2023届高考数学复习系列模拟试卷及解析（新高考1卷）

《2023届新高考数学复习系列模拟试卷》（新高考工卷）

数学试卷

第I卷选择题部分（共60分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.（2022映西•高三阶段练习（文））已知集合人={那一兀>1},8={0,1,2,3,4},则AcB=

（）

A.{3,4}B.{2,3,4}C.{0,1}D.{0,1,2}

【答案】C

【分析】根据集合的运算可求解.

【详解】解：由题意得：

A={x\x<2},B={0,1,2,3,4）

则Ac8={0,1}.

故选：C

2.（2022.河北.高三阶段练习）已知复数z满足z+iz=i,复数5复数z的共辗复数，则复数

）的虚部为（）

A.-B.—C.-iD.-|i

2222

【答案】B

【分析】利用复数的运算及基本概念求解即可.

/、ii（l-i）11

【详解】解：根据题意，z+iz=ic»（l+i）z=i^z=—==

l+i+-1）22

所以2=;-;，•，复数彳的虚部为

故选：B.

3.（2022•江西•高三阶段练习（文））已知在矩形AB8中，AE=；AB,线段AC,BO交于

点。，则EO=（）

1111

A.-AB+-ADB.-AB+-ADC.-AB+-ADD.-AB+-AD

26633662

【答案】D

【分析】结合向量的运算性质，从EO出发进行计算，进行合理的“插点”，使其能被AB,A。

表示即可.

【详解】依题意得，结合图形有：

G10111

EO=EB+BO=-AB+-BD=-AB+-(AD-AB\=-AB+-BD.

3232、>62

故选：D

4.（2022.湖北.黄冈中学高三阶段练习）图1是一个不倒翁模型，它是一种古老的中国儿童

玩具，最早记载出现于唐代，一经触动就摇摆然后恢复直立状态.如图2,将图1的模型抽象

成一个正圆锥和半球的组合体.己知半球的密度是圆锥的2倍，已知要让半球质量不小于圆

锥质量，才能使它在一定角度范围内“不倒”，则圆锥的高和底面半径之比至多为（）

图1图2

A.B.1C.2D.4

【答案】D

【分析】由圆锥和球的体积公式列不等式求解

【详解】设圆锥的底面半径为R，高为人由题意得2。4球*。唳锥，

71h

B|J2x-7t/?3>-7t/?2/7,

33R

故选：D

5.（2023・全国•高三专题练习）奥林匹克标志由5个奥林匹克环套接组成，五环象征五大洲

的团结以及全世界的运动员以公正、坦率的比赛和友好的精神在奥林匹克运动会上相见.如

图，5个奥林匹克环共有8个交点，从中任取3个点，则这3个点恰好位于同1个奥林匹克

【答案】A

【分析】由组合法计算出从8个点中任取3个点的取法，这3个点恰好位于同1个奥林匹克

环上有3种可能，再由组合知识计算，然后由概率公式计算概率.

【详解】从8个点中任取3个点，共有C；=56种情况，这3个点恰好位于同1个奥林匹克

环上有3xC：=12种情况，故所求的概率2=2=白.

5614

故选：A.

TT

6.(2022.河北.高三阶段练习)已知函数/(x)=Asin3x+*)(A>O,0>O,3<5)的大致图像如图

TTSTT

所示，将函数/(力的图像向右平移!■后得到函数g(x)的图像，则g(H)=()

【答案】A

【分析】根据图象先求得A和。，得到/。)=缶皿”+?)，再将(卷,-&)代入求得,

再利用平移变换得到g(x)即可.

【详解】解：依题意，A=近,(=卷一5=('故7=万，

故3=—=2,故/(x)=\/2sin(2r+^),

71

将(卷,-伪代入可知，爰?詈/2苧k兀)keZ,

解得0=。+2左4伏eZ),故户任in(2x+(),

故gM=f(%一])=V2sin(2x-,

则^(—)=V2sin—=^-.

