第01讲 锐角三角函数-全国初中数学竞赛试题（九年级下解析版）

全国初中数学竞赛试题精编

第Ol讲锐角三角函数

题型选择题填空题简答题总计

题数1195

一、选择题（本大题共11小题，共33.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图，在RtZkABC中，∆BAC=90o,ADl.BC于点。，若BD:CD=3:2,则tanB等于（）

A.IB.IC.孚D.

【答案】

D

【解析】

【分析】

本题考查了相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义，难度一般，解答本题的关键是

根据垂直证明三角形的相似，根据对应边成比例求边长，先根据题意得出AABCsAC4D,然

后根据BC：CD=3：2,设BD=3x,CD=2x,利用对应边成比例表示出4D的值，进而可

得出结论.

【解答】

解：∙.∙fit∆½BCφ,NBAC=90。，

.∙.ZB+ZC=90°.

•••AD1BC于点、D,

4B+/.BAD=90o,Z.C+Z.CAD=90°,

ʌ∆BAD=Z.C,乙B=Z.CAD,

∙∙.ΔABD〜ACADr

二黑=缥，即4C2=BD∙CD,

ADCD

VBD：CD=3：2,

.∙∙设BD=3x,则CD=2x,

∙∙∙AD=√3x∙2x=√6x,

,Dad√6x_√6

EnB=前37=T

故选D.

2.如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AEJ.BD,垂足为F,则tan4BDE的值是（）

AD

S

B1C1

√2--D√32

A.443

【解析】

【分析】

本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数的定义等知识；熟练掌握矩形

的性质，证明三角形相似是解决问题的关键.

证明△BEF7Zλ4F,得出EF=N尸，EF=^AE,由矩形的对称性得：AE=DE,得出EF=

∖DE,设EF=X,则DE=3x,由勾股定理求出CF='DE?-EF2=2√∑χ,再由三角函数

定义即可得出答案.

【解答】

解：四边形ABCD是矩形，

.∙.AD=BC,AD//BC,

•••点E是边BC的中点，

BE==^AD,

BEFDAFf

1

—EF=—BE=—.

AFAD2

••・EF=^AF,

：.EF=^AE,

∙.∙点E是边BC的中点，

由矩形的对称性得：AE=DE,

.∙.EF=^DE,设EF=X,则DE=3x,

ΛDF=√DE2-EF2=2√2χ,

EF_X_√2

二tanBDE

∆DF~2√2x—~4

故选A.

3.如图，以点。为圆心，半径为1的弧交坐标轴于4,B两点，P是弧AB上一点（不与点4,B重

合），连接OP,设NPoB=α,则点P的坐标是（）

A.(sinα,sinα)B.(cosα,cosα)C.(cosα,sinα)D.(Sinα,cosa)

【答案】

C

【解析】

【分析】

见答案

【解答】

见答案

4.如图，在5X4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,△4BC的顶点都在这些小正

方形的顶点上，贝IJSinNB4C的值为（）

c∙lDt

【答案】

D

【解析】

【分析】

本题考查了勾股定理的运用以及解锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键.

过C作CC，AB于。，首先根据勾股定理求出力C,然后在Rt△4C。中即可求出sin4BAC的值.

【解答】

解：如图，过C作CD_L48于0,贝IJNAOC=90。，

.∙.AC=>JAD2+CD2=√32+42=5.

∙'∙sinZ.BAC--ττ:=Μ

AC5

故选：D.

5.如图，在中，SinB=∣,tanC=2,AB=3,则AC

的长为（）

A.√2B.苧C.√5D.2

【答案】

B

【解析】

【分析】

本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题

的关键.过4作AD1BC于。，则44DC=4ADB=90°,根据已知求出/D=2DC,AB=3AD,

求出2D、CC的长，根据勾股定理求出AC即可.

