2023届新高考数学一轮复习 函数的概念及其表示强化练习含解析

函数的概念及其表示

学校:.姓名:班级:考号:

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.L知>二g4("-2),则/(X)的解析式为()

x9r

A.f(x)=b~DB-Ax)=—"(x*T

9rY

c-

2.已知/(x+1)是定义在R上且周期为2的函数，当1,1)时,

f(r)，则‘,.)

HIIIxr,O4,V1.

A.「

B-c.6D.-\/3

2-T

3.已知了，,则当x..O时，/(2,与/(J)的大小关系是

16r-113.x>I

()

A.f(2x)„f(x2)B./(2')../(x2)

C./(2')=/(x2)D.不确定

设集合A=[0,g),6=g,l],函数：,

4.，若且/"(x0)]eA,

2(1€B)

则瓦的取值范围是()

A•吟B,品C.[0,|j

o

<1'与函数g(x)=Inx的值域相同，则实数a的取值范围是

5.已知函数f(x)=-

)

A.(-co,l)B.(-<x>,-l]

C.[-1,1)D.(—co,—I][2,+co)

14-r

6.已知函数/(x)=—^的定义域为4函数y=/"(x)］的定义域为6,则()

1-%

A.=BB.A=BC.=BD.明3=A

1

7.若函数J"；］一「满足/(a)=/(2,)，则/(2a)的值等于()

A.2B.0C.-2D.-4

8.已知函数…!"‘'"，若关于X的不等式"(x)］2+4(x)<0恰有1个整数解,

I厂2J\x<0

则实数a的最大值是()

A.2B.3C.5D.8

二、多选题(本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求)

r

9.法国数学家柯西(A.CaMc%»1789-1857)研究了函数.,'1"的相关性质，并证

明了/(X)在x=0处的各阶导数均为0.对于函数/(X),下列结论正确的是()

A./(x)是偶函数

B./(x)在(-8,0)上单调递增

C./(-%)>/(e)

D.若④/(x)<b恒成立，则匕-。的最小值为1

10.下列命题正确的有()

A.若函数1)-I，•・I］的定义域为此则实数a的取值范围为

(-3C.-1|U+x)

B.若函数鹏…I)，一，•1-I］的值域为兄则实数a的取值范围为L"

C.若函数/(x)=、以一।一的定义域为此则实数a的取值范围为O<a<3

ax~+4ax+34

D.若函数/(x)=Ja?+2x+l的值域为［0,+O0),则实数a的取值范围为瞬h1

2-41x--l噫W1

11.已知函数/(x)=J2''其中aeR,下列关于函数/(x)的判断正确的为

()

3

A.当a=2时，/(-)=4

B.当|“|<1时，函数f(x)的值域为［一2,2］

C.当a=2且xe[〃一f(x)=2'-'(.2-4\x-^^-\)

D.当a〉0时，不等式/(x)”2a"5在[0,+8)上恒成立

三、填空题(本大题共7小题，共35.0分)

12.已知函数/(x)的定义域为心h,贝ijy-/卜壮，：匕叶的定义域为..

13.已知函数y=/(x+l)的定义域与值域都是12,则y=2/(x—l)的定义域是；

值域是______

ex~',x<\

14.设函数/(》)=J,则使得了(X),,2成立的x的取值范围是

x3,x.A

+x9—2W牙WG

I若c=0,则f(x)的值域是__________；

c<xC3.

,*

若/(x)的值域是[-L,2],则实数C的取值范围是.

4

hi兀x>0,

16.已知函数J，-1若/(/(a)),,0,则实数a的取值范围为__________.

卬2,工£0,

XIUJ2r.x>0

,5，若/(«)=0,则实数a的值是若/(%)

{L«-T.IC0

的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y=-2的对称点在直线kx-y-3=0上，则实数k

的取值范围是.

18.若定义在"上的函数f(x),其图象是连续不断的，且存在常数4(/1eR)使得

/(%+；1)+/1/(幻=0对任意实数了都成立，则称/(x)是一个“4〜特征函数”.则下列结

论中正确命题序号为

①/(x)=0是常数函数中唯一的“4〜特征函数"；②/(x)=2x—l不是“/I〜特征

函数”；③";〜特征函数”至少有一个零点；④/(尤)="是一个“4〜特征函数”.

3

答案和解析

1.【答案】c

【解析】

【分析】

本题是求解函数解析式的题目，根据已知条件，可以考虑利用换元法求解;

【解答】

解：令土2_-^尤=八则%=2-2，

2+%1+/

故/(X)的解析式为

故选C

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查分段函数，考查了函数的周期性，属于基础题.

根据函数的周期为2,可得八3)="-1)，/甘)=/(|)，再根据函数解析式进行求解即可.