1262

故选：A.

ca

7.(2022•山东•安丘市普通教育教学研究室高三阶段练习)已知〃，b,c£(e,zo),a>c,

c\nb<b\nc9则()

A.e"Inb>eb+clna>ea+bIncB.eu+,,lnc>ea+flnh>eh+cIna

C.ea+c\nb>Inoeb+c\naD.e^c\na>ea+h]nc>ea+cInb

【答案】D

【分析】由题意变形得则,巫〉半，构造函数/(力=皿证得a<c<b,观察选项，通

acbx

过变形可知比较的是掾，竽，竽的大小，故构造函数g(x)=竽证得其单调递减，由此得

到所比大小排序.

【详解】因为。，b,ce(e,+00),

所以由a<>c"两边取自然对数得In优>Inc"，即clna>alnc,故皿〉巫,

ac

二..,一,口InZ?Inc\naIncInb

再由clnb<b\nc<,故--->---,

bcacb

令f(x)="(x>e),则-(x)=±F<0,故f(x)在(e,+0O)上单调递减,

乂由上式可知/(a)>,f(c)>/(b),故a<c<b,

由四个选项的不等式同时除以e"+“',可知，比较的是当，半，丝的大小，

eee

1XXI11

i—e-e\nx——Inx.

故令g(x)=F(x>e)则llh短⑺==x—=匕组t，

5I'exxe，

再令〃(x)=l-xlnx(x>e),则/z,(x)=-(lnx+l)<-(lne+l)=-2<0,

故//(x)在(e,+co)匕单调递减，

所以〃(可</?(6)=1-61116=1-6<0,故g'(x)<o,

所以g(x)在(e,+8)上单调递减，

又因为所以g(a)>g(c)>g®,即当>半>华,

eee

上述不等式两边同时乘以ea+h+c得，e»"Ina>e,,+ftlnc>e"*°In>

故选：D.

8.（2022・重庆•高三阶段练习）已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面、底面均相切）的体积为

亨，则该圆锥的表面积的最小值为（）

A.32万B.28乃C.24乃D.20乃

【答案】A

【分析】先求得内切球半径r=2,再画图设底面半径为R，利用三角函数值代换表达出表

面积的公式S=3^,再设f=R?-4>0,根据基本不等式求最小值即可

R-4

【详解】设圆锥的内切球半径为「，则当，解得r=2,设圆锥顶点为A,底面圆

33

周上一点为8,底面圆心为C,内切球球心为£）,内切球切母线AB于E,底面半径

R

BC=R>2,4BDC=O,则tan6»=-,又ZADE="一26>,故

2

“2tan（9R4R

AB^BE+AE^R+2tan（7r-20）=R-2tan20,乂-l-tan?。-R2~4-R2.故

1----

4

8/?7T1<-[K

AB=R-=-^—/,故该圆锥的表面积为s=

4-R2R2-4R2-

t=R2-4>0,则S=2-（：+4）=2=，+/+8）22乃（C/~16

Vx7

即/=4,R=2五时取等号.

故选：A.

、-------------------

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个

选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得

0分.

9.（2022・湖南•长沙一中高三阶段练习）在正方体中，下列几种说法正确的

有（）

A.AB,AC为异面直线B.DBt1AD}

c.0a与平面。84A所成的角为45°D.二面角与-AC-8的正切值为正

【答案】ABD

【分析】A.用反证法判断；B.易证4。，平面A4C。判断；C.易知AC，平面。8片A,

得到NGOQ为。G与平面088a所成的角求解判断；D.易知ACL平面。叫。，得到

NBQB是:面角耳-AC-8的平面角求解判断.