【解答】

解：过4作4。IBC于。，则NADC=Na=90。,

.∙.AD=2DC,AB=340,

∙.∙AB=3,

AD=1>DC=ɪ,

在Rt△AZ)C中，由勾股定理得：

AC=y∕AD2+DC2=Jl2+(ɪ)2=浮

故选：B.

6.如图，在Rt△ABC中，4C=90°,AC=6,BC=8,将△4BC绕点4逆时针旋转得到△4B'C',

使点C'落在48边上，连结BB',则SinNBB'C'的值为()

【答案】

C

【解析】

【分析】

本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数定义等知识，利用勾股定理求出BB'长是解

题的关键.

在RtZMBC中，利用勾股定理可求4B,由旋转的性质可得AC=AC'=6,BC=B'C'=8,

ZC=/.AC'B'=90°,在Rt△BB'C'中,由勾股定理求得8B'的长，即可求解.

【解答】

解：VZC=90o,AC=6,BC=8,

.∙.AB=y∕AC2+BC2=√36+64=10，

•••将4ABC绕点A逆时针旋转得到4AB'C',

.∙.AC=AC=6,BC=B'C'=8,&C=∆AC'B'=90°,

.∙.BC=AB-AC=10-6=4,

.∙.B'B=√BC'2+B'S=√16+64=4√5-

.∙.SinNB夕C'=^=τ⅛=⅞>

BB4√55

故选：C.

7.如图，将A48C放在每个小正方形的边长为1的网格中，点4,B,C均在格点上，贝IJtGM

的值是（）

AWB.孚C.2D.ɪ

Jɔ4

【答案】

D

【解析】

【分析】

本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为

邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键.

首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解.

【解答】

解：连接BD.

2√2.

贝IJtcmA=器=另=；.

AD2√22

故选：D.

8.如图，在四边形ABCD中，NZλ4B=90°,AD∕∕BC,BC=AC与8。交于点E,AC1BD,

则tan/BAC的值是()

11

√42C√22D

A.4-3-

C

【解析】

【分析】

本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质以及求三角函数值等知识：熟练掌握解

直角三角形，证明三角形相似是解题的关键.

证明ZMB,得出空=绘，证出4O=2BC,得出AB?=RCχ4。=口。x2BC=

ADAB

2BC2,因此4B=√∑BC,在Rt△?!BC中，由三角函数定义即可得出答案.

【解答】

解：•••AD//BC,4DAB=90°,

.∙.∆ABC=180o-∆DAB=90o,∆BAC+∆EAD=90°,

VAC1BD,

・・.∆AED=90°,

・・.∆ADB+∆EAD=90°,

:∙Z-BAC=Z.ADB,

.∙.ΔABCSADAB9

.AB_8C

ʌ^AD~~ABy

vBC="D,

：•AD=2BCy

22

ʌAB=BC×AD=BC×2BC=2BCf

AB=∖[2BCy

在RtAABC中,tanzBXC=f∣=⅛=f

故选C.

9.如图，已知AABC的三个顶点均在格点上，则cos4的值为（）

A空r2√3D等

-3

【答案】

D

【解析】

【分析】

本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理，作出适当的辅助线，构建直角三角形

是解答此题的关键.如图所示，连接BD,根据勾股定理的逆定理判断AABC是直角三角形,

U.∆ADB=90°,然后求出4B和AE）的长，利用锐角三角形函数的定义得到c。SA=组，代入计

AD

算即可.

【解答】

解：如图所示，连接BD,

•・•BD2=I2÷I2=2,AB2=I2+32=10,AD2=22÷22=8,2+8=10,

・•・△ABD是直角三角形，且NADB=90°,

-AB=√Tδ,AD=V8=2√∑,

AAD2√22√5

COSi4=—=-7==

ABVlO5

故选。.

