考点巩固卷11 解三角形（九大考点）（解析版）

考点巩固卷11解三角形（九大考点）考点01 解三角形1．（2023·重庆·高二统考学业考试）在中，若，则（）A． B． C．【答案】A【分析】根据余弦定理求得，再根据正弦定理即可求解.【详解】由题意可得，，由余弦定理可得，即，又，可得，利用正弦定理可知,所以.故选：A.2．在中，分别是角所对的边.若，的面积为，则的值为______【答案】【分析】先根据三角形的面积公式求出边，再利用余弦定理即可得解.【详解】由，的面积为，得，所以，则，所以.故答案为：.3．在中，，，，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解作答.【详解】在中，，，，由余弦定理得，即，整理得，所以.故选：B4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______．【答案】/【分析】根据同角三角函数的平方关系由得出，再由得出，最后根据正弦定理即可求出．【详解】因为，所以，则，由正弦定理可得，则，故答案为：．5．在中，已知，，，则角的度数为（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】根据正弦定理计算得的值，然后根据边，从而得角的范围，结合特殊角三角函数值可得答案.【详解】由题知，，，在中，由正弦定理可得：，即，所以，因为，所以，所以或.故选：C．6．在中，内角所对的边分别为.若，则______.【答案】/【分析】利用大边对大角结合正弦定理可求得，再利用同角三角函数基本关系直接求解即可.【详解】在中，由正弦定理可得，解得，又，所以，所以为锐角，所以.故答案为：考点02 判断三角形解的个数7．根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数.(1)，，；(2)，，；(3)，，；(4)，，；(5)，，.【答案】(1)一解(2)一解(3)一解(4)两解(5)无解【分析】根据三角形中的边和角，结合三角形中大边对大角的关系以及利用正弦定理求出角的正弦值，即可判断三角形解的情况.【详解】（1）因为，，，则由正弦定理可得，又，则，即B只能是锐角，则只有一解，故有一解；（2）因为，，，则由正弦定理可得，又，则，即B只能是锐角，则只有一解，故有一解；（3）因为，，，则由正弦定理可得，由于，故，故有一解；（4）因为，，，则由正弦定理可得，因为，故，而，则或，故有两解；（5），，，则由正弦定理可得，故无解.8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知条件根据正弦定理用表示出，然后由和正弦函数的性质求出的范围，从而可求出x的取值范围【详解】在中，，，，由正弦定理得，得，解得，因为满足条件的三角形有两个，所以，所以，即，解得，即x的取值范围为，故选：B9．已知分别为三个内角的对边，若，则满足此条件的三角形个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】B【分析】根据条件，利用正弦定理求出，，从而得出结果.【详解】因为，由正弦定理，得到，所以，又因为，故，.故选：B.10．中，，时，则下列叙述错误的是（

）A．的外接圆的直径为4B．若，则满足条件的有且只有1个C．若满足条件的有且只有个，则D．若满足条件的有两个，则【答案】C【分析】利用正弦定理逐项判断.【详解】A.因为，所以的外接圆的直径为4，故正确；B.因为，所以，则，所以满足条件的有且只有1个，故正确；C.因为，当时，AB=AC=2，为等腰三角形，当时，AC=4，为直角三角形，此时满足条件的有且只有个，故错误；D.若满足条件的有两个，则，即，故正确；故选：C11．（多选）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是（

）A．，，； B．，，；C．，，； D．，，.【答案】AD【分析】由正弦定理解三角形后可得结论.【详解】对于A，由正弦定理得：，，，即，，则三角形有唯一解，A正确；对于B，由正弦定理得：，，，即，或，则三角形有两解，B错误；对于C，由正弦定理得：，无解，C错误；对于D，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，D正确.故选：AD考点03 三角形面积及其应用12．在中，．(1)如果，且，求的值；(2)如果锐角的面积为，求的长度．【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量的数量积的运算公式，求得，再由正弦定理得到，结合，即可求得的大小；（2）利用的面积公式求得，得到，结合余弦定理，即可求解.【详解】（1）解：因为，且，可得，解得，又因为，由正弦定理得，可得，又由，可得，所以为锐角，所以.（2）解：因为，所以的面积为，解得，又因为为锐角三角形，所以，由余弦定理得.13．ABC中，，，ABC的面积为，则=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角形的面积求出，利用余弦定理求出，然后求出的值．【详解】因为，所以，所以，由余弦定理可知：，所以，，所以．故选：．14．在中，.(1)求A；(2)若点D在BC边上，，，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理即可求出A；（2）判断出D在BC中点，结合向量，利用向量的模长公式得到一个关于边长的方程，再结合余弦定理的方程，即可求出，从而求出面积.【详解】（1）由正弦定理得：，，结合余弦定理得：，且在三角形中，，.（2）