【详解】解：如图所示：

A.假设ABAC共面，则A,8，A，C共面，所以A4与BC共面，4A与8c异面矛盾，故假

设错误，则直线AB,AC为异面直线，故正确；

B.在正方体4BCO-ABCQ中，易知AQLAR，44J-DC,乂OC=。，所以AR_L

平面ABC。，又平面AA8.所以A"_LQB1,故正确；

C.易知AG-L平面DBBR,则ZC\D01为。£与平面DBBR所成的角，设正方体的棱长为

遮

I.则sinNC。。=阻=/-=,，所以NG"Q=30,故错误；

1'DC,422

D.易知AC_L平面,则AC，AC_L0B,所以NBQB是二面角4-AC-B的平

面角，其正切值为tanN4OB=g5=0,故正确，

C）D

故选：ABD

10.（2022•广东广州.高三阶段练习）已知函数"力=1-39+4,则（）

A./（x）的极小值为2

B./(x)有两个零点

C.点(1,2)是曲线y=〃x)的对称中心

D.直线y=-3x+5是曲线尸的切线

【答案】BCD

【分析】利用导数研究函数/(力=1-3/+4的单调性、极值点、极值以及零点判断A、B,

根据函数关于点对称的充要条件判断C,再根据导数的几何意义求函数的切线方程判断D.

【详解】/(X)=X3-3X2+4,.-./,(X)=3X2-6X,

令f'(x)=O,解得：x=0或x=2,

.”(YO,0)时,r(x)>0,/(x)单调递增；

x«0,2)时,r(x)<0,单调递减;

xe(2,~)时，r(力>0,单调递增；

・・・/(x)的极小值为："2)=23—3x22+4=0,

了(力的极大值为:/(0)=03-3X02+4=4,

，f(x)有两个零点，/(x)的极小值为4,故A错误、B正确；

对C,若点(L2)是曲线y=/(x)的对称中心，则有〃x)+〃2-x)=4,

将函数〃x)=d-3f+4代入上式验证得：

1-3/+4+[(2-x)3-3(2-4+可=4,故C正确；

对TD,k=3x2—6x——3tIWW：x=l,

当x=l时，/⑴=2,，切线方程为：y-2=-3(x-l),即y=-3x+5,故D正确.

故选：BCD.

11.(2022・湖南•长沙一中高三阶段练习)己知尸是抛物线C：V=4x的焦点，4,8是抛物

线C上的两点，0为坐标原点，则()

A.曲线C的准线方程为x=-2

B.若|AF|=4,则..AO尸的面积为石

C.若OALOB,贝1||。4|.|0臼232

D.若NAFB=60。，4B的中点M在C的准线上的投影为N,贝用

【答案】BCD

【分析】对于A,由抛物线的方程易知准线为x=-l,故A错误；

对于B,利用抛物线的定义求得|习=2石，进而可求，AO尸的面积，故B正确；

对于C,由。4_LO5及点在抛物线上得到与/=-％%=16,再利用两点距离公式及基本不

等式,即可证得|Q叫。却232,故C正确;

对于D,结合图像，利用余弦定理及基本不等式即可证得|MN|<|相|,故D正确.

【详解】因为抛物线C:丁=以，故0=2,焦点*1,0）,准线为x=—l,设4（5,％）,8（孙％），

则

对于A,易知准线为x=-l,故A错误；

对于B,如图1,由抛物线的定义可知lAFS+g即%+1=4,故占=3,

代入>2=41,解得|川=26,

所以力8=30列必|=9以26=&,故B正确：

对于C,由。4_1_03得。4.03=0，故即％々=一%%，

2

又乂2=4%，y2=4x2,故y/%2=4%'43=16%々=-16M当，

得MM=T6或y%=。（舍去），则玉％=7/2=16,

所以

（|OA|.3）2=|OA卜附2=（x,2+城）（V+寸）

=X,\2+犬必2+V^|2+y^223*2+2小再2必2々2城+城

=I62+2,/162X（-16）2+（-I6）2=4X162,

故|叫。同2">162=2x16=32,故C正确；

对于D,如图2,过A、8作准线的垂线，垂足分别为A、瓦，连接MN,则

|MN|=：（|伙|+|网）=；（|M+网）,

在尸中，ZAP,S=60°,

故

=|AF「+|BF|2-2\AF\-\BF\COSZAFB

=|AF|2+|BF|2-|AF|-|BF|=(|AF|+|BF|)2-3|AF|-|BF|

2

Z1..Mf|AF|+|5F|Y(|AF|+lBF|).,2

>(|AF|+|BF|)-3J_!—1_t=11__!_!_'J-=\MN\

、2J4

所以|阴21MN|,即|MN|4|A8],故D正确.