10.如图，在Rt△48C中，ZC=90o,BC=遍，点。是4C上一点，连接BD若tan乙4=g,

tan∆ABD=ɪ,贝IJCD的长为（）

A.2√5B.3C.√5D.2

【答案】

C

【解析】略

11.如图，在Rt△4BC中，∆ACB=90o,CE是斜边AB上的中线，8。ICE于点C,过点4作

AP,CE交CE延长线于点尸，下列结论不一定成立的是.（）

AC

A.4BAC=乙DBCB.tanzECB=芸

BC

C.AF=BDD.CE=CB

【答案】

D

【解析】

【分析】

本题考查直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识.先根据直角三

角形斜边中线等于斜边一半，得至∣J4ACE=4CAE,再证乙4CE=NDBC,可判定4再根据直

角三角形斜边中线等于斜边一半，可得ZECB=∆CBE,可判定B；证4AEF^LBED可判定C；

。结论无法推出，即可解答.

【解答】

解：•••ΛACB=90%CE是斜边AB上的中线，

：.CE=BE=AE,∆ACE+乙BCE=90°,

：.Z.ACE=Z.CAE,

∙.∙BD1CF,

.∙.∆DBC+∆BCD=90。，

.∙.∆ACE=乙DBC,即NBAC=乙DBC,故A正确；

•••乙ACB=90°,

AC

■■IanZ-ABC—DC—,

∙.CE是斜边AB上的中线，

ʌCE=BE=AE,

・∙・Z-ECB=Z-CBE,

：,tan乙ECB=帙，故B正确；

DC

-AFLCFtBD1CF,

AFIlBD,

・∙・Z-FAE=乙EBD,

VAE=BE,Z-AEF=乙BED,

AEF=^BEDf

.∙.AF=BD,故C正确；

CE=CB不一定成立，故。错误.

二、填空题（本大题共9小题，共27.0分）

12.如图，在RtΔABC中，∆ACB=90o,AB=9,cot½=2,点。在边4B上，点E在边4C上,

将AABC沿着折痕CE翻折后，点4恰好落在线段BC的延长线上的点P处，如果NBPD=乙4,

A

BCP

【答案】

2√2

【解析】

【分析】

本题考查了翻折变换，锐角三角函数，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三

角形是解题的关键.

过点E作EHJ.AB于先求出乙4CE=45。，由等腰直角三角形的性质可得。E=√∑OH,由

锐角三角函数可求DH的长，即可求解.

【解答】

解：过点E作EHl48于H,

・•・将AABe沿着折痕OE翻折,

∙∙∙AD=DP,Z-ADE=乙PDE,

•・•乙BPD=ZjLZTl+4B=90°,

・•・乙BPD+乙B=90°,

o

ʌ乙BDP=90=∆ADPf

：.∆ADE=45°,

•・•EHIa8,

，乙DEH=乙EDH=45。,

・•・DH=EH,

:・DE=&DH,

Vcot4=2=慧=COtZ-BPD=点，

HEBD

：・AH=2HE,DP=2BD,

：・AD=DP=3DH,

3

・•・BD=∣D∕7,

3

・・・AB=9=BD+AD=/H+3DH,

・•・DH=2,

・•.DE=2Λ∕2∙

13.如图，点C在线段AR上，且∕C=2BC,分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形

ACDE.BCFG,连接EC、EG,则tan4CEG=

【答案】

1

2

【解析】解：连接CG,

在正方形ACDE、BCFG中,

∆ECA=乙GCB=45°,

•••乙ECG=90°,

设AC=2,BC=1,

.∙.CE=2√2,CG=√2.

.,CG1

.∙∙4tanr"cErC=近=5,

故答案为:ɪ.

根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案.

本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于

基础题型.

14.如图，在正方形力BCD中，E为4。的中点，4ABE沿BE翻折，点4落在点F处，联结Z)F,

那么NEDF的正切值是

【答案】

2

【解析】

【分析】

本题主要考查了折叠问题正方形的性质及锐角三角函数的定义，折叠是一种对称变换，它属

于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，时应边和对应角相等.由折叠可得

AE=FE,ΛAEB=ΛFEB,由折叠的性质以及三角形外角性质，即可得至IJNAEB=ZEDF,

进而得到tan/EOF=tan∆AEB=绘=2.