,所以,D是BC的中点，，即，，且,两式相减得：,所以，.15．在中，，则边上的高等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据余弦定理求，再得，利用的面积公式即可求边上的高.【详解】在中，因为，由余弦定理得因为，所以设边上的高为，则，

所以，即边上的高等于.故选：B.16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积为，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，再根据可得，然后利用余弦定理，可得，即可解出．【详解】因为,因为的面积为，，所以，即有.又，所以，即，所以.故选：C.17．在中，，，.

(1)求；(2)设为边上一点，且，求的面积.【答案】(1);(2).【分析】（1）根据余弦定理列方程即可求解；（2）根据正弦定理求出，由同角三角函数的基本关系求出，在中求出，根据及三角形面积公式即可求解.【详解】（1）由余弦定理可得,化简可得,解得或（舍）.（2）因为，所以,在中，由正弦定理可得,即,解得.易知为锐角，所以,，因为，所以在中，.根据三角形面积公式可得,,所以.考点04 判断三角形的形状18．在中，角对边为，且，则的形状为（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】先根据二倍角公式化简，根据余弦定理化简得到即可得到答案.【详解】因为，所以，即，所以，在中，由余弦定理：，代入得，，即，所以.所以直角三角形.故选：B19．（多选）中，角，，所对的边分别为，，，则如下命题中，正确的是（

）A．若，则B．若，则是等腰三角形C．若为锐角三角形，则D．若是直角三角形，则【答案】ACD【分析】由大角对大边及正弦定理判断A，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断B，利用诱导公式及不等式的性质判断C，利用反证法证明D.【详解】对于A：若，则，结合正弦定理得，故A正确；对于B：若，由正弦定理可得，所以，故或，即或，故三角形是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C：若三角形为锐角三角形，则，故，同理可得，，三式相加得，故C正确；对于D：若是直角三角形，不妨设为直角，则，由正弦定理可得，所以，所以，又，所以，则，同理可证或为直角时也成立，故D正确．故选：ACD．20．（多选）的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则是钝角三角形C．若，则符合条件的有两个D．若，则为等腰三角形【答案】AB【分析】利用正弦定理､余弦定理对各个选项逐一分析，由此确定正确选项即可.【详解】选项，在三角形中大角对大边，所以，由正弦定理得，所以选项正确；选项，由正弦定理得，所以，又，则C为钝角，所以B选项正确；选项，由正弦定理可得，又，则，故此三角形有唯一解，错误；D选项，因为，所以，所以，即，又，且，所以或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故错误.故选：21．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则一定是（

）A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形【答案】C【分析】由正弦定理边角互化，化简可得角的关系，进而判断三角形形状即可.【详解】由正弦定理得，因为，所以，因为，所以或，又，所以，所以为直角三角形．故选：C.22．若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】由给定边的关系式结合余弦定理求出角A，再由正弦定理角化边，结合边的关系式可得c=b即可推理作答.【详解】由，得，化简得，所以由余弦定理得，因为，所以，因为，所以由正余弦定理角化边得，化简得，所以，所以为等边三角形，故选：B23．（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列判断正确的是（

