二次函数及综合问题-2023年中考数学知识点练习 （江苏）（解析版）

2023年中考数学【热点•重点•难点】专练（江苏专用）

热点04.二次函数及综合问题

【考纲解读】

L了解：二次函数的概念；二次函数的对称轴；二次函数图象与系数的关系.

2.理解：二次函数的性质与图象；确定二次函数的解析式.

3.会：会判断一个函数是否为二次函数；会在对称轴左、右判断函数的增减性；会用数形结合思想

解决问题.

4.掌握：二次函数的性质；用待定系数法确定函数解析式；利用二次函数来解决实际问题的基本思

路；掌握二次函数图象与X轴交点的个数与一元二次方程根的关系；掌握二次函数图象与一元二

次不等式的关系；将实际问题转化为数学中的二次函数问题.

5.能：用待定系数法确定函数解析式；判别式、抛物线与X轴的交点、二次方程的根的情况三者之

间的联系；能根据图象信息解决相应的问题.

【命题形式】

1.从考查的题型来看，涉及本知识点的题目主要以选择题与解答题的形式考查，也可能在填空题中

出现，题目难度中高档.

2.从考查内容来看,主要有：二次函数的性质与图象；用待定系数法确定函数解析式；二次函数的

最值与平移问题；函数与几何图形相关的综合应用等.

3.从考查热点来看,主要有：二次函数的性质与图象；通过具体问题情境学会用三种方式表示二次

函数关系；一次函数与二次函数，函数与其他综合相关的实际问题；通过在实际问题中应用二次

函数的性质，发展应用二次函数解决实际问题的能力.

【限时检测】

A卷（真题过关卷）

备注：本套试卷所选题目多数为近三年江苏省各地区中考真题，针对性强，可作为一轮、二

轮复习必刷真题过关训练.

一、单选题

I.（2022•江苏泰州•统考中考真题）已知点（-3,%）,（-1,%,。,加在下列某一函数图像上，且、3<%<利

那么这个函数是（）

33

A.y=3xB.y=3x2oC.y=-D.y=--

【答案】D

【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出〃、》，2、”的值，比较大小即可得出答案.

【详解】解：A.把点（-3,yJ（-l,y2），（1，旷3）代入产3x,解得"=-9,>>2=-3,y?=3,所以y∕<y2<y3,这与已

知条件乃<当<%不符，故选项错误，不符合题意；

B.把点（-3,yJ（-1,丁2），（1，丫3）代入）'=3-解得yι=21,y2=3,y3=3,所以y1>y2=y3>这与已知条件旷3<Yi<旷2

不符，故选项错误，不符合题意；

C.把点（-3,yD,（1,丫3）代入J=I>解得y∣=-1'”=-3,”=3,所以y2<y∣<yj>这与已知条件为<%<丫2

不符，故选项错误，不符合题意；

D.把点（-3,yJ,（1，丫3）代入尸：，解得V=L>'2=3,y?=-3,所以y3<Yi<72>这与已知条件丫3<

yι<y2相符，故选项正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】此题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数，解题的关键是掌握函数值的大小变化和函数的

性质.

2.（2021.江苏徐州.统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数y=/的图像向左平移2个单位长度，

再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）

A.y=（x-2）2+1B.y=（x+2）2+1C.y=（x+2）2—1D.y=（%—2）2—1

【答案】B

【分析】先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案.

【详解】解：..'y="的顶点坐标为（0,0）

.∙.将二次函数y="的图像向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得抛物线的顶点坐标为（-2,

1）,

；•所得抛物线对应的函数表达式为y=（χ+2）2+l,

故选B

【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加

下减”，是解题的关键.

3.（2021•江苏常州•统考中考真题）己知二次函数y=（ɑ-l）/,当χ>0时，），随X增大而增大，则实数“

的取值范围是()

A.α>OB.α>1C.α≠1D.α<1

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解.

【详解】∙.∙二次函数y=(α-l)χ2的对称轴为y轴，当％>O时，)，随X增大而增大，

.∙.二次函数y=(α-1)/的图像开口向上，

Λα-l>O,即：α>1,

故选B.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键.

4.(2021•江苏苏州・统考中考真题)已知抛物线y=∕+kχ-∕c2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右

平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是()

A.-5或2B.-5C.2D.-2

【答案】B

【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可.

