北京市平谷区2022-2023学年高二年级上册期末教学质量监控数学（含解析）

平谷区2022—2023学年度高二第一学期教学质量监控试卷

数学试题

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，共4页，共150分，考试时间

为120分钟.

2.试题所有答案必须书写在答题纸上，在试卷上作答无效.

3.考试结束后，将答题纸交回，试卷按学校要求保存好.

第I卷选择题（共40分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）

1.直线3尤+2y+l=°在X轴上的截距为（）

1111

A.-B.-C.---D.—

2323

【答案】D

【解析】

【分析】令直线方程中的y=o得出的x值即是直线在x轴上的截距.

【详解】令直线3x+2y+l=0中的y=0,

得x=［，

即直线3x+2y+1=0在x轴上的截距为一；,

故选：D

2.在空间直角坐标系中，已知点A（U,1）,则线段A3的中点的坐标是（）

A.（1,0,1）B.（2,1,1）C.（1,1,2）D.（1,2,3）

【答案】B

【解析】

【分析】通过空间直角坐标系已知线段两端点坐标求中点坐标，只需将各坐标相加并除以2,即可得出中

点坐标.

【详解】在空间直角坐标系中，点3（3,1/），

，线段A3的中点的坐标是（n，一丁，一二一］，

即线段AB的中点的坐标是（2,1,1）,

故选：B.

3.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.从袋中随机抽取两个球，那么

取出的球的编号之和不大于4的概率为（）

1I12

A.-B.~C.-D.一

6233

【答案】C

【解析】

【分析】利用列举法列出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式计算可得；

【详解】从编号为1、2、3、4的4个球中随机抽取两个球，

其可能结果有（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）共6个

其中满足编号之和不大于4的有，（1,2）（1,3）共2个，

21

所以取出的球的编号之和不大于4的概率P=-=-

63

故选：C

4.已知圆/+^一31+出+1=0关于丁=%对称，则实数加等于()

3.3

A.——B.-3C.3D.一

22

【答案】B

【解析】

【分析】把圆关于直线对称转化为直线过圆心，点代入直线计算即可.

【详解】因为圆f+J-3x+my+1=0关于y=%对称，

所以直线＞=%过圆x?+y?-3x+/〃y+1=0的圆心（■|,一晟）

3in

即得巳=一一，解得加=-3,经检验，加=一3满足题意，

22

故选：B.

5.已知平面a,0,直线加，〃，下列命题中真命题是（）

A.若m_L尸，则。_L£B.若加〃〃，m.La,则〃_La

C.若m_La,尸，则a〃4D.若加a,a//ft,nu。，则相〃力

【答案】B

【解析】

【分析】根据线面垂直和面面垂直的性质与判定定理、线面平行的判定定理和性质依次判断选项即可.

【详解】对于A：,,m_Le,mk/3,:.a//f3,故A错误，

对于B：mlIn,〃z_La,由平行线中的一条直线垂直于一个平面，

则另一条也垂直于这个平面可知，故B正确；

对于C：mLa,nX.P

若mu/3,由面面垂直判定定理可知二_L〃，故C错误；

对于D：m//&,二//尸,〃<=/?,二加//〃或加与〃互为异面直线或/〃与"相交，故D错误.

故选：B.

6.已知圆C：x2+y2-2y-4=0,直线/：3x+y-6=0,则直线/被圆。所截得的弦长为（）

A.V10B.C.5D.10

2

【答案】A

【解析】

【分析】先根据圆的一般方程求圆心和半径，再结合半径，弦长和圆心到直线距离的关系式，计算即可.

【详解】已知圆C：f+y2—2y—4=0,所以圆心C（0』）,半径为「=史土2土㈢.=6,

2

圆心。（0,1）到直线/：3x+y—6=0的距离d=与曰=竟=半

所以直线/被圆C所截得的弦长为25一/=2/一曰=2聘=V10

故选:A.

7.“加>0”是“方程/一碎/+m=o表示双曲线,，的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意求出方程表示双曲线的条件，即可判断出结论.

详解】若加=0时，方程f一加y2=—加不表示双曲线；

若相关0时，方程f一加y2=一m0j£_+y2=1为双曲线，则/”>0,

-m

，加>()是方程f-my?=一机表示双曲线的充分必要条件，

故选：C.

8.已知半径为2的圆经过点(1,1),其圆心到直线3x+4y+13=0的距离的最小值为()

A.OB.1C.2D.6

【答案】C

【解析】

【分析】设圆心坐标得到圆的圆心的轨迹方程，再利用点到线的距离公式求解.