【解答】

解：因为/(x+1)是定义在不上且周期为2的函数，

则有==〃—/(~in)-/(-4+23/2\

«>J\)

根据(,2r''11'r-",

IMilTX,0<T<I

可得…!■1I/112-'11-2./(|)=sin等=乎，

故/(3)/(-y)=/(一1)/(|)=2x#=6，

故选：C.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查分段函数以及比较函数值的大小，属于中档题.

求出函数/（X）的单调区间，令为2=2，，得x=2或x=4,结合图像可知0,,x<2,2领k4,x〉4

三段/与2,的大小关系，再根据函数/（x）的单调性即可得出/（2，）与/（J）的大小.

【解答】

解：由函数1,

].：/Hi113.z>I

得函数（-oo,4]上单调递增，（4,16）上单调递减，在（16,4w）上单调递增，

作出函数图像：

令/=2',得％=2或x=4,

结合函数图像可知：

当Q,x<2时，4>2V>x2..O,则/(2')>/(》2),

当2瓢4时，4融，%2?16,则f(2)./(/),

当尤>4时,2X>X2>16,>f(x2),

5

综上所述，当X..0时，f(2x)..f\x2).

故选：B.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了函数与方程的综合应用，属于较难的题目.

根据函数的定义域代入分段函数的解析式，结合得到函数的值域再代入分段函数的解析式，即可

求解.

【解答】

解：0,,Xo<g,.,./(毛)=%+；,1)^3,

/[Axn)]=2(1—/(x。))=2[l-(x0+g)]=2(1-x0).

/Lf(x())]€A,0„2(——x0)<—,.1.

▽八111

乂°，，/<51,'，4<xo<2,

故选D.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了分段函数的应用，函数的值域，不等式的解法，分类讨论思想，属于基础题.

当尤..1时，函数)，=3、值域为[3,+8),因此，当x<l时，函数y=(l-a)x+/函数值必须取遍

：v分类讨论即可求解.

【解答】

解：函数.「，・[："二."」।,

I.F,r/1

而函数y=3"是增函数，

当X..1时,3，..3,

则当x..l时,函数y=3*值域为[3,+8),

因函数”"的值域为R,因此，在当x<l时，

函数y=(l-a)x+/的函数值必须取遍v?；i,

当1—。=0,即。=1时，y=l,不符合题意，

当1一。<0时，了〉〃2一。+1,也不符合题意，

1-（J>0

从而有，」.»解得“，一1,

a。+134

卜

所以实数a的取值范围是：，：x.1.

故答案选：B.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的定义域及集合之间的包含关系、集合相等的概念、交集运算与并集运算，属

于拔高题.

根据分母不为0可求出函数/（X）的定义域，根据/（X）的定义域及/（x）H1可得函数

y=f[f（X）]的定义域，然后根据集合的相关概念对各选项一一判断即可.

【解答】

解：因为1—XW0,即

所以函数/（X）的定义域为（YO,1）U（1，”），

故A=（-oo,l）U（l*），

令匕1出+X声1,可得且XHO,

1-X

所以y=/[/W]的定义域为（-oo,o）U（o,i）|J（i,4w）,

故B=（F,O）U01）|J（I,+«0，

所以aUB^fo.DlJCL+oo）,4不正确；

BuA,%8=8,〃不正确，，C正确.；

A^B,8不正确；

故选C.

7.【答案】A

【解析】

【分析】

7

本题主要考查了分段函数的求值，涉及函数图象的应用，属于基础题.

由分段函数的性质，可分0<a<l,1,。<2和。..2三种情况考虑，分别求a的值，即可求得实

数a的值，进而可得/(2a)的值.

【解答】

解：由题意，易知。>0,

若得到.2"•：1.21,

若成立f(a)=/(2"),则2"=22",即得a=2",

在同一坐标系下，作出函数y=a和y=2”的图像，如下所示：

故a.1,

若L,a<2,2a..2'=2,当且仅当。=1时，等号成立，

若成立了(。)=/(2")，则2“=4一2",

即得*=4=22,解得。=1,

若a.2,则/,Ia,2">2'=2,I丁，

若成立了(a)=/(2"),则有。=2",由上可知该方程无解.

综上可知a=1,

又2a=2,所以/dm-122

故选：A

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的图象，考查了分类讨论方法、数形结合方法与计

算能力，属于较难题.

画出函数f(x)的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出.

【解答】

解：函数/(X),如图所示，

不等式"(x)]2+歹(x)<0恰有1个整数解，

当/(x)>0时，则。<0,不合题意；

当/(x)<0时，则x>2.依题意["⑶『

(r/II--o/M<1

/“：3.".no

|blW1>,-3<4,8,

9.【答案】ACI)

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的奇偶性，复合函数的单调性及值域，属于中档题.