【详解】解：函数y=/+kχ-卜2向右平移3个单位，得：y=(χ-3)2+k(x-3)-fc2；

再向上平移1个单位，得：y=(x-3)2+k(x-3)-⅛2+l,

Y得到的抛物线正好经过坐标原点

Λ0=(O-3)2+fc(O-3)-fc2+l即。+3fc-10=O

解得：k=一5或k=2

；抛物线y=x2+kx-/的对称轴在y轴右侧

Λx=-->0

2

Λfc<O

:・k=-5

故选：B.

【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.

5.(2021・江苏宿迁•统考中考真题)已知二次函数y=Q∕+bx+c的图像如图所示，有下列结论：①a>0；

②〃-4ac>0;③4a+&=0；④不等式a/+⑦-I)%+CVO的解集为l<x<3,正确的结论个数是()

【答案】A

【分析】根据抛物线的开口方向、于X轴的交点情况、对称轴的知识可判①②③的正误，再根据函数图象的

特征确定出函数的解析式，进而确定不等式，最后求解不等式即可判定④.

【详解】解：•••抛物线的开口向上，

Λa>O,故①正确；

：抛物线与X轴没有交点

'.b2-4αc<0,故②错误

C由抛物线可知图象过（1,1）,且过点（3,3）

（a+b+c=1

（9a+3b+c==3

Λ8a+2b=2

二4a+b=1,故③错误；

由抛物线可知顶点坐标为（1,1）,且过点（3,3）

则抛物线与直线y=x交于这两点

Λax2+（b—I）X+c<0可化为ɑ/+bx+c<x,

根据图象，解得：l<x<3

故④错误.

故选A.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象的特征以及解不等式的相关知识，灵活运用二次函数图象的特征成

为解答本题的关键.

6.（2021•江苏连云港•统考中考真题）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的

一个特征.

甲：函数图像经过点（一1,1）；

乙：函数图像经过第四象限；

丙：当%>O时，y随X的增大而增大.

则这个函数表达式可能是（）

A.y=—XB.y=~C.y=X2D.y=—ɪ

【答案】D

【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可.

【详解】解：A.对于y=-x,当4-1时，y=l,故函数图像经过点（一1,1）；函数图象经过二、四象限；当x>O

时，y随X的增大而减小.故选项4不符合题意；

8.对于y=[,当4-1时，y=-1,故函数图像不经过点（-1,1）；函数图象分布在一、三象限；当x>0时，y

随X的增大而减小.故选项8不符合题意；

C.对于y=/,当X=-I时，故函数图像经过点（-1,1）：函数图象分布在一、二象限；当x>0时1y随

X的增大而增大.故选项C不符合题意；

D对于y=-：,当X=-I时，y=l,故函数图像经过点（一1,1）；函数图象经过二、四象限；当X>0时，y随X

的增大而增大.故选项。符合题意；

故选：D

【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数的性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关

键.

7.（2021・江苏无锡・统考中考真题）设P（X,%），Q（X,y2）分别是函数G，图象上的点，当αSx≤b时，总

有一l≤yi-y2≤l恒成立，则称函数G，C?在α≤x≤b上是"逼近函数”，α≤x≤b为"逼近区间则下

列结论：

①函数y=X-5,y-3x+2在1≤x≤2上是"逼近函数”；

②函数y=尤一5,y=x2-4x在3≤x≤4上是"逼近函数”；

③0≤X≤1是函数y=X2-1,y-2x2-X的“逼近区间”；

®2≤X≤3是函数y=X-5,y-X2--4%的"逼近区间

其中，正确的有（）

A.②③B.©©C.①③D.②④

【答案】A

【分析】分别求出力-旷2的函数表达式，再在各个X所在的范围内，求出力-丫2的范围，逐一判断各个选

项，即可求解.