故选：BCD.

12.(2022.山东・滕州市第一中学新校高三阶段练习)已知函数〃x),g(x)的定义域为R,

g'(x)为g(x)的导函数，且〃x)+g'(x)=5,/(x)-^(4-x)=5,若g(x)为偶函数,则下

列结论一定正确的是()

A."4)=5B.g'(2)=0c./(-1)=/(一3)D./⑴+“3)=10

【答案】ABD

【分析】本题首先利用求导证明g'(x)为奇函数，再证明其还为周期为4的函数，再通过合

理赋值可一一核对各选项的对错.

【详解】因为g(x)为偶函数，则g(-x)=g(x),两边求导得-g'(T)=g'(x),所以g'(x)为奇函

数，

因为/(x)+g'(x)-5=0,

/(x)-g，(4-x)-5=0.

所以f(x)-5=-g，(x)=g<4-x),

故g'(-x)=g，(4-x),

所以g'(x)=g'(4+x),即gXx)的周期T=4且g'(0)=g'(4)=0.

在/(x)+g'(x)-5=0,f(x)—g，(4-x)-5=0中，

令x=4,可得f(4)+g<4)-5=0,

所以“4)=5,故A正确;

令x=2,可得g'(-2)=g'(2),而g'(x)为奇函数，则g'(-2)=-g'(2),

所以g'(2)=—g，(2),则g，(2)=0,故B正确；

令x=-l得f(-l)-g'(5)-5=0,

g'(5)=g'(l)=-g'(-l)J"

/(-D+g'(-D-5=0，无法求得f(-1),

同理令x=—3得〃-3)+g，(-3)—5=0,

g'(-3)=g，(l)=-g，(-l),

因此f(-3)-g，(-1)-5=0,

相加得/(-D+/(-3)=10，只有在g\-l)=0时，

有/(-I)=/(-3)，但g'(一l)不一定为0,因此C错误；

在/(x)+g<x)—5=0中，

令x=l得J⑴+g'⑴-5=0,

在/。)一8'(4—犬)一5=0中，

令x=3得,“3)-g'⑴-5=0,

两式相加得/(D+/(3)-10=0,即/⑴+/(3)=10,故D正确；

故选：ABD.

【点睛】抽象函数的周期性和奇偶性结合的问题难度较大，需要通过合理赋值才能得到相应

的结果.

第II卷非选择题部分(共90分)

三'填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(2022・湖南岳阳•高三阶段练习)已知t-£|(1-此"的展开式中含一项的系数为8,则

实数。=.

【答案】3

【分析】根据题意得到(l-x)4的展开式的通项公式，再由条件列出方程即可得到结果.

【详解】因为(l-x)4的展开式的通项公式为(-l)'Cjx',

则展开式中含一项的系数为C：=8

解得a=3

故答案为：3

14.(2022•江西•临川一中高三阶段练习(文))若直线/:x-6y+5=0被圆

22

C:x+y+2x-m=0截得线段的长为4,则实数m的值为.

【答案】7

【分析】把圆的一般方程化为圆的标准方程，利用点到直线的距离公式以及勾股定理进行求

解.

