数学-北京市房山区2024届高三上学期期末考试试题和答案

房山区2023-2024学年度第一学期期末检测试卷高三数学效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.x1-x>0}，则AnB=(){-2,0}D.2.在复平面内，若复数z对应的点为(-1,1)，则(-1-i)z=()A.2B.2iC.-2iD.-2(m,1)，且与的夹角为，则m的值为()A.-B.C.-D.34的展开式中的常数项是()A.-32B.32C.-23D.235.已知a，b为非零实数，且a>b，则下列结论正确的是()A.a2>b26.已知直线l:y=2x+b与圆C:(x-)A.1或9B.-1或9C.-1或-9D.1或-97.已知函数f(x)满足f(-x)-f(x)=0，且在[0,+m)上单调递减，对于实数a，b，则“a2<b2”是“f(a)>f(b)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫米/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为P=P0.e一kt(t之0)，其中k为常数，k>0，P0为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，1废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：3~0.585）()A.12%B.x2yx2a2b2双曲线C的渐近线上一动点，且PQ+PF2最小时，PF1与双曲线C的另一条渐近线平行，则双曲线C的方程可能是()A.x210.数学家祖冲之曾给出圆周率π的两个近似值：“约率”与“密率”.它们可用“调日法”得到：3称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.3率，计算得a1==，故a1为强率，与上一次的弱率3计算得a2==，故a2为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知a=25，则m=()m8A.8B.7C.6D.522x的定义域是.14.已知平面直角坐标系中，动点M到F(0,一2)的距离比M到x轴的距离大2，则M的轨迹方程是.15.如图，在棱长为a的正方体ABCD一A1B1C1D1中，点P是线段B1C上的动点.给出下列结论：①AP」BD1；②AP//平面A1C1D；③直线AP与直线A1D1所成角的范围是,；④点P到平面A1C1D的距离是a.其中所有正确结论的序号是.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步16.如图，在四棱锥P-ABCD中，‘PAD为等腰三角形，PD」AD，PA=2，底面ABCD是正方形，M，N分别为棱PD，BC的中点.（1）求证：MN//平面PAB；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求MN与平面PBC所成角的正弦值.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.17.已知函数f(x)=sin(2x+Ψ)(|(Ψ<的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称.（1）求Ψ的值；（2）设g(x)=f(x)-2cos2x+，若g(x)在区间(0,m)上有且只有一个零点，求m的取值范围.18.某移动通讯公司为答谢用户，在其APP上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得的流量（单位：MB）数据，如图所示.（1）从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量的概率；（2）从2023年12月1日至7日中任选两天，设X是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求X的分布列及数学期望E(X)；（3）将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为s，s，s，试比较s，s，s的大小（只需写出结论）.率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P是椭圆C上的一个动点（不与顶点重合直线A2P交y轴于点Q，若△A1PQ的面积是ΔA2FP面积的4倍，求直线A2P的方程.20.已知函数f(x)=+a.ex.（1）当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（2）当a=1时，求函数f(x)的单调递增区间；（3）若函数f(x)在区间(0,1)上只有一个极值点，求a的取值范围.21.若无穷数列{an}满足：3me**，对于vn之n0(n0e**)，都有am=q（其中q为常数则称{an}2；（2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为2的等比数列，b2=c3=4，b1+c1=c2，ann，判断{an}是否具有性质“Q(2,1,3)”，并说明理由；（3）设{an}既具有性质“Q(i,1,q1)”，又(j-i)房山区2023-2024学年度第一学期期末检测试卷高三数学效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.，则AnB=()【答案】C【解析】【分析】计算出集合B后由交集定义运算可得.故选：C.A.2B.2iC.2iD.2【答案】A【解析】【分析】利用复数的几何意义可得出复数z，再利用复数的乘法可求得(一1一i)z的值.故选：A.(m,1)，且与的夹角为，则m的值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】m2+1m2+1abcos【分析】先表示出求解出m的值.,aabcos【分析】先表示出求解出m的值.,m2ababcos，所以所以 3解得（舍去m=3 3解得（舍去m=3故选：B.4.34的展开式中的常数项是(4.D.23D.23C.23【答案】B【解析】【分析】写出二项式展开式通项，令x的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.T3T34一k.k【详解】令124k=0，可得k=3，故选：B.5.