2024届山东省新数学高二年级上册期末综合测试试题含解析

2024届山东省新数学高二上期末综合测试试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

rv7

1.已知双曲线1-3=1(“>0/>0)的左、右焦点分别为耳、F2,点A在双曲线上，且A嚣，X轴，若上U=7则

a-b~\AF2\3

双曲线的离心率等于。

A百R而

22

C.2D.3

2.已知等差数列｛4｝共有2"+1项，其中奇数项之和为290,偶数项之和为261,则的值为()

A.30B.29

C.28D.27

3.圆/+2工+9+4y一3=0上到直线x+y+l=。的距离为夜的点共有

A」个B.2个

C.3个D.4个

4.4知函数/⑺的导函数为尸⑺,且满足〃x)=24(e)+lnx,则_f(e)=()

A.eB.-l

C.-g-1D.~e

5.已知向量a=(l,0,机)，Z?=(2,0,-2),若a//。，则”=()

A.1B.72

C.6D.2

6.已知四棱锥P—ABC。，AD,平面BC,平面如瓦底面ABC。是梯形，AB=AD=2,BC=4,

NAPE)=NC?B,满足上述条件的四棱锥的顶点尸的轨迹是()

p

A.椭圆B.椭圆的一部分

C.圆D.不完整的圆

7.某地政府为落实疫情防控常态化，不定时从当地780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测.把

这批公务员按001到780进行编号，若018号被抽中，则下列编号也被抽中的是。

A.076B.122

C.390D.522

8.已知两条异面直线的方向向量分别是“=（3,1,2）,v=（3,2,-l）,则这两条异面直线所成的角。满足（）

.c9

A.sin—B.sm6=——

414

C.cos^=-

414

9.已知直线/过点（0,1）,且与直线％-2y+2=0垂直，则直线/的方程是（）

A.x+2y+l=0B.2x+y+l=0

C.x+2y-l=0D.2x+y-1=0

sa,

n_2n

10.设等差数列｛%｝,也｝的前〃项和分别是S",却若，则皆二O

T„3〃+7

3

B.一一

4

叱D.2

11.设［（%）是函数/（%）的导函数，y=/'（%）的图象如图所示，则y=/（x）的图象最有可能的是（）

y

12.已知小q是两个命题，若"Lp)Vg”是假命题，贝!I()

A.p、q都是假命题B.p、q都是真命题

C.p是假命题q是真命题D.p是真命题q是假命题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列｛aJ的前几项和为S“，且满足％=1,oA+1=2",则S202i=.

22

14.已知双曲线?—1_=1左、右焦点分别为耳，B，点尸是双曲线左支上一点且|P£|+|P6|=8,则

sinZPJjF,

sin/PgK

15.圆锥的高为1,底面半径为豆，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为

16.底面半径为1,母线长为2的圆锥的体积为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图1,在边长为2的菱形A3C。中，N3AZ)=60。，将ABCD沿对角线30折起到△3。。的位置，如

图2所示，并使得平面，平面ABO,E是50的中点，平面4BO,且网=26.

CE

BB

图1图2

(1)求平面歹5C'与平面尸R4夹角的余弦值；

(2)在线段上是否存在一点V,使得c，“_L平面EBC?若存在，求器的值；若不存在，说明理由.

18.(12分)已知2：2/—3%—220，q-.x2-2(a-l)x+a(a-2)<0.

⑴当0e4时，求实数。的取值范围；

⑵若P是F的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

19.(12分)已知函数/(%)=2inx+--x,且a>0

x

(1)当。=1时，求函数/(*)的单调区间；

(2)记函数g(x)=/(x)+x,若函数g(尤)有两个零点外,马，

①求实数a的取值范围；

②证明：%+々<2,1-a

20.(12分)已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且4=1,%+i=2S"+l(“wN*),数列也｝是公差不为0的等差数

列，满足人2=4,且优,b2,%成等比数列.

(1)求数列｛4｝和也｝通项公式；

(2)设q,=。“+bn,求数列｛%｝的前〃项和T..

21.(12分)如图所示，在正方体ABCD-A|B|CjD|中，E是棱D»的中点.