2

【详解】把圆C：f+y2+2x一m=0化为标准方程有：（x+i）+/=i+m,

可得1+7W>0,即〃7>-1,

所以圆心c（—1,0）,半径r=又直线/：X-Gy+5=O,

|—1—0+51

所以圆心C到直线的距离为“="+（一我2=2，

因为直线/：x-Gy+5=0被圆C：/+丫2+2犬-机=0截得线段的长为4,

根据勾股定理有：/+22=/，解得r=20，

所以r=J1+，〃=2&,解得/“=7.

故答案为：7.

15.（2022广东・高三阶段练习）已知函数/（司=21以，直线/的方程为〉=》+2,过函数〃犬）

上任意一点P作与/夹角为30的直线，交/于点A,则|融|的最小值为.

【答案】20（2-ln2）

【分析】利用已知将|PA|转化为点P到直线/的距离为乩即可得出当过点P的/（x）的切线

与宜线/平行时，点P到直线/的距离最小，再通过求导，令导数等于直线/的斜率，即可

得出点尸的坐标，再通过点到直线的距离得出d,即可代入|PA|与d的关系式得出答案.

【详解】设点P到直线I的距离为d,

:点P作与/夹角为30,

.•.薪=sin30=g,即卜2d,

要使|PA|最小，只需4最小即可，

则当过点P的/（x）的切线与直线/平行时，点P到直线/的距离最小，即"最小，

设P（%,21n%）,

求导得ra）=：,

2

即一=1时d最小，此时超=2,

P（2,21n2）,

则加」2-需+2|=&（2-ln2）,

VI4-1

则附min=24、m=2&（2-ln2），

故答案为：2夜（2-1112）.

16.（2022・全国•高三专题练习）在平面直角坐标系xOv中，椭圆C：5+£=1（。>6>0）经

过点网&,1）,且点p与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为若椭圆C上存在两点

Q,R,使得一PQR的垂心（三角形三条高的交点）恰为坐标原点。，则直线QR的方程

［答案］y=~^x~~

【分析】根据题意列式求出al,即可得出椭圆方程再设Q（x”x）,

42

根据题意，得到-后,设直线QR的方程为丫=-&》+机，联立直线与椭圆方程，根

据判别式，以及根与系数关系，由题意，得到?•上二万=T,求出加，即可得出结果.

X］X?—72

【详解】由题意，得•":/in［，解得［（=：，.•.椭圆C的方程为《+《=1.

1-01-0_1b=242

设2（X|，X）,R（X］,yQ.QR1PO,而kpo=玉，：.k°R=-6,

故可设直线QR的方程为y=-V2x+m.

联立,）■）c2/，得5/一4血血¥+2加2-4=0，

jr+2y=4

首先，由A>0得32m2-20（2疗-4）>0,解得1<10.（*）且为+々=””，A,%,=2M'^4

又QOLPR,：.kQokpR=-l,得。；^^=T，

即以上今#=T,整理得，3痞_"„（与+々）+病_利=0,

.’2/一4仄八

・・3x------------72mx-----+团2一机=0，

55

4

即3〃-一5加—12=0,解得〃2=3或m=一］（均适合（*）式）.

当利=3时，直线QR恰好经过点尸，不能构成三角形，不合题意，故舍去.

・•.宜线QR的方程为y=心-g.

四'解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明'证明过程或演算

步骤.

17.（2022•广东•深圳市龙岗区德琳学校高三阶段练习）设是等差数列｛%｝的前"项和，己

知邑=4,2%=3+%,

⑴求a”和S”；

⑵若如=守卜，求数歹电,｝的前〃项和T„.

【答案】（1）4=2〃-1；S„=n2；

【分析】（I）利用等差数列的通项公式、前“项和公式得到关于首项和公差的方程组求出《

和d,进而求出劣及S”；

（2）利用（I）求出"，再利用裂项相消法进行求和.