【详解】解：①Tyi=%—5,y2=3x+2,

Λy1一为=(%—5)—(3x÷2)=-2x-7,当1≤x≤2时，-11≤y1-y2≤-9,

・・・函数y=%-5,y=3、+2在1≤%W2上不是“逼近函数”；

2

(2)Vyi=%—5,y2=X-4x,

22

Λy1—=(%-5)—(x-4x)=-X+5%-5,当3≤x≤4时，-1≤y1一力≤1，

函数y=%-5,y=X2-4%在3≤x≤4上是"逼近函数”；

22

@Vy1=X-1,y2—2x—%,

22

ʌy1-y2=(%?-1)-(2x-x)=-x÷x-1,当°≤%≤1时，一1≤%-力≤一不

.*.O≤%≤1是函数y=%2—1,y=2x2—%的“逼近区间”；

=χ2-

(J)Vy1=%—5»y24，

Λy一为=(%—5)—(x2-4x)=-x2÷5x-5,当2≤%≤3时，1≤月一％≤*，

14

.∙.2≤X≤3不是函数y=X-5,y=X2-4x的“逼近区间

故选A

【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的性质，掌握一次函数与二次函数的增减性，是解题的关键.

8.(2021•江苏苏州・统考中考真题)如图，线段AB=Io,点C、。在AB上，AC=BD=1.已知点P从点C出

发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点。移动，到达点D后停止移动，在点P移动过程中作如下操作：

先以点P为圆心，PA.PB的长为半径分别作两个圆心角均为60。的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的

侧面.设点P的移动时间为(秒).两个圆锥的底面面积之和为S.则S关于t的函数图像大致是()

【答案】D

【分析】由题意，先求出P4=t+1,PB=9-t,然后利用再求出圆锥的底面积进行计算，即可求出函数

表达式，然后进行判断即可.

【详解】解：根据题意，

'.,AB=10,AC=BD=1,且己知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着力B向点。移动，到达点

D后停止移动，则0≤t≤8,

：.PA=t+l,

ΛPB=10-(t+l)=9-t,

由PA的长为半径的扇形的弧长为：丝器誓=安义

1803

.∙.用P4的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为空

6

.∙.其底面的面积为变磬

由PB的长为半径的扇形的弧长为：竺限=空

.∙.用PB的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为9

...其底面的面积为嘤ɪ

36

二两者的面积和S=+⅛^=⅛π(t2-8t+41)

363618

.∙.图像为开后向上的抛物线，且当t=4时有最小值;

故选：D.

【点睛】本题考查了扇形的面积公式，二次函数的最值，二次函数的性质，线段的动点问题，解题的关键

是熟练掌握扇所学的知识，正确的求出函数的表达式.

二、填空题

9.（2021.江苏泰州.统考中考真题）在函数y=（X-1）2中,当尤>1时,y随X的增大而—.（填“增大”或“减

小”）

【答案】增大

【分析】根据其顶点式函数y=（X-1）2可知，抛物线开口向上，对称轴为x=l,在对称轴右侧.y随X的

增大而增大，可得到答案.

【详解】由题意可知：函数y=（%-I/,开口向上，在对称轴右侧y随X的增大而增大，又∙.∙对称轴为X=1,

.∙.当x>1时，y随的增大而增大，

故答案为：增大.

【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴及增减性，掌握当二次函数开口向上时，在对称轴的右侧y随X

的增大而增大，在对称轴的左侧），随X的增大而减小是解题的关键.

10.（2022.江苏无锡.统考中考真题）把二次函数）=f+4x+机的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3

个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么，〃应满足条件：.

【答案】，〃>3

【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为（-2,W-4）,再求得平移后的顶点坐标为（1,根据题意得到

不等式》3>0,据此即可求解.

【详解】解：∙.∙y=∕+4x+m=（x+2）2+叱4,

此时抛物线的顶点坐标为（-2,m-4）,

函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3,"i-4+l）,即（l,m-3）,

•••平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，

Λzn-3>0,

解得：加>3,

故答案为：e*3.

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新

抛物线的顶点坐标.

11.(2022.江苏连云港.统考中考真题)如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=-0.2x2+%+2.25运行,

然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m,则他距篮筐中心的水平距离OH是

【分析】将'=3.05代入37=—0.2万2+》+2,25中可求出工，结合图形可知x=4,即可求出OH.

【详解】解：当y=3.05时，-0.2/+x+2.25=3.05,解得：X=I或x=4,

结合图形可知：OH=4m,

故答案为：4

【点睛】本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定X的值.