AE

【解答】

由折叠可得4E=FE,∆AEB=乙FEB=*EF,

•••正方形ABCD中，E是A。的中点，

：.AE=DE=^AD=^AB,

■■■DE=FE,

・•・Z.EDF=乙EFD,

又•・•zλFF⅛ΔDEF的夕卜角，

ʌZ.AEF=乙EDF+Z.EFD,

.∙.zfi,DF=^∆AEF,

・•・/.AEB=∆,EDF,

AB

∙"∙tan∆EDF=tan∆AEB=—AE=2.

故答案为：2.

15.如图，在正方形ABCD中，AB=4√2.对角线AC,BD相交于点。.点E是对角线4C上一

点，连接BE,过点E作EFIBE,分别交CD,B。于点F,G,连接BF,交AC于点H,将△EFH

沿EF翻折，点H的对应点H'恰好落在BD上，得到AEFH'.若点F为CD的中点，则GH'的长是

【答案】

5

3

【解析】

【分析】

本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，图形的翻折等

知识，本题十分复杂，解决问题的关键是关注特殊性，添加辅助线，需要十分扎实的基础和

很强的能力.作辅助线，构建全等三角形，先根据翻折的性质得AEG"'三AEGH,所以AEGH'

的周长=AEGH的周长，接下来计算△EGH的三边即可：证明△BME三△FNE(4S4K□A

BEO三4EFP(44S),得OE=PF=2,OB=EP=4,利用勾股定理计算GH的长.

【解答】

解：如图，过点E作EMlBC于M,作ENICC于N,过点尸作FPlAe于P,连接GH,

BʌʃC

∙.∙1⅜∆EFH沿EF翻折得到^EFH',

:心EGH-EGH,

••・四边形力BCD是正方形，

：.AB=CD=BC=4√2,乙BCD=90°,4ACD=Z.ACB=45°,

.∙.BD=√2FC=8.△CPZ7是等腰直角三角形，

・.•?是CO的中点，

.∙.CF=1CD=2√2,

1

ΛCP=PF=2,OB=^BD=4,

vZ-ACD=∆ACB,EMA.BC,EN1CDf

・•・EM=EN,乙EMC=乙ENC=乙BCD=90°,

ʌ乙MEN=90°,

VEFlBE,

・•・乙BEF=90°,

・•・乙BEM=乙FEN,

VZ.BME=乙FNE,

••・ABME三MNE(ASZ),

・•・EB=EF,

•・•Z.BEO+Z.PEF=Z.PEF+乙EFP=90°,

・∙・Z-BEO=∆EFP,

VZ-BOE=乙EPF=90°,

••.△BE0*EFP(44S),

.∙.OE=PF=2,OB=EP=4,

4,c”GOPF日nOG2

VtanzOFG=-=-,即彳="

・•・OG=1,

.・・EG=√22+I2=√5,

•・・OB//FP,

・•・乙OBH=乙PFH,

：・tan乙OBH=tanZ-PFH,

.OH_PH

,

∙∙∙Ofi=PF

OH4c

——PH=-2=2,

ʌOH=2PH,

-OP=OC-PC=4-2=2,

24

•・・OH=(X2=氤

在Rt/∖OG∕7中，由勾股定理得：GH=∣12+4)2

即加的长为∣.

故答案为?

16.如图，在RtAABC中，∆ACB=90o,AC=1,BC=2,。是边AB上一点.连接CD,将

△力CD沿直线CD折叠，点4落在E处，当点E在C的内部（不含边界）时，4）长度的取值范

围是______

【答案】

—<AD<—

【解析】

【分析】

本题考查了翻折变换，勾股定理，锐角三角函数等知识，求出点E落在AC和BC上时4。的值是

本题的关键.由勾股定理可求AB的长，分别求出当点E落在4B上时和当点E落在BC上时，AD

的长，即可求解.