（1）

设等差数列｛%｝的公差为d,

(2a.+d=4

则c,，a-，

+4d=3+q+3d

解得

[a=2

所以a“=1+2(〃-1)=2〃-I,

一1)x2

5„lxn+-^——L—=n；

2

(2)

由(1)得：。〃+]=2〃+l,S〃+[=5+1)2,

2H+1_1_____1_

则〃=

S』rr(n+1)2](/?+l)2'

所以为=4+。+。+…

11111111

丁一齐+落?'+?"一不+…+正-^717

=1」

(〃+1)

18.(2022•重庆市璧山来凤中学校高三阶段练习)已知锐角AABC中，角A,B,C所对的

边分别为“，b,c>sin4=cosCfsinB+>/3cosBj.

(1)求C的值；

(2)若c=g,求△ABC面积S的最大值

【答案】(1)C=]

⑵述

4

【分析】(1)将已知条件中的sinA化为sin(5+C),使用两角和的正弦公式打开化简,可求

得C；

(2)由余弦定理，结合不等式/+6222a6,求出油的最大值，代入面积公式即可.

(1)

VsinA=sin[7t-(B+C)]=sin(B+C)

/.sin(8+C)=cosC(sinB+Gcos8),

sinBcosC+cosBsinC=sin8cosc+括cosBcosC

cosBsinC=\j3cosBcosC

:△ABC为锐角三角形，8为锐角，...cosBHO

sinC=V3COSC,即tanC=行，

jr

.•.△ABC内角C=§.

(2)

由余弦定理知，c2^a2+b2-TabcosC,

3=a2+b2-2abcosg-a2+b2-ab>2ab-ab=ab,当且仅当a=b时取等号，

即当且仅当"b=6时，ab<3

.«」八.”12丛一30

•"S=-aOsinCV—,3-----=------

ABRCr2224

.•.△ABC面积的最大值为殛.

4

19.(2022•广东广州・高三阶段练习)如图，在直三棱锥ABC-A4G中，ABLAC,

AB=AC=2,M=3,M是AC的中点.

(1)求平面ABM与平面AAG夹角的余弦值；

(2)若N是8c的中点，BC、cB£=P,则在线段AN上是否存在点。，使得PQ〃平面

ABM?若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由.

【答案】(呜

(2)存在点Q,且4。的长为|应；

【分析】(1)建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面AB"和平面A4G的法

向量，根据向量的夹角公式即可求得答案.

(2)假设在线段AN上是否存在点。，使得PQ〃平面ABM,设

AQ=/lAN=(440),/leK),l],利用〃PQ=o求得参数，即可说明结论，继而求得A。的长.

(1)

由题意在直一棱锥ABC-ABC中，48,AC,故以A为坐标原点，AB,AC,A4,分别为X,y,z

轴建立空间直角坐标系，如图，

则A(0,0,3),8(2,0,0),M(0,1,0),故&B=(2,0,-3),AM=(0,1,-3),

n-AB=2x-3z=0

设平面A8M的法向量为〃=(x,y,z),则＜}

〃•A]M=y-3z=0

令z=2,则〃=(3,6,2),

平面AB£的法向量可取加=(0,0,1),

则cos〈〃,in)=-------=—j==-，

|九||IV497

故平面A8M与平面夹角的余弦值为京

(2)

由(1)可知N是8,G的中点，故N(l,1,3),；.AN=(1,1,0),

假设在线段A、N上是否存在点。，使得PQ//平面A8M,

则设AQ=兀AN=(440),2e[0,1].则。(/1,43),

又尸(1,1$，故PQ=("1,"1,|),

32

故由〃•尸Q=(3,6,2)・Q—1,4—1,彳)=3(4—1)+6(4—1)+3=0,可得4=§,

2

即在线段AN上是否存在点。且AQ=§AN,使得P。〃平面ABM,

贝|JIAQ1=勺AN1=：/+V+(3-3)2=|伉即AQ的长为|a.