【详解】半径为2的圆经过点(1,1),设圆心坐标为(。,份，则(a-l『+S-iy=4

所以该圆的圆心的轨迹是以(1,1)为圆心，2为半径的圆

故圆心到直线3x+4)，+13=0的距离的最小值为点(1,1)到直线的距离减半径，即

|3xl+4xl+13|2.因2.2

^+75

故选：C.

9.某地区工会利用“健步行APP”开展健步走活动.为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中随机抽

取了1000名会员，统计了当天他们的步数(千步为单位)，并将样本数据分为[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),

[11,13),[13,15),[15,17),[17,19),[19,21]九组，整理得到频率分布直方图如图所示，则当天这1000

名会员中步数少于11千步的人数为()

频率

组距

0.15

0.1

79111315171921步数（单位:千步)

A.100B.200C.260D.300

【答案】D

【解析】

【分析】分别求出健步走的步数在［3,5）,［5,7）,［7,9）,［9』1）的人数，即得解.

【详解】这1000名会员中健步走的步数在［3,5）内的人数为0.02x2x1000=40；

健步走的步数在［5,7）内的人数为0.03x2x1000=60；

健步走的步数在［7,9）内的人数为0.05x2x1000=100；

健步走的步数在［9,11）内的人数为0.05x2x1000=100；

40+60+100+100=300.

所以这1000名会员中健步走的步数少于II千步的人数为300人.

故选：D.

22

10.已知耳，居分别是椭圆二+1=1（a>6>0）的左、右焦点，P是椭圆上一点，且p瑞垂直于

a~b~

3

x轴，cosZF.PF.=-,则椭圆的离心率为（）

A.；B.-C.—D.2

252

【答案】A

【解析】

【分析】在直角.中，由cos/FfK得到的等量关系，结合/=。2+02计算即可得到离心率.

3

【详解】由已知cos/£Pg=g,且P居垂直于x轴

又在椭圆中通径的长度为|P瑞|=忙，忻闾="，

44

所以sin/耳尸玛=g,tan/耳PFi=^

tan/R桃=3=陛jl=当

12

故3\PF2\忙，

a

2ac2e4c2r八八

即nn—：---y=------=—，2夕+3e-2=0,

（2e—l）（e+2）=0,又因为0<e<l

解得e=—

2

故选：A

第n卷非选择题（共no分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线

上.）

11.直线x+6），-1=0的倾斜角为.

【答案】150

【解析】

【分析】由直线x+百y—1=（）斜率为女=一日，得到1211。=一半,26[0°180°），即可求解.

【详解】由题意，可知直线x+Gy-1=0的斜率为人=一乎，

设直线的倾斜角为a,贝hana=-等,ae[0°,180°），解得a=150°，

即换线的倾斜角为150°.

【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准

确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

12.北京市某高中有高一学生300人，高二学生250人，高三学生275人，现对学生关于消防安全知识了

解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为〃的样本，其中高三学生有11人，则〃的值等于.

【答案】33

【解析】

【分析】根据分层抽样的性质进行求解即可.

【详解】因为抽取了一个容量为〃的样本，其中高三学生有11人，

故答案为：33.

22

13.已知双曲线±=1（。＞0）的焦距为，则。的值为:此双曲线的渐近线方程是

a-16

【答案】①.8②.y=+-x

【解析】

【分析】根据双曲线标准方程求出上c,再求渐近线方程即可.

22

【详解】因为双曲线乙=1(a>0)的焦距为8后,所以2c=8岔,即

a'16

又因为c?=々2+〃,所以16x5+16,即a,=64河得a=8;

b1

因为双曲线渐近线方程为y=±±x,又因为"=8/=4,所以双曲线渐近线方程为y=±-x

a2

故答案为：8；y=±gx

14.已知抛物线C：y2=2px(P>O)的焦点为F(l,o),则抛物线。的方程是；若“是。上一

点，月0的延长线交y轴于点N,且M为FN的中点，则|/W|=.

【答案】①.y2=4x(2).3

【解析】

【分析】利用C：尸=2px(〃>0)的焦点坐标为已知焦点坐标求得P,

得到抛物线的方程；利用中点坐标公式求得M的横坐标，

利用抛物线的定义求得M到焦点的距离，进而得到所求.

【详解】抛物线C：y2=2px(p>o)的焦点为"i,o),可得〃=2,则抛物线。的方程是丁=4c

由〃为WV的中点，N在N轴上，N的横坐标为0,b的横坐标为1,得M的横坐标为

抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，

M是抛物线上的点，F是抛物线的焦点，抛物线C：：/=22%5>0)的准线方程为*=—_^=—1,

\MF\=XM+y=1+1=p

:.\FN\^2\FM\^3.

故答案为：y2=4x；3.