【解答】

解：•••Z.ACB=90o,AC=1,BC=2,

.∙.AB=√½C2+BC2=√5.

当点E落在48上时，如图,

•••将△4CD沿直线C。折叠，点A落在E处,

.∙.∆ADC=乙EDC=90°,

4ADAC

•.SA=后=而

AD1

.o,

.√5

ʌADγλ=-ξ-

当点E落在BC上时，如图，过点。作DH,AC于H,

・・・将AACO沿直线CD折叠，点4落在E处，

・•・Z-ACD=4ECD=45°,

・・•DH1½C,

・・・∆HDC=Z.HCD=45°,

・•・CH=DH9

右ADHBCn

vtαnΛ=-=-=2,

二HD=2AH=CHf

・・・AC=AH+CH=AH2AH=1,

12

ΛAHCH=I=DH,

∙'∙ad='A*DH2=ʃɑ)2+(I)2=寺

二当点E在△4BC的内部（不含边界）时，40长度的取值范围是g<40<?,

故答案为:苧<AD<李

17.把两个同样大小的含45。角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶

点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B,C,。在同一直线上，则

tan∆ADC=.

【答案】

√3

T

［解

【分析】

本题考查等腰直角三角形，含30度角的直角三角形，锐角三角函数的定义，关键是作4H1BC

于H，构造RtZMHD.

作1BC于H,由4ZBC是等腰直角三角形，得到4"=；BC=^AD,推出44DC=30°,

即可求解.

【解答】

解：作AHIBC于H,

H是BC中点，

1

・・・4H=抑，

∙.,ΔADE=ΔBCA,

ʌAD=BC,

.∙.AH=~AD,

.∙.∆ADC=30°,

.∙.IanZ-ADC=y∙

18.如图，在Rt△力BC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5,AC=6,贝IJtanB的值为

【答案】

3

4-

【解析】

【分析】

本题考查锐角三角函数的定义以及勾股定理，首先求出SB长，再利用勾股定理求出BC长，最

后利用正切定义得出结果.

【解答】

解：在RtZMBC中，∆ACB=90°,

CD是斜边AB上中线,

.∙.AB=2CD=10,

根据勾股定理，得BC=√4B2=8,

*AC63

.∙,tanBd=-=-=-

故答案毋

19.如图，半径为√7的扇形04B中，ZO=60。，C为半径。4上一点，过C作CD1OB于点D,

以C。为边向右作等边ACDE,当点E落在⑪上时，CO=.

【答案】

√3

【解析】

【分析】

本题考查解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握解直角三角形，等边三角

形的性质，勾股定理是解题的关键.

如图，连接0E,设。D=Tn.证明4OCE=90。，利用勾股定理构建方程求解即可.

【解答】

解：如图，连接0E.设。O=nι.

A

ʌ∆CDO=90o,

•・・(CoD=60o,

・•・2OCD=90o-60o=30o,

・•・OC=2OD=2m,

r∙n

在RCAOCD中，•・•SinNCOO=潴，

・••CD=sin60o∙2m

√3

=—∙2πm

=V3τn,

・・•△CDE是等边三角形，

.∙.CD=CE=√3m,乙DCE=60°,

二Z-OCE=M)CD+∆DCE=90°,

ʌOC2+CE2=OE2,

2

ʌ4m2+3m2=(√7),

解得：Wi=±1(负数舍去)，

ʌm=1,

二CD=√3×1=^√r3∙

故答案为：√3.

【答案】

√5

T

【解析】略

三、解答题（本大题共5小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.（本小题8.0分）

如图，在Rt△4BC中，Z.C=90o,M是直角边ZC上一点，MNlAB于点N,AN=3,/M=4,

求CoSB的值.