20.(2022•湖南岳阳•高三阶段练习)伴随经济的飞速发展，中国全民健身赛事活动日益丰富,

公共服务体系日趋完善.据相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%,

城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上.健身之于个人是一

种自然而然的习惯，之于国家与民族，则是全民健康的基础柱石之一，某市一健身连锁机构

对去年的参与了该连锁机构健身的会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为该健身

连锁机构会员年龄等级分布图，图2为一个月内会员到健身连锁机构频数分布扇形图

若将会员按年龄分为“年轻人”(20岁-39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或40岁及以上)

两类，将一月内来健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为

“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有?是“年轻人”.

6

(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100人的样本，根据上图的数据，补全

下方2?列联表，并判断依据小概率值。=0.05的独立性检验，能否认为是否为“健身达人”

与年龄有关；

类别年轻人非年轻人合计

健身达人

健身爱好者

合计100

临界值表:

2

P（K<k0）0.400.250.050.005

k。0.7081.3233.8417.879

K?_n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)("+d)

(2)将(1)中的频率作为概率，连锁机构随机选取会员进行回访，抽取3人回访.

①若选到的3人中2人为“年轻人”，1人为“非年轻人”，再从这3人中随机选取的1人，了解

到该会员是“健身达人”，求该人为非年轻人的概率；

②设3人中既是“年轻人”又是“健身达人’’的人数为随机变量X,求X的分布列和期望值.

【答案】(1)列联表答案见解析，不能认为“健身达人”与年龄有关

23

⑵①②分布列答案见解析，数学期望：5

【分析】(1)首先根据题意填写好表格，根据公式计算Y值，对照表格得到结论；

(2)根据条件概率公式得到此人为非年轻人的概率，根据独立性检验实验分X=0,1,2,3,

计算各自概率，得到分布列.

(1)

根据年轻人标准结合图1可得年轻人占比为80%,则年轻人人数为100用0%=80,则非年轻

人为20人，根据图2表格得健身达人所占比60%,所以其人数为100・60%=60,根据其中

年轻人占比所以健身达人中年轻人人数为60・3=50,则非年轻人为10人：

66

健身爱好者人数为100-60=40,再通过总共年轻人合计为80人，则健身爱好者中年轻人

人数为80-50=30,3根据非年轻人总共为20人，则健身爱好者中非年轻人人数为

20-10=10,具体表格填写如下.

列联表为

类别年轻人非年轻人合计

健身达人5()1060

健身爱好者301040

合计8020100

零假设乜,，是否为“健身达人”与年龄无关.

100x(50xl0-30xlQ)*2

=1.0416<3.841

80x20x60x40

所以，依据a=0.05的独立性检验，不能认为“健身达人”与年龄有关;

(2)

①设事件A为：该人为年轻人，事件3为：该人为健身达人，故此人为“非年轻人”的概率为

则尸⑷3)二尸可用•「(，)-----------=-Ji-=2

P(B|A)•P(A)+P(BIA)-P(A)£1+527

2,38,3

②由(1)知，既是年轻人乂是健身达人的概率为;,

X=0,123,

3

P(x^o)=c«1-1

8

1

1?X==

\=8-

X的数学期望值

22

21.（2022•全国•高考真题）已知点A（2,l）在双曲线c：W--二=l（a>l）上，直线/交C于

a"a-1

P，。两点，直线AP,AQ的斜率之和为0.

⑴求/的斜率；

（2）若tanNP4Q=2j?,求△P4。的面积.

【答案】⑴-1;

9

【分析】（1）由点42,1）在双曲线上可求出“，易知直线/的斜率存在，设/:»=依+加，

P（/y）,Q（毛,巴），再根据加+%=0,即可解出/的斜率；

（2）根据直线AP,AQ的斜率之和为0可知宜线AP,AQ的倾斜角互补，根据tanZPAQ=2近

即可求出直线ARAQ的斜率，再分别联立直线ARAQ与双曲线方程求出点P,。的坐标，即

可得到直线P。的方程以及PQ的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线PQ的距离，即

可得出△PAQ的面积.

