2022-2023学年北京市首都师范大学第二附属中学九年级数学上学期期中考试试卷含详解

首都师大二附中2022-2023学年第一学期期中练习

科创数学

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1.“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作

用.瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产.下面“瓦当”图案中既是

轴对称图形又是中心对称图形的是（）

2.边长为2的正方形内接于。O,则。。的半径是（）

A.1B.V2C.2D.2及

3.抛物线y=-/+2和>=一（》+2尸的对称轴分别是（）

A.y轴，直线x=2B.直线x=2,x=-2C.直线1=-2,直线x=2D.y轴，直线x=-2

4.已知团是关于x的方程3=0的一个根，则2m2一4m+2=（）

A.5B.8C.-8D.6

5.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知防=CD=4cm,则球的半径长是

A.2cmB.2.5cmC.3cmD.4cm

6.如图，四边形A3CD内接于O,2=110。，则/AOC的度数是（）

A.110°B.130°C.140°D.155°

7.如图，如图，0M的半径为2,圆心M的坐标为（3,4）,点尸是〈-M上的任意一点，PA上PB，PA,PB

与x轴分别交于A,8两点，若点A、点B关于原点。对称，则AB的最小值为（）

A.3B.4C.5D.6

8.如图，二次函数丁=依2+法+c（a。。）图象经过点A,B,C.现有四个推断:

川

5-

：3c

।

4r__-4----2-

i

!1-

12x

①抛物线开口向下;

②当x=—2B寸，y取最大值;

③当“<4时.关于x的一元二次方程由：2+法+°=根必有两个不相等的实数根;

④直线y=履+。（左。0）经过点A,C,当AX+C>OX：2+bx+c时，X的取值范围是一4<x<0；

其中推断正确的是（）

A.①②B.①③C.①③④D.②③④

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9.若一元二次方程仕+1）/一2%+公一1=0的一个根是o,则％的值是.

10.响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明家利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月

份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率.设6月份到8月份盈利的月平均

增长率为X,根据题意，可列方程为.

11.二次函数y="2+w+c（0<A<3）的图象如图所示，则y的取值范围是.

12.在平面直角坐标系xOy中，点A（-l,根）绕坐标原点。顺时针旋转90°后，恰好落在如图中阴影区域（包括

13.如图，。。是AABC的外接圆，若NACO=40。，则的度数为

14.根据下列表格中y=G?+/?x+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程+Z?x+c=0（存0,a,b,c

为常数）的一个解x的范围是.

617

X6.186.196.20

y=ax2+fex+c-0.03-0.010.020.04

15.如图，点A、B、C在：。上，BC//OA,连接80并延长，交。。于点。，连接AC,DC.若

NA=25°,则NO的大小为

22〃+114cA

16.对于每个正整数小抛物线丁二x〃（〃+°%+W2+1）与x轴交于4，纥两点，若4纥表示这两点间的距离，

则4纥=（用含”的代数式表示）：44+4为++4（）22与022的值为

三、解答题（本大题共52分，第17-20题，每小题4分，第21-22题，每小题5分，第23-24题，每

小题6分，第25-26题，每小题7分）

17.解方程：X2+4X-11=0.

18.阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：

已知：/AC8是ABC的一个内角.

求作：ZAPB^ZACB.

小芸的作法如下：如图.①作线段AB的垂直平分线相；②作线段的垂直平分线”，与直线相交于点。；③以

点。为圆心，为半径作圆；④则。为.ABC的外接圆；⑤在弧ACB上取一点P,连结AP,BP，所以

ZAPB^ZACB.

根据小芸设计的尺规作图过程.

(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明：

证明：连接。4,OB,0C；

由作图可知。A=0B=0C(①__________),(填推理的依据)

0A-OB=0C>

。为ABC的外接圆.

•.•点c,P。上，AB=AB<

ZAPB=ZACB(②).(填推理的依据)

19.已知关于x的一元二次方程/一成;一1=().

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求”的值.

20.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过

市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利

2240元,请回答：

(1)每千克核桃应降价多少元？

(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

21.如图，在平面直角坐标系xSxOy中，点A(3,3),3(4,0),C(0,-l).

