2023-2024学年南京市联合体九年级上册数学期末统考试题含解析

2023-2024学年南京市联合体九上数学期末统考试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，△ABC中，DE//BC,则下列等式中不成立的是（）

ADDEADDEADAEADAE

A.---=----B.---=----C.----=---D.----....

ABBCDBBCDBECABAC

2.二次函数y=ax1+bx+c(a*0)的部分图象如图」所示,图象过点（-1,0）,对称轴为直线x=l,下列结论：（1）4a+b=0；

-3,yi）、点B（-；,yD、点C（7,y）在该函数图象上，则

(1)9a+c>-3b；(3)7a-3b+lc>0；(4)若点A(3

yi<Y3<yi；(5)若方程a(x+l)(x-5)=-3的两根为)Cl和X1,且X1<X1,则X1<-1<5<X1.其中正确的结论有（）

-1/1。口

A.1个B.3个C.4个D.5个

3.从1,2，3,5这四个数字中任取两个，其乘积为偶数的概率是（）

13八13

A.—B.—C.—D.

4824

4.如图，以点O为位似中心，将AABC放大得到ADEF,若AD=OA,则AABC与ADEF的面积之比为（）

“王C

A.1:2B.1:4C.1:5D.1:6

5.如图，点O是AA3C的内切圆的圆心，若NA=80。，则N50C为（）

A

A.100°B.130°

C.50°D.65°

6.一个不透明的袋子里装有两双只有颜色不同的手套，小明已经摸出一只手套，他再任意摸取一只，恰好两只手套凑

成同一双的概率为（）

111

A.—B.—C.-D.1

432

7.现有两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是1、2、3,从每组牌中各摸出一张牌.两张牌

的牌面数字之和等于4的概率是（）

2152

A.B.-C.D.-

9393

Q

8.下列各点中，在函数丫=一一图象上的是（）

X

A.(-2,4)B.(2,41)C.(-2,-4)D.(8,1)

9.已知平面直角坐标系中，点2）关于原点对称的点的坐标是（）

A.（1,-2）B.（-1,-2）C.（-1,2）D.（1,2）

10.用配方法解方程6x-8=0时，配方结果正确的是（）

A.（X-3y=17B.（x-3）2=14

C.*-6）2=44D.（X-3/=1

11.同学们喜欢足球吗？足球一般是用黑白两种颜色的皮块缝制而成的，如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块

是正六边形.若一个球上共有黑白皮块32块，请你计算一下，黑色皮块和白色皮块的块数依次为（）

A.16块，16块B.8块，24块

C.20块，12块D.12块，20块

12.某篮球队14名队员的年龄如表：

年龄（岁）18192021

人数5432

则这14名队员年龄的众数和中位数分别是（）

A.18,19B.19,19C.18,4D.5,4

二、填空题（每题4分，共24分）

13.随即掷一枚均匀的硬币三次次，三次正面朝上的概率是.

14.如图，。。的半径为4血，点8是圆上一动点，点4为。。内一定点，04=4,将A8绕4点顺时针方向旋转

120。到AC,以48、5c为邻边作口A5CZ）,对角线AC、BD交于E,则。E的最大值为

15.设a、0是方程x2+2018x-2=0的两根，则（a2+2018a-1）（r+20180+2）=.

16.底角相等的两个等腰三角形相似.（填“一定”或“不一定”）

17.如图，在“8C中，ZC=90°,ZA=a,AC=20,请用含a的式子表示8c的长

18.如图，直线m〃n,以直线m上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m,n于点B、C,连接AC、BC,

若Nl=30°,则N2=

三、解答题（共78分）

19.（8分）解方程

（1）3（%—2）-=%（%—2）

（2）（sin60）+（cos60

20.（8分）如图，一次函数丁=履+。的图象与反比例函数，=一的图象相交于A（-L"）、5（2，-1）两点，与）’轴相

x

交于点C.

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）若点。与点C关于x轴对称，求的面积；

（3）若M（如乂）、N5,%）是反比例函数V=一上的两点，当％</<0时，比必与V的大小关系.

x

21.（8分）解方程：（D（X+3）2=2X+6

（2）（配方法）/―8*+1=0.