12.(2022.江苏盐城.统考中考真题)若点P(Tn,n)在二次函数、=必+2尤+2的图象上，且点P到y轴的距离

小于2,则n的取值范围是.

【答案】1≤n<10

【分析】先判断一2<m<2,再根据二次函数的性质可得：n=nt?+2m+2=(m+I/+1,再利用二次

函数的性质求解〃的范围即可.

【详解】解：点P到y轴的距离小于2,

■.-2<m<2,

,・•点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，

.∙.n=m2+2m+2=(m+I)2+1,

当m=-l时，H有最小值为1.

当Tn=2时，n=(2+I)2+1=10,

∙∙∙n的取值范围为1≤n<10.

故答案为：l≤n<10

【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键.

13.(2022•江苏南通・统考中考真题)根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m∕s的速度将小球沿与地

面成30。角的方向击出，小球的飞行高度做单位：m）与飞行时间K单位：s）之间的函数关系是九=-5t2+20t,

当飞行时间t为S时，小球达到最高点.

【答案】2

【分析】将函数关系式转化为顶点式即可求解.

【详解】根据题意，有fι=-5t2+20t=-5（t-2）2+20,

当t=2时，Zt有最大值.

故答案为：2.

【点睛】本题考查二次函数解析式的相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应

用.

14.（2022.江苏徐州.统考中考真题）若二次函数y=x2-2x-3的图象上有且只有三个点到X轴的距离等于

m,则m的值为.

【答案】4

【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线ml，顶点为（1,-4）,由图象上恰好只有三个点到X轴

的距离为机可得m=4.

【详解】解：∙.∙y=χ2-2x-3=（x—1）2-4,

.∙∙抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线广1,顶点为（1,-4）,

二顶点到X轴的距离为4,

函数图象有三个点到X轴的距离为m,

,m=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键.

15.（2021•江苏连云港•统考中考真题）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖

出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份8种快餐的

利润.售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1

元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是元.

【答案】1264

【分析】根据题意，总利润=4快餐的总利润+B快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润X对应总数量，

分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可.

【详解】解：设4种快餐的总利润为名，B种快餐的总利润为伤，两种快餐的总利润为W，设4快餐的份数

为X份，则B种快餐的份数为(120-x)份.

2

据题意：IV1=(12-ʃ)×X=(12-1+20)×X=-∣x+32x,

80χ

IV2=[8+°-^~)](-120-X)=-∣χ2+72X-2400,

22

IV=IV1+MZ2=-%+104x-2400=一(尤-52)+1264,

V-I<0,

当X=52的时候,W取到最大值1264,故最大利润为1264元，

故答案为：1264.

【点睛】本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点.

16.(2021.江苏无锡.统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一

个动点，过点C的直线与二次函数y=/的图象交于A、B两点，且CB=3AC,尸为CB的中点，设点P的

坐标为P(x,y)(x>O),写出y关于X的函数表达式为：.

【答案】y=疑2

【分析】过点4作AMLy轴，过点B作8M垂直y轴，则黑=受=；,设A(∕,/),则须3小

'BMCB3

9国，求出C(0,3/),从而得P(Iα,6Q2),进而即可得到答案.

【详解】解：过点A作AAay轴，过点B作垂直y轴，则〃4V,

：.ACBMFCAN,

VCB=3ACf

...-A-N-=—AC="1,

BMCB3

22

设4-〃，a),则8(3α,9a)f

设直线AB的解析式为：尸履+〃，

则警甘,，解得：朽=为，

(9αz=3ka+bIb=3αz

2

，直线AB的解析式为：y=2ax+3af

ΛC(O,3/,

TP为CB的中点，

ΛP(∣α,6α2),

(3

.・・1=咒，BP：y=∣x2,

故答案是：y=?/.

【点睛】本特纳主要考查二次函数与一次函数的综合，相似三角形的判定和性质，掌握函数图像上点的坐

标特征，是解题的关键.

三、解答题

17.(2021・江苏盐城•统考中考真题)已知抛物线y=α(x-1α+九经过点(0,-3)和(3,0).

(1)求a、九的值;

(2)将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物

线相应的函数表达式.

【答案】(l)a=l,h=—4：(2)y=X2—4x+2

【分析】(1)将点(0,-3)和(3,0),代入解析式求解即可；

(2)将y=(x—1)2—4,按题目要求平移即可.