（1）

v.2、产41

因为点42,1）在双曲线C:与=上，所以=--一=1,解得您=2,即双曲

a2a2-la'a2

线C:1-y2=1.

易知直线/的斜率存在，设/：），=—+〃?，「（芭,％）,］々,%），

y-kx-\-m

联立＜X?）可得，（1—2%~卜2—4/成x—2〃广—2=0,

・万一）'-

4mk2m2+2

所以,%+”一目，中2=玉口

A=16M/一4（2病+2）（2/-1）>0=疗-1+2%2>0且心土包.

y_一］Vi—［

所以由+砥2=0可得，'+'=0,

%2一乙Aj-Z

即（玉-2）（AX2+加一1）+（工2-2）（依+加.1）=0,

即2kxy%+（〃2-1一24）（百+x2）-4（/n-l）=0,

所以2"x^f+（m7-2k）［一斜）一4（加一1）=0，

化简得，8左2+4左一4+4加（女+1）=0,即任+1）（2%—1+加）=0,

所以&=—1或m=1—2人，

当〃/=1一2左时，直线/:丫=丘+加=左5-2）+1过点4（2,1）,与题意不符，舍去,

故&=一1.

（2）

［方法一］:【最优解】常规转化

不妨设直线PAA。的倾斜角为a,/［＜］＜，］，因为L+L=0,所以£+4=兀，由（1）

2

知,xtx2=2m+2＞0,

当AB均在双曲线左支时，NP4Q=2a,所以tan2a=2&，

即J5tan,a+tana-&=0，解得tana=］（负值舍去）

此时以与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；

当A3均在双曲线右支时，

因为tanNA4Q=2&,所以tan（/?-e）=2&,即tan2a=-20,

E［）V2tan2a-tana-V2=0,解得tana=0（负值舍去）,

于是，直线PA：y=^（x-2）+1,直线尸8:y=-V5（x-2）+1,

y=0（x-2）+l

联立"2,可得，-X2+2（V2-4）X+10-4V2=0,

-----y2=12'7

2

因为方程有一个根为2,所以“耍，”容,

闩i田HT俎10+4^^_—4A/2—5

I可理可偈，xQ=——-——，y(2-----——.

516?+1--/—

所以尸。:1+丁一3=0,|PQ|=7,点A到直线PQ的距离［=______3_=2V2,

3372-"T"

故△P4。的面积为L3X舅1=3也.

2339

［方法二］：

设直线AP的倾斜角为a,(0<a<］］,由tanN尸AQ=2x/i,得颉二詈二孝，

=

由2a+Z.PAQ=7i,得kAP=tana=>/2,即~~~~>/2,

%—2

联立弓二友,及4_寸=］得5=12^,

X-z233

口时10+4及-4及-5,,,2068

同理，Xj=——-——，y2=——-——，Azxl+x2=—,不々=3

而|AP|=G|X-2|,\AQ\=y/3\x2-2\,

由tanNPAQ=2应，得sinNPAQ=手，

故$A(?=g|AP||AQ|sinNPAQ=x/5|±X2-2(X1+x2)+4|=^^.

【整体点评】(2)法-：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线PAP8的斜率，从而

联立求出点P,Q坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最

优解；

法二：前面解答与法一求解点P,。坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于

三角形面积公式的选择不一样.

22.(2022•北京•北理工附中高三阶段练习)设函数/(x)=hu-or,g(x)=e'-or,其中。为

实数.

⑴若4=1,求“X)的极值和单调区间；

⑵若g(x)在(1,一)上有最小值，求。的取值范围；

(3)若g(x)在(-1,E)上是单调增函数，试求〃x)的零点个数，并证明你的结论.

【答案】(1)当x=I时，函数/(x)有极大值，极大值为了⑴=-1

函数〃x)的单调递增区间为(0,1),

函数〃x)的单调递减区间为

(2)a£(e,+oo).

(3)当。40或“=5时,/(x)的零点个数为1；当0