22.（10分）解方程：x2-6x-7=l.

23.（10分）为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库.如图是停车库坡道入口的设计图，

其中MN是水平线，MN〃AD,ADJ_DE,CF±AB,垂足分别为D,F,坡道AB的坡度=1：3,AD=9米，点C在

DE上，CD=0.5米，CD是限高标志牌的高度（标志牌上写有：限高米）.如果进入该车库车辆的高度不能超

过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：梃=1.41,百*1.73,V10^3.16）

24.（10分）如图，在10x10的网格中，有一格点△ABC（说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形）.

（1）将aABC先向右平移5个单位，再向上平移2个单位，得到△A，B，C,请直接画出平移后的△A'B'C'；

（2）将△AK,绕点C顺时针旋转90。，得到△A“B”C,请直接画出旋转后的△A”B”C；

(3)在(2)的旋转过程中，求点A，所经过的路线长(结果保留兀).

25.(12分)如图，抛物线y=--V+-％+2与x轴交于点A，B,与＞轴交于点C.

22

工

x

D

(D求点A，B,C的坐标；

(2)将A4BC绕45的中点“旋转180。，得到

①求点。的坐标；

②判断AM厉的形状，并说明理由.

(3)在该抛物线对称轴上是否存在点P,使ABMP与&%。相似，若存在，请写出所有满足条件的尸点的坐标；若

不存在，请说明理由.

26.如图1,抛物线y=-Y+bx+c与x轴相交于点A、点B,与y轴交于点C(0,3),对称轴为直线x=l,交x轴于

点D,顶点为点E.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)连接AC,CE,AE,求AACE的面积；

(3)如图2,点F在y轴上，且OF=0,点N是抛物线在第一象限内一动点，且在抛物线对称轴右侧，连接ON交

对称轴于点G,连接GF,若GF平分NOGE,求点N的坐标.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1,B

【分析】根据两直线平行，对应线段成比例即可解答.

【详解】•••OE〃8C,

AH

/\ADEs△ABC,---=-----9

DBEC

.ADAEDE

,•耘一就一法’

二选项A,C,D成立，

故选：B.

【点睛】

本题考查平行线分线段成比例的知识，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理.

2、B

【解析】根据题意和函数的图像，可知抛物线的对称轴为直线x=-3=l,即b=-4a,变形为4a+b=0,所以（1）正确;

由x=-3时，y>0,可得9a+3b+c>0,可得9a+c>-3c,故（1）正确；

因为抛物线与x轴的一个交点为（T,0）可知a-b+c=0,而由对称轴知b=-4a,可得a+4a+c=0,即c=-5a.代入可得7a-

3b+lc=7a+lla-5a=14a,由函数的图像开口向下，可知aVO,因此7a-3b+lcV0,故（3）不正确；

根据图像可知当xVl时，y随x增大而增大，当x>l时，y随x增大而减小，可知若点A（-3,y。、点B（-；,

y。、点C（7,y3）在该函数图象上，贝！Jyi=y3<yi,故（4）不正确；

根据函数的对称性可知函数与x轴的另一交点坐标为（5,0）,所以若方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为由和X”

且XiVx”则XiV-lVx”故（5）正确.

正确的共有3个.

故选B.

点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=axl+bx+c（aWO）,二次项系数a决定抛物线的开口方向和

大小，当a>0时，抛物线向上开口；当aVO时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的

位置，当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右；常数项c

决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于（0,c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b-4ac>0时，抛物线

与x轴有1个交点；△=b-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=bi-4acV0时，抛物线与x轴没有交点.

3、C

【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得.

【详解】解：画树状图得：

1235

1/b/b/1\

235135125123

•••共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，其中积为偶数的有6种结果，

•••积为偶数的概率是二=4，

122

故选：C.

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法

适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之

比.

4,B

【解析】试题分析：利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出面积比•以点O为位似中心，将△ABC放大

得至IjADEF,AD=OA,AOA；OD=1：2,.♦.△ABC与ADEF的面积之比为：1：1.

故选B.

考点：位似变换.