（1）以点C为旋转中心，把一ABC逆时针旋转90°,画出旋转后的A'B'C；

（2）在（1）的条件下，

①点A经过的路径AA'的长度为（结果保留兀）；

②连接88'，线段的中点的坐标为.

22.如图，AB为。O的直径，CO为弦，CCAB于点E,连接。。并延长交。O于点凡连接AF交CD于点G,

CG=AG,连接AC.

（1）求证：AC//DF-,

（2）若AB=12,求AC和GD的长.

23.如图，排球运动场的场地长18m,球网高度2.24m,球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m.一名球

员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分.

6.....""T"

y\2.24m

左边界上---------------------------------少----------------------------------右边界

<-----------------------9m---------------------------X-----------------------9m----------------------->

在球运行时，将球与场地左边界的水平距离记为X（米），与地面的高度记为y（米），经多次测试后，得到如下数

据：

X（米）0124678

y（米）22.152.282.442.52.492.44

(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据己知数据描点，并用平滑的曲线连接;

(2)击球点高度为米，排球飞行过程中可达到的最大高度为米;

(3)求出y与x的函数解析式；

(4)判断排球能否过球网，并说明理由.

24.在平面直角坐标系xOy中，点A(2,—1)在二次函数y=f—(2根+1)尤+根的图象上.

(1)直接写出这个二次函数的解析式：

(2)当〃WxSl时，函数值的取值范围是一l<y<4-〃，求〃的值；

(3)将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O.设平移后的图象对应的函数表达式为

y=a(x-h)2+k,当x<2时，y随x的增大而减小，求出的取值范围.

25.已知正方形4BCZ),将线段B4绕点B旋转a(0°<a<90°),得到线段BE,连接EA,EC.

(1)如图1,当点E在正方形ABC3的内部时，若BE平分N4BC,AB=4,贝i]/4EC=°,四边形A8CE的

面积为;

(2)当点E在正方形A8CO的外部时，

①在图2中依题意补全图形，并求NAEC的度数；

②作/EBC的平分线B尸交EC于点G,交EA的延长线于点凡连接CF.用等式表示线段AE,FB,尸C之间的数

量关系，并证明.

26.如图1,。/与直线a相离，过圆心/作直线a的垂线，垂足为H,且交。/于尸，。两点(Q在尸，H之

间).我们把点尸称为。/关于直线a的“远点”，把POP"的值称为。/关于直线a的“特征数”.

y

图2

(1)如图2,在平面直角坐标系xO)，中，点E的坐标为(0,4),半径为1的。。与两坐标轴交于点A,B,C,

D.

①过点E作垂直于y轴的直线w,则。。关于直线，"的“远点”是点(填“A”,“B”,

“C”或“£>”)，(DO关于直线山的“特征数”为：

②若直线〃的函数表达式为y=JL:+4,求。。关于直线〃的“特征数”；

(2)在平面直角坐标系xQy、中，直线/经过点M(l,4),点尸是坐标平面内一点，以尸为圆心，也为半径作

OF.若。尸与直线/相离，点N(-1,0)是关于直线/的“远点”，且关于直线/的“特征数”是

6瓜,直接写出直线/的函数解析式.

首都师大二附中2022-2023学年第一学期期中练习

科创数学

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1.“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作

用.瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产.下面“瓦当”图案中既是

轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【答案】B

【分析】根据圆的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答.

【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误；

B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项正确；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误.

故选B.

【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折

叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

2.边长为2的正方形内接于。。，则。。的半径是（）

A.1B.&C.2D.2正

【答案】B

【分析】连接OB,CO,在RtZkBOC中，根据勾股定理即可求解.

【详解】解：连接08,0C,则0C=08,ZB0C=90°,

Be2-

在RsBOC中，OB===

.•.（D。的半径是正，

【点睛】此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题.

3.抛物线y=-丁+2和y=—*+2)2的对称轴分别是()

A.y轴，直线x=2B.直线x=2,x——2C.直线x=—2,直线x=2D.y轴，直线x=—2

【答案】D

【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出对称轴.

【详解】解：y=-/+2的对称轴为y轴；

y=—(x+2＞的对称轴为直线4-2,

故选：D.

【点睛】此题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法.利用解析式化为y=a(x-〃)2+A,顶点坐标是(h,k),对

称轴是直线x=h得出是解题关键.