【详解】(1)将点(0,-3)和(3,0)代入抛物线y=α(x-I)2+八得:

rɑ(θ-I)2+/1=-3

Ia(3-I)2+Λ=0

解得：LQ=I4

m=-4

∙,.a=1>h=—4

(2)：原函数的表达式为:y=(x-I)2-4,

向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得：

•••平移后的新函数表达式为:y=(X-I-I¥-4+2=X2-4X+2

即y=X2—4x+2

【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，顶点式的函数平移，口诀：“左加右减，上加下减“，正确的计

算和牢记口诀是解题的关键.

18.(2022∙江苏常州.统考中考真题)在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为y=抬②函

数表达式为V=久2；③函数的图像关于原点对称；④函数的图像关于y轴对称；⑤函数值y随自变量X增大而

增大.将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子力中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子B中

搅匀.

(1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是；

(2)先从盒子4中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签.求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描

述相符合的概率.

【答案】(IE

卷

【分析】(1)直接由概率公式求解即可：

(2)画出树状图，再由概率计算公式求解即可.

【详解】(1)解：从盒子4中任意抽出1支签，抽到①的概率是点

故答案为：ɪ;

(2)解：画出树状图:

开始

共有6种结果，抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的有①、③和①、⑤和②、④共3种，

・•・抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为:=ɪ

62

【点睛】本题主要考查了列表法或树状图求概率，一次函数与二次函数的性质，解题的关键是会列出表或

树状图以及一次函数与二次函数的性质.

19.（2022.江苏淮安•统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进4、B两种品牌的粽子，两次进

货时，两种品牌粽子的进价不变.第一次购进4品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第

二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元.

（1）求4、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；

（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销

售.经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋.当B品牌粽子每袋的销售价降

低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）4种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元

（2）当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元

【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；

（2）设B品牌粽子每袋的销售价降低α元，利润为W元，列出W关于α的函数关系式，求出函数的最值即可.

【详解】（1）解：设4种品牌粽子每袋的进价是X元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，

根据题意得，æ:-θ-z.

•g：30

故4种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；

（2）解：设B品牌粽子每袋的销售价降低α元，利润为W元，

根据题意得,

W=(54-α-30)(20+5α)=-Sa2+IOOa+480=-5(α-IO)2+980,

V-5<0,

.∙.当8品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元.

【点睛】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一次方

程组是解题的关键.

20.(2022・江苏无锡•统考中考真题)某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖

场一面靠墙(墙的长度为Iom),另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已

知栅栏的总长度为24m,设较小矩形的宽为Xm(如图).

(1)若矩形养殖场的总面积为36n√,求此时X的值；

(2)当X为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

【答案】(I)X的值为2m；

(2)当X=T时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为詈m2

【分析】(1)由BC=X,求得8f>=3x,AB=S-x,利用矩形养殖场的总面积为36m2,列一元二次方程，解方

程即可求解；

(2)设矩形养殖场的总面积为S,列出矩形的面积公式可得S关于X的函数关系式，再根据二次函数的性

质求解即可.

【详解】(I)解：∙.∙8C=x,矩形CQE尸的面积是矩形8C7¾面积的2倍，

：・CD=2x,

.∖BD=3χfAB=CF=DE=^(24-BD)=S-χ9

依题意得：3Λ(8-X)=36,

解得：x∕=2,x2=6(不合题意，舍去),

此时x的值为2m；

(2)解：设矩形养殖场的总面积为S,

由(1)得：S=3X(8-X)=-3(X-4)2+48,

:墙的长度为10,

Λ0<3x<10,

Λ0<%<-,

3

V-3<0,

.∙.∕V4时，S随着X的增大而增大，

...当4T时，S有最大值，最大值为一3X(与一4)2+48=等，

即当X=£时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为券H?.

【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的

性质是解题的关键.

21.(2022.江苏泰州.统考中考真题)如图，二次函数yι=/+皿+1的图像与丫轴相交于点4与反比例函

数旷2=：O>0)的图像相交于点8(3，1).

(1)求这两个函数的表达式；

(2)当月随X的增大而增大且yι<'2时，直接写出X的取值范围；

(3)平行于X轴的直线/与函数yι的图像相交于点C、。(点C在点。的左边)，与函数丫2的图像相交于点E

若AACE与△BOE的面积相等，求点E的坐标.