15.在直角坐标系中，。为坐标原点，曲线W的方程是+v+N=i,为W上的任意一点.给出下

面四个命题：

①曲线W上的点关于x轴，V轴对称；②曲线W上两点间的最大距离为20；

17

③I。”取值范围为-,1；④曲线W围成的图形的面积小于

则以上命题中正确的序号有.

【答案】①③

【解析】

【分析】根据对称性，最值及图像特征分别判断命题即可.

【详解】对于①，设p（x,y）在曲线W的方程上，因为P'（x,-y）也在曲线W的方程上,

y）也在曲线W的方程上，所以曲线W上的点关于x轴，y轴对称;故①正确

对于③|OP|=y/x2+y2=1—N,又因为曲线W的方程是y/x2+y2+|y|=l,

所以J7三=1一|",即得/+/=1一2|乂+32,%2=1-2况20,

得0«3«工,所以|0P|=i—|y|e,故③正确

对于④当y»（）时，曲线W的方程为y=；（l—丁），曲线卬与工轴交点A（1,O）与y轴交点

曲线W上的点关于x轴对称可以得到曲线卬的大致图像，

曲线W围成的图形的面积大于4S°A,=4xgxlx；=l,故④错误；

对于②，如图及曲线W的对称性可知，曲线W上两点间的最大距离为2|。4|=2x1=2,故②错误；

故答案为:①③

三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16.如图，在正方体ABC。-ABC。中，正方体的棱长为2,£为的中点.

（I）求证：AB1AD.；

（2）求直线A4与平面AQE所成角的正弦值；

（3）求Bq到平面ADE的距离.

【答案】（1）证明见解析

（2）-

3

（3）-

3

【解析】

【分析】（1）以A为原点，ARARAT所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，向量法即可

证出；

（2）求出平面的一个法向量，再根据线面角的向量公式即可求出；

（3）根据点到平面的距离向量公式即可求出.

【小问1详解】

以A为原点，AD,A8,A4所在的直线分别为x,»z轴如图建立空间直角坐标系，则

A（0,0,0）,B（0,2,0），A（2,0,2）,

A6=（O,2⑼,蝴=（2,0,2）

ABA£）1=2x0+0x2+2x0=0

AB1AD,

【小问2详解】

因为正方体的棱长为2,A（0,0,0）,A（0,0,2）,£）,（2,0,2）,£（0,2,1）

AA4,=(0,0,2),AD}=(2,0,2),AE=(0,2,1),

rz、〃•AD.=2x+2z=0

设平面的一个法向量为n=(x,y,z)，则

n•AE=2y+z=0

令z=2，则x=-2,y=-l,〃=(-2,-l,2),

设直线A4与平面AD,E所成角为6,则sin。=11=

422

I2X74+1+4I=3,故直线A%与平面所成角的正弦值为§.

【小问3详解】

•.•C（2,2,0）,3£=（2,0,2）由（2）知,平面所的法向量为〃=（—2,—1,2）,

：.BCcn^0：.BC]//平面ARE,

所以8G到平面ARE的距离可以转化为点B到平面AO|E的距离，

/、\n•AB9?

AB=（0,2,0）,d=J____।=2=±

\n\-4+1+43

17.某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.

方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；

方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5,0.6.0.9,且三门课程考试是否及格相互之

间没有影响.求：

（1）该应聘者用方案一考试通过的概率；

（2）该应聘者用方案二考试通过的概率.

【答案】（1）0.75;（2）0.43;

【解析】

【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件的加法公式直接计算即可；

（2）分情况结合乘法公式即互斥事件加法公式即可得解.

【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C，

则尸（4）=0.5,P（B）=0.6,P（C）=0.9,

应聘者用方案一考试通过的概率：

Pi=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=0.5x0.6x0.9+（l-0.5）x0.6x0.9+0.5x（l-0.6）x0.9+0.5x0.6x（l-0.9）

=0.27+0.27+0.18+0.03

=0.75；

（2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为工，

3

考试通过概率：

P2=gp（A叫Pg+：P（AC）

=-x0.5x0.6+-x0.6x0.9+-x0.5x0.9

333

=0.1+0.18+0.15

=0.43.

18.已知椭圆C：工+==1（a>6>0）的短轴长为4,离心率为好.点P为圆/：/+236

a2b23

上任意一点，。为坐标原点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）记线段OP与椭圆。交点为。，求|P0的取值范围.