4.已知，〃是关于x的方程犬―2x—3=0的一个根，则2机2一4m+2=()

A.5B.8C.-8D.6

【答案】B

【分析】根据题意可将机代入f—2x—3=0,得加2一2加=3.再将2加2一4m+2变形为2(机2—2/”)+2,最

后整体代入求值即可.

【详解】•••〃?是关于x的方程炉―2x—3=0的一个根，

nr-2m-3=0，

•**m2-2m=3，

2m2—4m+2=2(m2—2m)+2=2x3+2=8.

故选B.

【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值.掌握一元二次方程的解就是使该方程成立的未知数的

值和利用整体代入的思想是解题关键.

5.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知"=CD=4cm,则球的半径长是

()

AD

A.2cmB.2.5cmC.3cmD.4cm

【答案】B

【分析】取EE的中点M，作MN工于点M,取MN上的球心0,连接OF,设。E=x,则

OM=MN-ON=4-x,MF=2,然后在RtMQF中利用勾股定理求得好的长即可.

【详解】解：取石户的中点M,作MN工AD于点M,取MN上的球心。，连接OF,

:♦ME=MF=2,

:四边形A6Q9是矩形，

ZC=ZZ)=90°,

...四边形CDMN是矩形，

:.MN=CD=4,

设O/=x,则QV=。产，

：.OM=MN—ON=4—x,MF=2,

在直角三角形中，=0^2

即：（4—尤1+22=》2

解得：x=2.5

故选：B.

【点睛】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，矩形的判定与性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的

关键.

6.如图，四边形ABCD内接于1O,"=110。，则NAOC的度数是（）

A110°B.130°C.140°D.155°

【答案】C

【分析】先利用圆内接四边形的对角互补计算出的度数，然后根据圆周角定理得到NAOC的度数.

【详解】解：ZB+Z£>=180°,

...ZB=180°—110°=70°,

.-.ZAOC=2ZB=140o.

故选：C.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补.

7.如图，如图，的半径为2,圆心M的坐标为（3,4）,点p是（也上的任意一点，PAJ.PB，PA，PB

与x轴分别交于A,B两点，若点A、点8关于原点。对称，则A3的最小值为（）

【答案】D

【分析】由应八47归中=尸知要使AB取得最小值，则P。需取得最小值，连接OM,交。M于点产，当

点P位于P位置时，0P'取得最小值，据此求解可得.

【详解】解：连接0P,

A0\BQx

PALPB，

.-.ZAPS=90°,

AO=BO,

:.AB=2PO,

若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，

连接OW,交：M于点P,当点尸位于P，位置时，0P取得最小值,

过点M作〃Q±x轴于点。，

则。。=3、MQ=4,

:.OM=5,

又MP=2,

..O产=3,

AB=2OP=6,

故选：D.

【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB

取得最小值时点P的位置.

8.如图，二次函数丁=。^+历c+c（awo）的图象经过点.现有四个推断：

A,BIc

*

5-

51--------4-

：3-C

"r一一一4一一一2一

।।

1-

1111J1.

-4-3-2-1012x

-1-

①抛物线开口向下；

②当x=—2时，y取最大值；

③当机<4时.关于尤的一元二次方程分2+法+c=；„必有两个不相等的实数根；

④直线y=Ax+c（攵。0）经过点4,C,当依+c>ox2+/?x+c时，x的取值范围是-4<x<0；

其中推断正确的是（）

A.①②B.①③C.①③④D.②③④

【答案】B

【分析】用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象和性质，逐项进行判断即可.

【详解】解：由图象可知点4（-4,2）,6（-2,4）,。（0,3）,代入了=办2+法+4。。0）得到，

16。一4Z?+c=2

<4。-20+c=4,

c=3

3

a=—

8

解得，b=--,

4

c=3

35

,•二次函数的解析式为y=-工/9一+3,

84

3

8

••抛物线开口向下，故①正确;

\2

.•y-3二597

X4—H------，

-8483724

...当x=-|时，y取最大值，故②错误；

as"s'?。7，597

,**y=——x2——x+3=——x+—H---的顶点坐标是一；,丁

,84813）241324

97

当机<4<——时，直线y=）篦与抛物线有两个交点，

24

,•关于犬的一元二次方程改2+法+C=加必有两个不相等的实数根；故③正确;

.•直线y="+c（攵wO）经过点A,c,

♦•当丘+0<以2+加+。时，x的取值范围是~4<x<0,故④错误,

综上可知，正确的是①③，

故选：B

【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，利用图象法判断方程的根和求不等式的

解集等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9.若一元二次方程化+1）%2-2%+公_1=0的一个根是（），则上的值是.