）A．若，则为钝角三角形B．若，则为等腰三角形C．若的三条高分别为，，，则为钝角三角形D．若，则为直角三角形【答案】ACD【分析】对于A，由，从而得到，进而得到，即可判断；对于B，由可得或，从而可判断；对于C，设的面积为，根据面积公式可得，从而可得，即可判断；对于D，利用正弦定理边化角可得，再结合基本不等式可得，即可判断.【详解】对于A，因为，所以，所以，又因为，所以，所以只有一个小于0，所以是钝角三角形，选项A正确；对于B，若，则或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，选项B错误；对于C，设的面积为，由面积公式知，解得，所以为最大角，所以所以为钝角，为钝角三角形，选项C正确；对于D，由，得，而，当且仅当时等号成立，所以，解得，即，所以为直角三角形，选项D正确.故选：ACD.考点05 求外接圆半径24．如图，圆的内接四边形的顶点关于的对称点恰为的内心，.则圆的半径为_______.【答案】【分析】先设，然后得出，再由是的内心，从而可得出，由与关于对称，得，求出，再利用正弦定理求解即可.【详解】连接，设，则，因为是的内心，所以分别平分，所以，，所以，又因为与关于对称，所以，又因为四边形是圆内接四边形，所以，即，解得，即，显然圆是的外接圆，所以由正弦定理，得，即.故答案为：.25．在中，内角的对边分别为，且满足，若，则外接圆的半径长为（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】由余弦定理结合题意可得出，再由正弦定理即可求出外接圆的半径长.【详解】由可得，再由余弦定理可得：，故，因为，所以则.故选：B.26．锐角的外接圆圆心为О，半径为2，，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】现根据正弦定理求得，进而结合外心的性质求解即可.【详解】由正弦定理得，，设中点为，连接，，，因为点为锐角的外接圆圆心，所以，即，所以.故选：C.

27．在中，角的对边分别为，已知，则的外接圆面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理及正弦定理求得结果.【详解】已知，由余弦定理可得，由正弦定理可得，即.则的外接圆面积.故选：A.28．在锐角中，，，若在上的投影长等于的外接圆半径，则（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】由题知，，进而得，即，再结合正弦定理求解即可.【详解】∵是锐角三角形，在上的投影长等于的外接圆半径，，又，，，，两式相加得：，即，，即，又，，.故选：B.29．（多选）在中，角的对边分别为，为的外心，则（

）A．若有两个解，则B．的取值范围为C．的最大值为9D．若为平面上的定点，则A点的轨迹长度为【答案】ABD【分析】对于A，由正弦定理求解即可；对于B，由正弦定理及向量的数量积公式求解即可；对于C，法一：用投影向量求解；法二：转化到圆心求解；对于D，由正弦定理知A点在以为圆心半径为的优弧上运动，再求解即可.【详解】对于A，由正弦定理，得，有两解的情形为，且，则，故A正确；对于B，由正弦定理，得外接圆半径，由正弦定理知A点在以为圆心半径为的优弧上运动，，于是，故B正确；对于C，法一：用投影向量求解：当在上的投影向量的模最大，且与同向时，取得的最大值，此时，设为的中点，则，在上的投影向量的模为，最大值为，故C错误；

法二：转化到圆心：，故C错误；对于D，如下图，由正弦定理知A点在以为圆心半径为的优弧上运动，由两段优弧拼接成，每段优弧所对圆心角为，所以A点的轨迹长度为，故D正确．

故选：ABD.考点06 边角互化30．的内角，，所对的边分别为，，，满足，且，；则的面积为_________.【答案】【分析】利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，利用三角形的面积公式求得正确答案.【详解】依题意，，，由正弦定理得：，整理得，所以，所以为锐角且，同时，解得，所以，所以.故答案为：31．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知条件结合正余弦定理可得，再利用三角函数恒等变换公式可得结果.【详解】由，得，所以，即，所以，即，所以．即．故选：C32．在锐角三角形分别为内角所对的边长，，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】对已知等式利用余弦定理统一成边的形式，化简可得，然后同角三角函数的关系和正余弦定理化简可得结果.【详解】因为，所以由余弦定理可得，即，所以故选：B33．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)若，，求边c的长；(2)若，求角B的大小．【答案】(1)5(2)．【分析】（1）利用余弦定理角化边，然后带入已知可得；（2）利用正弦定理边化角，然后结合已知和诱导公式求解可得.【详解】（1）由及余弦定理，得，∴．代入，，得，解得．（2）由及正弦定理，得，∵，∴，即，解得或，又，所以，所以．34．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．(1)求角C的大小；(2)若，且的面积为，求边长c．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用三角恒等变换求解；（2）由的面积为，得到，再结合，求得a，b，然后利用余弦定理求解.【详解】（1）解：由正弦定理得：，∴，∵，∴，∴，则．（2）∵的面积为，则，∴根据题意得，则或，若，则为等边三角形，；若，则，即