(I)求直线BE与平面ABB|A|所成的角的正弦值;

(H)在棱C]D1上是否存在一点F,使BF平面A|BE?证明你的结论.

22.(10分)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知sin5=2，且区4.§C=12.

（1）求ABC的面积；

（2）若a、b、c成等差数列，求》的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解题分析】由双曲线定义结合通径公式、阴=:化简得出（21=2,最后得出离心率.

I*32

7,2帚

【题目详解】---|A^|-|AF,|=2a,|AF,|=—,:.\AF^=2a+—

故选：B

2、B

【解题分析】由等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可

【题目详解】奇数项共有（〃+1）项，其和为幺受出•（“+：!）=手•（/+1）=290,

（"+l）4+i=290

偶数项共有"项，其和为出［g〃•n=勺♦n=/用=261,

.•.%=290-261=29

故选：B

3、C

【解题分析】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.

【题目详解】圆一+2》+9+4y-3=0可变为（尤+1）2+（丁+2）2=8,

，圆心为(―1,—2),半径为20，

|-1-2+1|

圆心至ij直线x+y+l=O的距离d0,

二圆上到直线的距离为0的点共有3个.

故选：C.

【题目点拨】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.

4、C

【解题分析】求出导数后，把x=e代入，即可求解.

【题目详解】因为((力=2尸(e)+1,所以((e)=2-(e)+：,解得/(e)=—(=—1

故选：C

5、B

【解题分析】由向量平行，先求出冽的值，再由模长公式求解模长.

【题目详解】由。//小贝!1口=M，即1=2%加=-24

则；1=；，m=—2x；=—1,所以a=(l,0,—1)

则；=/2+02+(_])2:也

故选：B

6、D

【解题分析】根据题意，分析得动点P满足的条件，结合圆以及椭圆的方程，以及点P的限制条件，即可判断轨迹.

【题目详解】因为ADL平面必18,平面则AD〃BC,

又B4u面面八钻，故可得PALAD.PBLBC；

因为ZAPD=NCPB,故可得tanNAPOMa2M2utanNCPBuJu',

PAPAPBPB

则PB=2Q4,

综上所述：动点P在BC垂直的平面中，且满足。3=2上4；

为方便研究，不妨建立平面直角坐标系进行说明，

在平面已旬中，因为AB=2,以AB中点为坐标原点，

以A3为x轴，过。且垂直于AB的直线为》轴建立平面直角坐标系，如下所示：

因为PB=2Q4,故可得J(x—=2j(x+l『+y2,

整理得：x,1+y2,1+—0x+1=G,

故动点P的轨迹是一个圆；

又当尸,A,3三点共线时，几何体P-ABCD不是空间几何体，

故动点尸的轨迹是一个不完整的圆.

故选：D.

【题目点拨】本题考察立体几何中动点的轨迹问题，处理的关键是利用立体几何知识，找到动点满足的条件，进而求

解轨迹.

7、B

【解题分析】根据系统抽样的特点，写出组数与对应抽取编号的关系式，即可判断和选择.

【题目详解】根据题意，780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人，

则需要分为30组，每组26人；

设第n组抽取的编号为an,故可设an=26/7+m,

又第一组抽中18号，故可得18=26+机，解得m=-8

故an=26n-8,

当〃=5时，a5=26x5-8=122.

故选：B.

8、D

【解题分析】利用向量夹角余弦公式直接求解

【题目详解】解：两条异面直线的方向向量分别是M=(3,1,2),v=(3,2-1),

这两条异面直线所成的角。满足…岸99

714-^-14

•,融。=卜(《)

14

故选：D

9、D

【解题分析】由题意设直线/方程为2%+丁+m=0,然后将点(0,1)坐标代入求出加，从而可求出直线方程

【题目详解】因为直线/与直线龙-2y+2=。垂直，所以设直线/方程为2无+y+m=0,

因为直线/过点(0,1),所以1+加=0,得加=一1,

所以直线/方程为2x+y—1=0,

故选：D

10、C

【解题分析】结合等差数列前〃项和公式求得正确答案.