【答案】(l)yι=/一3x+1：y2=I(ɪ>θ)

(2)∣≤%<3

(3)E(∣,2)

【分析】(1)用待定系数法求出解析式即可：

(2)由图像直接得出结论即可；

(3)根据4点和B点的坐标得出两三角形等高，再根据面积相等得HICE=DE,进而确定E点是抛物线对称

轴和反比例函数的交点，求出E点的坐标即可.

【详解】(1)解：：二次函数yι=/+THX+1的图像与y轴相交于点A,与反比例函数=：(X>0)的图像

相交于点8(3,1),

.∙.32+3m+l=l,铝1,

解得m=-3,k=3,

二二次函数的解析式为yι=X2-3X+1,反比例函数的解析式为y2=：(%>°)；

(2)解：•••二次函数的解析式为yι=∕-3χ+l,

・••对称轴为直线X=|，

由图像知，当月随X的增大而增大且乃<旷2时，∣<x<3；

(3)解：由题意作图如下：

当X=0时，y1=1,

・•・4(0,1),

∙∙∙B(3,1),

.∙∙44CE的CE边上的高与ABZ)E的DE边上的高相等,

∙.∙∕L4CE与ABDE的面积相等，

ʌCE=DE,

即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，

当X=I时，y2=2,

【点睛】本题主要考查二次函数和反比例函数的综合题，熟练掌握二次函数和反比例函数的图像及性质,

三角形的面积，待定系数法求解析式等知识是解题的关键.

22.(2022•江苏连云港•统考中考真题)已知二次函数y=∕+(rn-2)χ+m-4,其中m>2.

(1)当该函数的图像经过原点。(0,0),求此时函数图像的顶点A的坐标；

(2)求证：二次函数y=X2+(τn-2)X+m-4的顶点在第三象限；

(3)如图，在(1)的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线y=-X-2上运动，平移后所得函

数的图像与y轴的负半轴的交点为B,求44。B面积的最大值.

【答案】(1)4(一1,一D

(2)见解析

(3)最大值为:

O

【分析】(I)先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案;

-m2+8m-20

(2)先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为(号ɪ,然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于O

4

即可;

(3)设平移后图像对应的二次函数表达式为y=/+入+c,则其顶点坐标为(-发兰卢)，然后求出点B

的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线y=2上推出C=号不，过点4作AHLOB,垂足为

可以推出S-OB=-∣(fe+l)2+［由此即可求解.

OO

【详解】(1)解：将O(0,0)代入y=久2+(7n—2)%+TH—4,

解得Zn=4.

由m>2,则？n=4符合题意，

.∙.y=%2÷2%=(%+I)2—1,

∙*∙√4(—1,-1).

(2)解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为(号二条誓史).

Vm>2,

/.m—2>0,

/.2—m<0,

Λ-<0.

2

••—τn2+8τn-201八2-ι)<ι,c

•=--(m-4)z-f1≤-1<0,

44

,二次函数y=X2+(m-2)x+m-4的顶点在第三象限.

(3)解：设平移后图像对应的二次函数表达式为y=∕+bχ+c,则其顶点坐标为(一17)

当％=0时，y=c,

・・・B(0,c).

将(一1欠卢)代入y=r_2,

∙.∙B(0,c)在y轴的负半轴上,

Λc<0.

过点4作AH_LOB,垂足为H,

VΛ(-1,-1),

.'.AH=1.

在△40B中，SΔΛOB=∣0B∙ΛH=i×(-^^)×l

1,1

=~Sb4b+1

=Tb+I/+*

.∙.当b=-l时，此时c<0,ZkAOB面积有最大值，最大值为:

O

【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数的

最值问题，正确理解题意，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键.

23.（2021.江苏泰州•统考中考真题）农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上

每个桃子质量大致相同.以每棵树上桃子的数量X（个）为横坐标、桃子的平均质量y（克/个）为纵坐标,

在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线AB附近（如图所示）.

（1）求直线AB的函数关系式；

（2）市场调研发现:这个品种每个桃子的平均价格w（元）与平均质量y（克/个）满足函数表达式卬=击），+2.在

（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时，该树上的桃子销售额最大？

【答案】(1)y=-∣x+500;(2)210.

