2022-2023学年天津市河东区高一（上）期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年天津市河东区高一（上）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.CoSI20。的值为（）

ATB∙∣C∙TD--T

2.已知扇形的面积为9,半径为3,则扇形的圆心角（正角）的弧度数为（）

A.1B.IC.2D.y

3.若角α的终边过点P（-2,l）,则CoSa的值为（）

A.-∣√5B.咨C.一整D,烂

ɔ555

4.函数y=嘉的图象大致为（）

o4

5.设α=O.5∙,b=log050.3,C=log80.4,则α,b,C的大小关系是（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a

6.为了得到函数y=sin（2x—》的图象，只需把函数y=sin2x的图象（）

A.向左平移5个单位长度B.向右平移/个单位长度

C.向左平移"b单位长度D.向右平移*个单位长度

7.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和

小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据忆满足L=5+3匕已知

某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为「狗。1.259）（）

A.0.8B.1C.1.3D.1.5

8.函数/（%）=1—（X-Tr）S讥X在区间［—表与］上的所有零点之和为（）

A.0B.27rC.4ττD.6π

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

9.log2sin÷log2cos的值为.

10.COS66°cos84°—sin66°s讥84°的值是.

11.函数y=/(%)是定义在R上周期为2的奇函数，若/(一0.5)=—1,则/(2.5)=.

12.已知tan(τr+α)=2,α是第三象限角，则S乎+㈤+产…)______.(请用数字作答)

COS(24+°)-2cos(ττ+0)

短二;i≥2'则"⑴)=——•

14.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到

使用.明朝科学家徐光启在旅政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的

情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.

图1图2

如图2,将筒车抽象为一个几何图形(圆)，以筒车转轮的中心。为原点，过点。的水平直线为X

轴建立如图直角坐标系XOy.已知一个半径为1.6m的筒车按逆时针方向每30s匀速旋转一周，0

到水面的距离为0.8τn∙规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现(P.时的位置)时开始计算时间，且

设盛水筒”从点Po运动到点P时所经过的时间为t(单位：s),且此时点P距离水面的高度为d(单

位：m)(在水面下则d为负数)，则d关于t的函数关系式为,在水轮转动的任意一圈内，

点P距水面的高度不低于1.6Tn的时长为s.

三、解答题(本大题共5小题，共44.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15.(本小题8.0分)

求值：

(I)j6∣-(sinl)°-(3∣)∣+(⅛)-i;

io2

(∏)log3y∕27+lgl25+IgS+7^∙

16.(本小题8.0分)

已知Sina=ɔa∈(y,π).

5乙

(I)求CoSα,tαnα的值；

(2)求sin(2α+令的值.

17.(本小题8.0分)

已知函数/^(x)=√3x-l+lg(4-x).

(1)求/(3)的值；

(2)求f(x)的定义域.

18.(本小题10.0分)

已知函数/(x)=sin(2x++sin(2x-”+cos2x-1.

(1)求f(x)的最小正期;

(2)当xe[0币时,求/(x)的单调区间；

(3)在(2)的件下，求/(乃的最小值，以及取得最小值时相应自变量X的取值范围.

19.(本小题10.0分)

2

已知函数/(%)=-炉+2ex+t-1,,g(χ)=X+γ(χ>0)，其中e表示自然对数的底数.

(I)若函数∕ι(χ)=g(χ)-Jn有零点，求实数Tn的取值范围；

(2)试确定t的取值范围，使得g(%)-f(x)=O有两个相异实根.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：cosl20°=—cos60o=—ɪ.

故选：A.

直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求值即可.

本题考查诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值，考查计算能力.

2.【答案】C

【解析】解：设半径为r,圆心角为α,面积S=>2α,则α=∣f=竽=2.

故选；C.

由己知利用扇形的面积公式即可求解.

本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查了计算能力，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了任意角的三角函数的定义，是基础的概念题.

由P点的坐标求出P到原点的距离，然后直接由余弦函数的定义得答案.

【解答】

解：∙.∙角α的终边过点P(-2,l),

∖0P∖=√(-2)2+I2=√5.

由三角函数的定义得：cosα=?=亲=一等.

故选：A.

4.【答案】A

【解析】解：函数y=券是奇函数，排除CD,

x>0时，y>0,排除B；

故选：A.

利用函数的奇偶性排除选项，然后利用函数的值的情况，判断即可.

本题考查函数图象的判断，是基础题.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

利用有理指数幕的运算性质与对数的运算性质求出a,b,C与O和1的大小得答案.

本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题.

【解答】

解：∙.∙O<α=O.5o∙4<O.5o=1,

b=log0,s0.3>log0,50.5=1,

c=log80.4<Iog8I=0,

.∙.c<a<b.

故选：C.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用函数的图象的平移变换的应用求出结果.

本题考查的知识要点：三角函数图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能

力，属于基础题.

【解答】

解：为了得到函数y=sin(2%—今=sin[2(XY)]的图象，

只需把函数y=S讥2x的图象向右平移3个单位即可，

故选：D.

7.【答案】A

【解析】解：•••某同学视力的五分记录法的数据为4.9,L=5+IgV,

4.9=5+IgV,即∕gV=-0.1,

.∙.V=IO_01=ʌ:≈0.8.

1VTo

故选：A.

将L=4.9代入L=5+IgV,即可求解.

本题主要考查函数的实际应用，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：令/(x)=0,则SinX==

由图象可知，y=Sinx与y=±在区间［-:竽上共有四个交点，且关于点(XO)对称，每对的横

坐标之和为2兀，

・•・函数/㈤在区间［一:,净上的所有零点之和为2×2ττ=4ττ.

故选：C.