已知a，b为非零实数，且a>b，则下列结论正确的是(ab22b >ab22b >C.B.D. >ab【答案】D【解析】【分析】对A、B、C举反例即可得，对D作差计算即可得.对B：若a>对B：若a>b>0，则对C：若a>b>0，则a2>b2，ab>0对D：由a>b且a，b为非零实数，则故选：D. ab2a 1>ab2>ab2A.1或9B.-1或9C.-1或-9D.1或-9【答案】D【解析】【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求得实数b的值.【详解】圆C的圆心为C(1,-2)，半径为，因为直线l:2x-y+b=0与圆C相切故选：D.7.已知函数f(x)满足f(-x)-f(x)=0，且在[0,+伪)上单调递减，对于实数a，b，则“a2<b2”是“f(a)>f(b)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，可得函数f(x)是R上的偶函数，利用充分条件、必要条件的定义，结合偶函数性质及单调性判断即得.【详解】由函数f(x)满足f(-x)-f(x)=0，得函数f(x)是R上的偶函数，而f(x)在[0,+伪)上单调递减，因此f(a)>f(b)常f(|a|)>f(|b|)常|a|<|b|常a2<b2，所以“a2<b2”是“f(a)>f(b)”的充要条件.故选：C8.保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫米/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为P=P0.e-kt(t之0)，其中k为常数，k>0，P0为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，1废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：3心0.585）()A.12%B.【答案】A【解析】1【分析】根据题意可得P0.e一9k=P0，解得e一3k=3，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式，再将t=12代入即可求得答案.【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，所以P0.e一9k=P0，即e一9k=,所以1e3k=3.再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为4P.e12kxe3k4x3故选：A.x2yx2a2b2双曲线C的渐近线上一动点，且PQ+PF2最小时，PF1与双曲线C的另一条渐近线平行，则双曲线C的方程可能是()【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用双曲线定义确定PQ+PF2最小时，点Q的位置，进而求出a,b的关系即得.【详解】双曲线C：x2yx2a2b2由双曲线定义得+2a，当且仅当P为线段F1Q与双曲线的交点时x取等号，因此PQ+PF2的最小值为|F1Q|的最小值与2a的和，显然当F1Q与渐近线bx+ay=0垂直时，|FQ|取得最小值，而PF1平行于渐近线bxay=0，于是双曲线的两条渐近线互相垂直，即=1，则双曲线22xy a2b2=1的渐近线方程为x土y=0，显然选项ABD不满足，C满足，故选：C10.数学家祖冲之曾给出圆周率π的两个近似值：“约率”与“密率”.它们可用“调日法”得到：3称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.3率，计算得a1==，故a1为强率，与上一次的弱率3计算得a2==，故a2为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知a=25，则m=()m8A.8B.7C.6D.5【答案】B【解析】【分析】根据题意不断计算即可解出.44为强率；55为强率； >3.1415927，即a6为强率；故选：B. 2的定义域是.【解析】【分析】由真数大于零及分母不等于零计算即可得. 2 212.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1【答案】2n-9【解析】【分析】由等差数列及其前n项和的性质计算即可得.故答案为：2n-9.13.在‘ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b-c=acosC，则经A=.【答案】【解析】 π 4【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得.【详解】在‘ABC中，由b-c=acosC及正弦定理，得sinB-sinC=sinAcosC，则sin(A+C)-sinC=sinAcosC，整理得cosAsinC=sinC，而sinC>0，故答案为：14.已知平面直角坐标系中，动点M到F(0,-2)的距离比M到x轴的距离大2，则M的轨迹方程是.【答案】x2=-8y(y<0)或x=0(y>0)【解析】【分析】设出点M的坐标，利用已知列出方程化简即得.【详解】设点M(x,y)，依题意，|MF|=|y|+2，即x2+(y+2)2=|y|+2，整理得x2=所以M的轨迹方程是x2=-8y(y<0)或x=0(y>0).故答案为：x2=-8y(y<0)或x=0(y>0)15.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是线段B1C上的动点.给出下列结论：①AP」BD1；②AP//平面A1C1D；③直线AP与直线A1D1所成角的范围是,；④点P到平面A1C1D的距离是a.其中所有正确结论的序号是.【答案】①②④【解析】【分析】建立空间直角坐标系后逐个分析即可得.【详解】以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，(0,a,a)，---------------D=(-a,0,-a)、---------------，(-λa,a,a-λa)，2-a2+a2-λa2=0，故AP」BD1，故①正确；设平面A1C1D的法向量为=(x,y,z)，D.n=0l-ax-az=0有.=-λa+a-a+λ=0，故」，又AP丈平面A1即此时直线AP与直线A1D1所成角为，故③错误；(λa,-a,λa)，故答案为：①②④.a，故④正确.【点睛】关键点睛：对空间中线上动点问题，可设出未知数表示该动点分线段所得比例，从而用未知数的变化来体现动点的变化.