/2.

三、11.解?2x+2y+4,|=2X+4,+2,由30,柒。解得

驻点P(-3,1),又因为二=2,仆=2,/；=4,则在点P(-3,l)处，

A=2,B=2,C=4,B2-AC=-4<0,且A=2>0,故点P(—3,1)是函数

f(x,y)的极小值点，极小值为/(-3,1)=-10.

12.解A=Jjdxdy=jjJl+4f+4y2(1rdy

Dl<x2+y2<4

2

JJdejJl+4/•24=2兀><*(1+4-2)5=-(17>/17-5>/5).

6

13.解因2国田=-，+9),°(为=孙均为二次齐式，故所给方程

为齐次微分方程.令丁=如，则—=W+X—,代入方程

dxdr

221+02

dZ=x±2L=_U_)得〃+x包=4,即1史」＞“d“」dx.两边

dxxyy_dxudxux

x

积分，得儿2=lnx+C,将代回，得通解

2x

/=2x2(lnx+C).

由初始条件儿=e=2e,得。=1.故所求特解为\=2x2(lnx+l).

14.解由题设知，所求平面的法向量〃，既垂直于已知平面的

法向量2=，+/-%,又垂直于向量,故可取

ijk

n=noxM1A/?=11-1=-2i+3J+Z,

-10-2

由此得所求平面的点法式方程为

—2(x—1)+3(y—1)+(z—1)=09

即2x-3y-z+2=0.

15.解因为

8“2I1ooco1

”=1〃11=1n=]〃

/oo、'

51(幻=£而'

=X1-XJ(1—x)~

n=l\n=lJ

记s,(x)=£L"，则

〃=]〃

一)=,%］可尸=占,

对上式从0到x的积分，得S,(x)=「一!一dr=-In(l-x),故

J。1-x

白〃“+1nX1x/I八

y-----X=-——-r-ln(Zl1-x)(-1<X<1).

Mn(1-x)

四、16.解原方程对应的齐次方程为<-2了+丁=0,齐次方程的

特征方程是2「+1=(7-1)2=0,解得其特征根为｛=弓=1,于是齐次

x

方程的通解为y=(C,+C2x)e.

由于2=0不是特征根，故非齐次方程y"-2y+y=x的特解形式应

设为y*(x)=Ax+8,将它代入非齐次微分方程中，得A=l,5=2.于是,

非齐次微分方程的通解为y=C+Gx)e'+x+2.

将初始条件y(0)=2»(0)=0代入，得£=0,C2=-l,故所求的特解

为y=-xe.x+x+2.

17.解直线AB的方程为3=2=d即5=1一2过z轴上的［0』］

-111［y=z.

中任一点Z且垂直于Z轴截旋转体所得截面是一个圆，与交于点

陷(1-z,z,z).于是圆的半径为r=J(l-z)2+z2=J1-2Z+2Z2,面积为

TE(1-2Z+2Z2),因此，

V=JJJdtdydz=J：dzjjdrdy=J：n(l-2z+2z2)dz=—7t.

a°*z)°3

18.解因为当|x-3|<3时，有

Li丫

x3+(x-3)3l+x-33M=0\3J

3

=扛(一炉弯海

D«=03n=03

所以，取.4,得之空=；.

〃=034

五、19.证明在方程孙=4(z)+yg(z)两边同时对x求导数得

,、r”,dzdzdzy-f(z)

y=fr(z)+xf(z)—+yg(z)—=^—=——----—,

oxoxoxxj(z)+yg(z)

—)+yg，(z)#0.

同理，得品就合，将所求偏导数代入等式

[x-g(z)]|^=[y-/(z)]1^,即得恒等式.故命题得证.

oxoy

《高等数学(下)》测试题二

一、单项选择题(每小题4分，满分20分，把答案写在括号内)

1.函数/。,四=而衣在原点(0,0)处的偏导数存在情况是()

(A)《(0,0)存在，4(0,0)存在；

(B)/；(0,0)存在，4(0,0)不存在；

(0£(0,0)不存在，4(0,0)存在；

(D)/；(0,0)不存在，火。0)不存在.

2.变换积分J；dAj；/(x,y)dy的次序为()

(A)£呵；/(x,y)dx;(B)[dy]f(x,y)dr;

(C)£dyj；f(x,y)dx;(D)[:dyj,f(x,y)dx.

3.直线L：3=>2=Z与平面n：2x-y—z=l的关系是()

213

(A)互相平行，L不在n上；(B)L在n上；

(C)垂直相交；(D)相交但不垂直.