【答案】1

【分析】根据一元二次方程的解的定义，可得/―1=0且Z+1关（），即可求解.

【详解】解：•••一元二次方程伏+1)公-2%+左2-1=0的一个根是()，

二女2一1=0且左+1。0,

解得：k=T.

故答案为：1

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的

解是解题的关键.

10.响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明家利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月

份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率.设6月份到8月份盈利的月平均

增长率为x,根据题意，可列方程为.

【答案】24000(1+才=34560

【分析】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为x,根据该商店6月份及8月份的利润，可得出关

于x的一元二次方程；

【详解】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为x

24000(1+=34560

故答案为：24000(1+x)2=34560.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程.

11.二次函数y=ax2+/>x+c(0<x<3)的图象如图所示，则y的取值范围是.

【答案】7球3

【分析】根据图象中的数据可以得到当0S於3时，函数值y的取值范围.

【详解】解：由图象可知，

当0处3时，函数值y的取值范围-1W)03.

故答案为：-1S)W3.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解

答.

12.在平面直角坐标系xOy中，点4(-1,〃?)绕坐标原点。顺时针旋转90°后，恰好落在如图中阴影区域(包括

边界)内，则加的取值范围是

【答案】

【分析】由题意，将阴影区域绕着点O逆时针旋转90。，与直线X=-1交于C,D两点，则点A在线段CD上，据

此可得m的取值范围.

【详解】解：如图，将阴影区域绕着点。逆时针旋转90。，与直线％=-1交于C,D两点，则点A(-1,m)在线

又••,点D的纵坐标为2,点C的纵坐标为3,

；.m的取值范围是2<m<3,

故答案为：

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点

的坐标.

13.如图，。。是AABC的外接圆，若/ACO=40。，则的度数为.

【答案】50。.

【分析】由题意先根据OA=OC,ZACO=40°可得出/CAO=40。，故可得出/AOC的度数，再由圆周角定理即

可得出答案.

【详解】解：连接OA,如图,

：NACO=40。，OA=OC,

.,.ZCAO=ZACO=40°,

.".ZAOC=100°,

.*.ZB=50o.

故答案为：50°.

【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角的一半是解答此题的关键.

14.根据下列表格中y=g?+Z?x+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程g?+/?x+c=0（a，0,a,b,c

为常数）的一个解x的范围是.

X6.176.186.196.20

y=ax2+法+c-0.03-0.010.020.04

【答案】6.18<x<6.19

【详解】解：由表格中的数据看出-0.01和0.02更接近于0,故x应取对应的范围.

故答案为：6.18<x<6.19.

【点睛】考点：抛物线与x轴的交点.

15.如图，点A、B、。在（。上，BC//OA,连接80并延长，交（。于点O,连接AC，DC.若

NA=25°,则/。的大小为°.

【答案】400

【分析】由平行线的性质得/ACB=NA=25。，由平行线的性质和圆周角定理得NB=/AOB=2NACB=50。，由

圆周角定理得N3C£>=90。，再由直角三角形的性质即可得出答案.

【详解】解：•.•8C〃0A,

ZACB=ZA=25°,ZB=ZAOB=2ZACB=50°,

；8。是。。的直径，

ZSCD=90°,

"=90°-ZB=90°-50°=40°.

故答案为：40°.

【点睛】本题考查平行线的性质，圆周角定理，直径所对圆周角性质，直角三角形的性质，掌握这些知识，会用

这些知识解决问题是本题关键.

16.对于每个正整数n,抛物线>="而而而旬与x轴交于A,>B“两点，若”表示这两点间的距离,

则（用含〃的代数式表示）：44+4与++402282022的值为.

]2022

【答案】①.

«(«+!),2023

22/?+11

【分析】先整理y=x-7^八工十7丁，然后求出一元二次方程的根，根据两点间的坐标差求出距离，找出

nyn+\）nyn+1）

规律解答即可.