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步16.如图，在四棱锥P-ABCD中，ΔPAD为等腰三角形，PD」AD，PA=2，底面ABCD是正方形，M，N分别为棱PD，BC的中点.（1）求证：MN//平面PAB；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求MN与平面PBC所成角的正弦值.条件①：CDPA；注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理即可得；（2）选①,由题意及CDPA去推导得到PD、CD、AD两两垂直，即可建立空间直角坐标系解决问题；选②,由题意及PB=2结合勾股定理的逆定理去推导得到PD、CD、AD两两垂直，即可建立空间直角坐标系解决问题.【小问1详解】连接点B与AP中点E、连接ME，又M，N分别为棱PD，BC的中点，故ME//AD、ME=AD，又底面ABCD是正方形，故BN//AD、BN=AD，故ME//BN且ME=BN，故四边形MEBN为平行四边形，故MN//EB，又EB平面PAB，MN平面PAB，故MN//平面PAB；【小问2详解】选条件①：CDPA，由PDAD且‘PAD为等腰三角形，故PD=AD，又PA=2，故PD、CD、AD两两垂直，故可以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，，)，令平面PBC的法向量为=(x,y,z)，)，----则cosMN,n〉=--------.-MN.- ----n故MN与平面PBC所成角的正弦值为336由PB=2，则PB2=PA2+AB2，故PA」AB，又AB//CD，故PD、CD、AD两两垂直，故可以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，，)，令平面PBC的法向量为=(x,y,z)，)，----则cosMN,n=--------.MN. ----n故MN与平面PBC所成角的正弦值为336于原点对称.（1）求Q的值；（2）设g(x)=f(x)一2cos2x+，若g(x)在区间(0,m)上有且只有一个零点，求m的取值范围.【解析】【分析】（1）求出平移后所得函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性，结合Q的取值范围可求得Q的值；于m的不等式，解之即可.【小问1详解】7【小问2详解】因为g(x)在区间(0,m)上有且只有一个零18.某移动通讯公司为答谢用户，在其APP上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得的流量（单位：MB）数据，如图所示.（1）从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量的概率；（2）从2023年12月1日至7日中任选两天，设X是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求X的分布列及数学期望E(X)；（3）将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为s，s，s，试比较s，s，s的大小（只需写出结论）.（2）X的分布列见解析，E(x)=4【解析】【分析】（1）利用古典概型计算公式进行求解即可；（2）利用古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可.（3）根据数据的集中趋势进行判断即可.【小问1详解】由图可知，七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量，所以该天乙获得流量大于丙获得流量的概率为；【小问2详解】由（1）可知七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量，所以X的分布列如下图所示：X012P2121121【小问3详解】根据图中数据信息，甲、乙七天的数据相同，都是1个50,2个30,1个10,3个5；而且丙的的数据最分散，率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P是椭圆C上的一个动点（不与顶点重合直线A2P交y轴于点Q，若△A1PQ的面积是ΔA2FP面积的4倍，求直线A2P的方程.【解析】（2）设出直线，联立曲线，得到P、Q两点的纵坐标，结合面积公式计算即可得.【小问1详解】【小问2详解】a-c)，由题意可得直线A2P斜率存在且不为0，设lA2P:x=my+2，2(2)2(2)3m2yQ yP则S‘A1PQ=S-SyQ yP则S‘A1PQ=S-SyQ‘A1A2Q‘A1A2P yP yPyQ-yP2又S yP yPyQ-yP2即yQ-yP=yP，-12m-12m3m2m若yQ>yP，则yQ=2yP，即即3m2若yQ<yP，则yP一yQ=yP，即yQ=0，不符，故舍去，323220.已知函数f(x)=+a.ex.（1）当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（2）当a=1时，求函数f(x)的单调递增区间；（3）若函数f(x)在区间(0,1)上只有一个极值点，求a的取值范围.(1+)(1)【解析】【分析】（1）当a=0时，求出f(1)、f,(1)的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；（2）当a=1时，求出f,(x)，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数f(x)的单调递增区间；（3）令g(x)=ax2+x1，分析可知，函数g(x)在(0,1)上有且只有一个异号零点，对实数a的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于实数a的不等式，综合可得出实数a的取值范围.【小问1详解】故当a=0时，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y_e=0，即y=e.【小问2详解】2__或x【小问3详解】解：因为f(x)=+a.ex，则f,(x)=+a_ex=，令g(x)=ax2+x_1，因为函数f(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，则函数g(x)在(0,1)上有一个异号零点，当a<0时，函数g(x)的图象开