易知y=s讥%关于点(兀,0)对称，y={4也关于点(兀,0)对称，作出y=sinx与y=《*的图象，观

察在区间［-券与上的交点个数，根据对称性即可得解.

本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题.

9.【答案】—2

【解析】解:原式=Iog2Sincos=Iog2sin=Iog2=-2,

故答案为：-2.

根据对数运算和二倍角公式进行求解即可.

本题考查了对数运算和二倍角公式的运用，属于基础题.

10.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了两角和与差的余弦公式，属于基础题.

利用两角和与差的余弦公式即可求解.

【解答】

解：cos66°cos84°—sm660sin840

=cos(66o+84°)

=CoSI50°

√3

=

故答案为—冬

11.【答案】1

【解析】解：函数y=/(X)是定义在R上周期为2的奇函数，若/(一0.5)=-1,

则/(2.5)=/(2+0.5)=/(0.5)=-/(-0.5)=1,

故答案为：1.

由奇函数和周期函数的定义可得所求值.

本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题.

12.【答案】I

【解析】解：由tan(τr+α)=2,得tana=2,所以COSaH0,

sin(^+α)+sin(τr-α)_cosa+sina_1+tana_3

cos(∣π+α)-2cos(π+α)-sina+2cosa-tanα+2-4,

故答案为：ɪ.

化简所求表达式为正切函数的形式，求解即可.

本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，基本知识的考查.

13.【答案】Iog3^

【解析】解：根据题意，函数fQ)=%广:

UOg3%'-l,x≥2

则/⑴=2e°=2,

W(∕(l))=∕(2)=log34-l=log3^

故答案为：lθg3^∙

根据题意，由函数的解析式计算可得答案.

本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题.

14.【答案】d=1.6s讥(各一包+0.8；10

【解析】解：由题意可知，点Po到X轴距离为0∙8τn,而IoPOl=I.6m,

则4。PO=*

从点PO经ts运动到点P所转过的角为靠=ɪt,

以。X为始边，OP为终边的角为一％

点P的纵坐标为l∙6sin(^tY),

则点P距离水面的高度为d=1.6sin(⅛t-≡)+0.8t(t≥0),

lɔo

•・,d≥1.6,

:∙sin(-ɪt--)≥而t≥0,Bp2fcτr+?<三t-g≤2fcτr+等,kWN,解得30/c+5≤t≤30fc+15,

lɔoZ6lɔ66

k€N,

对于k的每个取值30k+15-(30fc+5)=10,

.∙∙的关于t的函数解析式为d=1.6sin(⅛t-≡)+0.8t(t≥0),在水轮转动的任意一圈内，点P距水

面的高度不低于l∙6τn的时长为10s.

故答案为：d=1.6sin⅛t-^)+0.8t(t>0);10.

根据给定信息，求出以OX为始边，OP为终边的角，求出点P的纵坐标即可列出函数关系，再解不

等式，即可作答.

本题主要考查函数的实际应用，考查计算能力，属于中档题.

15.【答案】解：(I)原式=(到一1一给4+(2-6N=AI-I+24=16；

3i

(∏)原式=Iog335+IgS+Igi+2=∣+3(⅛r5+IgZ)+2=∣+3+2=y-

【解析】直接利用指数和对数的运算的应用求出结果.

本题主要考查了指数和对数的运算性质，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

16.【答案】解：(l)∙∙∙si九Q=看，α∈(],7r),

r∖-------r-ɔ-3ASina4

∙*∙COSCC=-V1—SlΠz(Z=——,tCLTTCC=------=——.

5cosa3

(2)由(1)可得,sin2a=2sinacosa——cos2a=1—2sinza=1—=—ɪ*

.∕Q,7T、.πɔ.π24、，√Σ7一√231√2

:∙siπ(2(z+丁)=siTiπ2,cccos—+1cos2ccsm—=——×~—ɪɪ×—=

'4'4425225250

【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和与差的正弦公式，属于基

础题.

(1)由题意，利用同角三角函数的基本关系，计算求得结果.

(2)由题意，利用二倍角公式，两角和与差的正弦公式，计算求得结果.

17.【答案】解：(I)•；f(x)=√3*-1+lg(4—V)，

ʌ/(3)=√33-l+Igl=2√7;

(2)要使原函数有意义，则解得0≤x<4.

原函数的定义域为[0,4).

【解析】(1)直接取X=3可得/(3)的值；

(2)由根式内部的代数式大于等于0,对数式的真数大于0,联立不等式组求解.

本题考查函数值的求法及其函数定义域的求法，考查运算求解能力，是基础题.

18.【答案】解：/(x)=sin(2x+ξ)+sin(2x-ξ)+cos2x-1

√31√31

=-ɪsin2x+—cos2x+ɪsi∏2x—,cos2x+cos2x—1

=V3sin2x+cos2x—1

=2sin(2x+^)—1,

即fQO=2sin(2x+^)-l,

(1)所以/(X)的最小正期为T=y=71;

(2)当xe[0用时，2x+^∈[≡∣ττ]∈[≡∣π],

当2x+*=g时，即％=5，

oZO

所以函数的单调递增为[0,勺时，单调递减区间为(3勺；

□O4∙

(3)由(2)可得函数的单调递增为[0*]时，单调递减区间为(?g；

所以最小值为/(O)和/©)中较小的一个，

而/(0)=2sin≡-1=0,fζ)=2sinζπ+∣)-1=√3-1>0,

所以/(x)的最小值为0，此时X的相应值为0.

【解析】本题考查三角函数的恒等变换及函数的性质的应用，属于基础题.

(1)由三角函数的恒等变换可得函数的解析式，进而可得函数的最小正周期；

(2)由X的范围，可得2x+?的范围，求出函数取到最大值时X的值，进而可得函数的单调区间；

(3)由(2)的单调区