2〃+1I

【详解】解：：y=x2---------XH

/?(n+1)----/?(«+1)

当y=o时,0,

解得.x2=-^―

n〃+1

・・.抛物线与x轴交点坐标为（：，°）和4

…111

由题意，A,5„=---

+1)，

那么，44+&打++A2O22B2O22

=i"-

2023

_2022

~2023,

]2022

故答案为：/1\，

4〃+1)2023

【点睛】本题考查了抛物线与X轴的交点：把求二次函数y=以2+法+。（mb,C是常数，。工（））与X轴的交

点坐标问题转化为解关于X的一元二次方程.也考查了二次函数的性质、分式的加减法.

三、解答题（本大题共52分，第17-20题，每小题4分，第21-22题，每小题5分，第23-24题，每

小题6分，第25-26题，每小题7分）

17.解方程：X2+4X-11=0.

【答案】玉=一2+而，x2=-2-715

【分析】利用公式法解一元二次方程即可.

【详解】解：X2+4X-11=0

由题意得，a=l,Z?=4,c=-ll,

,/A=Z?2-4ac=42-4xlx（-ll）=60,

.—b±yjb2—4-ac—4±A/60?十

2a2x1

X]=~2+J15,x2=-2-J15-

【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.

18.阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：

已知：NAC8是的一个内角.

求作：ZAPB=ZACB.

小芸的作法如下：如图.①作线段的垂直平分线网②作线段BC的垂直平分线〃，与直线相交于点O；③以

点。为圆心，为半径作圆；④则。为..A5C的外接圆；⑤在弧AC8上取一点P,连结小，BP，所以

ZAPB^ZACB.

根据小芸设计的尺规作图过程.

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：连接Q4,OB,OC-,

由作图可知。4=。3,OB=OC（①_________）,（填推理的依据）

0A-0B-0C>

二C。为一A8C的外接圆.

点C,尸在：。上，AB=AB>

：.ZAPB=ZACB（②）.（填推理的依据）

【答案】（1）见解析（2）线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等，同弧所对的圆周角相等

【分析】（1）根据步骤作图即可；

（2）利用线段的垂直平分线的性质证明。为的外接圆，再根据同弧所对的圆周角相等即可得到结论.

【小问1详解】

由作图可知。4=。？，OB=OC（线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等）

0A-0B-0C1

•••。为一A8C的外接圆.

•.•点C,P在0O上，AB=AB>

：.ZAPB=ZACB（同弧所对的圆周角相等）.

故答案为：线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等，同弧所对的圆周角相等

【点睛】此题考查了作图一复杂作图，线段垂直平分线的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是正确作出图

形，灵活应用所学知识解决问题.

19.已知关于x的一元二次方程x2-ur+a-l=0.

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求。的值.

【答案】（1）见解析（2）a的值为3

【分析】（1）根据一元二次方程办2+bx+c=0（a#0）,根的判别式为△=£s=〃-4ac，进行化简即可证明;

（2）根据根与系数的关系，以及根的倍数关系，列方程，解方程可得答案.

【小问1详解】

证明：-4（a-l）=a2-4«+4=（a-2）2,

V（a-2）2>0,

，该方程总有两个实数根.

【小问2详解】

解：设该方程的一个根为xi,则另外一个根为2M,

x,+2x,=a@

则，

2%2="_[②

由①得西="|，

代入②可得：2a2一9a+9=0，

3

解之得力=3,a2=—,

又因为该方程的两个实数根都是整数，

所以。=3.

【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据题意，灵活运用所学知识是解题的关键.

20.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过

市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利

2240元，请回答：

（1）每千克核桃应降价多少元？

（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，扁得市场，该店应按原售价的儿折出售？

【答案】（1）4元或6元；（2）九折

【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量X每件利润=2240元列出方程求解即可；

（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折.

【详解】解：3）设每千克核桃应降价x元

x

根据题意，得（60-X-40）（100+-X20）=2240,

2

化简，得X?-10x+24=0,

解得xi=4,X2=6.

答：每千克核桃应降价4元或6元.

（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.

•.•要尽可能让利于顾客，

；•每千克核桃应降价6元

此时，售价为：60-6=54（元），

54

—xl00%=90%

60

答：该店应按原售价的九折出售.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程.

21.如图,在平面直角坐标系xOyxOy中，点A（3,3）,3（4,0）,C（0,-l）.