【题目详解】依题意等差数列｛«„｝，｛b,,｝的前"项和分别是Sn,Tn,

故可设工=加2“2,7；=，（3”2+7〃），2^0,

22

当时，=S„-S„_1=A-2TI-2-2（2-1）=（4n-2）2,

b22

n=7；-7；_1=2-（3«+7n）-2^3（n-l）+7（n-l）］=（6n+4）2,

所以a6=222,Z?4=282,

a.22211

所以—=----——

b,28214,

故选:C

11、C

【解题分析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，得到函数的单调性以及函数的极值点，然后判断选项即可

【题目详解】解：由题意可知：尤<0和x>2时，/(%)>0,函数/(%)是增函数,

xe(O,2)时，r(x)<0,函数/(%)是减函数;

%=0是函数/(%)的极大值点，x=2是函数/(%)的极小值点;

所以函数/(%)的图象只能是C

故选：C

12、D

【解题分析】由已知可得「p,g都是假命题，从而可分析判断各选项

【题目详解】；“Vg”是假命题，

~1p,q都是假命题，

，p真，g假，

故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、21012-3

2"

【解题分析】当心2时，可得3a==2,可得数列｛4｝隔项成等比数列，即所以数列｛4｝的

4-12

奇数项和偶数项分别是等比数列，分别求和，即可得解.

H

【题目详解】因为4=1,a,,an+l=2,所以g=2,

a2〃

当〃22时，_丹=2〃1,工—二—-2,

an-l/

所以数列｛4｝的奇数项和偶数项分别是等比数列,

「*2(1-2⑼°)

所以s.--------------1-------------------=2—J•

1-21-2

故答案为：21012-3.

14、3

【解题分析】根据双曲线方程求出。，再根据双曲线的定义可知|P6|所|=4,即可得到|尸周、\PF2\,再由正弦

定理计算可得；

22

【题目详解】解：因为双曲线为4=1,所以a=2、c=3,因为点尸是双曲线左支上一点且|P4|+归闾=8,

所以|P闾―归制=4,所以归丹=2,|尸鸟|=6,在△「£耳中，由正弦定理可得.町L.J?」，所以

sinZPF2F｛sinAPF｛F2

sin/P耳B_P&3

sin/尸月片—PF「；

故答案为：3

15、2

【解题分析】求出圆锥轴截面顶角大小，判断并求出所求面积最大值

【题目详解】如图，是圆锥轴截面，SC是一条母线，

0L

设轴截面顶角为。，因为圆锥的高为1,底面半径为石，所以tan£=后，夕6（0,万），

ezuc2n"

所以一=一，0=——>—,

2332

设圆锥母线长为/,则/=JF+（G）2=2,

11°

截面SBC的面积为S=—SBSCsin/BSC=-l2sin/BSC,

22

TC1

因为NBSCelO,——],所以N3SC=一时，S=-x22=2

32max2

故答案为：2

【解题分析】先由勾股定理求圆锥的高，再结合圆锥的体积公式丫=35底〃运算即可得解.

【题目详解】解：设圆锥的高为〃，由勾股定理可得力=后二/=也，

由圆锥的体积可得V=xVxG=巫，

33

故答案为叵

3

【题目点拨】本题考查了圆锥的体积公式，重点考查了勾股定理，属基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、⑴—

5

（2）不存在，理由见解析

【解题分析】（1）利用垂直关系，以点E为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面EBC和平面侬的法向量力和

",利用公式cos即可求解;

(2)若满足条件，CMIIm，利用向量的坐标表示，判断是否存在点满足CM〃加.

【小问1详解】

•：BC'=CD,E为80的中点

：.CE1BD,

又•平面BCZ>_L平面A3。，平面BCZ)平面45£)=瓦)，C'Eu_L平面BCZ),

CE_1_平面ABD,

如图以E原点，分别以E5、AE、EO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

则5(1,0,0),4(0,,0),0(-1,0,0),F(0,-百，2百)，C(0,0,百)，

二而=(」，-52百)，宓=(-1,0,百)，AB=(1,5°)，

设平面EBC'的法向量为机=(x,y,z),

m•BF=—x—A/3V+2y/3z=0

则｛厂，

m•BCr=—x+J3z=0

取z=l,得平面EBC的一个法向量m=(也，1,1),

设平面尸R4的法向量为〃=(%b,c),

n-BF=­q-j3b+2y/3c=0

则「

n-AB=〃+y/3b=0

取6=1,得平面尸5A的一个法向量为〃=(-G，1,0),

/\m-n—2v5

・cos(m,n)=i—i-j-r-—T=——---

,,\/|m|.|n|V5x25

设平面ABD与平面EBC的夹角为仇贝!Jcos6=cos(ni,n^=

平面ABD与平面FBC夹角的余弦值为—.