由题意，易知/(x)为偶函数，当x<0时/(x)单调递减，可判断46G再由复合函数性质判断。,

可得结论.

【解答】

9

解：对于4当无。0时，/(x)=J声，满足/(—x)=/(x),所以/(x)是偶函数，故1正确；

-1

对于反当x<0时，/(x)=e，,易知r=一一?在;^。时单调递减，所以“X)在是(一8,0)上

X

单调递减，故8错误；

对于C,由/(%)为偶函数，得/(e)=f(-e),又一万<—e,

所以/(一万)>f(-e)=/(e),故C正确；

对于〃，当x<0时，，=-~4e(-oo,0),则/(x)e(0,l),由偶函数以及当x=0时，/(%)=0,

x

得当xwR时，/(幻€。1),所以若4,"(*)<人恒成立，则〃—。的最小值为1,故〃正确.

故答案为：ACD.

10.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查函数的定义域与值域的求法，考查数学转化思想方法，体现了分类讨论的数学思想方法.

利用对数函数、二次函数的值域，二次函数图象和X轴交点个数和判别式..的关系，逐项分析，

即可得.

【解答】

解：函数解一=电［(。2-1)1+(。+1*+1］的定义域为此

则不等式I”1)^•n-11■-1I)对于一切xeR恒成立，

若。=1,则不等式等价为2x+l>0,解得x>—,，不满足恒成立；

2

若。=一1,则不等式等价为1>0,满足恒成立；

若时，则满足条件,,,,，解得。<一1或

a\a-Il1(，厂II<13

综上所述：若函数/(x)=lg［(a2-\)x2+(a+l)x+l］的定义域为R,

则实数a的取值范围为(—oo,—"Ug，+8),故/正确；

函数f(x)=lg［(a2-l)x2+(«+l)x+l］的值域为R,

r.函数y-l)z-'-1)Jl的值域包含(0,+8)；

当a=l时，,=2%+1的值域为/?丫(0,+8)；

当。=一1时，丁=1的值域为{1},不满足题意；

<r-I>05

当。。士1时，则满足条件《、,，解得1<4，弓，

A:a-1)l(uII03

综上所述：若函数/(x)=1g［(a2-1)/+(a+l)x+1］的值域为R,

则实数a的取值范围为।；,故8正确；

若函数/(%)=「叱1—的定义域为R,

ax+4CL>C+3

则ax'+4-ax+3>0^ax2+4ax+3<0对任意xeR都成立，

当。=0时，不等式成立；

当。>0时，需满足’,,,“，解得0<。<2,

IAI<MJ-12a•(14

当a<0时，需满足•［：",.皿”，不等式无解，

IAHMP\2a<0

综上所述：若函数/(x)=,二一1—的定义域为此则实数a的取值范围为0,,a<3,故C

ax+4ax+34

错误；

若函数/(x)=的值域为［o,+oo),

则函数y=ax?+2》+1的值域包含［0,+8),

当a=0时，丁=2》+1的值域为/?丫［0,+00)；

当a>0时，需满足!；",,,「解得0<61,

I411inu

综上所述：若函数/(x)=Ja?+2x+1的值域为［0,+O0),

则实数a的取值范围为喷女1,故〃正确.

故选A8D

11.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题考查函数的综合应用，函数的性质，解题中注意分析能力与运算能力，属于难题.

对于4选项，直接代入计算即可；

对于6选项，由题意可得当xw［加,加+1］,meN*时，f(x)=a'"f(x-m),进而数形结合，

得到/(x)w(—2,2］,故6错误；

对于。选项，由8选项，当a=2且—I,川(〃eN*)时，/(x)=2"一|/(》_〃+1)进而得解

11

析式；

对于，选项，取特殊值可得答案.

【解答】

3111

解：对于/选项，当。=2时，/(1)=2/(-)=2x(2-4x|---|)=4,故/正确,

4r,0W1W-

对于6选项，由于当砥/1,2

"ywI

/(x)在[0,g]上单调递增，在上单调递减，

故当x=1•时，/(x)取最大值2,当x=0或1时，/(x)取最小值0,

则函数/(x)在[(),1]上的值域为[0,2],

当工£[加,加+1],meN"时，/(x)=amf(x-m),

由于所以/(x-zn)e[0,2],

因为当。=0时，/(X)G[0,2],

当0＜。＜1时，如图1,/(X)G[0,2],

综上，当|〃|<1时，函数/(幻的值域为(—2,2],故8错误，

对于C选项，由4选项得当x£|m,〃7+l],meN时，/(x)=amf(x-m),

故当。=2且xe[〃-1,〃](〃GN*)时，/(X)=2""(X-〃+1)=2"T(2—4|X-"+1—；|)

=2,,-|(2-4|x-/z+-|)=2,,-'(2-4|x-^—!-|),故C正确，

22

对于〃选项，取“=』，x=-,/(-)=2-4|---|=b

284442

=2小/=2(#=2(2-8)4=2x2~2=^,

不满足了(%),,2/W,故〃错误.