【答案】

解：・・•ZC=90o,MNLAB,

・•・乙C=乙ANM=90°,

又・.•乙4=乙4,

・•・△AMN〜AABCf

ANAC3

,,AM~AB~41

设4C=3x,AB=4x,

由勾股定理得BC=y∕AB2—AC2=V?x，

••在Rt△i48C中，cosB=—=.

AB4x4

【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义,易证△

AMN*ABC,根据相似三角形的对应边成比例可得第=^=p设AC=3x,AB=4x,利

AMAB4

用勾股定理得到8C="I"—"?=√7χ,即可根据余弦的定义得到答案.

22.（本小题8.0分）

如图，在□ABCC中，过点B作BEICD于E,尸为力E上一点，JELNBFE=ZT.

(1)求证：ZM8F〜△瓦4D；

(2)若/B=6,AD=4,∆BAE=30%求8尸的长.

【答案】

(1)证明：・•・四边形/WCD为平行四边形，

:・AD//BJAB∕∕DCf

・•・(D+ZC=180°,乙BAE=Z.AED,

•・・∆AFB+乙BFE=180o,ZC=乙BFE,

Z-AFB=ZD,

ABF〜AEAD；

(2)解：VBE1CD,ABIlDC,

・•・EB1AB.

.∙.ΔABE为RtΔ,

-AB=6,Z.BAE=30°,

二cos30o=空，

AE

・•・AE=4百，

vʌABF〜XEAD,

''AE=AD

Rn6BF

即：4√5=T'

ʌBF=2√3∙

【解析】本题考查平行四边形的性质，锐角二角函数定义，相似三角形的判定和性质的综合

运用.

(1)根据平行四边形的性质得到NBAE=NAEC,由乙BFE=NC可得乙4FB=N。，即可得到4

ABFSAEAD；

(2)先根据锐角函数定义得到4E,再根据相似三角形的边对应成比例即可求得BF的长.

23.(本小题8.0分)

如图，在平面直角坐标系Xoy中，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点P(-3,1),点A的坐标为

(0,-3),BDIy轴于点E,反比例函数y=竽的图象经过点P∙

(2)若将矩形48C。向下平移n个单位，使点8落在反比例函数y=喑的图象上，求Zl的值;

(3)求COSzPAD的值.

【答案】

解：(1)把P(-3,l)代入y=等得，譬=1，

解得Tn=-5；

(2)∙.∙P(-3,1),点A的坐标为(0,-3),BDLy轴于E,

.∙.PE=3,AE=1-(-3)=4,

则Λ4=√32+42=5.

•••四边形4BCD是矩形，

.∙.PB=PA=5,

∙∙∙B的横坐标为-3+5=2.

则B(2,1),

由Zn=-5,则此反比例函数的解析式为y=*=_?,

JXX

当％=2时，y=一|,

・・・下移的距离H为1一(一|)=今

(3)•・・四边形ABC。是矩形，

ʌPD=PA=5,∆PAD=∆PDAf

・•・点。的横坐标为：(-3)-5=-8,

・・・0(-8,1),

••・4(0,-3),E(0,1),

・•.DE=8,EA=4,

由勾股定理，得ZM=4√5,

.∙.CoSNPAD=COSZPDA==ɪ=-.

DA4√55

【解析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数图象上的坐标特点、矩

形的性质以及求锐角三角函数值.

(1)把点P的坐标代入y=竽即可求得小的值；

(2)根据坐标与图形的性质可得PE、AE,即可求得P4,进而可得B的坐标，再由反比例函数

的解析式即可求得；

⑶由矩形的性质可得"4。=和。的坐标，再求出4。，利用余弦的定义可求出.

24.(本小题8.0分)

(1)如下图所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部α米的点。处，测角仪高为b米，从C点

测得4点的仰角为ɑ,求灯杆AB的高度.(用含α,b,α的代数式表示)

(2)如下图所示，将高度为2米的木杆CG放在灯杆4B前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着

BC方向移动1.8米至C