5

【小问2详解】

假设在线段上存在M(x,j,z),使得C'M■，平面EBC',

设AM=44£)(034)，则(x，，+G，z)=2(-l,G，0),即(x,y+#)，z)=(“，后，。)，

x=-2,j=\/3(A-1),z=0,

/.CM=(-4,6(4-

m=(A1,1)是平面EBC的一个法向量

由根〃CM，得，=封:2=二走，此方程无解.

V311

二线段AO上不存点M,使得平面EBC'.

【解题分析】⑴将％=0代入k-2(。-l)x+-2)<0即可求解；⑵首先结合已知条件分别求出命题P和9的解,

写出f,然后利用充分不必要的特征即可求解.

【题目详解】(1)由题意可知，0-—2(。—1)x0+a(a—2)<0,解得0<。<2,

故实数。的取值范围为(0,2)；

(2)由2/—3x—220，解得xW—g或x之2,

由-—2(a-l)x+a(a-2)<0,解得a-2cxea,

故命题。：x<--^x>2；命题4：a-2<x<a,

2

从而F；xWa-2或x^a,

因为P是F的充分不必要条件，

1

所以｛》|工<一5或工»2｝1；｛X|%4。一2或％2。｝,

a-22—3

从而2,解得一

2

a<2

3

故实数。的取值范围为[—,2].

2

19、(1)函数/(X)在区间(0,+oo)上单调递减

2

(2)①0<a<—；②证明见解析

【解题分析】(1)求导，求解可得导函数恒小于等于0,即得证；

(2)①分析函数左(x)=-2xlnx的单调性，由。=—2xlnx有两个实数根可求解；

-----=21n%]>％]------(

1x,xa<l-x,

②由(1)得21nx>k一,再利用其放缩可得:,由此有；，问题得证.

X4cl1Cl<1-X,

-----=2In%2>%2-----------i一

、%X?

【小问1详解】

当”=1时，函数/(%)=21nx+—-x,%>0

x

因为/(X)=2_J__1=_1£Z121<0

Xx~X

所以函数/(x)在区间(0,+00)上单调递减；

【小问2详解】

⑴由已知可得方程a=-2Wnx有两个实数根

(o

记左(x)=-2xlnx,贝!|k'(x)--2(1+Inx).当xe0,-|时，k\x)>0,函数4(x)是增函数；

Ie；

当时，k\x)<0,函数A(x)是减函数，

.2

所以0<a<左故0<a<一

(»)易知，当*>1时，k{x)<0,故0<占,々<1.由(1)可知，当0<x<l时,

/(%)>/(1)=0,所以21nx>x--

X

—=2In>玉---

X,X(7<1-X

由<;，得」所以9+9W2(l—a)

Q、1〃V11%2

——2In%2>x?----

因为所以七+々<2，=

20、(1)4=3"T,bn=2n

—1

（2）T=-----+/+〃

2

【解题分析】（1）根据4=求出｛4｝是以1为首项，3为公比的等比数列，求出｛%｝的通项公式,

Sn-Sn_vn>2

求出｛包｝的公差，进而求出｛〃｝的通项公式；（2）分组求和.

【小问1详解】

因为a"+l=2S“+lewN*）①，所以当时，a〃=2S,i+l②，①一②得：an+1-an=2an,即%=3%③，令

”=1得：％=2H+1=3=3%,满足③，综上：｛4｝是以1为首项，3为公比的等比数列，故a“=3f

设｛2｝的公差为d（d7O）,则周=。也，因为白=4,所以16=（4—d）（4+2d）,解得：［=2或0（舍去），所以

bu=4+2（〃-2）=2n

【小问2详解】

g=%+么=3"T+2",贝U7；=l+3+32++3n