5,B

【分析】根据三角形的内切圆得出ZOCB=-ZACB,根据三角形的内角和定理求出

22

N4BC+NAC5的度数，进一步求出NO5C+NOCB的度数，根据三角形的内角和定理求出即可.

【详解】,点。是△ABC的内切圆的圆心，：,ZOBC=-ZABC,ZOCB=-AACB.

22

VZA=80°,：.ZABC+ZACB=1800-ZA=100°,：.NOBC+NOCB，(.ZABC+ZACB)=50°,:.NBOC=180°-(

2

NOBC+NOCB)=180°-50°=130°.

故选B.

【点睛】

本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的内切圆与内心等知识点的理解和掌握，能求出N08C+N0C5的度数

是解答此题的关键.

6、B

【分析】列举出所有情况，让恰好是一双的情况数除以总情况数即为所求的概率.

【详解】解：设一双是红色，一双是绿色，则列表得：

（红，球）（红，球）（球，球）—

（红，球）（红，球）—（绿，球）

（红，红）—（绿，红）（球，红）

—（红，红）（绿，红）（绿，红）

•.,一共有12种等可能的情况，恰好是一双的有4种情况，

41

,恰好是一双的概率：2=—=—;

123

故选择：B.

【点睛】

列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情

况数之比.

7、B

【分析】画树状图列出所有情况，看数字之和等于4的情况数占总情况数的多少即可.

【详解】画树状图得:

和234345456

则共有9种等可能的结果，其中两张牌的牌面数字之和等于4的有3种结果,

31

二两张牌的牌面数字之和等于4的概率为-=

93

故选：B.

【点睛】

本题考查列表法和树状图法，解题的关键是可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果.

8、A

【分析】所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数.本题只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是-8

的，就在此函数图象上

【详解】解:-2X4=-8

故选:A

【点睛】

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数性质是本题的解题关键.

9、C

【解析】•••在平面直角坐标系中，关于原点对称的两个点的横坐标与横坐标、纵坐标与纵坐标都互为相反数，

...点P(1,-2)关于原点的对称点坐标为(-1,2),

故选C.

10、A

【分析】利用配方法把方程/一6%-8=()变形即可.

【详解】用配方法解方程炉-6x-8=0时，配方结果为(x-3)2=",

故选A.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键.

11、D

【解析】试题分析：根据题意可知：本题中的等量关系是“黑白皮块32块”和因为每块白皮有3条边与黑边连在一起,

所以黑皮只有3y块，而黑皮共有边数为5x块，依此列方程组求解即可.

解：设黑色皮块和白色皮块的块数依次为x,y.

则黑'，

解得已，

即黑色皮块和白色皮块的块数依次为12块、20块.

故选D.

12、A

【分析】根据众数和中位数的定义求解可得.

【详解】•.•这组数据中最多的数是18,

.•.这14名队员年龄的众数是18岁，

•••这组数据中间的两个数是19、19,

二中位数是上_-=19(岁)，

2

故选：A.

【点睛】

本题考查众数和中位数，将一组数据从小到大的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数

据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数的平均数称为这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数

据称为这组数据的众数；熟练掌握定义是解题关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

1

13、—

8

【分析】需要三步完成，所以采用树状图法比较简单，根据树状图可以求得所有等可能的结果与出现三次正面朝上的

情况，再根据概率公式求解即可.

【详解】画树状图得：

开始

正反

正反正反

/\/\/\/\

正反正反正反正反

...一共有共8种等可能的结果；出现3次正面朝上的有1种情况.

二出现3次正面朝上的概率是:

故答案为弓O.

点评：此题考查了树状图法概率.注意树状图法可以不重不漏地表示出所有等可能的结果.用到的知识点为：概率二

所求情况数与总情况数之比.

14、277+272

【分析】如图，构造等腰△04尸，使得A0=4/，Z0AF=120°,连接CHOB,取Ab的中点J,连接EJ.证明EJ

是定值，可得点E的运动轨迹是以＜/为圆心，E/为半径的圆,由此即可解决问题.

【详解】如图，构造等腰△04尸，使得40=4尸，Z0AF=12。°,连接CF,OB,取AF的中点J,连接EJ.