∴或．35．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．(1)求的值；(2)若的面积为，且，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理边化角以及两角和的正弦公式可得结果；（2）根据三角形面积公式求出，再根据余弦定理可求出结果.【详解】（1）由及正弦定理得，得，得，因为，所以，所以.（2）由（1）知，，又，所以，因为的面积为，所以，得，由余弦定理得，所以.考点07 正余弦定理在几何中的应用36．在四边形ABCD中，，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题．(1)求BD的长；(2)求四边形ABCD的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)选①，；选②，(2)选①，；选②，【分析】（1）选①，利用余弦定理得到；选②，利用互补得到，结合余弦定理列出方程，求出答案；（2）选①，在（1）的基础上，得到⊥，结合三角形面积公式求出和的面积，相加即可；选②，在（1）的基础上求出和，利用三角形面积公式求出和的面积，相加得到答案.【详解】（1）选①，由余弦定理得，解得，选②，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因为，所以，即，解得.（2）选①，，，故，在中，，所以⊥，故，所以四边形ABCD的面积为；选②，，故，故，因为，所以，故，，故四边形ABCD的面积为.37．如图所示，在中，已知，，D，E，F分别在边AC，BC，AB上，且为等边三角形．若，则的面积为______．

【答案】【分析】设，的边长为a，易得，利用平角与三角形内角和可证明，再用正弦定理即可求得，从而得出面积.【详解】设，的边长为a，则．因为，所以在中，可得，根据正弦定理，，即，解得，所以的面积为．故答案为：.【点睛】方法点睛：引入变量时，要注意运用方程思想，几个未知数就需要列几个方程.38．如图，在平面四边形中，，，.(1)求的大小；(2)求边的长度.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角形的内角和定理及正弦定理，结合三角函数的特殊值对应的特殊角注意角的范围即可求解；（2）根据（1）的结论及余弦定理即可求解.【详解】（1）因为，所以，即.因为，所以，在中，由正弦定理得,即,所以或.因为，所以，所以.（2）由（1）知，，所以,在中，,由余弦定理得,即,所以.39．如图，在平面四边形ABCD中，，，，CD=4，AB=2，则AC=___________.【答案】【分析】在中，由正弦定理可得,在中，由正弦定理可，因为，可求出，再由余弦定理可求出的值.【详解】在中，由正弦定理可得：，所以①，在中，由正弦定理可得：，所以②，又因为，所以由①②可得：，解得：，所以在中，由余弦定理得：，解得：.故答案为:.40．今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现、早隔离．现某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的圆的内接四边形区域，沿着四边形边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区．其中，，，（单位：米），则__；四边形的面积为__（平方米）．

【答案】/．【分析】空1：连接，由题意可得，利用诱导公式，余弦定理可得，解得的值，进而可求和；空2：再根据三角形的面积公式即可求解四边形的面积．【详解】空1：如图，连接，由题意可得，可得，由余弦定理可得，即，解得：，所以，且，所以.所以，空2：所以四边形的面积（平方米）．

故答案为：；．41．已知四边形是由与拼接而成，如图所示，，.