（1）以点C为旋转中心，把,ABC逆时针旋转90°,画出旋转后的A'B'C；

（2）在（1）的条件下，

①点A经过的路径A4,的长度为（结果保留兀）；

②连接BB'，线段BB'的中点的坐标为.

【答案】（1）见解析（2）①彳兀，②3,彳

【分析】（1）根据旋转的定义作出点A、8绕点C逆时针旋转90°得到的对应点，再顺次连接可得；

（2）①先由勾股定理求出半径，根据弧长公式列式计算即可；②根据（1）中所作图形可得点3,的坐标，由中点

坐标公式即可求得答案；

【小问1详解】

如图所示：

AB'C'即为所作;

【小问2详解】

①依题意得：AC=V32+42=5，NAC4'=90°，

90x)x55

.♦.点A经过的路径的长为------=—兀，

1802

故答案为：一兀；

2

②由图知点的坐标为（T,3）,又由8（4,0）,

-1+43+0，即|3、

•••线段38'的中点的坐标为

222>

33)

故答案为:2'2)'

【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，弧长公式、中点坐标公式，解题的关键是根据旋转角度、旋转方向、旋转

中心作出对应点.

22.如图，AB为。。的直径，8为弦，于点E,连接。。并延长交。O于点凡连接AF交C£）于点G,

CG=AG,连接AC.

(1)求证：AC//DF-,

(2)若AB=12,求AC和GO的长.

【答案】(1)见解析(2)AC=6,DG=4C

【分析】(1)根据圆周角定理得到NC=NR由GA=GC推出NCAQNC得到NCAQNF,即可得到结论

AC//DF.

(2)连接4D,利用AC〃。b推出NON1,根据圆周角定理得到NC=，N2,进而证得△A。。是等边三角形,

2

得到AO=AO=；AB=6.利用垂径定理求出4C=AO=6,利用三角函数求出AG.

【小问1详解】

证明：

VC,尸都。。上，

JZC=ZF.

■:GA=GC,

・•・ZCAF=ZC.

・・・ZCAF=ZF.

AC//DF.

【小问2详解】

解：连接A。.

<AC//DF,

：.ZC=Z1,

,:AD=AD，

：.ZC=-Z2.

2

AZl=-Z2.①

2

ABVCD^E,

NBED=90°.

Zl+Z2=90°.②

,.由①，②得N1=30°,Z2=60°.

.*OA=OD,

：.ZVI。。是等边三角形.

AD-AO——AB—6.

2

•.,直径于E,

,AC=AD-

AC=AD=6.

'：△AO。是等边三角形，

/AOO=60°,Zl=30°.

Z3=ZAOD-Z1=30°

：OF是。。的直径，

/.ZMD=90°.

An广

.•.在RtaGAO中，DG二-----=4V3.

cosZ3

【点睛】此题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定及性质，锐角三角函数，平行线的判定定理，熟

记圆周角定理及垂径定理是解题的关键.

23.如图，排球运动场的场地长18m,球网高度2.24m,球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m.一名球

员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分.

,—--E

y2.24m

左边界土右边界

X

、<ymA

在球运行时，将球与场地左边界的水平距离记为x（米），与地面的高度记为）♦（米），经多次测试后，得到如下数

据:

X（米）0124678

》（米）22.152.282.442.52.492.44

（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接;

（2）击球点的高度为米，排球飞行过程中可达到的最大高度为米;

（3）求出y与x的函数解析式；

（4）判断排球能否过球网，并说明理由.

【答案】（1）见解析（2）2,2.5

,、2

（3）y----1-xH—1x+2c

726

（4）能，理由见解析

【分析】（1）先根据已知数据描点，然后用平滑的曲线连接；

（2）由表格和函数图象即可求得击球点的高度和排球飞行过程中可达到的最大高度;

（3）根据表格数据设顶点式，然后代入数据即可求得答案；

（4）根据y与x的函数解析式，令户9代入求得y的值与2.24比较即可得到答案.