VNBAC=ZOAF=120°，

:.ZBAO=ZCAF9

".'ABAC,AO=AF,

：./\OAB^AFAC(SAS),

***CF=OB=4>/2»

四边形BCDA是平行四边形，

：.AE=EC,

'：AJ=JF,

1「

：.EJ=-CF=2H

...点E的运动轨迹是以J为圆心，EJ为半径的圆，

易知0J=2V7

当点E在。J的延长线上时，0E的值最大，最大恒为OJ+JE=+2也,

故答案为2g+2夜.

【点睛】

本题考查的是圆的综合，难度较大，解题关键是找出EJ是最大值.

15、4

【分析】把。、尸分别代入》2+2018犬一2=0,可求得(？+2018(1和俨+2018(3的值，然后把求得的值代入

(a2+2018a-1)(俨+2018(3+2)计算即可.

【详解】把a、4分别代入丁+2018犬一2=0,得

a2+2018a-2=0^p2+20183-2=0,

•••a2+20I8a=2和俨+20哪=2，

/.(a2+2018a-l)(p2+2018p+2)=(2-1)X(2+2)=4.

故答案为4.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一

个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

16、一定

【分析】根据等腰三角形的性质得到NB=NC,NE=NF,根据相似三角形的判定定理证明.

【详解】如图：

E

B

VAB=AC,DE=EF,

AZB=ZC,NE=NF,

VZB=ZE,

AZB=ZC=ZE=ZF,

AAABC^ADEF,

故答案为一定.

【点睛】

本题考查的是相似三角形的判定、等腰三角形的性质，掌握两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键.

17、20tana

【分析】在直角三角形中，角的正切值等于其对边与邻边的比值，据此求解即可.

【详解】在RtZ\ABC中，VZA=a,AC=20,

Be

-----=tana,BPBC=20tana.

AC

故答案为：20tana.

【点睛】

本题主要考查了三角函数解直角三角形，熟练掌握相关概念是解题关键.

18、75°

【解析】试题解析：•••直线

AZl=ZA=30.

AB=AC,

ZACB=ZB=75.

Z2=180-Z1-ZACB=75.

故答案为75.

三、解答题（共78分）

19、⑴西=2,%2=3；（2）1

【分析】(1)根据因式分解法即可求解；

(2)根据特殊角的三角函数值即可求解.

【详解】(1)3(X—2)2=X(X—2)

3(x-2)2-x(x-2)=0

(x-2)[3(x-2)-x]=0

(x-2)(2x-6)=0

.•.x-2=0或2x-6=0

解得％=2,々=3；

(2)(sin60)+(cos60J

31

—+—

44

=1.

【点睛】

此题主要考查一元二次方程的求解及特殊角的三角函数值的运算，解题的关键是熟知方程的解法及特殊角的三角函数

值.

2

20、(1)一次函数的解析式为y=-x+1,反比例函数的解析式为丁=一一；(2)S=3(3)“V%.

xMBD;

【分析】(1)利用待定系数法即可解决求问题.

(2)根据对称性求出点D坐标，发现BD〃x轴，利用三角形的面积公式计算即可.

(3)利用反比例函数的增减性解决问题即可.

【详解】解：(1)••,反比例函数y='经过点3(2,-1),

X

-29

2

点A(-1,用在y=—上，

X

/.〃=2,

.・.A(-1,2),

\-k+b=2

把A3坐标代入丁=依+。，则有「

24+。=一1

2

，一次函数的解析式为y=-x+1,反比例函数的解析式为丁=一一.

X

(2)直线y=-x+1交y轴于C,

C(O,1),

D,。关于x轴对称，

ZXO,-1),8(2,-1)

.•.BD//X轴，

SgBD—]x2x3—3•

2

(3)M(xX)、N(X,%)是反比例函数y=——上的两点，且不Vx,<0,

e2x

【点睛】

本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用函数的增减性,

比较函数值的大小.

21、(1)%=-3,々=一1；(2)玉=4+而，.=4一后

【分析】(1)利用因式分解法求解；

(2)在左右两边同时加上一次项系数-8的一半的平方后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，即可求解.