【分析】⑴将4(120,300),8(240,100)代入到y=kx+b,得到方程组｛湍;端O解得上与匕的

值，即可求出直线43的解析式：

(2)将y=-∣x+500代入W=京y+2中，得到新的二次函数解析式，再表示出总销售额，配方成顶点

式，求出最值即可.

【详解】解：(1)设直线AB的函数关系式为y=kx+b,

将A(120,300),8(240,100)代入可得:[ɜθɑ=券器甘，

IlUO=24。/C+b

解得：?=一1,

3=500

...直线AB的函数关系式y=-∣x+500.

故答案为：y=-∣x+500.

(2)将y=-∣x+500代入W=击y+2中，

口J得：w—-X+500^+2ι

IOO\3)

化简得：W=-ɪɪ+7,

60

设总销售额为z,则Z=wx=(-ɪɪ+7)%

1

z=——X7+7%

11

=--(x2-420x+2102)+—×2102

6060

=一2(x-210)2+735

"∙"ɑ=-----<0ɪ

60

∙∙.z有最大值,当X=210时，Z取到最大值,最大值为735.

故答案为：210.

【点睛】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数的应用，能理解题意，并表示出其解析式是解题关

键.

24.(2021•江苏连云港•统考中考真题)如图，抛物线y=nt/+(巾2+3)万—gm+9)与X轴交于点A、B,

与y轴交于点C,已知B(3,0).

(1)求，”的值和直线BC对应的函数表达式;

(2)P为抛物线上一点，若SNBC=S“BC，请直接写出点P的坐标;

(3)Q为抛物线上一点，若NACQ=45。，求点。的坐标.

【答案】⑴Zn=-Ly=x-3∙,⑵P(2,l),P(手,乎)，。(手,子)；(3)QC)

【分析】(1)求出A，8的坐标，用待定系数法计算即可；

(2)做点A关于8C的平行线4Pi，联立直线4Pι与抛物线的表达式可求出Pl的坐标，设出直线AP1与y轴

的交点为G,将直线BC向下平移，平移的距离为GC的长度，可得到直线P3P2,联立方程组即可求出P；

(3)取点Q,连接CQ,过点4作4。ICQ于点。，过点。作。FIX轴于点F,过点C作CE_L。F于点E,得直

线CD对应的表达式为y=3,即可求出结果；

【详解】(1)将8(3,0)代入y=mx2+(m2+3)%—(6m+9),

化简得r∏2+m=0,则Zn=O(舍)或τn=-1,

.,.m=一1,

得：y=--+4^-3,则C(O,-3).

设直线BC对应的函数表达式为y=kx+b,

将8(3,0)、C(O,-3)代入可得｛0;；匕/,解得k=l,

则直线Be对应的函数表达式为y=X—3.

(2)如图，过点A作4Pi〃8C,设直线4Pl与y轴的交点为G,将直线BC向下平移GC个单位，得到直线

P3P2,

由(1)得直线BC的解析式为y=%—3,4(L0),

直线AG的表达式为y=x-l,

联立（V

（y=-χz+4X-3

解得:g:j（舍），或U

APi（2,1）,

由直线AG的表达式可得G(-l,0),

：.GC=2,CH=2,

，直线P3P2的表达式为y=%-5,

联立二二3，

3+√17（3-√17

—,卜2二二

-7+√17,J-7-√17，

∖y2=

..吗―,七（三¥）,

.”（2,1）,P—,「（手¥）.

(3)如图，取点Q,连接CQ,过点4作AC_LCQ于点D,

过点。作DF1X轴于点尸，过点C作CE1DF于点E,

9∕∆ACQ=45o,

：.AD=CDt

又•・・乙4。C=90。,

・・・Z√1DF+4CDE=90。，

VzCDF+ZDCF=90°,

，乙DCE=Z.ADF,

XVzE=∆AFD=90°,

.∖ΔCDE=ΔDAFf则AF=DE,CE=DF.

设DE=AF=Q,

VOA=1,OF=CE,

•二CE=DF=Q+1.