【小问1详解】

解：..,当x=0时，y=2,

...击球点的高度为2米；

由表格和函数图象可得，抛物线的顶点坐标为（6,2.5）,

...排球飞行过程中可达到的最大高度为2.5米；

【小问3详解】

解：由表格和函数图象可得，抛物线的顶点坐标为（6,2.5）,

.,.设y与x的函数解析式为y=a(x—6)~+2.5,

：,当x=0时，y=2,

2=36。+2.5,

解得：a=----,

72

1,

/.—(x-6)'+2.5；

【小问4详解】

解：排球能过球网.

•

,+Z5

理由如下：y=(63r

712

2

X+Z

当x=9时，y=—

72

,/2.375>2.24,

*,•排球能过球网.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式、画二次函数解析式，熟练掌握二次函数的

图象与性质是解题的关键.

24.在平面直角坐标系xOy中，点4(2,-1)在二次函数y=f-(2根+1»+加图象上.

(1)直接写出这个二次函数的解析式；

(2)当〃时，函数值的取值范围是一14y44-〃，求"的值；

(3)将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O.设平移后的图象对应的函数表达式为

y^a(x-h)2+k,当x<2时，>随x的增大而减小，求人的取值范围.

【答案】(1)y=—3x+1

(2)n=-1

(3)左

【分析】(1)将点A(2,一l)代入二次函数解析式即可求解；

3

(2)求出抛物线的对称轴为x=5，由函数图象开口向上可知，当〃WxWl时，y随x的增大而减小，因此当

%=〃时丁=4一〃，解关于〃的一元二次方程即可求解；

(3)根据平移的性质得出。=1,利用“x<2时，y随x的增大而减小”得出再将(0,0)代入二次函数解

析式可得％=-/?,进而可得出％的取值范围.

【小问1详解】

解：•.•点A(2,—1)在二次函数y=--(2机+l)x+机的图象上,

-1=22-(2m+1)x2+m,

解得加=1,

二次函数的解析式为y=x2-3x+l.

【小问2详解】

解：•.•二次函数的解析式为y=/—3x+l,

抛物线开口向上，对称轴为尤=」-(~-3^)=一3，

22

3

.•.当时，y随x的增大而减小，

当x=l时，y-3+1=-1,

当X=〃时，y=〃2-3〃+l,

•.•当〃时，函数值的取值范围是一ivy44-〃，

；♦—3〃+1=4—〃，

解得〃I=-1，〃2=3,

Vn<%<l,

n——l.

【小问3详解】

解：•.•原二次函数的解析式为y=V—3x+l,平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x—+女，

•••根据平移的性质可知，«=1

•.•当x<2时，y随x增大而减小，

：.h>2,

•••平移后的图象经过原点0,

：.0=(0-h)2+k,即％=_/?,

【点睛】本题考查二次函数与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，解第2问的关键是利

用二次函数的单调性找出关于n的一元二次方程，解第3问的关键是利用二次函数图象上点的坐标特征得出

k=-lr.

25.已知正方形4BCZ),将线段BA绕点B旋转a(0°<a<90°),得到线段8E,连接E4,EC.

ADAD

（1）如图1,当点E在正方形A8CZ）的内部时，若8E平分NA8C,AB=4,贝|NAEC=°,四边形ABCE的

面积为;

（2）当点E在正方形43C。的外部时，

①在图2中依题意补全图形，并求NAEC的度数；

②作NEBC的平分线8F交EC于点G,交EA的延长线于点F,连接CF.用等式表示线段AE,FB,FC之间的数

量关系，并证明.

【答案】（1）135,872

（2）①作图见解析，45°；②BF=®CF-叵AE

2

【分析】（1）过点E作EKL3C于点K,由正方形的性质、旋转的性质及角平分线的定义可得

ZABE=NCBE=45°,AB=BE=BC=4,再利用等腰三角形的性质和解直角三角形可求出

ZBAE=ZBEA^67.5°,EK=2正，继而可证明,便可求解；

（2）①根据题意作图即可；由正方形的性质、旋转的性质可得3E=B4=BC,再根据三角形内角和定理及等腰

三角形的性质求出NAEB,NBEC=45。，即可求解；

②过点B作垂足为〃，由等腰三角形的性质得到=，再证明

2

AFBEwAFBCGAS）即可得到五户=CF，再推出△HBE为等腰直角三角形，即可得到三者之间的关系.

【小问1详解】

过点E作EKLBC于点K

:.NBKE=90°

四边形ABC。是正方形

ZABC=90。,AB=