4.若级数与£匕：均收敛，则下列级数绝对收敛的是()

”=1n=l

A.;B.£(",,+乙)；C.£(一1)"〃；；D.£(〃,+乙)2.

n-\n=ln=\n=l

5.设平面区域。是由直线x+y=；,x+y=l及两条坐标轴所围成，

记

人=Jj(x+y)2db,4=JJ(x+y)3db,4=JJ【ln(x+y)Fdcr;则有()

DDD

(A)7]<Z2</3；(B)73</2</j；

(C)/,<A</2;(D)/3<71<Z2.

二、填空题(每小题4分，满分20分，把答案写在横线上)

'x=-t+2

6.过点(1,2,-1)且与直线，y=3t-4垂直的平面方程是.

Z=/-1

7.微分方程y"+2y+y=0的通解为.

8.已知平面2x+4y-z=m是曲面2=f+21在点(1」,3)处的切平

面，则m的值等于.

9.级数工士”的收敛域为____.

〃=14

10.。是由x=O,y=O与f+y2=i所围成的图形在第一象限内的部

分，则二重积分JJx2ydxdy=.

D

三、基本计算题(每小题6分，共30分)

11.设z=x3/»其中/•具有二阶偏导数,求注.

VX)dxdy

12.已知|q|=g|=l,且a与〃的夹角。=色，求以a+2b和3a+8为

6

边的平行四边形的面积.

13.设。是由曲线］：=°绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=4

ly=2z

围成的空间区域，求川(f+^+z)”.

C

14.求微分方程万+3了+2y=3叱，的通解.

15.将函数/*)=展开成％-2的寨级数.

x(x-l)

四、概念及其应用题(每小题8分，共24分)

16.求z=Ay+」+L(%>0,y>0)的极值.

xy

17.求曲面Z=/+y2与z=6一,+y2)所围立体的体积.

18.求嘉级数Z匕的收敛半径、收敛域及和函数.

〃=i

五、证明题（本题6分）

19.证明Z=X°(2)+W—满足方程•一y2_|_1=0.

《高等数学(下)》测试题二参考答案

一、1.B；2.D；3.A；4.C；5.B.

二、6.x—3y—z+4=0；7.,=(。|+。2%)—；8.3;9.(-2,2)；10.—.

二、11.解^-=3x2xy,—\+X3//-y+/2，,—,

8x\xj\_x-J

dz3「々1

^-=xf\-x+f•—.

oyL2x]

12.解由向量积的几何意义知，以”+2匕和3a+b为边的平行四边

形面积为

S=|(a+2b)x(3a+=，x(3a)+axb+(2b)x(3a)+(2b)xZ?|

=5,x@=5,HW，si吟=g

13.解。由旋转抛物面Z=g*2+y2)与平面z=4围成.曲面与平

面的交线为

，+丁=8,

z=4.

x-rcos0.

选用柱坐标变换<j=rsin6>,由题意得积分区域

Z=Z.

Q:0<271,0<z<4,0<r<y[lz,于是

JJJ，+y2+z)dy=J：dz/deJ;(户+z);ilr

C

/22、应

24仁+乙dz=2nf42z2dz=兀.

以42J（）Jo3

14.解由特征方程夕（厂）=/+3〃+2=0得特征根为4=-"=-2,所

以，齐次方程的通解为9=qeT+C2e-2，，又由义=-1是特征方程的单根,

_、2

于是y*=*（0¥+〃兄一*,即Q（x）=ax2+hx,代入公式Z"）（4）Q'"（x）=3x中，

j=o

得"*_3,所以y*=x（|x-3）,从而，原方程的通解为

+3工（；］一1卜'.

>=付+。2©小

15.解因为

x(x-l)x-1X

118

-——-=£(-l)n(%-2)H,|X-2|<1;

九一11+x—2〃=o

1_1_11（-1）"（曰=£（-D"I%-21<2;

x2+x—22।1x-2Ln=0Ln=02

-T-

g1

故/（x）=Z（—l）"（l-而）（x—2）",|x-2|<l.

〃=o2

y-[=0

四、16.解^=y-±,^=X-±,令:得驻点（1,1）.因为

oxxdyy

X——7=0

y

222

dz_2dz1dz2

dx2/'dxdy'dy27

C卷

=2,A=l-4=-3<0,

dx1（1.1）

A>0,故有极小值，极小值为z=3.

22

z=x+y42c

17.解>=>£>:x2+y2<3.

z=o-x-y"o

rrr「2冗「6一产「2几

方法一:V=f[fdy=J。d〃jd小dz=J。d，「r（6-2/）dr

J0

Q

兀［；）兀.

二2兀3r2--r429—=9

20

方法二:y=jj[6-（x2+/）-（x2+y2）]dxdy=JJ[6-2r2]rd/xl0

D

114）

—r42兀[9-2=9兀.

20

4+1=lim——~=l,/?=3.

18.解limr

〃T828（〃+1）3用3

当x=3时，级数£工发散;当x=-3时,级数N野收敛,所以,