22

【答案】（1）三+汇=1

94

（2）[1,2]

【解析】

【分析】（1）根据椭圆的离心率公式及〃=。2一。2,即可求得"和Z,的值，求得椭圆方程；

（2）根据两点之间的距离公式|OQ|=，4+茅，根据由€［-3,3J,即可求得|PQ|的取值范围；

【小问1详解】

由题意可知：2b=4,e---»/?2=6f2-c2=4»则。=3,c=^5

a3

22

•••椭圆的标准方程：三+二=1;

94

【小问2详解】

由题意可知：归。=|0"-|0。=4一|。。|，

22

设。&,芳），则.+,=I,

•••31="#+上=卜：+（4一於

由西目-3,3］,当占=0时，100^=2，当司=±3时，|。。1M=3，

••.|PQ|的取值范围［1,2］；

19.某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了

100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：［20,30）,［30,40）,…，［80,90］,并整理得到频率

（1）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；

（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间［40,50）内的人数；

（3）估计随机抽取的100名学生分数的众数，估计测评成绩的75%分位数；

（4）已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体

中男生和女生人数的比例.

【答案】（1）0.2

（2）25人

（3）众数为75；测评成绩的75%分位数为78.75

（4）3:2

【解析】

【分析】（1）由对立事件结合频率分布直方图先得出数不小于60的频率，即可得出分数小于60的频

率，则可得出总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计值；

（2）先由频率分布直方图可得分数不小于50的频率，即可得出分数不小于50的人数，在集合题意即可

得出总体中分数在区间［40,50）内的人数；

（3）总数为频率分布直方图中频率最高的分数区间的中间值，测评成绩的75%分位数先得出从前到后的

频率之和为0.75时在那个区间，在通过频率求出；

（4）先由频率分布直方图可得分数不小于70的学生人数，在通过已知得出样本中的男女生比例，即可

得出总体中男女生的比例估计.

【小问1详解】

由频率分布直方图可得分数不小于60的频率为：（0.02+0.04+0.02）x10=0.8,

则分数小于60的频率为：1—0.8=02,

故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为0.2；

【小问2详解】

由频率分布直方图可得分数不小于50频率为：（0.01+002+0.04+0.02）x10=0.9,

则分数在区间［40,50）内的人数为：100-100x0.9-5=5人，

则总体中分数在区间［40,50）内的人数为：500x高=25人；

【小问3详解】

由频率分布直方图可得分数在区间［70,80）的频率最高，

则随机抽取的100名学生分数的众数估计为75,

由频率分布直方图可得分数小于70的频率为0.4,分数小于80的频率为0.8,

则测评成绩的75%分位数落在区间［70,80）上，

035

则测评成绩的75%分位数为70+1Ox=78.75；

0.4

【小问4详解】

由频率分布直方图可得分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)x10x100=60人，

因为样本中分数不小于70的男女生人数相等

所以样本中分数不小于70的男生人数为60x1=30人，

2

又因为样本中有一半男生的分数不小于70,

所以样本中的男生共有30x2=60人，

则样本中的女生共有100-60=40人，

所以总体中男生和女生人数的比例估计为60:40=3:2.

20.如图，四棱雉P—A8CZ)中，底面A8CO为矩形，平面ABCD,£为PD的中点.

(1)求证：依〃平面AEC；

(2)求证：平面PCD_L平面APD；

(3)设平面A4E与平面夹角为60。，AP=\，AD=6求AB长.

【答案】(I)答案见解析

3

(2)答案见解析(3)—

2

【解析】

【分析】(1)连BD交AC于。点，连接OE,由线面平行判定定理可证；

(2)证明8,平面勿。，则应用面面垂直的判定定理证明即可；

(3)建立空间坐标系，求出两平面的法向量，利用法向量的夹角公式运算得出AB的长.

【小问1详解】

连3。交AC于。点，连接OE,

♦.•。为3。中点，E为PD中盘.：.PB//OE,QEu平面平面A£C

；.PB〃平面AEC

【小问2详解】

*/PA_L平面ABCD,CDcz平面ABCD,

：.PA±CD,

：ABC。为矩形，D4，CO,

又B4cA。=A,/%u平面PAD,ZMu平面24。

.••。。1_平面24。，又8u平面尸CD.

・•・平面PCO_L平面APT)；

【小问3详解】

以A为原点，以AB,AD,AP为坐标轴建立空间坐标系如图所示,

设A8=a,则A(0,0,0),C(小石，0),D(0,73.0),P(0,0,1),E(0,—,；),

22

•*,AC—("'y/3>。),AE=>3")'AP=(0,0,1),

22

显然加=(1,0,0)为平面AEO的一个法向量,

ax+JSy-0

n-AC=0

设平面ACE的法向量为〃=(x,y,z),则《即《

V31n

n-AE=0

I272

令z=5/3得加=(，-1，>/3)，

a

•平面D4E与平面AEC夹角为60°,

1

m-n

~2，

A|cos<m9n>|=|I―iTj

33

解得。,即A5=—.

22