由OC=3,贝IjDF=3一m即Q+1=3-Q,解之得，Q=L

所以。(2,—2),又C(0,-3),

可得直线CD对应的表达式为y=∣x-3,

设QOnJrn-3)，代入y=-/+4x-3,

得—3=—nr2+4m—3,ɪm=-m2÷4m,m2—ɪm=0,

又m≠0,则m=£所以Qg—：).

【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键.

25.(2022.江苏镇江•统考中考真题)一次函数y=1%+1的图像与％轴交于点4,二次函数y=Q/+b%+

e(ɑ≠0)的图像经过点4、原点。和一次函数y=ɪɪ÷1图像上的点8(mJ).

Z4

(1)求这个二次函数的表达式；

2

(2)如图ɪ,一次函数y=ɪɪ+n(n>--^-ln≠1)与二次函数y=ax+hx+c(α≠0)的图像交于点C(%i，yi)、

2Io

D(X2,力)(Xl<%2)，过点C作直线El1X轴于点E,过点D作直线％1X轴，过点B作BF1%于点产•

①与=，X2=(分别用含般的代数式表示)；

②证明：AE=BF-,

(3)如图2,二次函数y=α(x-t)2+2的图像是由二次函数y=ax2+bx+c(α≠0)的图像平移后得到的，

且与一次函数y=∣x+1的图像交于点P、Q(点P在点Q的左侧)，过点P作直线bɪX轴，过点Q作直线，4ɪ%

轴，设平移后点A、B的对应点分别为4、B',过点4'作4M1。于点M,过点夕作"NJ.%于点N.

①AM与夕N相等吗？请说明你的理由；

②若AM+3B'N=2,求t的值.

【答案】(l)y=/+2x

(3)①4M=BW,理由见解析；②3

【分析】(1)通过一次函数表达式可以求出A、B两点坐标，将A、B、C三点坐标代入二次函数表达式即

可求解；

(2)①通过联立关系式可得：∣x+n=x2+2x,利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到匕,亚

的值；

②通过A(-2,0),E(-379+i6n,0)即可求出AE的长度;

4

通过联，)「(卫誓乳》即可求出所的长度；

（3）①通过二次函数平移前后的表达式可以确定新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移（t+l）

个单位，向上平移3个单位得到的，从而可以得到：4（t—1,3）,B'（t+1，?）.通过联立关系式可得：（x-t）2+

2=∣x+l,利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到点尸、点。的横坐标，通过坐标即可表示

出AM、BW的长度.

②由①可得乂号求解即可.

42

【详解】（I）令y=0,则）+1=0,解得X=-2,

.M(—2,0),

将点B（m,｝代入y=1x+1中，解得m=去

.∙.点B的坐标为

将4(-2,0),B(∣,∣),C(0,0)代入y=α∕+故+C(Q≠0)可得:

4α—2h+c=0a=1

^∙α+^b÷c=∣,解得：｛b=2,

c=0C=O

.∙.二次函数的表达式为y=%2+2x.

2

(2)①:一次函数y=，+n(n>-Jn丰1)与二次函数y=ax+bx+c(α≠0)的图像交于点C(XLyI)、

216

D（X2，丫2）（X1<%2），

，联立关系式得：ɪɪ+n=X2+2x,

整理得：%2+∣x-n=0,

_3等1+轨_3+际而

解得：Xl=N

2424

—3—V9÷16∏—3+V9÷16∏

故答案为：X=：X

1J'24

②当?τ>l时，CD位于AB的上方，∙.∙A(-2,0)∖BGt)，

2±JΞ_±JΞβr_±JEΞι.±JΞ

•・/1C-—一"二一,Dr—,

22222

•ME=BF,

当一2Cn<1时，CD位于48的下方，同理可证.

16

故可得：AE=BF；

(3)方法一：

①T二次函数y=x2+2x图像的顶点为(一L-1)，

二次函数y=(x—t>+2的图像的顶点为(t,2),

二新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移(t+l)个单位，向上平移3个单位得到的.

.M(-2,0)的对应点为4(t-1,3),3(靖)的对应点为9(£+：,约，

2424

联立关系式可得：(x-t)2+2=3%+l,

整理得：X2-(2t+^)x+t+l=0,

8t-15

Δ=---------

4

4t+l-√8t-154t+l+√8t-15

当t>蔡时，解得:XP=，x

4