故选：AC.

12.【答案】［；1)

【解析】

【分析】

本题考查抽象函数的定义域，属于基础题；

由函数八幻的定义域为⑴.1),可得II，力1・1,即:<2x—l<l,即可求解；

【解答】

解：函数/(x)的定义域为D1),

.h火山I，I,

即,<21<1,

2

3

解得2Vx<1,

4

二函数，-‘卜里二”的定义域为［：”

故答案为|「।|；

13.【答案】工「

(2.4］

【解析】

【分析】

本题考查与抽象函数有关的函数的定义域与值域的求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基

础题.

13

由y=/(X+1)的定义域求得f(x)的定义域，再由X—1在f(X)的定义域中求得X的范围可得函

数y=2/(%-1)的定义域，再由图像变化特点求得y=2/U-D的值域.

【解答】

解：函数y=/(x+l)的定义域为I?,

/.2M+13,即函数y=/(x)的定义域为,

令2领k—13,解得3领k4,

则函数y=2/(x-l)的定义域为I

由于函数y=/(x+l)的图像是由y=/(x)的图像向左平移一个单位，

故y=/(x)的值域是12

又y=2/(x-l)的图像上每一点是y=f(x)图像上对应点向右平移一个单位，且纵坐标变为原

来的2倍，

故y=2/(x-l)的值域是31

故答案为；工1：2「

14.【答案】七,8

【解析】

【分析】

本题考查不等式的解法，考查分段函数，考查学生的计算能力，属于基础题.

利用分段函数，结合/(x),,2,解不等式，即可求出使得/(x),,2成立的x的取值范围.

【解答】

解：当x<l时，er-'„2,

「.兄，In2+1,

.\x<l；

I

当工..1时，户,，2,

08,

・・.1M8,

综上，使得/(x),,2成立的牙的取值范围是』8.

故答案为：工，8.

15.【答案】［-1,+00),

【解析】

【分析】

本题考查了分段函数、函数的值域，属于中档题.

X1+X,-2<xC0.

故可分开讨论得/(x)的值域;

—・0<工《3.

{」*

(2)分当c<用,3时，当一2领Jrc时，代入讨论可求实数。的取值范围.

【解答】

X2+x,—2领k0,

解：解：(1)若c=0,则/5)=1

—,0<x,,3,

Lx

1

当—2麴Jr。时，f'(♦•>।।'，

当0v兀,3时，f(x)=—e[—,+oo).

x3

综上，/(X)的值域是[-L+8).

4

(2)由己知，/(x)的值域是[―』,2].

4

当(?<用,3时，/(%)=—,得c〉0,

x

所以/(x)eJ」)」,，2,得以」，

3cc2

当一2强!kc时，/(x)=x2+x=(x+g)2一;，

f(%),nin="_；)=_：，

且有/(—2)=2,易知/(1)=12+1=2,所以G,1.

综上，实数c的取值范围是[；/],

故答案为：1*XI.,1

15

16.【答案】[—log,3,0]U[Le]

e

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的应用，函数图象的应用，以及不等式求解，属于较难题.

令广⑴,，则不等式/(/(「)),,()，即/⑺”0，由图像得一掇I1,即[\1।或

I14111。4I

【解答】

rInx.z>0,

解：函数函数/1的图象如图所示:

(z)-2,了W0,

解得,效he或log।3地0,

e2

即实数a的取值范围为[-log,3,0]U[-,e].

e

故答案为[―log,3,0]U[Le].

e

,5

17.【答案】e?或o或——

4

^-3C.U(1.-t-9C)

【解析】

【分析】

本题考查了分段函数的性质的判断与图象的应用，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想

应用，属于拔高题.

⑴可分a>0和凡0讨论可解得a的值，(2)由题意可化为函数/(x)图象与y=-履一I的图象

有且仅有两个不同的交点，结合题意作图求解即可.

【解答】

解：⑴当。>0时，'i.JI-hII,解得。=/,

当4,0时，f(a)=a2+—a-Q,解得a=0或一

44

综上，a=/或。或一』；

4

(2)

Xlux-2tr.jr>0

厂「工，的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y=-2的对称点

{|(

在丁=依-3的图象上，

而函数y二收一3关于直线y=—2的对称图象为y=—丘一1,

rlnr-2r.x>0

5的图象与y=-日-1的图象有且仅有两个不同的交点，

{J'•J./II

当x>0时，f(x)=x\nx-2x,可得/「5I,

可知：0<无<e时，/'.「)•()，