(1)求证：；(2)若，，求的长.【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）求出的范围，利用正弦定理即可证明结论；（2）写出与的关系，进而求出的正弦值和余弦值，求出的长，利用余弦定理即可求出的长.【详解】（1）由题意证明如下，在中，，∴.∵，∴.在中，由正弦定理得，，即，，∴，∴.（2）由题意及（1）得设，，，，，，，则在中，由正弦定理得，，即，可得，①在中，由正弦定理得，，可得，可得，②联立①②，可得，可得，可得，.在中，由正弦定理得，，可得.在中，由余弦定理得，，可得，可得，解得或（舍），∴的长为.考点08 正余弦定理的实际应用42．海面上有相距的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C岛和A岛成的视角，则B，C间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用正弦定理求解即可.【详解】由题意得，，则，所以，所以，即B，C间的距离为.故选：D.43．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里C处的乙船．

(1)求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；(2)设乙船沿直线方向前往B处救援，其方向与成角，求的值域．【答案】(1)（海里）；(2)的值域为．【分析】（1）连接，直接由余弦定理，代入数据可求得答案；（2）先根据正弦定理求得，再求出，再利用和角公式和辅助角公式化简，最后结合正弦函数的性质求得值域.【详解】（1）如图，连接，由余弦定理得.所以，即所求距离为.（2）因为，所以.因为是锐角，所以.所以，其中，所以的值域为.44．位于四川省乐山市的乐山大佛，又名“凌云大佛”，是世界文化与自然双重遗产之一．如图，已知PH为佛像全身高度，PQ为佛身头部高度（PQ约为15米）．某人为测量乐山大佛的高度，选取了与佛像底部在同一水平面上的两个测量基点A，B，测得米，米，，在点A处测得点Q的仰角为48.24°，则佛像全身高度约为（

）（参考数据：取，，）

A．56米 B．69米 C．71米 D．73米【答案】C【分析】由余弦定理可得，再由，可求得，从而可得结论.【详解】由余弦定理可得．依题意得，则，所以，则，故佛像全身高度约为71米．故选：C.45．洛阳九龙鼎位于河南省洛阳市老城区中州东路与金业路交叉口，是一个九龙鼎花岗岩雕塑，代表东周､东汉､魏､西晋､北魏､隋､唐､后梁､后唐9个朝代在这里建都，是洛阳的一座标志性建筑，九条龙盘旋的大石柱的顶端，端放着一座按1：1比例仿制的中国青铜时代的象征——西周兽面纹方鼎，汉白玉护栏两侧分别镶嵌着两幅《太极河图》.如图，为了测量九龙鼎的高度，选取了与该鼎底在同一平面内的两个测量基点与，现测得，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，则九龙鼎的高度（

）（参考数据：取）

A． B． C． D．【答案】B【分析】设，，，在中，由余弦定理求解即可.【详解】设，由题意可得，由题意知：，在中，由余弦定理可得，得：，得：.故选：B.46．滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，小明同学为测量膝王阁的高度，在膝王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，滕王阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得滕王阁顶部C的仰角为30°，由此估算滕王阁的高度为__________.（精确到）.

【答案】57【分析】解直角，求得，继而解，由正弦定理求出，最后解直角，即得答案.【详解】在中，，（）在中，，，故，即，所以（米），故答案为：5747．如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个基点和进行测量，现测得米，，在点和测得塔顶的仰角分别为，则塔高______米．

【答案】【分析】设米，进而可得BC，BD，然后利用余弦定理求解.【详解】设米，在中，，在中，，在中，，即，所以，解得（米）.故答案为：28.考点09 最值问题48．在锐角中，角，，所对的边为，，，已知.(1)求角；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由给定的等式，结合余弦定理求出角作答.（2）根据（1）的结论，结合正弦定理边化角，再利用三角变换及三角函数的性质求解作答．【详解】（1）在中，由，得，由余弦定理得，又，解得，所以.（2）在锐角中，由（1）知，，则，解得，由正弦定理得，，即，，因此，而，有，于是，所以的取值范围是．49．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，其中，．(1)求角B的大小；(2)若，求△ABC面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）方法一：利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理及两角和的正弦公式即可得解；方法二：利用余弦定理化角为边，即可得解；（2）利用余弦定理结合已知及基本不等式求出的最大值，再根据三角形的面积公式即可得解.【详解】（1）方法一：由，根据正弦定理边化角得：，即，所以，因为，所以，又，所以，又，所以；方法二：由，根据余弦定