【详解】解：⑴(x+3>=2x+6,

(X+3)2-2(X+3)=0,

(x+3)(x+3—2)=0,

:.x+3=0或x+l=O,

所以花=-3,々=一1；

⑵-8x=—l，

•••x2_8x+16=—1+16，即（无-4）2=15,

贝！Jx-4=±A/L5>

二X=4+J15,马=4-J15.

【点睛】

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式

法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

22、X2=7,X2=-2.

【解析】观察原方程，可运用二次三项式的因式分解法进行求解.

【详解】原方程可化为：(x-7)(x+2)=2,

x-7=2或x+2=2；

解得：X2=7,X2=-2.

23、2.1.

【分析】据题意得出tanB=1,即可得出tanA,在RtAADE中，根据勾股定理可求得DE,即可得出NFCE的正切值,

再在RtACEF中，设EF=x，即可求出x,从而得出CF=lx的长.

VMN/7AD,

.\ZA=ZB,

・♦A-1

••tanAf

3

VDE±AD,

；・在R3ADE中，tanA二还,

AD

VAD=9,

/.DE=1,

又・・・DC=05

ACE=2.5,

VCF±AB,

:.ZFCE+ZCEF=90°,

VDE±AD,

AZA+ZCEF=90°,

AZA=ZFCE,

/.tanZFCE=—

3

在R3CEF中，CE2=EF2+CF2

设EF=x,CF=lx(x>0),CE=2.5,

代入得(-|)2=x2+(lx)2

解得x=10(如果前面没有“设x>0”，则此处应"x=±逗，舍负”)，

44

4

该停车库限高2.1米.

【点睛】

点评：本题考查了解直角三角形的应用，坡面坡角问题和勾股定理，解题的关键是坡度等于坡角的正切值.

24、(1)见解析，(2)见解析，(3)叵1t

2

【解析】(D将三个顶点分别向右平移5个单位，再向上平移2个单位得到对应点，再首尾顺次连接即可得;

(2)作出点A',B'绕点C顺时针旋转90°得到的对应点，再首尾顺次连接可得；

(3)根据弧长公式计算可得.

【详解】解：(1)如图所示，XA'B'C'即为所求.

(3)VAZC'=722+32=V13»NA'CA"=90°,

.•.点A'所经过的路线长为90?兀厂=叵4

1802

故答案为姮7r.

2

【点睛】

本题主要考查作图-旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转和平移变换的定义和性质，并据此得出变换后

的对应点，也考查了弧长公式.

25、(1)A(-1,O),3(4,0),C(0,2);(2)①0(3,—2)：②AARD是直角三角形；(3)耳弓，［｝丹

喉5),呜T

【分析】(1)直接利用y=0,x=0分别得出A,B,C的坐标；

(2)①利用旋转的性质结合A,B,C的坐标得出D点坐标；

②利用勾股定理的逆定理判断MDB的形状即可；

(3)直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案.

13

【详解】解：(1)令y=0,则一一X2+-X+2=Q,

22

解得：玉=4,々=T，

二A(-1,0),3(4,0).

令x=0,则y=2,.•.C(0,2)：

(2)①过。作OE_Lx轴于点E，

•••绕点M旋转180°得到ABAD,

AAC=BD,ZCAO=ZDBE,

在A4OC和MED中

ZAOC=/BED=90°

<NCAO=NDBE,

AC=BD

：.AAOC^ABED(AAS),

：.OC=DE,OA=EB.

VA(-l,0),3(4,0),C(0,2),

：.OC=DE=2,OA=BE=\,AB=5,06=4,

：.OE=4-\=3,

•.•点O在第四象限，

②AABD是直角三角形，

在RtAAEZ)中，

AD2=AE2+DE2=(l+3)2+22=20,

在RtAfiOE中

BD1=BE1+=F+2?=5，

AB2=52,

AD2+BD2^AB2>

AABD是直角三角形;

(3)存在

VAD2^20,:•AD=2小,

■:Bb1=5,:.BD=5

3

作出抛物线的对称轴尤=大

2

•••M是AB的中点,A(-l,0),3(4,0),

3

—,0),

工点M在对称轴上.

•••点P在对称轴上,

3

...设P

当俨八八4£)3时,

则